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AE3. 2.3 Inecuaciones de grado superior a uno - Contenido educativo

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Subido el 10 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AE3 dedicada a las inequaciones y los sistemas de inequación. 00:00:22
En la videoclase de hoy estudiaremos las inequaciones polinómicas de grado superior a 1. 00:00:27
En esta videoclase vamos a estudiar la resolución de inequaciones polinómicas de grado superior 00:00:47
a 1. Como podéis ver y como ya hemos discutido en la videoclase de definición de inequaciones 00:00:51
polinómicas, en este caso lo que nos vamos a encontrar es una comparación de expresiones 00:00:57
algebraicas que vamos a poder transformar, vamos a poder reducir a la comparación con 0 de un 00:01:02
polinomio que va a ser de grado superior a 1, de grado 2, de grado 3, etc. Y así tendremos un cierto 00:01:07
polinomio mayor o bien menor o bien mayor o igual o por último menor o igual que 0. La forma en la 00:01:13
que se van a resolver este tipo de inequaciones es siempre la misma. Hay una técnica, un procedimiento 00:01:19
algorítmico, que es el que voy a describir en esta videoclase y que es el que vamos a utilizar. 00:01:23
Lo primero que vamos a hacer es, una vez hemos conseguido expresar nuestra inequación en forma 00:01:28
canónica así, la comparación con cero de un polinomio, pues como digo, lo primero que vamos a 00:01:33
hacer es buscar los ceros de este polinomio resolviendo la ecuación polinomio igual a cero. 00:01:37
A los efectos de este desarrollo voy a llamar Sp, formado por los elementos S1, S2 hasta Sn, al conjunto de los, en principio, n ceros de esta ecuación. 00:01:42
Supongamos que tenemos un polinomio de grado n, en principio, espero encontrar hasta n ceros. 00:01:55
Y a los efectos de este desarrollo voy a escribirlos ordenados. 00:02:00
Ya he hablado en clase de que, en principio, los conjuntos discretos no están, los elementos dentro del conjunto no tienen por qué estar ordenados. 00:02:04
Dije que sería muy útil ordenarlos y aquí tenemos la primera utilidad. 00:02:13
Me va a ayudar mucho. 00:02:16
Así que voy a tener aquí n ceros de P ordenados. 00:02:18
Si, por ejemplo, P fuera un polinomio de segundo grado, 00:02:22
yo espero encontrar dos ceros y aquí tendría los dos ceros, S1 y S2. 00:02:25
S1 el más pequeño, S2 el más grande. 00:02:29
Aquí, en este caso, n. 00:02:31
Estos, en general, n ceros del polinomio P, 00:02:34
cuando los representen la recta real, 00:02:38
la van a dividir en n más 1 intervalos. Fijaos en que si tuviera un polinomio de segundo grado con dos ceros, S1 y S2, 00:02:40
tendría el intervalo que va desde menos infinito hasta el más pequeño, el intervalo que va desde el cero pequeño hasta el cero grande 00:02:48
y por último el intervalo que va desde el cero grande hasta más infinitos. Así que en general, si yo tengo aquí n soluciones, 00:02:54
tendré n más 1 intervalos. Intervalos y semirrectas, puesto que tanto el primero como el último son en realidad semirrectas. 00:03:02
Si tengo S1, S2 hasta Sn, lo que voy a tener son intervalos desde menos infinito hasta S1, una semirrecta, 00:03:09
de S1 a S2, de S2 a S3, etc., hasta finalmente la semirrecta de Sn hasta más infinito. 00:03:17
Y a los efectos de esta discusión, todos estos intervalos van a ser siempre abiertos. 00:03:23
La razón de construir estos intervalos y semirrectas es que el signo de P va a estar bien definido dentro de cada uno de estos intervalos o semirrecta 00:03:28
y va a ser el mismo, no va a cambiar. 00:03:35
Eso quiere decir que si yo tomo valores de la incógnita, por ejemplo, en el intervalo que va desde menos infinito hasta ese 1 abierto y los sustituyo para evaluar, para calcular el valor numérico de P, en todos los casos el signo de P va a ser el mismo, bien positivo, bien negativo. 00:03:37
El valor numérico, por supuesto, es posible que cambie, de hecho cambiará, pero el signo va a estar siempre bien definido y va a ser siempre el mismo. 00:03:55
Bien definido quiere decir que no voy a obtener el valor 0, que ya sabéis que nos plantea problemas al decidir si el signo es positivo o negativo. 00:04:01
Así que va a estar bien definido y va a ser siempre el mismo. 00:04:08
Y nos vamos a preguntar por cuál, puesto que nosotros lo que vamos a hacer es buscar cuáles de estos intervalos cumplen con la desigualdad. 00:04:12
En cuáles de ellos el polinomio es mayor o bien menor que 0. 00:04:19
Así pues lo que vamos a hacer va a ser siempre lo mismo. 00:04:23
Dentro de cada intervalo vamos a elegir un representante entre menos infinito y S1, un representante al que vamos a llamar X0. 00:04:25
En el intervalo de S1 a S2 un representante al que vamos a llamar X1 y así sucesivamente. 00:04:34
En la semirrecta que va desde Sn hasta más infinito elegiremos un valor al que vamos a llamar Xn. 00:04:40
y lo que vamos a hacer es evaluar, determinar el valor numérico del polinomio 00:04:46
para identificar cuál es el signo que va a tener. 00:04:53
Nos va a interesar ver si el signo del polinomio, el valor numérico del polinomio, es positivo o negativo. 00:04:56
Elegimos un representante para todo el intervalo. 00:05:02
Así que, una vez que hemos elegido los representantes, 00:05:04
el siguiente paso va a ser evaluar los valores numéricos y fijarnos en el signo. 00:05:07
Supongamos, por un momento, que tenemos una desigualdad como esta. 00:05:13
Polinomio mayor estricto que cero. 00:05:16
Tomo el intervalo de menos infinito a ese uno y elijo un valor x cero dentro de este intervalo. 00:05:19
Voy a calcular el valor numérico p de x cero y me voy a fijar en el signo. 00:05:25
¿Que el signo es positivo? 00:05:30
Entonces el x cero verifica la desigualdad y con él todo el intervalo. 00:05:32
Cualquier valor x que yo tomara dentro de este intervalo desde menos infinito a este x de uno, 00:05:38
al evaluar el valor numérico voy a obtener un valor que puede ser distinto pero que desde luego 00:05:43
va a tomar el mismo signo. Si p de x0 es positivo, en cualquier caso va a ser positivo y ese intervalo 00:05:47
va a formar parte de la solución de la ecuación, puesto que todos los elementos de este intervalo 00:05:54
cuando yo evalúe p de el valor de x correspondiente voy a obtener un valor que va a ser mayor que 0. 00:05:59
Si la desigualdad en cambio hubiera sido menor que 0, al sustituir x0, calcular el valor numérico y 00:06:05
el que tiene signo positivo, ese valor debo desecharlo, no forma parte de la solución y con 00:06:12
el todo el intervalo. Cualquier valor que yo hubiera tomado dentro de ese intervalo me habría 00:06:16
dado un valor numérico que no sería negativo y entonces habría de eliminarlo. Fijaos en qué es 00:06:20
lo que estoy haciendo. Dentro de cada intervalo tomar un valor numérico que va a ser representante, 00:06:25
un valor x que va a ser representante del intervalo, evaluar el valor numérico y fijarme 00:06:30
en el signo. ¿Qué cumple la desigualdad? El intervalo forma parte de la solución. ¿Qué no 00:06:34
cumple la desigualdad, ese intervalo se desecha, no forma parte de la solución. Y debo hacerlo con 00:06:39
todos y cada uno de los, en principio, n más 1 intervalos. Eso es lo que estoy describiendo en 00:06:45
esta parte de aquí. ¿Cuál va a ser la solución cuando haya llegado al final del todo? Bien, pues en el 00:06:49
caso de desigualdades estrictas va a ser la unión de todos esos intervalos y semirrectas que he ido 00:06:55
seleccionando directamente. Siempre abiertos. Si diera la casualidad de que ninguno de los 00:07:00
intervalos, en ninguno de los intervalos hubiera valores de x tales que se cumpliera, se verificara 00:07:08
la desigualdad, en ese caso la solución sería el conjunto vacío. En el caso de desigualdades 00:07:15
estrictas, insisto, es la unión de los intervalos siempre abiertos. En el caso de desigualdades no 00:07:20
estrictas va a ser la unión de todos los intervalos, pero hemos de cerrar los puestos, que lo que vamos 00:07:26
a hacer es añadir todos los valores, todos los ceros del polinomio, todos los valores que teníamos 00:07:32
dentro de este conjunto. Fijaos que en el caso de desigualdades no estrictas no buscamos únicamente 00:07:39
los valores de x para los que el polinomio toma un valor positivo o negativo, sino que nos valen 00:07:45
también, hemos de incluir también, aquellos valores de x de la incógnita para los cuales el polinomio 00:07:50
se hace cero. Hemos de incluir también los ceros del polinomio. Así pues lo puedo pensar de dos 00:07:55
maneras distintas. En los intervalos abiertos cierro todos los extremos que 00:08:00
por supuesto no sean infinito o bien a la unión de intervalos abiertos añado 00:08:06
todos los ceros del polinomio. Eso equivale a cerrar los intervalos y 00:08:12
posiblemente añadir algún valor puntual más. Fijaos que si se hubiera dado la 00:08:18
circunstancia de que el intervalo de menos 1 a ese 1 no estuviera en la 00:08:23
solución y por ejemplo el intervalo que va de ese 1 ese 2 tampoco sólo con 00:08:28
cerrar los intervalos en los extremos que no sean infinitos no tengo el 00:08:32
conjunto que sea realmente solución puesto que ese 1 es un cero del 00:08:37
polinomio por construcción y debería incluirlo puesto que p de ese 1 00:08:42
realmente es mayor o igual que 0 o menor o igual que 0 es que es igual a 0 en el 00:08:47
caso de desigualdades estrictas debería añadirlo y si no tengo ni este ni este 00:08:51
intervalo dentro de la solución, decir sencillamente cierro los intervalos no me permite introducir 00:08:54
este valor. Así pues, comúnmente diremos vamos a cerrar los intervalos, excepto por supuesto en 00:08:59
los extremos que sean infinitos. En realidad lo que hemos de hacer es tomar la unión de estos 00:09:05
intervalos que hemos ido seleccionando y añadir los ceros del polinomio P. Eso va a equivaler 00:09:10
generalmente a cerrar esos extremos que no sean infinitos, pero en realidad es posible que en un 00:09:17
momento dado hayamos de añadir esos elementos discretos. En el caso en el que, por ejemplo, 00:09:23
fijaos, se hubiera dado la circunstancia de que ninguno de estos intervalos verificaran la 00:09:29
inequación, puesto que en ninguno de los casos el signo del representante del valor numérico del 00:09:36
polinomio en los representantes verificara la desigualdad que me plantean, decir cierro los 00:09:41
intervalos no tiene sentido, puesto que no hay intervalos que cerrar. Y decir que la solución es 00:09:47
el conjunto vacío no es correcto puesto que los ceros del polinomio verifican esta desigualdad 00:09:52
no estricta. Fijaos como en este caso, bastante peculiar, la solución sería el conjunto de ceros. 00:09:56
Así pues, pensad siempre en esto. A los intervalos abiertos les añado los ceros del polinomio, lo 00:10:03
cual debo pensar que en general equivale a cerrar los extremos que no sean infinitos, pero cuidado 00:10:09
porque es posible que si no incorporo a la solución intervalos adyacentes esté perdiendo el cero que 00:10:14
sea esa frontera entre estos dos intervalos. Con esto que acabo de mencionar ya se pueden resolver 00:10:21
estos ejercicios que resolveremos en clase, probablemente resolveremos en alguna videoclase 00:10:28
posterior. En este caso lo que tenemos es directamente resolver las siguientes inequaciones 00:10:32
y aquí podemos comprobar cómo lo que tenemos son las comparaciones de expresiones algebraicas que 00:10:37
tendré que transformar en polinomio comparado con cero. En este caso no he encontrado o no 00:10:43
encuentro en ningún caso en el que tengamos denominadores pero operaríamos de forma análoga 00:10:48
como hacíamos en el caso anterior de las inequaciones lineales, ¿de acuerdo? 00:10:52
Habríamos de eliminar denominadores y entonces habríamos de pasar todo a un miembro 00:10:57
para hacer esta comparación con cero. 00:11:00
En este caso lo que tenemos es un argumento falaz, falso, 00:11:02
en el cual demostramos que cualquier número real va a ser necesariamente mayor o igual a 5. 00:11:07
Y aquí nos encontramos con que partimos como hipótesis de una desigualdad 00:11:13
donde nos vamos a encontrar con un polinomio que desde luego no es lineal, 00:11:18
x menos 5 al cuadrado va a ser un polinomio de segundo grado. 00:11:21
Y lo que hemos de hacer es buscar en qué punto del razonamiento tenemos algo que no es correcto, 00:11:25
puesto que todos los valores de x sean mayores o iguales a 5 no es cierto, así que hay algo que no debe ser correcto. 00:11:30
Y en todo esto debe aparecer algo que tenga relación con las inequaciones, o las inequaciones en general, 00:11:37
polinómicas de grado superior a 1. 00:11:43
Como he dicho, estos ejercicios los resolveremos en clase, probablemente los resolveremos en alguna videoclase posterior. 00:11:45
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:11:54
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:12:00
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:12:05
Un saludo y hasta pronto. 00:12:10
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
4
Fecha:
10 de noviembre de 2025 - 12:53
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
12′ 39″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
30.42 MBytes

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