Inecuaciones | Mediateca de EducaMadrid

Bienvenidos. Hoy nos metemos de lleno en un concepto que trata sobre límites y posibilidades, 00:00:00

las inequaciones, y vamos a ver que no son sólo un ejercicio de clase, sino una forma 00:00:05

de describir las decisiones y restricciones que encontramos en el día a día. 00:00:10

Vale, para entender esto bien, vamos a empezar no con una fórmula, sino con un problema, 00:00:14

uno bien práctico. ¿Cómo podríamos describir todas las opciones posibles cuando nos enfrentamos 00:00:19

a límites reales? Por ejemplo, el tamaño de una pared o la cantidad de material que 00:00:24

tenemos disponible. Imaginemos que tenemos que diseñar una ventana para esta pared. Tenemos un 00:00:29

límite, claro, el tamaño del muro, y también otro límite, el material para el marcó. Pues bien, 00:00:33

las inequaciones son la herramienta matemática perfecta que nos permite encontrar todas las 00:00:38

dimensiones posibles que funcionarían. Ese es, en esencia, el tipo de enigma que resuelven. 00:00:42

Para resolver el tema de la ventana, lo primero es lo primero. Hay que aprender a hablar el idioma 00:00:47

de las inequaciones. A ver, ¿qué es una inequación? Pues, en esencia, es una expresión 00:00:53

algebraica donde los dos lados no están conectados por un signo de igual, sino por un símbolo 00:00:58

de desigualdad. Y a diferencia de las ecuaciones, que suelen tener una o dos soluciones concretas, 00:01:03

las inequaciones definen todo un abanico de posibilidades. Y justo ahí está el quid 00:01:09

de la cuestión. No se busca un único número, un resultado, sino un conjunto de números, 00:01:13

toda una zona de solución. Veamos cómo se representa esto. Un intervalo abierto que se 00:01:18

escribe con paréntesis incluye todos los números entre A y B, pero ojo, no incluye ni A ni B. Los 00:01:24

circulitos abiertos en la recta numérica lo dejan muy claro. Los extremos se quedan fuera de la 00:01:31

solución. Por el contrario, un intervalo cerrado, con corchetes, sí que incluye los extremos. Esto 00:01:36

se ve con los círculos rellenos, que nos chivan que esos valores límite sí que forman parte del 00:01:43

conjunto de soluciones. Y claro, para tenerlo todo cubierto existen los intervalos semiabiertos. Esto 00:01:48

nos da una flexibilidad total para ser súper precisos y decidir si un límite concreto es 00:01:54

una solución válida o no. Muy bien, ya tenemos el lenguaje. Ahora vamos a ver las reglas del juego. 00:01:59

Bueno, la buena noticia es que, en gran parte, resolver una inequación es casi igual que resolver 00:02:06

una ecuación de las de toda la vida. Se puede sumar o restar lo mismo a ambos lados, o multiplicar y 00:02:11

dividir por un número positivo y todo se mantiene igual. Pero aquí viene la regla de oro, la que 00:02:16

hay que grabarse a fuego. Cuando multiplicamos o dividimos los dos lados por un número negativo, 00:02:22

¡zas! El signo de la inequación se da la vuelta. Fijaos en el ejemplo, como al despejar la X, 00:02:27

el signo menor que se convierte en mayor que. Esto lo cambia absolutamente todo. 00:02:33

Vale, ya tenemos el vocabulario y las reglas. Ahora toca lo divertido. Vamos a ver cómo funciona 00:02:38

esto en la práctica, resolviendo algunos problemas y sobre todo dibujando las soluciones. Para las 00:02:43

inequaciones de primer grado el proceso es bastante directo, como seguir una receta. Se quitan 00:02:48

denominadores, se agrupan términos. El objetivo final es siempre el mismo, dejar la x sola a un 00:02:53

lado para encontrar ese intervalo solución. Venga, subimos un poco el nivel. Inecuaciones de segundo 00:02:58

grado. Aquí la cosa cambia y la gráfica se convierte en nuestra mejor aliada. Lo que estamos 00:03:04

viendo es una parábola, que es la forma que tiene una ecuación de segundo grado cuando la dibujamos. 00:03:11

Entonces, si nos encontramos con la inequación menos x al cuadrado menos 2x más 3 mayor que 0, 00:03:16

la pregunta que nos hacemos es literalmente esta. ¿En qué cachito del dibujo la curva está por 00:03:23

encima del eje horizontal? Es una pregunta totalmente visual. Y la respuesta la tenemos 00:03:29

ahí mismo, en el dibujo. La curva está por encima del eje, en la zona positiva, justo en el trozo 00:03:34

que va desde el menos 3 hasta el 1. Así que esa es la solución, el conjunto de todos los números 00:03:40

que están dentro de ese intervalo. Bien, pero ¿qué pasa si tenemos que cumplir más de una 00:03:47

condición a la vez? Volvemos un poco a nuestro problema de la ventana, donde no teníamos un 00:03:52

solo límite, sino varios. Cuando tenemos un sistema con una sola variable, la solución es 00:03:57

sencillamente la intersección, o sea, la región donde las soluciones de cada inequación se solapan, 00:04:03

buscamos los números que cumplen con todo a la vez. Ahora bien, si metemos dos variables, 00:04:09

la cosa se dispara. Ya no estamos en una simple línea, saltamos a un plano entero. Y cada 00:04:15

inequación ya no marca un trocito de línea, sino que parte todo el plano en dos. Como se ve en 00:04:21

estas imágenes, cada inequación es como una frontera que divide el mapa en dos zonas. Una 00:04:26

zona de sí, donde se cumple la condición, y una zona de no. La línea marca justo el límite. Al 00:04:31

juntar todas las condiciones, la zona donde todas las soluciones se cruzan, eso es lo que se llama 00:04:37

la región factible. Esa área sombreada es el tesoro. Representa todas y cada una de las combinaciones 00:04:43

de X y Y que resuelven el sistema. O sea, todas las medidas válidas para nuestra ventana que cumplen 00:04:49

con todos los límites. Así que el punto clave es que esto va mucho más allá de un simple ejercicio 00:04:55

de matemáticas. Aquí tenemos un pequeño resumen de todo este arsenal de herramientas que hemos 00:05:03

visto, desde la inequación más básica hasta los sistemas complejos que nos permiten mapear 00:05:08

regiones enteras de soluciones. Y es que este concepto es la piedra angular de algo súper 00:05:12

potente llamado programación lineal. Es lo que usan empresas y economistas para tomar decisiones 00:05:17

cruciales, como sacar el máximo beneficio, como reducir costes al mínimo, siempre claro, 00:05:23

respetando una serie de limitaciones o restricciones. Y para terminar, un pequeño desafío. Un 00:05:29

razonamiento que parece lógico. Parte de una verdad. x menos 4 al cuadrado es siempre mayor 00:05:35

o igual que 0. Eso es cierto. Pero luego, manipulando la expresión, llega a la conclusión 00:05:41

de que x es siempre mayor o igual que 4. Esa conclusión, claro, es totalmente falsa. No todos 00:05:46

los números son mayores o iguales que 4. Entonces, la pregunta es, ¿dónde se ha torcido la lógica? 00:05:52

¿Cuál es el paso en falso? 00:05:59

Darle una vuelta a esto es la mejor manera de comprobar si se ha entendido bien la regla más importante de las inequaciones. 00:06:00

Inecuaciones - Contenido educativo

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