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AR1. 1.5 Números reales - Contenido educativo
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Hola a todos. Soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AR1 dedicada a los números reales. En la videoclase de hoy estudiaremos los números
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reales. Vamos a finalizar esta serie de videoclases de los conjuntos numéricos con el conjunto de los
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números reales. Es el más amplio que nosotros dentro de esta unidad vamos a estudiar. Se
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representa con la letra R mayúscula y sencillamente está formado por la unión de los números
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irracionales y de los números racionales. Recuerdo que los números racionales estaba formado por
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aquellos números cuya expresión decimal equivalente era bien finita o bien infinita periódica, ya fuera
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pura o mixta, y los números irracionales eran aquellos cuya expresión decimal equivalente era
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infinita no periódica. Así que, consecuentemente, el conjunto de los números reales es el conjunto
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de todos los números decimales. Puesto que ya hemos hablado del conjunto de los números irracionales
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con cardinal infinito no numerable y el conjunto de los números racionales con cardinal infinito
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numerable, puesto que los números reales es la unión de estos dos y los números irracionales
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tiene un cardinal infinito no numerable, necesariamente el conjunto de los números
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reales tiene cardinal infinito no numerable. Este argumento no es el que habitualmente se
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utiliza y no es el más sencillo, puesto que si recordáis, cuando hablé de los números irracionales
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en la videoclase anterior, sencillamente dije que el cardenal era infinito no numerable, pero no lo
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justifique de ninguna manera. Habitualmente el argumento que se utiliza comienza con los números
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reales, hablando de que el conjunto de los números reales es no numerable. Hay infinitos números
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reales, pero no podemos establecer una correspondencia
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biunívoca entre los números naturales, en la forma de números
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ordinales, y los números reales. No podemos hacer una lista ordenada
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con todos los números reales. El argumento se llama
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es el argumento diagonal de Cantor, no lo voy a desarrollar aquí
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en esta videoclase, pero nos permite justificar
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por qué el conjunto de los números reales no puede ser numerable
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En esencia, si yo creyera que tengo una lista, como he dicho, ordenada, uno, dos, tres, cuatro, primero, segundo, tercero, con todos los números reales, puedo construir uno más que no se encuentra dentro de esa lista. Esa lista va a estar siempre incompleta, de tal forma que no es posible ordenar de esa manera utilizando números ordinales el conjunto de los números reales. El cardinal no puede ser alef cero, ya sea cardinal infinito no numerable, se va a llamar alef uno.
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Y yendo hacia atrás, si r con el argumento diagonal de Cantor es infinito no numerable y es la unión de q infinito numerable con este i, necesariamente i debe ser infinito no numerable, puesto que si yo estuviera uniendo dos conjuntos infinitos numerables, r habría de ser numerable y con el argumento diagonal de Cantor se puede justificar que no lo es.
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Los números reales son densos
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Entre dos números reales cualesquiera hay infinitos números reales
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De hecho, tanto los números racionales por un lado como los números irracionales por otro
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son densos dentro de los números reales
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Esto quiere decir que entre dos números reales cualesquiera
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me voy a encontrar con infinitos números racionales
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y también con infinitos números irracionales
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El conjunto de los números reales está ordenado y en el caso en el que estamos pensando en los números decimales,
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la forma de ordenarlos va a ser la habitual, la que ya estudiábamos en primaria acerca de los números decimales.
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Y dentro de los números reales vamos a distinguir los números reales positivos y los números reales negativos.
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Positivos, los que son mayores que cero, y los negativos, los que son menores que cero. Esto es, cero es mayor que ellos.
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Fijaos en que tal y como hemos definido estos dos conjuntos, el número cero no es ni positivo ni negativo, pero eso ya lo habíamos visto hablando de los números racionales y hablando de los números enteros.
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Más adelante tendremos necesidad de dar un nombre al conjunto de los números reales positivos cuando además hemos incluido el cero, esto es, los números que son mayores o iguales que cero,
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y necesitaremos dar un nombre a los números reales que son los números reales negativos incluyendo el cero.
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Esto es, los que son menores o iguales que cero, no menores estrictos que cero.
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En su momento lo volveré a comentar, pero este es un buen sitio para introducirlo.
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A los números reales que son mayores o iguales que cero se los va a llamar números reales no negativos,
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puesto que son los opuestos a los números negativos.
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Igualmente, a los números reales que son menores o iguales que cero se los va a llamar números no positivos,
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puesto que van a ser los opuestos de estos números estrictamente mayores que cero.
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Con esto, como os he visto en estas videoclases acerca de conjuntos numéricos,
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ya se puede resolver este ejercicio que veremos en clase, que probablemente veremos en alguna videoclase posterior.
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La esencia consiste en, si os habéis dado cuenta, cuando hemos estado hablando continuamente de los distintos conjuntos de números,
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en última instancia, a partir de los números racionales sobre todo, hemos estado hablando de la expresión decimal equivalente.
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Así pues lo que en esencia habremos de hacer será pensar en cuál es la expresión decimal de estos números,
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todos estos números son números reales, evidentemente, puesto que tienen una expresión decimal, todos ellos,
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Y lo que tenemos que hacer es, en función de cuál sea esta expresión decimal, clasificarlo dentro de los conjuntos que correspondan, dependiendo de si esa expresión decimal es infinita no periódica, infinita periódica, finita, si esa expresión decimal tiene una parte decimal que es idénticamente nula, si los números son positivos, si los números son negativos, etc.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Flipped Classroom
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 10
- Fecha:
- 21 de agosto de 2025 - 18:38
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 07′ 30″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 17.73 MBytes
