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PR4. 2. Ejercicio 1 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 13 de marzo de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal. 00:00:21
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 1. 00:00:27
En este ejercicio se nos pide que comprobemos que esta función definida por trozos, en 00:00:47
este ejercicio se nos pide que consideremos esta función f minúscula de x definida por trozos. Es 00:00:56
idénticamente nula si x es menor que 0 o bien si x es mayor que 0 y la imagen se calcula x partido 00:01:02
por 2 si x está comprendida entre 0 y 2 ambos inclusive. Se nos pide en primer lugar que 00:01:08
representemos gráficamente la función y eso es lo que tenemos aquí debajo. La función toma valores 00:01:14
idénticamente nulos, desde menos infinito hasta 0, aquí deberá haber un punto abierto, 00:01:19
y desde 2 hasta más infinito, aquí deberá haber un punto abierto, y toma los valores 00:01:25
x partido por 2, entre 0 y 2, se trata de este segmento de recta que vemos aquí, comenzando 00:01:31
en 0,0, este punto estará relleno, por cierto, rellenando el punto abierto que nos dejaba 00:01:38
el primer tramo, y alcanzando el punto 2,1, este punto debe estar relleno, insisto, el 00:01:42
punto que esté inmediatamente debajo, el 2,0 está vacío. Una vez que hemos representado gráficamente 00:01:48
la función se nos pide que comprobemos que cumple con las propiedades para ser una función de 00:01:53
densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua y sin más que ver gráficamente la 00:01:58
función podemos deducir que efectivamente se cumple. La primera propiedad es que esta función 00:02:03
debe ser definida no negativa. Tomo valores 0 entre menos infinito y 0 entre 2 y más infinito 00:02:08
y valores no negativos, positivos, entre 0 y 2. 00:02:15
Consecuentemente, efectivamente, cumple con ser una función definida no negativa. 00:02:20
No tomaba valores negativos, que era lo que quería decir anteriormente. 00:02:26
También se nos pide que comprobemos que cumple con la siguiente propiedad. 00:02:30
La integral entre menos infinito y más infinito en toda la recta real de esta función 00:02:34
debe ser igual a la unidad. 00:02:39
Eso quiere decir que el área subtendida por la gráfica de la función, 00:02:42
la limitada por la función y el eje de las x, debe ser igual a la unidad. Vamos a obviar el 00:02:44
tramo desde menos infinito a 0 y desde 2 hasta más infinito, donde la función es idénticamente nula 00:02:50
y entonces no contribuye a ese área. Y fijaos, deberíamos calcular el área subtendida limitada 00:02:55
por la función y el eje de las x entre 0 y 2. Dado que este segmento es recto, se trata del área de 00:03:02
este triángulo que estoy marcando con el cursor, cuya base es este segmento de 0 a 2 que mide 2 unidades 00:03:09
y cuya altura es este segmento que mide 1 unidad. 00:03:16
El área de ese triángulo, longitud de la base por longitud de la altura entre 2, es 2 por 1 entre 2, 00:03:21
es igual a 1. Luego efectivamente cumple con esa segunda propiedad. 00:03:25
En cuanto a la tercera propiedad, se trataría de comprobar que la integral entre x1 y x2, x1 menor que x2, para cualquier valor de x1 y x2, corresponde con la probabilidad de que la variable aleatoria subyacente, 00:03:30
puesto que se nos pide que comprobemos que se trata de una función de densidad de probabilidad de una cierta variable aleatoria continua, coincide con la probabilidad de que esta variable aleatoria tome valores comprendidos en el intervalo x1 y x2. 00:03:47
pero eso es algo que no podemos hacer, puesto que no tenemos más información acerca de cuál es la variable aleatoria. 00:03:59
Así que, con la información de la que disponemos, esta comprobación se limita a la función es definida no negativa, lo es, 00:04:05
la integral de menos infinito más infinito de la función es igual a 1, y efectivamente, lo es. 00:04:14
Esto que hemos indicado que se podría realizar observando la gráfica de la función, 00:04:22
es lo que he transcrito en esta parte de la resolución del ejercicio, 00:04:26
donde he calculado expresamente el área de ese triángulo. 00:04:31
Podríamos también haber realizado la integral directamente 00:04:35
y haber calculado ese área igual a la integral de menos infinito a infinito 00:04:38
de esa presunta, de momento, función de densidad de probabilidad. 00:04:43
El intervalo de integración se va a dividir en tres partes 00:04:47
atendiendo a la definición de los tres trozos de esa función 00:04:50
de menos infinito a cero, de cero a dos y de dos a infinito. 00:04:54
La función, el integrando, será en este primer trozo idénticamente nula, igual que en el tercero, y en el segundo, x partido por 2. 00:04:58
Independientemente de los límites de integración, al integrar una función idénticamente nula obtenemos el valor 0, que son estos dos que tenemos aquí, correspondientes al primero y al tercer trozo. 00:05:07
En cuanto al segundo trozo, si extraemos de la integral el coeficiente 1 medio, tenemos la integral de x, una primitiva suya sería x al cuadrado partido por 2. 00:05:17
Así pues, hemos de calcular con límites entre 0 y 2 un medio de x al cuadrado partido por 2. 00:05:27
Un medio de, sustituyendo el límite superior 2 al cuadrado partido por 2, sustituyendo el límite inferior 0 al cuadrado partido por 2, un medio de 2 menos 0 que es igual a 1. 00:05:32
Luego, de una u otra manera hemos llegado al mismo resultado. 00:05:43
Efectivamente, esta función f de x puede corresponderse con la función de densidad de probabilidad de una cierta variable aleatoria continua. 00:05:46
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:05:54
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:06:03
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:06:08
Un saludo y hasta pronto. 00:06:13
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
13 de marzo de 2025 - 12:28
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
06′ 41″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
15.79 MBytes

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