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ECUACIONES POLINÓMICAS - Contenido educativo
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En este vídeo vamos a ver cómo se resuelven ecuaciones polinómicas hasta cuarto grado,
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que es lo que visteis en tercero, así que es un vídeo de repaso.
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Llevamos con ecuaciones polinómicas y vamos a empezar con las ecuaciones polinómicas
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de menor grado.
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Vamos a empezar con grado 1.
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Los de cuarto B ya vimos en clase 1, pero bueno, pues vamos a ver otra que los de cuarto
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A no han visto ninguna.
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Así que en primer grado pues vamos a poner una ecuación que tenga un poquito de todo,
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que va a ser esta de aquí, entre 15, ¿vale?
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Bueno pues tenemos esta ecuación, tenemos que tener cuidado con este menos de aquí,
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habrá que tener cuidado, y con este menos de aquí habrá que tener también cuidado.
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Y lo primero que hacemos es quitar paréntesis, así que primero quito paréntesis.
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Quitar paréntesis obviamente es operar paréntesis, en este caso es multiplicar aquí y lo que
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nos queda si hacemos esto, pues es 3x más 6 y luego lo demás, que se nos queda exactamente
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igual.
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Bueno, ahora lo que voy a hacer es, segundo, voy a quitar, quito denominadores, y para
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quitar denominadores lo que hago es multiplicar por el común denominador, el común denominador
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es 30, así que multiplicamos por 30 todo, y lo que nos queda es, hacemos 30 entre 5
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a 6, y ese 6 lo multiplicamos ahí arriba, y entonces nos queda 18x más 36.
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Luego tenemos un menos peligroso, menos, paréntesis, 30 entre 2, 15, y entonces nos
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queda 15x menos 45, igual, 30 entre 3, 10, 10x, y luego menos, que vuelve a ser un menos
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peligroso, y 30 entre 15, 2, así que 2x más 4.
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Quitamos ahora paréntesis, lo que voy a hacer ahora es operar, opero en cada miembro y entonces
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nos queda, con cuidado de que este menos cambia de signo todo lo que hay dentro del
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paréntesis, pues nos queda 3x y luego 36 más 45, más, y aquí es un 1, 6, me llevo
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una, 81, igual, y lo mismo, este menos cambia de signo esto, y nos queda 8x menos 4, y ahora
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ya lo que hacemos pues es terminar, lo cuarto que hago es terminar, que ya sabéis que en
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este caso es las letras a un lado, menos 5x, los números para el otro lado, menos 85,
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voy a multiplicar por menos 1, me queda 5x igual a 85, entonces x es 85 entre 5, y 85
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entre 5, pues es 17, así que la solución en este caso es 17, salvo que haya hecho cualquier
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cosa rara por ahí, es 17. Vamos con varios grado 2, para grado 2 podemos, o bien identidad
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notable, o bien sacar factor común, o bien aplicar la fórmula.
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Lo primero de todo, fundamental, es que para grado 2 vamos a querer polinomio igual a 0,
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y ahí es donde pensamos, y además que esté simplificada, que esa ecuación esté simplificada.
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Bueno pues empezamos con la primera ecuación que os voy a dar, que va a ser x cuadrado
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más raíz de 7x menos 1 igual a 0, pues esta es una ecuación de segundo grado que se resuelve
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aplicando la fórmula, y entonces nos queda menos raíz de 7 más menos la raíz de 7 más 4 entre 2,
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y nos queda menos raíz de 7 más menos raíz de 11 entre 2, y obtenemos dos soluciones. Una
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solución es menos raíz de 7 más raíz de 11 entre 2, que es positiva, y otra solución es menos raíz
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de 7 menos raíz de 11 entre 2, que es negativa, y ahí tenemos las dos soluciones y están ahí monísimas.
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Segunda ecuación de segundo grado que vamos a ver, 30x cuadrado menos 20 igual a 0. Bueno,
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lo primero que hacemos en esta ecuación es simplificarla, y entonces al simplificar nos
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queda 3x cuadrado menos 2 igual a 0, simplifico dividiendo entre 10, y ahora sobre esta ecuación
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que tengo pienso, y como puedo despejar x, pues entonces despejo x, x cuadrado es igual a 2
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tercios, y entonces me queda que x es más menos raíz de 2 tercios, como ya hemos visto radicales,
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esto es más menos raíz de 2 entre raíz de 3, y esto es más menos raíz de 6 entre 3, porque aquí
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racionalizo. Así que lo que hemos aprendido en el primer tema, pues aquí nos sirve, y estas son
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las dos soluciones que tiene esta ecuación. Paso a la ecuación 3, y la ecuación 3 va a ser
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x cuadrado menos raíz de 3 x igual a 0. Bueno, pues esta está simplificada y lo que hacemos es
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sacar factor común, y nos queda así, y entonces las soluciones al sacar factor común caen, una es 0
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y otra es raíz de 3, así que estas de aquí, estas que he escrito, son las soluciones, ¿vale? Y bueno,
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de segundo grado, yo creo que ya hemos dado el segundo grado, o bien se saca factor común x,
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¿vale? O bien es una identidad notable, que no he puesto ningún ejemplo, pero sería igual,
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o bien despejamos x, despejar x, o bien hacemos la fórmula. Así que esas son las maneras de
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resolver un segundo grado. Vamos con grado 3. Grado 3. Bueno, y el primer ejemplo de grado 3
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va a ser x cubo más 8 igual a 0. Bueno, pues como aquí podemos despejar x, nos queda x cubo igual a
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menos 8, x igual a raíz cúbica de menos 8. Fijaros que ya no pongo el más menos, el más menos es para
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las raíces pares, y esto es menos 2, así que la solución es menos 2, ¿bien? Si lo que tenemos es,
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segundo ejemplo, x cubo menos 3 igual a 0, bueno, pues aquí nos queda que x cubo es igual a 3, así
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que x es raíz cúbica de 3, y esta es la solución. Vamos con otra. Imaginar que tenemos, tercer ejemplo,
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tenemos 12 x cubo menos 20 igual a 0. Lo primero que hago es simplificar.
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Simplifico, y al simplificar, bueno, pues divido entre 4 y me queda 3 x cubo menos 5 igual a 0,
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y aquí puedo despejar x, entonces me queda 3 x cubo igual a 5, así que x cubo es 5 tercios,
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y entonces x es la raíz cúbica de 5 tercios. ¿Pero qué ocurre? Pues que esto es raíz cúbica
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de 5 entre raíz cúbica de 3, y hay que racionalizar, y nos queda raíz cúbica de 5 por raíz cúbica de
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3 al cuadrado entre 3, y esto es raíz cúbica de 45 entre 3, así que esta es la solución,
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porque racionalizamos. Vale, vamos con otra que tengo que hacer en otra pizarrilla para que me
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quepa. Tenemos la ecuación x cubo más 2 igual a x cuadrado más 2x. Bueno, lo primero de todo,
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como es una ecuación de tercer grado, lo que tengo que hacer es conseguir polinomio igual a 0,
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así que voy a pasar estos dos términos para allá, y me queda x cubo menos x cuadrado menos 2x más 2
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igual a 0, y ahora lo que hacemos es Ruffini, y bueno, los candidatos son más menos 1 y más menos
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2, y bueno, pues voy a probar, voy a hacer lo mismo que he hecho para descomponer. En lugar
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de ponerme a hacer Ruffini al buen tuntún, voy a probar, y entonces si a esto le llamo p de x,
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pues voy a calcular p de 1, y p de 1 es 1 menos 1 menos 2 más 2, es 0, candidato,
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así que hago Ruffini con el 1, y hago con el 1, un 0, un 0, un menos 2, menos 2, 0. Bien,
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y entonces lo que nos queda es x menos 1, porque es el paquete, y luego x cuadrado menos 2,
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x cuadrado menos 2, viene de ahí abajo, y ya puedo hacer que caigan las soluciones,
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de aquí cae esta solución, y de aquí cae más menos raíz de 2, así que estas son las soluciones.
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¿Vale? Porque resulta que cuando tenéis un polinomio, polinomio igual a 0, las raíces
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del polinomio, del p de x, son las soluciones de la ecuación, ecuación p de x igual a 0, ¿vale?
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Y esto, bueno, pues es lo que vamos a estar utilizando, porque vamos a seguir descomponiendo
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polinomios. Pasamos al siguiente ejemplo, y en el siguiente ejemplo, que es el número 5,
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pues tenemos x cubo menos 3x cuadrado más 3x menos 1, igual a 0. Aquí haría Ruffini,
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salvo que os deis cuenta que podemos meter aquí binomio de Newton. Si metemos el binomio de
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Newton, esto es x menos 1 al cubo, y entonces de aquí cae un 1 triple, y esta es la solución.
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¿Vale? Así que si os dais cuenta de un binomio, pues termináis muchísimo antes. Y como último
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ejemplo de grado 3, os voy a dar el polinomio x cuadrado por x menos 2 igual a 13x más 10. Bueno,
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aquí lo primero que hay que hacer es operar y dejarlo, hay que operar, ¿vale? Y dejarlo todo
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como polinomio, polinomio igual a 0. Y entonces opero y me queda x cubo menos 2x cuadrado menos
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13x menos 10 igual a 0. Bueno, hay que hacer Ruffini, y los candidatos, pues son más menos 1,
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más menos 2, más menos 5 y más menos 10. Si esto es el polinomio p, pues resulta que cuando yo hago
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p de 1, me queda 1 menos 2 menos 13 menos 10, que no es 0, pero cuando hago p de menos 1,
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sí que me queda 0. Así que voy a hacer en el otro, en la siguiente pizarra, voy a hacer Ruffini con
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menos 1. Entonces me queda 1 menos 2 menos 13 menos 10 y hago Ruffini con menos 1. Y me queda
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aquí 1 menos 1, 2, 1 menos 1 menos, perdón, menos 3, menos 3, 3, menos 10, 10, 0. Y entonces lo que
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obtengo es x más 1, que es el paquete que sacó, y de aquí un polinomio del segundo grado, x cuadrado
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menos 3x menos 10 igual a 0. De aquí cae un menos 1 y de aquí cae la fórmula. Y la fórmula pues la
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aplico 3 más menos la raíz de 9 más 40 entre 2. Y entonces me queda 3 más menos 7 entre 2 y me sale
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por un lado 5 y por otro lado menos 1. Así que las soluciones son menos 1 doble, menos 1 doble,
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y está bien todo, ¿verdad? 3 menos, ah, no, no, no, menos 2, perdón, esto es menos 2. Así que
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las soluciones son menos 1, 5 y menos 2. Bueno, mejor ordenadas, menos 2, menos 1 y 5, ¿vale? Está
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bien ahora ya, ¿no? 3 menos 7 menos 4 entre 2 menos 2, ¿bien? Y vamos con las de cuarto grado, grado 4.
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Bueno, grado 4, aquí hay un montón de posibilidades. Por ejemplo, que tengamos x a la 4 menos 2x
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cuadrado más 1 igual a 0. Bueno, pues está que podemos tirar de identidad notable y entonces lo
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que nos queda es x cuadrado menos 1 al cuadrado igual a 0. Y entonces lo que hacemos ahora es
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sacar las raíces de aquí, las raíces de aquí son más menos 1 y como tenemos aquí un cuadrado doble.
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Así que las soluciones, las soluciones son menos 1 doble y 1 doble. Tiene 4 soluciones en total,
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menos 1, menos 1, 1 y 1. La segunda, pues pongamos que tenemos un 10x a la cuarta menos 2x al cubo
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igual a 0. Lo primero que hacemos es simplificar y al simplificar me queda 5x a la cuarta menos x
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cubo porque divido entre 2 y ahora lo que hago es sacar factor común y al sacar factor común me queda
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x cubo por 5x menos 1 y entonces de aquí cae un 0 triple y de aquí cae un quinto. Tercer ejemplo,
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¿qué pasa si tenemos x a la cuarta más 4x 2 más 3 igual a 0? Pues que esta es una ecuación
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bicuadrada y como es una ecuación bicuadrada pues aplicamos la fórmula despejando x al cuadrado y
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nos queda 16 menos 12 entre 2 o sea menos 4 más menos 2 entre 2 y nos sale por un lado menos 1
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y por otro lado menos 3. ¿Qué ocurre? Que entonces tenemos x cuadrado igual a menos 1 que no tiene
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solución y por otro lado x cuadrado igual a menos 3 que no tiene solución y entonces lo que ocurre
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con esta ecuación es que no tiene solución. Poníamos que no existe. ¿Vale? Importante hay
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ecuaciones que no tienen solución y si no tienen solución pues no tienen solución y se acabó.
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4. Imaginar que lo que tenemos es esta otra ecuación bicuadrada. Un momento que os la
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monto para que x a la 4 menos x al cuadrado menos 2 igual a 0. Bueno pues volvemos a
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despejar x cuadrado y entonces nos queda así y nos sale 1 más menos 3 entre 2 y nos sale por
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un lado 2 y por otro lado menos 1. De aquí sacáis que x cuadrado vale 2 y entonces x es más menos
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raíz de 2. Estos son soluciones y de aquí sacáis que x cuadrado es igual a menos 1 y entonces aquí
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no existe. En este caso esta ecuación tiene dos soluciones y por último voy a coger una pizarra
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entera. Tenemos la ecuación x a la 4 menos 6 x cubo más 13 x cuadrado menos 12 x más 4 igual a
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0. Bueno esta ecuación como no podemos sacar factor común ni es identidad notable ni es una
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ecuación bicuadrada pues no tenemos más remedio que intentar resolverla con Ruffini. Los candidatos
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en este caso pues son más menos 1 más menos 2 y más menos 4 y si tomo este polinomio como PDX
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pues entonces si calculamos PD1, PD1 resulta que me sale 1 menos 6 más 13 menos 12 más 4. Se supone
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que esto nos tendría que dar 0 efectivamente y entonces hacemos Ruffini
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con el 1 y menos 6, 13, menos 12, 4. Y al hacer Ruffini con el 1 pues nos queda
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algo hecho mal
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esto es
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1, 8, 8, menos 4, menos 4, 0. Entonces ya tengo un paquetito que es x menos 1 y aquí
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y aquí nos queda un polinomio de grado 3. Este aquí es un polinomio de grado 3 y ahora lo que
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voy a hacer es volver a encadenar Ruffini y este Ruffini voy a probar a ver si me sale con 1 de
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nuevo y resulta que si pruebo con 1 de nuevo bueno pues también me sale. Entonces tengo otro
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paquete x menos 1 y luego tengo x cuadrado menos 4x más 4 igual a 0. ¿Qué ocurre? Pues que este
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último paquete es una identidad notable es x menos 2 al cuadrado así que de aquí cae un 1,
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de aquí cae otro 1 y aquí cae un 2 doble. Las soluciones serán 1 doble y 2 doble.
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Bueno pues copiar todo esto en el cuaderno y el próximo día seguimos.
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- Autor/es:
- Belén Alzola
- Subido por:
- Belén A.
- Licencia:
- Dominio público
- Visualizaciones:
- 46
- Fecha:
- 20 de octubre de 2022 - 16:43
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES FRANCISCO AYALA
- Duración:
- 20′ 09″
- Relación de aspecto:
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