Saltar navegación

158 PRODUCTO ESCALAR - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 21 de febrero de 2021 por Rocío R.

87 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vale, estamos en la página 158. Hablamos de producto escalar de vectores libres. El producto escalar no es más que la multiplicación de dos vectores. Vamos a tener dos tipos de productos. El producto escalar y el producto vectorial. Al vectorial ya llegaremos. 00:00:00
El escalar nos es muy útil porque nos permite averiguar el ángulo que hay entre dos vectores 00:00:17
Si yo tengo un vector v, por ejemplo, que está aquí 00:00:22
Y un vector u, que está acá 00:00:26
Yo sé que hay un ángulo entre ambos 00:00:29
Que es este 00:00:31
Y en ocasiones me va a interesar 00:00:34
Ya veremos cuándo, por ahora solamente lo explicamos y ya empezaremos a usarlo 00:00:36
Definición de producto escalar 00:00:40
v por u 00:00:42
lo podéis llamar como queráis 00:00:46
en el libro lo llamo w 00:00:47
me da igual los nombres que queráis 00:00:48
es el módulo de v 00:00:50
por el módulo de u 00:00:53
por el coseno del ángulo 00:00:56
que hay entre ambos 00:00:59
lo voy a llamar alfa 00:01:00
¿vale? 00:01:03
volvemos a la trigonometría 00:01:05
¿por qué nos resulta útil esto? 00:01:06
porque yo ahora puedo despejar 00:01:10
mi coseno y decir, vale, es que yo 00:01:11
quiero saber qué ángulo hay entre esos dos 00:01:13
pues entonces el coseno de alfa 00:01:15
es v por u 00:01:18
partido de 00:01:20
el módulo de v por el módulo de u 00:01:21
el módulo de v 00:01:24
sabemos hallarlo 00:01:27
el módulo de u sabemos hallarlo 00:01:28
pero ¿sabemos hacer esta multiplicación? 00:01:31
pues no, porque es el producto escalar 00:01:33
porque es lo que vamos a aprender hoy 00:01:37
¿vale? entonces, cositas que nos van a pasar 00:01:38
con el producto escalar, lo primero 00:01:42
Si nos está definiendo ángulos 00:01:43
Si yo multiplico con producto escalar 00:01:45
Un vector por el mismo 00:01:48
Es decir, si esto lo llamo yo v 00:01:51
Y hago v por v 00:01:53
¿Qué me va a dar? 00:01:55
v al cuadrado, vale 00:02:00
Pero esto hemos dicho que todavía no sabemos hacerlo 00:02:01
Pero esto sí que vamos a poder resolverlo 00:02:03
¿Veis que yo tengo que poner el módulo de v 00:02:06
Por el módulo de v por el coseno entre v y v 00:02:11
¿Cuál es el coseno? ¿Qué ángulo hay entre este vector y el mismo? Cero. ¿Entonces cuánto es el coseno de cero? No podéis haber reseteado eso. No, el coseno de cero. ¿No el coseno de qué es cero? O sea, el coseno de 90 es cero. Bien. 00:02:14
Pero el coseno de cero, de cero grados 00:02:34
¿Cuánto vale? Uno 00:02:36
Entonces el producto escalar 00:02:38
De un vector por el mismo 00:02:40
Es su módulo 00:02:42
Al cuadrado 00:02:44
¿Vale? 00:02:45
Vale, siguiente 00:02:47
Producto escalar de dos vectores 00:02:49
Perpendiculares 00:02:53
V y U 00:02:54
Por ejemplo 00:02:56
¿Nadie? Uno 00:02:57
Estamos multiplicando el módulo de V 00:03:10
que me da igual lo que mida, ahora lo veréis 00:03:16
por el módulo de u 00:03:18
por el coseno del ángulo 00:03:19
que hay entre medias 00:03:22
¿cuánto es el coseno de 90? 00:03:23
cero 00:03:28
o sea que el producto escalar 00:03:28
entre dos vectores perpendiculares 00:03:31
siempre va a ser cero 00:03:34
¿vale? 00:03:36
de aquí 00:03:40
vamos a definir lo que son los vectores 00:03:40
ortonormales 00:03:43
nombre maravilloso 00:03:44
Vale, los vectores ortonormales son aquellos que son ortogonales y además de módulo 1 00:03:46
Son con los que vamos a trabajar de una manera tranquila 00:04:00
Los vectores con los que trabajamos siempre en nuestros ejes de coordenadas 00:04:04
X e Y que nos definen todo de uno en uno, esos son ortonormales 00:04:08
Pero no son los únicos, hay muchísimos vectores ortonormales 00:04:12
Yo puedo definir unos ejes de coordenadas cuales quiero y trabajar sobre un nuevo plano de referencia 00:04:15
y que mis vectores a lo mejor sean estos dos 00:04:21
son de módulo 1 00:04:24
son perpendiculares 00:04:27
maravilloso, son ortonormales 00:04:30
bien 00:04:32
para que dos vectores sean ortonormales 00:04:33
tiene que pasar que el módulo de los dos 00:04:36
sea lo mismo 00:04:39
y sea 1 00:04:41
y que además su producto escalar 00:04:42
v por u 00:04:44
sea 0, condiciones de los vectores ortonormales 00:04:45
que el módulo 00:04:48
de estos vectores sea 1 00:04:52
significa que estos vectores son unitarios 00:04:54
hoy, perpendiculares 00:04:57
¿vale? 00:05:04
¿hasta aquí todo claro? 00:05:08
¿sí? 00:05:11
vale, pues ahora vamos 00:05:12
de verdad a ver cómo se averigua 00:05:14
este producto escalar 00:05:17
¿vale? porque vamos a tener que relacionarlo 00:05:19
de alguna manera para poder averiguar 00:05:21
el coseno de los ángulos 00:05:23
ya hemos dicho que esto podemos hallarlo, pero esto no 00:05:24
¿vale? bajo un poquito 00:05:26
tenemos 00:05:28
que el producto escalar 00:05:29
lo vamos a poder hallar de dos maneras 00:05:32
ya hemos dicho que 00:05:37
el v por u 00:05:39
es el módulo de v 00:05:43
por el módulo de u 00:05:45
por el coseno del ángulo que lo separa 00:05:47
pero es que además 00:05:49
podemos operar solamente con sus coordenadas 00:05:50
entonces si yo llamo a v 00:05:53
vxvi por ejemplo 00:05:55
y a u 00:05:59
uxui 00:06:00
distinguimos las v y las u 00:06:04
más o menos 00:06:06
el producto escalar entre ambos es 00:06:08
el producto de sus coordenadas sumadas 00:06:10
es decir 00:06:13
v por u 00:06:14
todas estas fórmulas las tenéis expresadas 00:06:17
un poquito distinto 00:06:19
en la página 159 00:06:20
¿vale? 00:06:23
yo si hago este producto escalar voy a decir 00:06:25
vx por ux 00:06:27
es decir, multiplico las coordenadas x de los dos 00:06:29
y le sumo 00:06:31
vi por ui 00:06:33
de tal manera que yo ahora ya puedo 00:06:35
igualar esto 00:06:38
con esto 00:06:39
y podría sacar el ángulo que hay entre dos ángulos 00:06:40
o sea, entre dos vectores cualesquiera 00:06:43
de esto haremos ejercicios 00:06:45
¿vale? 00:06:48
por ahora vamos a inventarnos un ejemplo cualquiera 00:06:48
bueno, un ejemplo cualquiera, a ver si uno quede bonito 00:06:50
no, no va a dar bonito ninguno 00:06:52
nos lo inventamos 00:06:55
vale, decidme un vector v 00:06:56
lo que queráis 00:06:58
venga, tres, cuatro 00:07:03
un vector u 00:07:04
5, 0 00:07:07
lo primero, así, a golpe de vista 00:07:11
¿son unitarios? 00:07:14
no, pero vamos, ni por asomo 00:07:19
porque el módulo de ninguno de los dos va a ser 1 00:07:21
pero bueno, eso ya veremos para qué sirve 00:07:25
por ahora lo que queremos averiguar es el ángulo que hay entre ellos 00:07:28
¿cómo lo vamos a hacer? vamos a decir 00:07:31
v por u es igual a 00:07:33
el módulo de v 00:07:37
por el módulo de u 00:07:39
por el coseno del ángulo que nos separa 00:07:41
y por otro lado 00:07:44
v por u 00:07:45
es igual a 3 por 5 00:07:46
más 00:07:49
0 por 4 00:07:51
así que de aquí 00:07:53
ya podemos sacar un numerito 00:07:55
¿qué numerito? 15 00:07:56
entonces tenemos por aquí 00:07:59
un 15 00:08:00
el producto escalar de estos dos vectores vale 15 00:08:02
vamos a averiguar 00:08:05
el ángulo entre ellos 00:08:07
que es lo que nos interesa 00:08:09
para ello, módulo de v 00:08:10
¿cuánto vale? 00:08:12
la raíz cuadrada de 00:08:15
3 al cuadrado 00:08:17
más 4 al cuadrado 00:08:19
es decir, la raíz cuadrada 00:08:21
de 9 más 16 00:08:23
que maravilla, 25 pues nos vale 00:08:25
5, módulo de u 00:08:27
raíz cuadrada 00:08:32
de 5 al cuadrado 00:08:34
más 0 al cuadrado 00:08:36
que maravilla, mira que bien os habéis inventado 00:08:37
los vectores 00:08:39
5 también, ¿vale? 00:08:40
y ahora igualamos 00:08:43
este producto escalar 00:08:45
es igual que este producto escalar, ¿no? 00:08:46
todos lo veis que pone exactamente lo mismo 00:08:48
o sea que yo puedo decir que 00:08:50
5 por 5 00:08:52
por el coseno de alfa 00:08:54
es igual a 15 00:08:56
sí, entonces 00:08:58
el coseno de alfa es igual a 00:09:00
15 partido de 25 00:09:03
que es 3 quintos 00:09:07
pues meto en la calculadora y digo 00:09:09
arco coseno 00:09:13
de 3 quintos 00:09:15
es igual a 00:09:17
y alguien lo hace 00:09:18
a ver que nos da 00:09:19
53 graditos 00:09:21
pues ya tenemos 00:09:46
el ángulo que los separa 00:09:47
vamos a comprobarlo a ver como queda 00:09:50
nos dibujamos nuestro vector v que es el 3,4 00:09:52
voy a hacerlo de 2 en 2 00:09:55
para que quede un poquito más grande 00:09:56
Nos quedaría 3, 4, sería 1, 2 y 3 00:09:57
Y aquí 1, 2, 3 y 4 00:10:02
Este es nuestro vector V 00:10:04
Nuestro vector U 00:10:09
1, 2, 3, 4 y 5, 0 00:10:10
Pues veis que el ángulo entre ellos efectivamente podría ser 53 00:10:15
Que no nos ha salido nada raro para allá 00:10:21
Bien, ¿no? 00:10:24
Pues ya estaría hasta aquí 00:10:27
si es unitario da igual 00:10:28
el ángulo puede ser el mismo 00:10:30
es más, yo en algún momento 00:10:32
de la vida 00:10:34
os pediré que me averigüéis 00:10:36
un vector que tenga 00:10:38
la misma dirección y el mismo sentido que este 00:10:40
es decir, que sea el mismo vector 00:10:42
pero unitario 00:10:44
entonces tendréis que dividir 00:10:46
estas coordenadas entre el módulo 00:10:48
pero eso ya tiene un problema del futuro 00:10:50
eso ya irá sucediendo 00:10:52
por ahora nos da igual lo que midan los vectores 00:10:53
sabemos averiguar su ángulo 00:10:56
sabemos averiguar sus módulos, sabemos situarlos, dibujarlos 00:10:58
y por ahora, todo bien 00:11:01
hasta aquí 00:11:03
Autor/es:
ROCIO ROMERO REOLID
Subido por:
Rocío R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
87
Fecha:
21 de febrero de 2021 - 13:16
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES CELESTINO MUTIS
Duración:
11′ 05″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
960x720 píxeles
Tamaño:
96.80 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid