VIDEO 3 TEMA 5 MATEMÁTICAS II | Mediateca de EducaMadrid

Bueno, muy buenas a todo el mundo, espero que estéis muy bien, que hayáis descansado este fin de, que hayáis recuperado las fuerzas y que vayáis a por todas con las matemáticas. 00:00:01

Ya que hoy es la última clase del tema, este trimestre encima es el más corto, así que esta última clase antes de Semana Santa y después de Semana Santa nos quedarían otras cuatro, si no recuerdo mal, incluido el repaso y el examen. 00:00:12

Creo que serían, no sé si son cuatro más el repaso o tres más el repaso, yo creo que son cuatro más el repaso. 00:00:25

Pero bueno, cuatro o cinco clases más. 00:00:32

Entonces, como siempre, os recuerdo mi correo a torrespatino.madrid.org, ¿vale? 00:00:35

Para cualquier duda, ¿vale? 00:00:41

Y si no, en vez de mandarme un correo podéis venir a la tutoría de las seis de la tarde los jueves, ¿vale? 00:00:43

Los jueves a las seis de la tarde, de seis a siete. 00:00:50

Cualquier duda tanto de matemáticas, de ciencias o cualquier duda que tengáis respecto a, yo que sé, cosas generales, ¿vale? 00:00:53

Respecto a qué pasaría la evaluación extraordinaria, ordinaria, etc. 00:01:01

Bueno, entonces, vamos con la geometría de espacio. 00:01:07

Acordéis que empezamos dando cosas básicas como ángulos, rectas, etc., planos. 00:01:12

Luego nos pasamos a la geometría del plano. 00:01:16

Estoy moviendo polígonos y otras figuras planas como el círculo o la circunferencia, el círculo o lo de dentro. 00:01:21

Y ahora vamos con la geometría del espacio. 00:01:27

Vamos a ver unas figuras que son así redondas y las planas. Las figuras en el plano que eran planas, o sea, que no tenían curvas, como por ejemplo la circunferencia, se llamaban polígonos. 00:01:29

Pues las figuras que están formadas por polígonos, pero en vez de orden, 3D, es como una combinación de polígonos, se llaman poliedros, que es por ejemplo esto de aquí. 00:01:47

Es como una combinación entre un rectángulo, más otro, más otro el de atrás, más otro el del lado, y luego un cuadrado aquí, ¿vale? 00:01:59

Entonces, más otro cuadrado aquí, en esta parte que no se ve, que es la que está apoyada en el suelo. 00:02:10

Entonces, una combinación de seis polígonos forman, pues, este poliedro, por ejemplo. 00:02:15

Entonces, las combinaciones son múltiples. 00:02:22

Combinan muchísimos polígonos. 00:02:24

Básicamente, un poliedro es un polígono pero en 3D 00:02:25

Es decir, porque esto es en 2D, que es como una pared 00:02:30

Es como, por ejemplo, una casa 00:02:33

Los polígonos son las paredes, que son rectángulos normalmente 00:02:34

Porque suelen ser más largos que altos 00:02:38

Las paredes, pues, como si las paredes fueran los polígonos de la casa 00:02:41

Y la casa fuera el poliedro 00:02:46

Cuatro paredes forman el poliedro 00:02:48

Vale, entonces, tienen distintos elementos, ¿vale? Algunos que ya estaban, pero tienen distintos 00:02:53

¿Os acordáis que teníamos sobre todo vértices, lados y diagonales? 00:02:59

Pues ahora tenemos los vértices también, que son como las esquinas, ¿no? 00:03:03

Lo que pasa es que ahora los lados de los polígonos se van a llamar aristas, ¿vale? 00:03:07

Son como los que antes eran lados de los polígonos, ¿no? 00:03:11

Esto era un lado del polígono, este, este y este, pues estos son cuatro aristas que forman esta cara, ¿vale? 00:03:15

Porque ahora un concepto nuevo van a ser las caras. 00:03:23

Caras como si fueran las paredes, para que entendáis. 00:03:26

Entonces, ¿este poliedro cuántas caras tiene? 00:03:29

Pues tienen seis. 00:03:31

Arriba, abajo, derecha, izquierda y delante y atrás. 00:03:32

Para que entendáis. 00:03:38

¿Vale? 00:03:39

Entonces, cara, como si fueran las paredes, ¿vale? 00:03:40

Es decir, es que es eso, tal cual, las caras. 00:03:43

Es como las caras equivalen a los polígonos que forman el poliedro. 00:03:46

Los vértices son como los puntos de intersección entre las aristas, que son como los lados de esos polígonos. 00:03:51

Y las aristas son eso, unen dos vértices, por lo tanto es equivalente a los lados de los polígonos. 00:04:00

Bueno, entonces, bueno, esto es simplemente un concepto que se llama ángulo diedro. 00:04:08

Igual que un ángulo era una región delimitada por dos semirrectas, pues un ángulo diedro es una región delimitada por dos planos. 00:04:12

Nada, simplemente eso. No creo que lo pregunte, así que simplemente un concepto que hay que saber porque no nos piden y ya está. 00:04:20

Yo lo he dado y ya está. 00:04:26

Luego, vamos a ver, esto esperemos que no sea muy lioso, vamos a ver posiciones relativas de puntos, rectas y planos en el espacio, es decir, en 3D. 00:04:28

Igual que veíamos rectas en 2D, cuando se juntaban secantes, etc. 00:04:38

Pues ahora una mezcla entre rectas, planos y puntos. 00:04:42

primero pasamos con las posiciones relativas de dos rectas 00:04:46

entonces dos rectas son secantes y se cortan en un punto 00:04:51

esto ya lo hemos visto 00:04:57

luego dos rectas son paralelas si no tienen puntos en común 00:04:58

y nunca se van a cortar básicamente 00:05:01

esto y esto son lo contrario 00:05:03

estas no se cortan nunca porque no tienen ningún punto en común 00:05:05

y estas se cortan en un punto en común que sería este 00:05:07

y cuidado ahora que claro como le estamos sumando los planos 00:05:10

Pues ahora tenemos el concepto de rectas que se cruzan, que son como dos rectas que están en, se pueden confundir con las paralelas, pero la diferencia aquí es que, por ejemplo, la recta verde está en el plano de arriba y la recta naranja, creo que parece ser que es naranja o marrón, está en el plano de abajo. 00:05:14

Con lo cual, en realidad, aparte de no cortarse, ¿vale? Están en planos diferentes. Entonces, aparte de no tener puntos en común, tienen planos diferentes. Mientras que las paralelas tienen el mismo plano. No sé si me explico. Están a la misma altura. En cambio, aquí hay una encima de otra, aparte de estar una más a la izquierda que otra. O más a la derecha. ¿Vale? Esta está más a la izquierda, esta más a la derecha. 00:05:33

Y luego están las coincidentes, que es que están en el mismo plano y aparte están superpuestas, es decir, justo están como si las pegáramos con celu, ¿vale? Están pegadas, superpuestas, ¿no? Es como si fuera, por ejemplo, dos ladrillos, ¿vale? 00:05:57

Entonces, aparte de estar en el mismo plano, coinciden estar una encima de otra, superpuestas 00:06:16

¿Vale? Estas son las posiciones relativas de dos rectas 00:06:23

Secantes, paralelas, se cruzan o coincidentes 00:06:26

¿Vale? Siguiente concepto 00:06:28

Ahora, posiciones relativas de dos planos 00:06:31

Hemos visto dos rectas, pues ahora dos planos 00:06:32

Y luego mezclaremos rectas con planos 00:06:34

Entonces, dos planos secantes, pues lo mismo que con las rectas 00:06:36

Son, en este caso, dos planos que se cortan en una misma recta 00:06:39

tenemos esta recta que corta el plano vertical con la horizontal 00:06:45

es similar a lo que pasaba con las rectas y los puntos 00:06:50

pues ahora con los planos y las rectas 00:06:54

dos planos que se cortan en una recta son planos secantes 00:06:56

dos planos que no se cortan nunca, no tienen ningún punto o ninguna recta en común 00:07:01

pues son paralelos, es lo mismo que las rectas pero en 2D 00:07:06

si os dais cuenta hay coincidentes igual que las rectas coincidentes 00:07:10

son dos planos que están superpuestos, uno encima del otro, ¿vale? Entonces, es similar, lo único que aquí no hay que se cruzan, ¿por qué? 00:07:13

Porque ya directamente son dos planos, si ponemos dos planos diferentes ya serían paralelos, es como que estas dos se fusionan en los planos, ¿vale? 00:07:21

Porque aquí la única diferencia entre esta y esta es que las rectas que se cruzan también están en diferente plano, pero claro, si aquí ya estamos hablando de plano, 00:07:30

no tendría sentido poner otro plano, entonces es como que estas dos se fusionan en el concepto paralelos 00:07:37

por eso hay tres en vez de cuatro, básicamente, tampoco me voy a extender mucho en esto, o sea yo creo que se entiende 00:07:44

y además son conceptos que a lo mejor lo puedo preguntar en la tarea pero en el examen como tal no creo 00:07:50

son conceptos básicos, o sea casi siempre cuando empezamos a ver algo, geometría plana o del espacio lo que sea 00:07:56

empezamos con conceptos que nos van a entender 00:08:02

nos van a ayudar a entender 00:08:04

lo que viene después, con lo cual 00:08:07

como tal no se pregunta 00:08:08

pero necesitamos tener esos conceptos 00:08:10

para hacer bien los ejercicios siguientes 00:08:12

¿vale? 00:08:14

a eso me refiero, y por último tenemos 00:08:16

posiciones relativas de una recta y un plano 00:08:18

ahora, hemos hecho dos rectas, dos planos 00:08:20

y ahora una recta y un plano, es como 00:08:23

que las juntamos ahora 00:08:24

entonces por ejemplo, aquí el plano 00:08:26

y la recta serían secantes 00:08:29

Esta línea así, que es de otro color, es como que atraviesa el plano. 00:08:31

Con lo cual, esta recta corta el plano en el punto A. 00:08:34

Es como que tenemos el plano, imaginaos que es una mesa, 00:08:37

y una varilla de vidrio que atraviesa la mesa. 00:08:40

Básicamente eso sería una recta y un plano secante. 00:08:46

El plano sería la mesa. 00:08:48

Luego, una recta y un plano paralelas son que no tienen ningún punto en común. 00:08:51

Es como si tenemos una mesa y al lado ponemos en suspensión un palo o una varilla de vidrio o lo que sea. 00:08:54

Y luego coincidente es como si la recta está contenida en el plan. 00:09:03

Es como si hiciéramos un agujero así, cogemos la mesa y trazamos con la radial un agujero así, lo cortamos así. 00:09:10

Entonces, metemos un palo entre medias y juntamos las dos partes de la mesa, ¿vale? Para que se entienda un poco. Es como que, no es que está encima, no es poner un palo encima de la mesa, ¿vale? Es como que está incluido dentro de la mesa, ¿vale? Es como si fuera una recta dentro de la mesa, ¿vale? 00:09:18

Y nada, estas son preguntas un poco para ver si habéis entendido estos conceptos. 00:09:42

Entonces, os lo he dejado aquí ya escrito porque digo, no me voy a perder más tiempo. 00:09:45

¿Cuántos planos pasan por una recta? Pues infinitos, ¿no? 00:09:49

Por esta recta puede haber un plano así, otro plano vertical, otro plano en diagonal, etc. 00:09:52

Infinitos. 00:09:57

Igual que es lo mismo exactamente que cuántas rectas pasan por un punto, 00:09:57

que es lo que ven aquí, infinitas rectas. 00:10:02

Y luego aquí tenemos estas dos preguntas que son semejantes también, ¿no? 00:10:04

La A y la C son semejantes, por eso son infinitos, ¿no? 00:10:07

Lo único que una son rectas por un punto y otra plano por una recta. 00:10:10

Y la otra son también semejantes. 00:10:15

¿Cuántos planos pasan por dos rectas que se cortan? 00:10:17

Pues un único plano, ¿no? 00:10:19

Dos rectas que se cortan, ¿dónde está? 00:10:21

Aquí, por dos rectas que se cortan, solo hay este plano, ¿vale? 00:10:24

Que son dos rectas secantes. 00:10:29

Y luego, ¿cuántos planos pasan por dos rectas paralelas? 00:10:31

También un único plano, lo que tenemos aquí, ¿no? 00:10:34

Dos rectas paralelas y tienen un único plano. 00:10:36

Otra cosa es que fueran dos rectas que se cruzan, entonces ya habría dos planos. 00:10:38

¿Entendéis un poquito? 00:10:43

Básicamente es un pequeño repaso de lo que hemos dado en el punto 7. 00:10:44

Así que vamos a empezar por el punto más importante junto con el punto 9 de la geometría del espacio. 00:10:50

Por la geometría del espacio vamos a tener el punto 7, punto 8, punto 9 y punto 10, 00:10:57

es decir, los cuatro últimos puntos del tema. 00:11:01

el punto 1 y el punto 4 00:11:04

son los que menos importancia le voy a dar 00:11:06

son más conceptos así del espacio 00:11:08

más de tener visión espacial, etc 00:11:10

y donde más problemas puedo 00:11:12

o sea, donde más ejercicios como tal 00:11:14

de hacer problemas para el examen y eso 00:11:16

puedo hacer es con el 8 00:11:18

y sobre todo, sobre todo con el 9 00:11:20

el 9 es lo que más le voy a dedicar 00:11:22

¿vale? pues el 8 es un poco 00:11:24

conocer los tipos de poliedros, etc 00:11:26

igual que los polígonos 00:11:29

por de 5 caras, pentágono, etc 00:11:30

Pues aquí parecido es clasificación y luego un poquito ver una formulita y os lo voy a poner, que ya lo he escaneado, que luego lo subiré, un ejercicio que es el 19 del libro para que veamos si se cumple esa regla siempre. 00:11:33

Entonces, vamos a ello. Lo primero, igual que la definición de polígono, pues la definición de polígono. Sabéis que definiciones en matemáticas no voy a preguntar. 00:11:50

son para que, tengo que poner la definición 00:11:58

para luego, primero la pongo así, de manera teórica y luego de manera práctica 00:12:02

lo vemos, entonces un poliedro es una región del espacio 00:12:06

limitada por polígonos, lo que he dicho está formada por polígonos, ¿cuántos polígonos 00:12:10

tendría este poliedro? uno aquí, arriba, otro abajo 00:12:14

delante, detrás, ya van cuatro, y izquierda, derecha, ya van seis 00:12:17

dos, más dos, más dos 00:12:21

delante y atrás. Y tiene 00:12:25

aristas, tiene caras y tiene vértices. 00:12:28

Entonces luego hay que ver 00:12:30

cuántos tiene caras. Dependiendo del poliedro 00:12:32

tendrá unas aristas, unas caras, 00:12:34

unos vértices. Entonces hay una 00:12:36

fórmula que ahora veremos que sólo funciona 00:12:38

para un tipo de polígonos, o sea 00:12:40

de poliedros, que son regulares. 00:12:41

Cuando diga polígonos 00:12:43

y me quiera referir a 00:12:45

poliedros, a lo mejor os dais cuenta en el vídeo. 00:12:47

Lo digo por la dilesia que a veces me voy a confundir. 00:12:50

Como ambos empiezan por poli, pues 00:12:52

a lo mejor me lío. 00:12:53

Normalmente me iba a referir a poliedros 00:12:55

A menos que diga las caras 00:12:58

Que las caras sí que son polígonos 00:13:00

Bueno, entonces vamos a clasificar los poliedros 00:13:02

Se pueden clasificar de dos formas 00:13:05

Igual que los polígonos 00:13:07

Teníamos de varias formas 00:13:08

Aquí sí que he querido decir polígono, ¿vale? 00:13:09

No siempre que... 00:13:11

Casi estoy liando más cuando digo eso 00:13:13

O sea, se entiende cuando a lo mejor 00:13:14

Digo la palabra polígono cuando quiero decir poliedro 00:13:18

Eso ya, supongo que cada persona lo entenderá 00:13:21

A ver, que no creo que me equivoque mucho, pero digo por si me equivoco alguna vez. 00:13:24

Entonces vamos a clasificar los poliedros. 00:13:27

Se puede clasificar de dos formas. 00:13:30

Una es según su forma geométrica y otra es según la regularidad de sus caras. 00:13:32

Entonces la primera es muy sencilla. 00:13:39

Tenemos polígono, aquí sí que me he equivocado, poliedro con beso, ¿veis? 00:13:41

Se nota cuando quiero decir poliedro y me equivoco al decir poliedro. 00:13:45

Poliedro con beso y poliedro con cao. 00:13:49

El converso es, por así decirlo, el más sencillo de ver. ¿Por qué? Porque todas sus caras son semejantes en el sentido de que tú este objeto que tiene así forma de poliedro, tú lo dejas en el suelo y se puede apoyar en todas sus caras. 00:13:52

Es decir, tú lo dejas así como está y se apoya en esta cara. 00:14:11

Le das la vuelta así para que se apoye en este rectángulo y también se queda apoyado en este también, en este también. 00:14:15

Es decir, es un poliedro que puede apoyarse en todas sus caras. 00:14:22

En cambio, el cóncavo tiene alguna de sus caras en las que no se pueda apoyar en el plano, es decir, en una mesa. 00:14:26

¿Cuáles serían las caras en las que no se puede apoyar? 00:14:33

Por ejemplo, en esta, la de adelante sí se puede apoyar, en la de la derecha también, izquierda también, atrás también. 00:14:35

Pero, ¿qué pasa? Las dos caras de arriba no se puede apoyar. ¿Por qué? Se quedaría apoyado entre esta arista y esta arista, ¿no? Y luego todo esto se quedaría hueco, ¿no? 00:14:40

Entonces, esto básicamente, esto se entiende, ¿no? Se puede apoyar en estas cuatro caras, pero en estas dos caras de arriba no se puede apoyar, sino que se apoyan sus aristas. 00:14:52

Entonces, sería cóncavo, ¿vale? Acordaos un poco. Cóncavo cuando no se puede apoyar en alguna cara y convexo cuando en todas se puede apoyar. 00:15:01

y luego la clasificación más común es 00:15:10

según la regularidad de sus caras 00:15:13

igual que tenemos polígono regular 00:15:15

y regular, pues también tenemos poliedro 00:15:17

regular e irregular 00:15:19

pues 00:15:21

exactamente lo mismo que lo otro 00:15:23

aquí poliedro regular es si tiene todas sus 00:15:24

caras regulares 00:15:27

es decir, sabéis que 00:15:29

los poliedros 00:15:31

están formados por polígonos, pues 00:15:33

si todos sus 00:15:34

todos los polígonos que lo forman 00:15:36

¿Son regulares? Es decir, pentágono, cuadrado, etcétera. 00:15:39

Rectángulo no sería regular. 00:15:43

Entonces son pentágono, cuadrado, etcétera, triángulo, equilátero, ¿vale? 00:15:46

Porque el isórceles y escaleno no es regular. 00:15:54

Pues sabéis que un polígono regular es que tiene todos sus lados ángulos iguales y vértices. 00:15:57

Entonces aquí es algo parecido. 00:16:02

tiene que tener todas sus caras 00:16:03

iguales y todos sus vértices 00:16:05

con el mismo número de aristas 00:16:07

y por tanto también 00:16:09

los mismos ángulos 00:16:11

es decir, básicamente está 00:16:12

formado por los mismos polígonos y tienen que 00:16:15

ser esos polígonos regulares, por ejemplo 00:16:17

este está formado por pentágonos, entonces todas sus caras 00:16:19

son pentágonos 00:16:21

otro, pues puede estar formado por 00:16:22

todo triángulos, pues a lo mejor 00:16:25

triángulo, triángulo, triángulo, etcétera 00:16:27

o por, no sé 00:16:29

octógonos, ¿no? pues 00:16:30

Pues va todo el rato por, está formado por polígonos de 8 caras. 00:16:33

Veréis que no hay muchos, solo hay 5 polígonos regulares, todos los demás son irregulares. 00:16:38

Hay mucho menos poliedros regulares que polígonos. 00:16:43

Ahora no sé si he dicho antes la palabra polígono o poliedro. 00:16:48

Así que lo voy a repetir. 00:16:53

Solo hay 5 poliedros regulares, el resto de poliedros son irregulares. 00:16:54

Es que creo que he dicho polígono en vez de poliedro. 00:16:59

Aquí la dilesia va a hacer que me equivoque mucho y lo que no quiero es equivocaros a vosotros, ¿vale? 00:17:03

Pero se entiende. 00:17:09

Estoy hablando ahora de poliedros. 00:17:11

Solo hay 5 poliedros regulares, el resto son irregulares. 00:17:12

Cosa que en polígonos, ahora sí que quiero decir polígonos, en polígonos sí que había bastante más regulares, ¿no? 00:17:15

No solo 5, ¿no? 00:17:23

Según las caras, pues podemos tener de 3, 4, 5, así, muchísimos más, ¿vale? 00:17:25

Entonces, ¿entendéis la diferencia entre polígono regular y regular? 00:17:31

Regular está formado por polígonos regulares y siempre es el mismo polígono, básicamente. 00:17:34

Para que entendáis. 00:17:42

Bueno, siempre el mío, sobre todo, está formado por polígonos regulares. 00:17:43

Y por tanto, todos sus vértices tienen las mismas aristas. 00:17:46

Es decir, este vértice tiene tres aristas, este también, etc. 00:17:49

Y regular es cuando no pasa eso. 00:17:53

Por ejemplo, aquí, ¿qué pasa? 00:17:55

Está formado por triángulos y también por rectángulos. 00:17:56

rectángulo es un polígono no regular 00:17:59

por lo tanto, si alguna de sus caras 00:18:01

no es un polígono regular, irregular 00:18:03

así que esto que sería una pirámide 00:18:05

una especie de pirámide, pues ya 00:18:07

no sería regular 00:18:09

una pirámide, un tipo de prisma, etc 00:18:10

claro, lo queremos 00:18:13

entonces, aquí vemos los 5 tipos 00:18:15

de poliedros regulares 00:18:17

solo hay 5, está el de traedro 00:18:19

que está formado por 4 00:18:21

triángulos 00:18:23

¿vale? 4 triángulos 00:18:25

equiláteros, para que sea regular 00:18:27

el hexahedro está formado 00:18:29

por 6 cuadrados 00:18:31

¿vale? 00:18:33

el octahedro que está formado por 00:18:35

ahí viene su nombre, por 8 00:18:37

triángulos equiláteros, el dodecaedro 00:18:39

que está formado por 12 pentágonos 00:18:41

¿veis? pentágonos regulares 00:18:44

entonces, si os dais cuenta, este es 00:18:45

el poliedro y aquí es como si abrimos 00:18:47

¿no? lo típico de formar una 00:18:49

figura con, que os lo dan así 00:18:51

medio montado, entonces tenéis que juntar 00:18:53

pegando caras, y por último 00:18:55

como helicosaedro, que es el más raro, que está formado por, ¿cuántos eran aquí? 20, creo, por 20 triángulos equilaterales. 00:18:57

Entonces, en los poliedros regulares, solo en los regulares, se cumple la relación de Euler, que dice así. 00:19:08

Dice que el número de caras más el número de vértices, es decir, ¿vale? Sabéis lo que son las caras, ¿no? 00:19:15

Por ejemplo, aquí, el hexaedro tendría 6. El número de caras, que son 6, más el número de vértices, ¿vale? 00:19:20

Número de vértices, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 6 más 8 son 14, es igual al número de aristas más 2. 00:19:26

Número de aristas son como los lados, ¿no? 1, 2, 3, los lados del polígono que lo forman. 00:19:36

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. 12 más 2, 14. 00:19:43

6 caras más 8 vértices, 14 00:19:51

es decir, 6 más 8 es igual a 12 más 2 00:19:56

entonces, hay un ejercicio 00:19:58

que es el 19 del libro 00:20:01

de la página 118 00:20:02

que lo tengo aquí 00:20:04

entonces es de comprobar la relación de Euler 00:20:06

en los 5 poliedros regulares 00:20:08

entonces aquí tenéis todos el tetraedro, el hexaedro 00:20:10

6 más 8 es igual a 12 más 2 00:20:12

¿por qué es? 00:20:16

la relación de Euler dice así 00:20:18

dice el número de caras 00:20:19

más el número de vértices 00:20:21

pues es v, es igual a el número de aristas 00:20:24

más 2, siempre se cumple 00:20:26

octaedro tiene 8 caras 00:20:28

6 vértices y 2 aristas 00:20:30

6 más 00:20:32

8 más 6, 14 00:20:34

es igual a 12 más 2, 14 00:20:36

igual que el 2 decaedro 00:20:38

y cosaedro 00:20:41

hay una cosa 00:20:41

no sé si se habrán dado cuenta 00:20:43

que porque excepto el tetraedro 00:20:46

el resto, son como dos parejas que son al revés 00:20:48

me refiero, el número de caras y vértices, si os dais cuenta, es como que van al revés 00:20:54

por ejemplo, quitando el tetraedro, el hexaedro y octaedro 00:20:57

tiene exactamente al contrario de caras y vértices, el hexaedro 6 y 8 00:21:01

por lo tanto, da 14 00:21:06

y por lo tanto tiene las mismas aristas, porque tiene que dar 00:21:08

12 más 2 tiene que ser 14, pasa lo mismo que con el dodecaedro 00:21:12

y el icosaedro, que tienen, el dodecaedro tiene 12 y 20, ¿vale? Por lo tanto da 32, por lo tanto tiene que tener 30 aristas, 00:21:17

y el icosaedro tiene al revés, 22 en vez de 12 y 20, por lo tanto tiene las mismas aristas. 00:21:28

Si os dais cuenta, esaedro y octaedro tienen las mismas aristas, por lo tanto tienen sus caras y vértices intercambiados, 00:21:34

y el dodecaedro y cosaedro 00:21:40

igual, entre ellos 00:21:42

pues son como esta pareja 00:21:44

semejante 00:21:46

¿vale? esta pareja también semejante 00:21:47

y luego el tetraedro va por libre 00:21:50

que tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas 00:21:51

¿no? 00:21:54

si alguien se ha dado cuenta, es simplemente 00:21:56

una anécdota 00:21:58

¿vale? no soy matemático, supongo que tiene 00:22:00

una relación matemática, pero no voy a entrar 00:22:02

en ella 00:22:04

total, me refiero 00:22:04

os va a dar igual 00:22:08

simplemente por 00:22:09

por si alguien 00:22:11

pues la había anotado 00:22:13

¿no? 00:22:14

había alguna relación 00:22:14

¿no? 00:22:15

entre el número de aristas 00:22:16

que eran iguales entre estos 00:22:16

y aquí 00:22:17

etcétera 00:22:18

bueno 00:22:19

entonces simplemente esto 00:22:20

como esto lo tengo escaneado 00:22:21

entonces 00:22:22

lo que quiero es que la clase de hoy 00:22:22

no dure tanto 00:22:24

entonces por eso 00:22:25

me he hecho los ejercicios antes 00:22:26

¿vale? 00:22:28

y 00:22:30

los he escaneado 00:22:30

y así 00:22:32

no pierdo tanto tiempo 00:22:33

escribiendo 00:22:34

y aparte 00:22:35

se entiende mejor 00:22:36

mi letra 00:22:37

aquí 00:22:37

que yo pienso 00:22:38

que en la pizarra táctil esta, porque se escribe un poco más 00:22:39

la sensibilidad mala con el lápiz táctil, etcétera 00:22:43

aparte que mi letra no era la típica para que me pidieran 00:22:47

apuntes, pero bueno, tampoco es la de un médico 00:22:51

así que bueno, por lo menos yo creo que se suele entender aquí, entonces 00:22:53

hemos visto ya los poliedros regulares 00:22:58

pues ahora vamos a ver los irregulares, ¿vale? 00:23:03

Que suelen verse dos, ¿vale? Los más comunes son el prisma y la pirámide, ¿vale? Entonces el prisma es un poliedro que tiene dos bases, ¿vale? Que las bases pueden ser pentágono, hexágono, etcétera, ¿vale? 00:23:06

Pero tiene que ser dos bases y luego está formado por caras laterales que son normalmente rectángulos, ¿vale? 00:23:21

Entonces son paralelogramos, es decir, son polígonos de cuatro lados, pero suelen ser rectángulos, ¿vale? 00:23:40

Porque normalmente la altura es mayor que la altura del polígono en este caso, ¿vale? 00:23:51

Entonces tiene esta forma. 00:23:59

Ahora, la diferencia con, por así decirlo, con la pirámide es que la pirámide está formada por una sola base. 00:24:01

Aquí hay dos, primera diferencia. 00:24:07

Luego, esta base puede ser exactamente lo mismo que aquí. 00:24:10

Es decir, puede ser un hexágono, puede ser un pentágono, puede ser un cuadrado, un rectángulo, etc. 00:24:13

La diferencia es que las caras laterales, mientras que aquí eran rectangulares, o a lo mejor podían ser cuadradas, aquí sí o sí van a ser triangulares. ¿Por qué? Porque al tener una sola base, se van a juntar todas en un vértice, en un pico. Con lo cual, solo hay un polígono que junte una base con un pico, que es el triángulo. 00:24:18

¿vale? entonces esta es la forma de un prisma y esta es la forma de una pirámide 00:24:39

supongo que la habéis visto alguna vez las formas, sobre todo la pirámide 00:24:43

normalmente habéis visto las de Egipto que son pirámides 00:24:46

que tienen una base cuadrada, entonces aquí tienes 00:24:51

la pirámide que es un hexágono, o sea una base que es un hexágono, pero bueno, el concepto es igual 00:24:54

¿vale? entonces estos son los dos poliedros irregulares principales 00:24:59

con lo cual cuando veamos ahora después las áreas y volúmenes 00:25:03

La vamos a ver solo para estos poliedros. 00:25:07

Para los poliedros regulares no se suele utilizar tanto porque, sobre todo, queremos adaptar un poquito las matemáticas a la actualidad, a la realidad. 00:25:11

Y hay muchas más formas en la realidad, como prismas y como pirámides. 00:25:21

Y luego vamos a ver, aparte, otros tres cuerpos, pero serían redondos. 00:25:27

¿Por qué? Porque tienen alguna circunferencia. 00:25:32

entonces no serían polígonos como tal, es como polígono 00:25:34

polígono está formado por recta, no por algo curvo 00:25:38

si no sería figura circular, pues ahora parecido, en vez de polígono 00:25:41

sería cuerpo de revolución o cuerpo redondo 00:25:46

vale, entonces vamos a aprender a calcular áreas y volúmenes 00:25:49

de, ¿por qué volúmenes? porque ahora estamos en 3D, con lo cual tenemos 00:25:54

el 3D y dentro de eso el 2D, entonces vamos a calcular área 00:25:58

y volumen de un prisma, de una pirámide 00:26:02

y luego vamos a ver tres cuerpos redondos 00:26:05

que son el cono, que es parecido a la pirámide 00:26:09

lo único que la base es un círculo 00:26:12

un círculo en vez de un hexágono, un pentágono o lo que sea 00:26:14

y luego no tiene triángulos de cara 00:26:17

sino que es redondeado todo 00:26:20

luego vamos a ver el cilindro, que es parecido al prisma 00:26:22

pero las bases son circulares 00:26:25

Por lo tanto, los laterales van a ser también redondeados, van a ser curvos, no van a ser caras como tal. 00:26:28

Y por último, pues tenemos la esfera, que es la más sencilla, que simplemente es como si fuera un círculo, pero un 3D, ¿no? 00:26:34

Un círculo por otro círculo, por otro círculo, infinitos círculos que se van girando y al final forman una esfera. 00:26:42

Que es la más fácil de calcular el área y el volumen. 00:26:48

El más difícil es el cono. 00:26:52

Por lo tanto, no creo que lo pregunten en el examen, pero tengo que verlo. 00:26:54

Por lo menos la fórmula. 00:26:56

vale, bueno esto es lo que acabo de decir 00:26:57

el ejercicio 19 00:27:00

así que vamos con eso 00:27:01

tenemos 27 minutos, vamos a intentar 00:27:03

dar esto en 15, 20 00:27:06

con mucho y 00:27:08

luego el apartado 10 así rápidamente 00:27:09

bueno 00:27:12

esto sí, esto sé que es lo que 00:27:13

más os cuesta y lo más 00:27:16

aburrido que es memorizar 00:27:18

fórmulas, pero es que no hay otra forma 00:27:20

vale 00:27:22

entonces, primero vamos a ver 00:27:23

el área de volumen de poliedros y posteriormente de cuerpos de revolución 00:27:26

o cuerpos redondos. ¿Veis? Entonces, en cuanto haya 00:27:31

alguna figura circular en vez de plana, 00:27:35

o sea, en vez de polígono, una figura circular, pues ya estaríamos hablando de 00:27:39

cuerpo redondo o de revolución en vez de poliedro. Cuidado, 00:27:43

no todo lo que está en 3D es poliedro. Poliedro es cuando solo está formado por líneas rectas. 00:27:47

Cuando haya una línea curva, ya sería cuerpo de revolución 00:27:51

o cuerpo redondo, ¿vale? Pues está entre paréntesis. Bueno, empezamos por el primo en la pirámide. Bueno, para empezar hay que saber diferenciar entre lo que es el área lateral 00:27:55

y el área de las bases, ¿vale? El área de las bases es muy sencilla, se calcula en función de la figura del polígono que tenga. En este caso, como es un hexágono, 00:28:07

Sabéis que los hexágonos se calculaban que era perímetro por el apotema, que era desde el centro hasta la mitad de su lado, dividido entre dos, ¿no? Perímetro por apotema entre dos. 00:28:18

¿Vale? Y luego, el área lateral, claro, el área lateral en este caso es también según el polígono. ¿Cuál es el área lateral? El área lateral va a ser por altura. 00:28:29

¿Vale? Entonces, ¿qué podemos hacer? Podemos calcular el área del rectángulo y los otros 6 que hay, ¿no? 1, 2, 3, bueno, los otros 5 en total son 6. 1, 2, 3, 4, 5, de aquí en diagonal para atrás y de aquí en diagonal para adelante, 6. 00:28:40

es calcular el área de este rectángulo y multiplicarlo por 6 00:28:58

o podemos, con los lados estos, calcular el perímetro que va bordeando 00:29:03

es decir, que se equivale al perímetro del hexágono 00:29:10

calculamos su perímetro y luego decimos que el área lateral es el perímetro por la altura 00:29:13

que es lo mismo que si calculamos el área del rectángulo y lo multiplicamos por 6 00:29:21

porque el lado este es igual que este 00:29:26

entonces es simplemente multiplicar este lado por 6 00:29:29

exactamente lo mismo que haríamos 00:29:32

si calculamos el área de esto 00:29:34

y lo multiplicamos por 6 00:29:38

lo único, cada uno como quiera 00:29:39

es o aprenderse una fórmula más 00:29:43

que es el perímetro de la base por la altura 00:29:45

o como todo el mundo se sabe 00:29:48

el área del rectángulo 00:29:50

pues calculáis el área del rectángulo 00:29:51

y lo multiplicáis por 6 porque hay 6 00:29:52

si fuera la base un pentágono 00:29:54

pues habría solo cinco rectángulos, etc. 00:29:55

Vale, y ahora es importante, el área total del prisma será igual a el área del lateral, ¿vale? 00:29:58

El área lateral más dos veces el área de la base, porque hay dos bases. 00:30:07

Cuidado con esto, no es el área lateral más el área de la base, no. 00:30:13

Es el área lateral más dos veces el área de la base, ¿vale? 00:30:17

Entonces, ¿por qué el área lateral no lo multiplicamos? 00:30:22

porque ya lo hemos multiplicado por 6, ¿vale? Si no lo hubierais multiplicado antes, pues sí que ponéis 6 veces el área lateral, ¿vale? 00:30:24

Pero cuando decimos el área lateral, no nos referimos de un solo lateral, sino de todos los laterales conjuntos. En cambio de la base, solemos calcular de solo una base 00:30:32

y luego lo multiplicamos por 2, ¿vale? Entonces, ¿cuál será la total? El área lateral, que es básicamente el rectángulo multiplicado por 6, o el perímetro por la altura, 00:30:39

¿vale? que es esta fórmula 00:30:48

y el área de la base que es el área del rectángulo 00:30:51

perímetro por apotema, no, perímetro de 00:30:53

lo que es el 00:30:55

polígono que sea la base 00:30:56

por el apotema, ¿vale? que lo tiene que dar 00:30:58

partido de 2 00:31:01

ese será el área de la base, lo multiplicamos por 2 00:31:01

y se lo sumamos al área lateral y nos sale 00:31:04

el área total de 00:31:06

el prisma, y luego el volumen es muy sencillo 00:31:08

¿vale? lo que más os va a costar es el área 00:31:11

entonces los ejercicios que he visto del libro 00:31:13

suelen preguntar volumen, pero ya aparte le he sumado el área 00:31:14

A lo mejor aquí no está escrito, pero luego cuando lo suba, os lo voy a poner yo 00:31:17

¿Veis? Aquí calcula el volumen, no sé qué, pues va a ser el área y el volumen 00:31:22

Sí que es verdad que, sobre todo en este, os tendría que dar otro dato 00:31:27

El libro no os da ese dato porque, claro, para el volumen hace falta 00:31:32

Pero si os pide el área, sí 00:31:35

Entonces, yo si os lo preguntara en el examen y eso, o la tarea 00:31:36

Sí que os daría un dato aquí que falta, que es el apotema lateral 00:31:40

Entonces, básicamente este es el área y el volumen del prisma 00:31:44

El volumen es muy sencillito 00:31:55

Es el área de la base, que en este caso es un hexágono, por la altura 00:31:56

Es muy fácil 00:32:00

Es decir, coges esta base, su área, y lo multiplicas por la altura 00:32:01

Entonces, es mucho más sencillo calcular el volumen que el área 00:32:06

¿Vale? 00:32:09

Porque, sobre todo, para calcular el volumen muchas veces vamos a utilizar algún área 00:32:11

de algún polígono que forman o la base o los lados, etcétera, para calcular el volumen. 00:32:15

Entonces es como que hacemos todo el trabajo sucio, entre comillas, calculando el área 00:32:22

para luego el volumen es simplemente una formulita de nada. 00:32:26

¿Vale? Y con la pirámide igual. 00:32:29

¿Vale? Para mí la pirámide es un poquito más difícil a lo mejor porque está la apotema lateral. 00:32:32

¿Qué es esto? 00:32:36

La apotema lateral es como, por así decirlo, como si fuera la altura de la cara, que en este caso es un triángulo. 00:32:37

Es como si cogemos este triángulo y es la altura de ese triángulo, que es la cara. 00:32:47

Entonces, ¿cuál es la lateral aquí? Porque la de la base es muy fácil. 00:32:53

Si es un cuadrado, pues es lado al cuadrado. Si es un rectángulo, pues es simplemente base por altura. 00:32:56

Si es un pentágono, pues, perímetro por apotema entre 2. 00:33:02

Y si es un hexágono, también, hectágono, etc. 00:33:05

A partir de 4, ya sabéis, ¿no? 00:33:08

De 5 en adelante, pues, es perímetro por apotema entre 2. 00:33:10

¿Vale? 00:33:14

Porque tiene que ser regular. 00:33:14

No, porque si no, no sabéis la fórmula, ¿no? 00:33:17

Si es un polígono de 4 lados y no es regular, pues, no lo sabéis. 00:33:19

No nos vamos a preguntar. 00:33:23

¿Vale? 00:33:25

Seguramente haya alguno por ahí. 00:33:25

Entonces, ¿cómo se calcula esto? 00:33:27

El área de la base es muy sencilla, según el polígono. 00:33:29

Y el área lateral lo difícil que es 00:33:30

Perímetro de la base 00:33:32

Por 00:33:34

El apotema lateral 00:33:36

Partido de 2 00:33:38

Eso es aprenderse la fórmula 00:33:39

Si no os aprendéis la fórmula 00:33:41

Lo podéis hacer más sencillito 00:33:43

Que es calcular el área del triángulo 00:33:45

¿No? 00:33:48

Porque es la cara 00:33:49

Y multiplicarla por 4 00:33:51

Ahí eso estaría dentro 00:33:52

Lo de multiplicar por 4 00:33:54

Estaría incluido en lo del perímetro 00:33:55

¿No? 00:33:57

Porque el perímetro que es 00:33:57

Multiplicar esto por 4 00:33:58

Pues es lo mismo que si multiplicamos, luego, al final, al calcular la base de esto, lo multiplicamos por 4. 00:34:00

¿Por qué lo mismo? ¿Por qué? Porque la apotema lateral es exactamente la altura, entonces, y el dividido de 2 viene también en la altura. 00:34:07

¿Por qué? Porque el área del triángulo, ¿sabéis qué es? Base por la altura, ¿no? Vamos a coger este triángulo, que es base por la altura, 00:34:13

que equivale al apotema lateral de la pirámide, ¿vale? Pues eso es AL. 00:34:23

A minúscula es apotema, se puede poner como A o como API. 00:34:28

Y el A mayúscula es área, no las confundáis. 00:34:32

Cuando veáis A minúscula es apotema, no área, ¿vale? 00:34:34

¿Veis? Aquí esto es área, área, área, apotema, ¿vale? 00:34:38

Entonces, es como si cogéis el triángulo este, quitáis una cara 00:34:43

y calculáis el área del triángulo y lo multipliquéis por 4, 00:34:46

¿por qué? Porque hay 4 triángulos. 00:34:49

Si hubiera 5, pues por 5. 00:34:51

Yo prefiero eso a aprenderos esta fórmula. 00:34:53

La del volumen sí que la tenéis que aprender, sí o sí, ¿vale? 00:34:55

Aprenderos siempre el área del volumen. 00:34:57

Y yo diría simplemente que para calcular las áreas estas, las laterales y las de la base, os fijéis en lo que son las caras. 00:34:59

Por ejemplo, aquí es simplemente el área total será dos veces el área de un hexágono y luego seis veces el área de este rectángulo. 00:35:10

¿Vale? 00:35:20

es simplemente sumar el área de todos los polígonos 00:35:20

es como un polígono complejo 00:35:23

pero es súper complejo 00:35:25

y aquí igual es como 00:35:26

el área del triángulo por 4 00:35:28

más 00:35:30

el área de la base, es decir, el área del 00:35:32

cuadrado en este caso, y el volumen es 00:35:35

área de la base, que ya tenemos 00:35:37

la del cuadrado, por altura 00:35:39

partido de 3, muy sencillo 00:35:41

entonces yo, mi recomendación en vez de 00:35:43

aprenderos todo esto es 00:35:45

el área es como, ¿os acordáis del 00:35:46

perímetro en los polígonos, pues esto es semejante 00:35:49

es sumar todas las áreas, el polígono era sumar todos los lados, pues aquí es sumar 00:35:53

todas las áreas, esta área más esta área más las 6 áreas 00:35:57

laterales, que es simplemente hacer la del rectángulo y multiplicarla por 6 00:36:00

y aquí igual, esta más las 4 que son el área del triángulo 00:36:04

y solo aprenderos la fórmula del volumen, yo haría eso para no 00:36:08

mezclar tantas fórmulas y que os equivocáis, sobre todo 00:36:13

En el prisma y pirámide 00:36:16

En los cuerpos redondos ahora veremos que sí que lo vais a tener que aprender 00:36:18

¿Vale? Pero es muy sencillita 00:36:21

¿Vale? 00:36:23

Entonces 00:36:25

Siguiente 00:36:26

¿Vale? Vamos con los cuerpos redondos 00:36:28

Tenemos cilindro, cono 00:36:30

¿Vale? Y esfera 00:36:31

¿Por qué vamos a estudiar estos cinco cuerpos geométricos? 00:36:33

Porque son los que más 00:36:37

Veis en la actualidad 00:36:38

Veis muchos cilindros también, veis conos 00:36:40

Caba el chiste fácil 00:36:42

Con Arbeloa, pero no lo voy a decir 00:36:44

luego también esfera, etcétera 00:36:45

entonces 00:36:48

vamos a estudiar sobre todo de cosas que veis 00:36:49

por la calle, por ejemplo 00:36:52

la esfera serían los típicos volardos que están 00:36:54

en Madrid, etcétera 00:36:56

o incluso los cilindros también 00:36:58

esto, lo que hay para no pasar 00:37:00

conos, pues 00:37:02

tanto los que ponen 00:37:04

en la calle, etcétera, pirámides, hay muchos 00:37:05

por ejemplo hay una 00:37:08

estación de Madrid, un barrio que es pirámides 00:37:09

porque tienen un parque con estas esculturas 00:37:12

Prismas, etcétera 00:37:14

Entonces 00:37:16

Vamos con el cilindro 00:37:17

Esto hay que aprenderlo si es así 00:37:19

El área de la base, claro, el área de la base ya la tenéis aprendida 00:37:21

¿Qué pasa con las bases? 00:37:24

Es un círculo, ¿vale? 00:37:26

Una circunferencia 00:37:28

¿Vale? Entonces 00:37:29

Sabéis cuál es el área del círculo 00:37:31

¿No? Que es pi por n al cuadrado 00:37:34

Pues ya está 00:37:35

Es el área de la base por 2, porque tenéis dos círculos 00:37:36

Entonces 00:37:39

¿El área total cuál será? 00:37:39

el área del círculo por 2, porque tenéis 00:37:42

dos bases, ¿no? dos círculos 00:37:44

más el área lateral, y esta fórmula 00:37:46

sí que la tenéis que aprender, el área lateral 00:37:48

es simplemente esta fórmula, es 00:37:50

parecida 00:37:52

a la longitud del círculo 00:37:53

o sea de la circunferencia, ¿vale? pues sabéis que 00:37:56

área es para círculo, porque lo de dentro 00:37:58

y longitud es para la circunferencia 00:38:00

que es lo de fuera, ¿vale? pero si decís 00:38:02

longitud del círculo no pasa nada 00:38:05

¿vale? acordaos que es longitud en vez de 00:38:06

perímetro porque no tiene los dos 00:38:08

Bueno, es una tontería, ¿no? Creo que lo pongo a mal si ponéis perímetro en vez de longitud, pero para ser exactos es simplemente eso. 00:38:09

Entonces, aquí el área es como si fuera la del círculo, pero luego multiplicado por la altura. 00:38:18

¿Os acordáis que la longitud del círculo o la circunferencia es 2πr? 00:38:23

Pues el área lateral es similar, pero luego hay que multiplicarlo por la altura. 00:38:28

¿Por qué? Porque es como si estuviera formado por infinitas circunferencias, ¿no? 00:38:33

Entonces, hay que multiplicarla por la altura, ¿no? Para ver cuántas hay una encima de otra. 00:38:37

Entonces, acordaos de eso. 00:38:42

Entonces, el cilindro es mucho más sencillo al final que el prisma y la pirámide. 00:38:44

Luego, está el cono que es, para mí, de los cuerpos redondos, de los tres cuerpos redondos, es el más difícil. 00:38:49

Y no me gusta tanto. No creo que lo pregunte, sobre todo porque mezcla aquí el término generatriz, que como tal el libro no lo pone mucho. 00:38:56

Vale, generatrices, esto es como básicamente el apotema, pero claro, no es apotema porque el apotema es a la mitad de un lado, entonces es como si fuera eso, pero con una superficie circular, una superficie redonda. 00:39:02

No es como del vértice aquí hasta la parte esta de abajo, no en la altura porque la altura sería así en vertical, es que es parecido al apotema de la pirámide, pero claro, aquí como no hay lados como tal, ¿no? Porque aquí hay vértices, entonces en la mitad del lado es fácil, pero aquí como no hay vértices como tal, pues es semejante, ¿vale? 00:39:19

no sé si se comprende 00:39:42

entonces 00:39:45

para no complicarlo a vida 00:39:46

no lo voy a preguntar 00:39:47

vale 00:39:48

pero hay que darlo 00:39:48

entonces el área de la base 00:39:49

es muy sencillita 00:39:50

vale 00:39:51

pi por r al cuadrado 00:39:51

porque también hay un círculo 00:39:52

y solo habría uno 00:39:53

por lo tal 00:39:54

el área total 00:39:54

será 00:39:55

el de la de solo una base 00:39:55

más el área lateral 00:39:57

y aquí es donde viene la cosa 00:39:58

el área lateral es 00:39:59

pi por r 00:40:00

por g 00:40:02

vale 00:40:03

por g que es la generatriz 00:40:04

simplemente eso 00:40:06

entonces el área total 00:40:08

será 00:40:08

la lateral 00:40:09

más la de la base 00:40:10

bueno 00:40:10

lo importante aquí en estos dos es el volumen 00:40:10

¿vale? el volumen del cilindro 00:40:14

es muy sencillo, es el área del círculo 00:40:16

es decir, el área de la base por la altura 00:40:18

y ya está, ¿no? porque es esto 00:40:20

por la altura, es parecido a lo del prisma 00:40:21

que es el área, ¿veis? el área de la base 00:40:23

por la altura, ¿por qué es parecido? 00:40:25

porque el prisma y el cilindro 00:40:28

es que son cuerpos semejantes 00:40:30

¿veis? lo único que cambia es la base 00:40:32

¿vale? o sea, es decir, la base aquí es 00:40:33

un polígono y aquí es 00:40:36

una figura circular, ¿vale? 00:40:37

Pero el concepto es similar. 00:40:39

Entonces, claro, yo os he dicho que sobre todo os aprendáis los volúmenes, ¿no? 00:40:41

El área, sobre todo aprenderla en los cuerpos redondos, ¿no? 00:40:45

Porque no es como aquí que lo podéis hacer con las áreas de los polígonos. 00:40:50

Entonces, si os dais cuenta, si os aprendéis el área del prisma, tenéis la del polígono. 00:40:54

Si os aprendéis el área de la primámide, os aprendéis la del cono. 00:40:58

¿Por qué? 00:41:02

Porque es semejante. 00:41:02

Lo único que aquí tenemos de base un polígono, es decir, un polígono. 00:41:03

un polígono 00:41:08

y aquí tenemos una figura 00:41:10

circular 00:41:14

entonces es semejante 00:41:14

el prisma es el primormano del cilindro 00:41:16

y la pirámide es el primormano del cono 00:41:19

con lo cual, porque se parecen las formas 00:41:21

fijaros en las formas que son 00:41:24

muy idénticas, lo único que 00:41:25

estos dos tienen las bases redondeadas 00:41:27

entonces, los volúmenes van a ser 00:41:29

semejantes, entonces si os aprendéis 00:41:32

el volumen del prisma, tenéis el del cilindro 00:41:33

si os aprendéis el de la pirámide 00:41:36

tenéis el del cono, entonces al final solo vais a tener que aprender 00:41:37

tres volúmenes, el de la esfera 00:41:40

el del cilindro o prisma 00:41:42

y el del cono o pirámide 00:41:44

tres volúmenes solo 00:41:46

¿vale? y luego algunas áreas 00:41:47

el área del cilindro 00:41:50

¿vale? el área lateral sobre todo porque 00:41:51

la de la base es una tontería 00:41:53

y luego el área lateral del cono, aunque no creo 00:41:55

que lo pregunte, pero bueno es pi r por g 00:41:58

y el área 00:42:00

al final de la esfera 00:42:02

entonces vamos con ello 00:42:02

el área de la esfera es 00:42:05

4 pi por r al cuadrado. 00:42:07

¿Vale? 00:42:10

Es como el área del círculo 00:42:11

que era pi r al cuadrado, pero por 4. 00:42:13

Por lo que sea. 00:42:17

¿Vale? Relación matemática tiene seguro, 00:42:18

pero, sinceramente, 00:42:20

como lo he dicho siempre, no soy matemático, 00:42:22

yo me miro la clase, lo que tengo que dar, 00:42:24

los conceptos y eso, pero no 00:42:25

abundo más allá. O sea, yo soy sincero. 00:42:27

O sea, es que no soy matemático. Digo, y no me voy a 00:42:29

estar ahí buscando información 00:42:32

de por qué es por 4 y no por 7. 00:42:33

son conceptos matemáticos que 00:42:35

a mí me da igual, me refiero 00:42:37

yo, si es así 00:42:39

sinceramente, a mí lo que me apasiona es la química 00:42:41

yo matemáticas, porque lo doy 00:42:44

intento prepararme lo mejor posible, pero claro 00:42:45

cosas que 00:42:47

de las que voy a examinar, no otras cosas 00:42:48

¿vale? 00:42:51

si queréis así más 00:42:53

cosas de matemáticas, peculiaridades 00:42:55

pues, le preguntáis a un matemático 00:42:58

básicamente eso 00:42:59

o sea, es que yo soy sincero 00:43:01

Entonces, el área es como si fuera el área del círculo, pero por 4 00:43:02

¿Vale? Imaginad que está formado por eso, que sí 00:43:06

Aquí por un círculo, otro círculo que sería así para adelante y para atrás 00:43:08

Otro en diagonal así y otro en diagonal así, y ya está 00:43:14

Más o menos, para que entendáis 00:43:16

Entonces, juntando estos 4 círculos forman la esfera 00:43:19

Entonces, es el área del círculo por 4 00:43:22

Y el volumen es 4 tercios, ¿vale? 00:43:23

Por pi por r al cubo 00:43:29

Claro, aquí ya esta fórmula no tiene nada en común con las otras. 00:43:31

Entonces, ¿qué truco hay aquí? 00:43:36

Claro, en el área, que salen metros cuadrados, centímetros cuadrados. 00:43:39

¿Por qué? 00:43:42

Porque estamos hablando de áreas, ¿no? 00:43:43

Sabéis, el área de los metros cuadrados que tiene un piso, por ejemplo. 00:43:45

En cambio, en volumen, ya estamos hablando de metros cúbicos, centímetros cúbicos, etc. 00:43:48

Entonces, mientras que aquí es R al cuadrado en el área, en el volumen es R al cubo. 00:43:52

Y luego, como sigue siendo figura circular, pues tiene el pi. Y ahora, como os acordáis que os dije que como si la esfera estuviera formada por 4 círculos, pues tiene un 4. 00:43:57

Pero por lo que sea, se divide entre 3. Entonces, al final, 4 tercios por pi por hora al cubo. Tampoco nos habría que decir por qué 4 tercios, sino 11 medios. 00:44:15

vale, pero simplemente esta fórmula 00:44:24

ya está, entonces 00:44:26

los ejercicios son simplemente de calcular 00:44:28

área-volumen de esto, entonces 00:44:30

como lo tengo aquí preparado 00:44:32

vale, pues 00:44:34

están aquí, entonces 00:44:35

os voy a hacer alguno y los otros 00:44:37

pues 00:44:40

os los subo, bueno, los voy a subir todos 00:44:42

pero voy a intentar hacer estos 00:44:44

en el menor tiempo posible, pues son 44 minutos 00:44:46

no quiero que duren más de 50 00:44:48

entonces aquí por ejemplo tenéis 00:44:49

Vale, os dan, eso sí, los datos 00:44:52

Os dan el apotema del hexágono, que es la base 00:44:55

Y os dan el lado 00:44:57

Pero como es regular, son 4 centímetros, 4, 4, etc 00:45:00

Con lo cual, lo primero es el perímetro de la base 00:45:02

6 por 4, ¿no? 00:45:04

Porque 6 lados que tienen por 4, 24 centímetros 00:45:06

¿Por qué? 00:45:08

Porque el área de la base será igual a 00:45:09

El área del hexágono, que es 00:45:12

Perímetro por apotema, entre 2 00:45:14

30 centímetros cuadrados mide el área de la base 00:45:16

Luego, el área lateral 00:45:18

este caso es 00:45:20

perímetro de la base por la altura 00:45:22

que es la fórmula que 00:45:24

había para aprenderse 00:45:26

esa o 00:45:28

que esto da 120 centímetros 00:45:29

cuadrados o también 00:45:32

podéis hacer el área del 00:45:33

rectángulo y multiplicarlo por 6 porque 00:45:36

tiene 6 rectángulos 00:45:38

la área es base por altura 00:45:39

4 de base por 5 00:45:41

de altura, 4 por 5, 20 00:45:44

20 por 6, 20 por 5 son 100 00:45:45

más 20, 120. ¿Veis? Da lo mismo. Es aprenderse otra fórmula aparte del área que yo no recomiendo, sobre todo para el prisma y la pirámide, no os aprendáis nada de áreas. 00:45:48

Las áreas son la suma de todos los polígonos que las forman. Esto está formado por 4 triángulos más un cuadrado. Pues hacéis, bueno, más un rectángulo, porque son 3 y 2. 00:46:00

ya que esto está formado por dos hexágonos 00:46:10

y seis 00:46:13

rectángulos, con lo cual 00:46:15

es la suma de las áreas de todos ellos 00:46:17

entonces al final son 00:46:19

120 más, ¿cuántos 00:46:21

hexágonos tiene? 2, pues 00:46:23

2 por 30, 60 00:46:25

60 más 120, 180 00:46:27

y el volumen es 00:46:29

muy sencillo, es el área de la base, es decir 00:46:31

el área del hexágono 00:46:33

por la altura 00:46:35

que es 30 por 5, 150 centímetros 00:46:36

cúbicos 00:46:39

centímetros cuadrados en el área, centímetros cúbicos o metros cúbicos 00:46:40

dependiendo de la medida que os digan 00:46:44

si es centímetro, pues es centímetro por centímetro por centímetro 00:46:46

centímetro al cubo 00:46:48

es como 2 por 2 por 2, 2 al cubo 00:46:50

no solo los números se pueden elevar a potencias 00:46:52

también las unidades 00:46:55

igual que cuando vimos la aceleración era metros partido segundo al cuadrado 00:46:56

bueno, entonces no sé si os habéis dado cuenta 00:47:01

que este número es más pequeño que este 00:47:06

Puede ser. Porque las unidades son distintas. ¿Vale? ¿Qué pasa? Un centímetro cúbico equivale a 10 centímetros cuadrados. ¿No? Porque es un salto más todavía. 00:47:08

Porque sabéis que de centímetro cuadrado a decímetro cuadrado van 10.000, bueno, van 100, o sea, es un salto de, son dos saltos, son dos ceros. 00:47:19

Un centímetro, o mejor dicho, un decímetro cuadrado son 100 centímetros cuadrados. 00:47:33

En cambio, de decímetro cúbico a centímetro cúbico van 1.000, van tres pasos. 00:47:39

Entonces, aunque esto sea 150, si lo pasáramos al cuadrado, entre comillas, serían 1500, ¿vale? 00:47:43

Entonces sería mayor al final, porque la unidad es esta, es mayor que esta, ¿no? 00:47:52

Es como mirar en pasos, que tiene que ir de una cosa a otra. 00:47:57

Pero bueno, es simplemente una curiosidad. 00:48:01

No quiero que os liéis, ¿vale? 00:48:03

Si os vais a liar, no he dicho nada. 00:48:04

Y luego estaría el 21. 00:48:06

Claro, ¿qué pasa aquí? 00:48:09

Que como solo pedían el volumen, que el volumen es simplemente el área de la base, 00:48:10

que es una tontería, por la altura 00:48:13

partido de 3 00:48:15

os dan los lados del rectángulo 00:48:16

3 por 2 00:48:19

y la altura que es 6 00:48:20

la base que es 3 por 2, 6 00:48:22

6 por 6 entre 3, el volumen es muy fácil 00:48:24

12 centímetros cúbicos 00:48:27

pero como quería yo que también os acostumbráis 00:48:28

a calcular las áreas 00:48:31

pues claro, falta aquí el dato 00:48:32

del apotema 00:48:35

de la pirámide, o lo que es lo mismo 00:48:37

la altura del triángulo 00:48:39

entonces 00:48:40

pues lo he sacado por pitágoras 00:48:41

si esto es 6 00:48:44

por la altura de estos 6 00:48:46

es como si dentro de aquí hay un triángulo así 00:48:47

entonces como que 00:48:49

la altura de estos 6 00:48:51

esto será la mitad de 3 00:48:53

1,5 00:48:54

pues ¿cuánto es la apotema? 00:48:56

la apotema es como la hipotenusa 00:48:57

la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de 00:48:59

esto al cuadrado más esto al cuadrado 00:49:00

claro 00:49:02

lo que pasa 00:49:03

que aquí he hecho una aproximación 00:49:04

claro 00:49:06

tendría que calcular 00:49:07

otro triángulo 00:49:09

con el 00:49:11

este lo he hecho con 00:49:13

1,5 centímetros aquí 00:49:15

pero que pasa, también tendría que hacer uno 00:49:17

tirando por ejemplo el triángulo aquí para adelante, ¿por qué? 00:49:18

porque al ser la base 00:49:21

un rectángulo en vez de un cuadrado 00:49:23

claro, tenemos 00:49:25

aquí dos apotemas 00:49:26

que son más grandes 00:49:29

que las dos apotemas 00:49:31

de delante y de atrás, porque ahora 00:49:33

la mitad de esto es 1, no 1,5 00:49:34

no sé si me entendéis, entonces he hecho una aproximación 00:49:37

esto sobre todo tenéis que hacer para cuando 00:49:39

la base es cuadrada. Entonces, como sólo quería enseñaros de que se puede sacar el 00:49:41

apotema sin que lo den, dando la altura a la pirámide, pues por eso lo he dejado así 00:49:46

aproximando. Pero para que veáis, os he aproximado que este apotema de la derecha y la izquierda 00:49:51

es lo mismo que la cara de delante y de atrás de la pirámide. Cuando no es así, porque 00:49:58

aquí hay una diferencia de centímetros. Pero nada, es una tontería porque os dais 00:50:02

cuenta que si la altura son 6, esto son 6,2, la diferencia entre esto y esto va a 00:50:07

ser una tontería. A lo mejor es de 6,2 00:50:11

a 6,3. Entonces no se nota mucha diferencia. 00:50:13

¿Vale? Solo quería mostraros 00:50:16

cómo se puede calcular 00:50:17

el apotema 00:50:19

de la pirámide o 00:50:21

la altura del triángulo, 00:50:23

que es básicamente pitágoras. 00:50:25

¿Vale? Entonces, si yo lo preguntara 00:50:27

el área y el volumen, os daría 00:50:29

este apotema de la pirámide. 00:50:31

O os diría el apotema 00:50:34

de la cara, que es un triángulo. 00:50:35

Os daría la altura, 00:50:37

perdón, el apotema, la altura del triángulo. 00:50:39

Daría la altura del prisma y del triángulo. 00:50:41

Lo que pasa es que, para no liaros entre las alturas, os pondría el apotema lateral, que es equivalente a la altura del triángulo. 00:50:44

¿Vale? 00:50:52

Os daría el dato. 00:50:53

Y ya está. 00:50:55

El área lateral es... 00:50:56

¿Os acordáis? 00:50:58

Lo que voy a hacer es calcular las áreas de los triángulos, que es base por la altura. 00:50:59

La altura del triángulo es el apotema lateral de la pirámide. 00:51:03

con lo cual sería 00:51:07

esto por 00:51:09

6 por 2 00:51:10

6 por 2 00:51:11

por 2 00:51:12

dividido entre 2 00:51:14

con lo cual es 6 por 2 00:51:14

esto por 4 00:51:16

6 por 2 por 4 00:51:17

pues nos tiene que dar 00:51:19

aproximadamente 00:51:20

31 centímetros cuadrados 00:51:21

¿vale? 00:51:23

básicamente 00:51:24

bueno 00:51:25

cuidado 00:51:25

no porque este triángulo 00:51:26

es distinto a este 00:51:28

sería este por 2 00:51:29

y luego con el otro apotema 00:51:30

este por 2 00:51:31

es complicarse la vida 00:51:32

¿vale? 00:51:34

entonces 00:51:35

Entonces si os pongo una pirámide así será en vez de rectangular cuadrada o os tendré que dar el apotema, si o si, o los apotemas, ¿vale? 00:51:35

Entonces no creo que os complique la vida. 00:51:45

Yo lo haría con los triángulos, ¿vale? 00:51:48

Y os pondría a lo mejor una base cuadrada o de un polígono regular, es decir, un pentágono, hexágono, un cuadrado, pero no un rectángulo. 00:51:51

¿Vale? 00:51:59

Y luego aquí la esfera y el cilindro son muy fáciles, sobre todo la esfera es muy fácil y el cilindro, ¿vale? 00:52:00

No hay que calcular ni área lateral ni nada, simplemente una fórmula para el área y para el volumen 00:52:06

Y aquí es el área lateral, 2 pi r por h, ¿vale? 00:52:10

Acordaos que es como la del círculo pero multiplicada por la altura porque hay muchos círculos así puestos uno encima de otro 00:52:13

Y la de la base es la del círculo 00:52:18

Entonces la de la total es la de la lateral más dos veces la de la base, ¿por qué? 00:52:20

Porque tiene dos bases 00:52:25

Y el volumen pues es la de la base por la altura 00:52:25

exactamente la del prisma 00:52:28

porque son semejantes, ¿veis? 00:52:30

entonces el cono no lo he puesto porque como es el cuerpo 00:52:32

así más difícil de calcular 00:52:34

o más lioso, mejor dicho, por la generatriz 00:52:36

pues no lo he puesto, ¿vale? 00:52:38

así que en el examen no creo que lo ponga, ni la tarea 00:52:40

¿vale? 00:52:42

que podría ponerlo porque entra 00:52:44

dentro del libro, pero no me gusta 00:52:46

como soy el profesor, pues hago lo que quiero 00:52:48

dentro de lo que puedo, ¿vale? 00:52:50

o sea, dentro de lo que se os pregunta 00:52:52

simplemente si hay una cosa que no quiero, pues no lo pongo 00:52:53

porque pienso que hay 00:52:56

bastante más, no hay otros cuerpos 00:52:58

otros cuatro cuerpos geométricos 00:53:00

que me gustan más y ya está 00:53:02

bueno 00:53:03

entonces, esto luego lo subiré 00:53:05

¿vale? cualquier duda pues sabéis 00:53:08

que tenemos tutoría los jueves 00:53:10

a las 6, me podéis preguntar de matemática lo que queráis 00:53:12

o por correo, aunque 00:53:14

una duda de matemática por correo 00:53:16

es más difícil responderla en un escrita 00:53:18

normalmente en persona 00:53:20

es más fácil 00:53:22

o también los miércoles podéis venir 00:53:23

de 7 a 8 con la clase de mates, o si tienes alguna duda de ciencias, pues de 8 a 9 00:53:25

bueno 00:53:29

aunque ciencias es más 00:53:30

estudiar un poquito, memorizar, y también es más fácil memorizar 00:53:35

cuando entendéis los conceptos, entonces yo en la clase intento que entendáis los conceptos 00:53:40

para que sea más fácil memorizarlo, ¿vale? sabéis que el examen de ciencias 00:53:44

es tipo test, el de matemáticas, no, estoy hablando de ciencias, matemáticas 00:53:48

son problemas como tal, pero en ciencias 00:53:52

porque también tenéis ciencias 00:53:55

y puedo hablar, porque soy vuestro profesor, que es la clase que tenemos después 00:53:56

pues 00:53:59

el examen, ya os digo que 00:54:00

no lo estoy pensando, pero yo creo que va a ser 00:54:02

o todo tipo test 00:54:04

o tipo test y algo de verdadero y falso 00:54:06

no lo sé, de verdadero y falso 00:54:08

y aparte de ser falso, tenéis que tachar 00:54:10

lo que sea falso y ponerlo verdadero 00:54:12

no lo sé, entonces 00:54:14

en función de cómo sea la tarea 00:54:16

lo pondré así, si la tarea es 00:54:18

todo tipo test, pues 00:54:20

será así. Y si la tarea es 00:54:22

de 00:54:24

verdad y falso y de 00:54:25

que me cambies lo que está mal 00:54:28

porque normalmente la verdad y falso, solo hay 00:54:30

una palabra que está mal, ¿no? 00:54:32

Por ejemplo, a lo mejor os pongo una definición y aquí vale 00:54:34

en vez de una palabra, otra. Entonces me tacháis esa palabra 00:54:36

y me ponéis la que está bien, etc. 00:54:38

Pero bueno, eso lo hablaré ya luego 00:54:41

en repaso para 00:54:42

el día antes del examen, 00:54:44

pues, o sea, la semana antes, pues 00:54:47

en el repaso lo hablaré. 00:54:48

Entonces, 54 minutos y me falta poder una cosa. Es que al final me enrollo hablando y no paro. Pero bueno, esto va muy rápido. 00:54:50

Punto 10. Planos de simetría de un poliedro en el espacio. Bueno, simplemente tenéis que saber que un plano de simetría es como una recta de simetría. 00:54:58

Lo que pasa es que el eje de simetría, que era una recta, dividía un polígono en dos partes iguales. Pues esto es igual, pero en 3D. 00:55:06

Es un plano que divide en dos partes iguales un poliedro y muy importante, aparte de dividirlo en partes iguales, que se ha juntado aparte con partes, además de dividirlo en partes iguales, 00:55:13

Estas partes en las que son divididas tienen que ser imágenes especulares. 00:55:31

Es decir, este plano divide, en este caso el poliedro este, en una parte que es arriba y otra parte debajo. 00:55:38

Y estas dos son imágenes especulares, como si ponemos aquí un espejo y el reflejo de esta es esta. 00:55:49

Pero en cambio, este plano, claro, divide este poliedro también en dos partes iguales 00:55:54

Pero el reflejo de esta no es esta 00:56:01

Porque si nosotros ponemos un espejo aquí 00:56:05

Claro, si os dais cuenta, este lado es más corto que este 00:56:06

Entonces el reflejo de este sería un lado más cortito 00:56:11

Sería así, hasta aquí 00:56:13

Porque estaría reflejado este lado así en diagonal 00:56:15

Y luego el reflejo de este sería un lado más largo 00:56:18

entonces al final el reflejo de esto sería 00:56:22

aquí, algo así 00:56:24

esto más largo y esto más cortito 00:56:26

¿entendéis? 00:56:28

aparte de medir el plano en dos partes 00:56:30

iguales, el poliedro tiene que ser 00:56:33

imágenes especulares 00:56:34

como si ponemos un espejo, tiene que ser igual 00:56:36

entonces, ¿no? 00:56:38

haced la prueba, vuestras manos son imágenes especulares por ejemplo 00:56:40

entonces si nosotros ponemos un espejo aquí 00:56:42

aquí se tiene que reflejar un lado más largo 00:56:44

porque sería este, y aquí un lado más corto 00:56:47

con lo cual ocurre al revés 00:56:49

aquí está el largo y aquí el corto 00:56:50

entonces sí que lo dividen en dos pero no son imágenes especulares 00:56:52

tiene que pasar esas dos cosas, que lo dividan en dos partes iguales 00:56:55

y que las dos partes sean imágenes especulares 00:56:58

vistas en un espejo 00:57:01

¿vale? 00:57:02

entonces, por ejemplo, ¿cuál es así el poliedro más perfecto en este sentido? 00:57:04

el cubo, ¿no? 00:57:10

el poliedro no es muy perfecto porque tiene seis caras iguales 00:57:11

¿vale? 00:57:14

entonces, vamos a ver los planos de simetría de un poliedro 00:57:16

Entonces, hay dos tipos de planos de simetría. Están los que están paralelos a dos caras apuestas y los que pasan por dos aristas opuestas. 00:57:23

Entonces, un cubo tiene tres planos de simetría de los que son paralelos a dos caras apuestas. 00:57:33

Es decir, tenemos aquí dos caras apuestas, esta y la de atrás, pues es un plano que es paralelo a estas caras. 00:57:41

Voy a ver si me explico. 00:57:53

voy a empezar al principio 00:57:55

vale, aquí por ejemplo 00:57:57

tenemos la cara de arriba 00:57:59

y la cara de abajo, voy a ir en orden 00:58:01

porque si no os voy a liar, la cara de arriba y la de abajo 00:58:03

vale, pues 00:58:05

¿no? veis como 00:58:07

van las caras que son así 00:58:08

pues este plano va 00:58:11

paralelo a estas caras porque no lo cortan 00:58:13

y veis que lo divide 00:58:15

justo en dos partes iguales 00:58:17

y especulares, entonces aquí tendríamos un plano 00:58:19

que divide estas dos caras opuestas 00:58:21

luego 00:58:23

Estas dos caras apuestas, derecha e izquierda 00:58:24

Sería este plano, así como si fuera vertical 00:58:28

Y luego tendríamos otro 00:58:30

Que sería así 00:58:32

Que divide la cara de delante y la de atrás 00:58:35

¿Veis? Entonces tiene tres planos de simetría 00:58:38

Que son paralelos a caras opuestas 00:58:40

Y luego tendría seis planos de simetría 00:58:42

Que pasan por vértices opuestos 00:58:45

Es decir, pasan los vértices estos 00:58:46

Bueno, o más que los vértices son aristas 00:58:50

esta arista con esta que es la opuesta 00:58:52

entonces aquí tenemos un plano 00:58:54

esta con esta que sería este el 4 00:58:56

luego tendríamos también 00:58:58

las aristas de aquí 00:59:00

¿vale? por ejemplo sería 00:59:02

esta de aquí con esta de aquí 00:59:04

luego también 00:59:06

serían 00:59:07

claro, luego también serían aristas 00:59:10

estas, es que 00:59:12

a ver, es que no quiero liaros mucho 00:59:13

porque al final me estoy haciendo yo también un lío 00:59:16

simplemente aquí lo que tenéis que 00:59:18

ver es que 00:59:20

plano de simetría paralelos a caras opuestas hay 3 en un cubo 00:59:22

vale, entonces en función del poliedro pues habrá más o menos 00:59:27

entonces tenéis que intentar buscar un poquito los planos, pero bueno 00:59:30

como con esto podéis tirarlo mucho tiempo no creo que os lo pregunten en el examen 00:59:33

vale, entonces plano de simetría que pasan por aristas opuestas hay 6 00:59:37

en el cubo, es decir, entre esta y esta hay una, vale, que sería esta 00:59:42

entre esta y esta la que acabo de decir, luego serían 00:59:45

Aquí tenemos unos vértices y unas aristas, ¿vale? Entonces pasa justo por ahí, ¿vale? Este que pasaría por aquí, luego este que sería, claro, como es que no me podéis ver las manos, este sería como así en diagonal para acá, que sería este, y así en diagonal para allá. 00:59:49

pero bueno, es un poco lioso, entonces aquí tenéis un ejercicio 01:00:04

que primero es clasificar si el poliedro es cóncavo y convexo 01:00:08

acordaos, cóncavo es 01:00:11

que no se puede apoyar en alguno de sus lados 01:00:14

y convexo que sí, entonces los dos estos son convexos 01:00:16

porque tú puedes tirar la T así, la empujas 01:00:19

y se puede apoyar, se puede apoyar también por aquí 01:00:22

etcétera, bueno, no se puede apoyar del todo 01:00:26

porque tú puedes ponerla esto así y al final se queda 01:00:29

con esta arista y esta arista apoyada 01:00:32

entonces sería cóncavo aquí y aquí convexo 01:00:34

tú puedes girar esto 01:00:37

puedes darle la vuelta a cualquier forma 01:00:38

y se queda apoyado 01:00:41

con lo cual esto sería convexo 01:00:43

y la cruz sería cóncavo 01:00:44

porque 01:00:46

¿Veis dónde apunta esto? 01:00:46

si la empujáis en ese sentido 01:00:49

al final se quedaría apoyada con esta arista 01:00:51

y con esta arista 01:00:53

entonces habría hueco 01:00:54

con lo cual no se queda apoyada con todas las caras 01:00:56

¿Veis? 01:00:59

la diferencia cóncavo-convexo 01:01:00

y luego dibujar sus planos 01:01:02

Por ejemplo, un plano de simetría sería este así, ¿no? Otro plano sería así, ¿no? Justo en vertical, etc. Y entonces aquí, planos de simetría paralelos a caras opuestas, solo he visto dos. Así a priori. 01:01:03

Luego de las aristas es que son muchos más, pero sobre todo me hacen entrar en estos tres, que son los más comunes, ¿vale? Los menos liosos, los de caras opuestas. Estos son más liosos. 01:01:20

Y aquí, por ejemplo, tendría tres. Tendría el vertical, el horizontal y también el vertical, pero en vez de delante y detrás, el de izquierda y derecha. 01:01:27

Es decir, tendría lo mismo que un cubo. 01:01:38

Así que nada, solo puedo decir que repaséis, sobre todo, muy importante, repasar ejercicios de área y volúmenes, tanto de cuerpos redondos como de poliedros. 01:01:41

ejercicios de perímetros y áreas 01:01:50

de 01:01:53

perímetros y áreas de 01:01:54

de polígonos, ¿vale? 01:01:57

y de figuras circulares 01:01:59

y de polígonos y figuras circulares 01:02:00

complejas, ¿vale? los que están formadas por 01:02:03

por más de uno, ¿no? por ejemplo esto 01:02:05

y luego también pues 01:02:07

de triángulos 01:02:08

sobre todo repasar los teoremas 01:02:10

de Tales, ¿vale? todo esto lo he ejercido 01:02:13

lo voy a subir, el once novi todo esto, teorema de Tales 01:02:14

teorema de Pitágoras 01:02:17

y también 01:02:17

el ejercicio 4 también repasarlo, un poquito de calcular los ángulos 01:02:19

porque tendré que preguntar, sobre todo la tarea, algo de ángulos 01:02:25

de tipo de ángulos, clasificación de ángulos, un poquito de eso 01:02:29

clasificación de ángulos, etcétera, ya veré, en función de lo que pregunte 01:02:34

ya veré, entonces al final una hora de clase, perdonad 01:02:37

si es que al final, que como quiero explicar tantas cosas al final 01:02:41

se me va el tiempo, pero bueno, simplemente 01:02:45

dedicación y amor por la profesión 01:02:48

disculpad pero 01:02:52

pero bueno, perdonad si me he confundido 01:02:53

a veces en decir polígono o poliedro 01:02:56

lo que tiene la iglesia 01:02:58

así que nada, nos vemos la semana 01:02:59

que viene con tema nuevo 01:03:02

este tema ya lo dejamos aparcado 01:03:03

aquí hasta justo la clase de antes 01:03:06

que tengáis buen fin de 01:03:08

repasad cualquier duda me decís 01:03:10

o venís los jueves 01:03:12

a las 6 o en matemáticas 01:03:14

los miércoles a las 7 01:03:16

cualquier duda al correo o venís a preguntarme 01:03:18

aunque es mejor que me mandéis un correo para decir 01:03:22

podemos quedar para una tutoría el jueves a las 6 01:03:24

o el miércoles a las 7 01:03:29

tendréis que venir sí o sí 01:03:30

porque es clase, pasa que es optativa 01:03:34

que no hace falta que vengáis, pero el que quiera venir a preguntar algo 01:03:36

puede venir los miércoles de 7 a 8 o de 8 a 9 01:03:39

para dudas de ciencias 01:03:42

buen fin de 01:03:45

estudia mucho 01:03:46

nos vemos la semana que viene 01:03:47

hasta luego 01:03:48

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