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Campo eléctrico creado por una esfera maciza - Contenido educativo

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Subido el 8 de febrero de 2021 por Àngel Manuel G.

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En este vídeo calculamos el campo eléctrico creado por una esfera maciza con carga repartida uniformemente usando la ley de Gauss.

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En este vídeo vamos a aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico creado por una esfera maciza. 00:00:04
Tenemos una esfera, maciza significa que está llena, que por dentro tiene masa, 00:00:13
tiene un radio R mayúscula y una carga total Q. 00:00:19
Esta esfera es uniforme, además de ser maciza, es uniforme, 00:00:25
que significa que esta carga Q está repartida a lo largo de toda la masa. 00:00:30
Es decir, si cojo menos esfera, estoy cogiendo menos carga. 00:00:34
Vamos a empezar escribiéndonos la ley de Gauss. 00:00:40
Ley de Gauss, que recordemos que lo que nos dice es que el flujo a través de una superficie cerrada, 00:00:42
por eso le ponemos la redondita a la integral, y el flujo era campo producto escalar con diferencial de superficie es igual a carga interior entre epsilon cero. 00:00:56
Vamos a fijarnos en nuestro dibujo y vamos a distinguir dos casos. 00:01:16
El primer caso va a ser el caso sencillo en el cual nosotros vamos a estar aquí fuera, en cualquier punto de esta línea de aquí, 00:01:21
siempre vamos a tener el mismo campo porque recordamos que el campo solo depende de la distancia 00:01:33
entonces nos vamos a colocar a esta distancia r y la carga interior va a ser toda la carga de nuestra esfera 00:01:39
que nos está generando el campo. La segunda situación la voy a pintar de color rojo y es si me pongo por ejemplo 00:01:49
en un punto como este. Esto lo podría hacer haciendo un agujero muy pequeño de tal manera que si esta esfera 00:01:56
es muy grande casi no se va a notar y bajando por el agujero y colocándome aquí. El campo eléctrico 00:02:03
que sentiría en esta esfera de aquí solamente estaría provocado por la carga interior. Entonces 00:02:09
la carga interior no será toda la carga de la esfera. Esto no significa que esta parte de aquí 00:02:16
por ejemplo no produzca campo sino que hacia este lado tengo una parte mucho más pequeña que tira 00:02:25
aquí hacia acá y hacia este lado tengo una parte mucho más grande pero más lejana que diría hacia 00:02:31
el otro lado y por esto esta parte digamos exterior se anula y solo tengo que tener en 00:02:36
cuenta la parte interior vamos a ver cómo resolvemos este problema en sus dos partes 00:02:41
la parte exterior y la parte interior en primer lugar vamos a fijarnos en la parte izquierda de 00:02:48
la integral esta parte izquierda no tiene la carga en ningún sitio como no tiene la carga 00:02:54
nos da igual si estamos fuera o estamos dentro, entonces vamos a empezar resolviendo esta parte de aquí 00:03:00
nos vamos a dar cuenta de que en este problema tenemos simetría esférica 00:03:07
¿qué significa que tengo simetría esférica? significa que si yo giro hacia un lado o hacia el otro 00:03:15
mi problema no cambia porque como esto es una esfera 00:03:25
yo veo lo mismo, esté donde esté 00:03:30
siempre y cuando no me aleje, si me alejo sí 00:03:33
si me alejo, si me voy más lejos pues veo la esfera más pequeña 00:03:35
si me voy más cerca veo la esfera más grande 00:03:39
pero si me mantengo a la misma distancia y giro alrededor de la esfera 00:03:41
ni en esta dirección ni en esta dirección voy a notar un cambio 00:03:44
a esto le llamamos simetría esférica 00:03:48
por eso vamos a aplicar dos cosas 00:03:50
Primero vamos a utilizar, usamos coordenadas esféricas, coordenadas esféricas, fijémonos que esto ya lo hemos hecho, hemos puesto aquí R en lugar de poner XYZ y en segundo lugar las superficies que cojamos, superficies, van a ser conchas esféricas o superficies esféricas, conchas esféricas. 00:03:54
Como hemos dicho en otros vídeos, balones, ¿no? Va a ser pues un balón que tendrá la carga dentro. 00:04:26
Muy bien, vamos a empezar entonces con esta parte de aquí. Voy a dibujarlo en la esfera de aquí fuera, ¿vale? 00:04:36
Para aplicar la ley de Gauss recordamos que este vector diferencial de S siempre tiene que ser perpendicular a todos los puntos y hacia afuera del volumen encerrado. 00:04:44
Por ejemplo, si cojo este punto de aquí, el diferencial de S será este de aquí. 00:04:53
¿Cómo será el campo eléctrico que me genera la carga en ese punto de ahí? 00:05:02
Pues será justamente paralelo al diferencial de S. 00:05:06
Como son paralelos, el campo producto escalar con diferencial de S será el producto de sus módulos. 00:05:13
Podríamos poner por el coseno de 0, que es 1, ya no lo pongo, y nos queda solamente el producto de sus módulos. 00:05:25
Ahora bien, como esto tiene, hemos dicho, simetría esférica, este campo solo puede depender de la distancia a la que me encuentro de la carga. 00:05:32
Esto sería un campo que solo depende de la coordenada r, no puede depender ni de cita ni de fi, no puede depender si giro así o así, porque hemos dicho que el problema no cambiaba. 00:05:41
Y aquí me falta el diferencial de S. Por ese motivo, cuando yo he elegido una superficie que es una concha esférica, es decir, un trozo, una esfera que está toda a la misma distancia, este campo de aquí va a ser constante. 00:05:53
Cuando haga esta integral, va a salir fuera de la integral. Esta integral será lo mismo que campo sacado fuera por la integral de DS. 00:06:08
esta integral de ds significa que vamos a sumar todos los trocitos alrededor de toda la esfera 00:06:23
es decir es la superficie de la esfera 00:06:32
esta parte izquierda de la integral por lo tanto vamos a repetir aquí 00:06:34
el flujo de campo va a ser el propio campo 00:06:39
que no sabemos cuánto vale es lo que estamos intentando determinar 00:06:46
por la superficie de la esfera que sabemos que es 4pi r al cuadrado 00:06:50
esta r es esta r de color verde 00:06:56
o está R de color rojo, depende del caso en el que estemos 00:06:58
Hemos hecho la parte izquierda de la integral 00:07:01
Vamos a resolver ahora la parte derecha de la integral 00:07:04
pero la parte derecha va a depender de si estoy en el caso verde 00:07:07
o si estoy en el caso rojo 00:07:11
Vamos a hacer en primer lugar el caso verde 00:07:12
¿Qué ocurre si R es mayor que el radio de nuestra esfera? 00:07:16
entonces la carga interior es obviamente toda la carga de la esfera 00:07:27
como es toda la carga de la esfera simplemente tengo que poner aquí una q 00:07:31
y lo que me queda es esta parte izquierda 00:07:35
campo por 4pi r cuadrado 00:07:39
va a ser igual a carga interior que hemos dicho que era q 00:07:44
entre epsilon sub 0 00:07:48
si ahora despejamos el módulo del campo 00:07:51
es 1 sobre 4 pi 00:07:55
epsilon 0 carga entre R2 00:07:59
observemos que esta fórmula es exactamente igual al campo 00:08:04
que creaba una carga puntual, esto se debe a que visto 00:08:08
desde fuera esto podría asemejarse a una carga positiva 00:08:12
puesta en el centro o negativa, si esta Q es negativa pues esta Q es negativa 00:08:16
y tenemos exactamente lo mismo, podríamos sustituir esta parte de aquí 00:08:19
por K y recuperaríamos la fórmula general 00:08:23
del campo. Fijémonos que solo hemos encontrado el módulo. ¿Por qué? 00:08:28
Porque ya hemos dibujado aquí el vector y hemos dicho que era un vector paralelo a este 00:08:31
diferencial de S. Como es paralelo a este diferencial de S, será un vector 00:08:36
radial y hacia afuera. Si yo quisiera poner el vector, simplemente 00:08:40
debería añadir a toda la fórmula 00:08:44
4pi, epsilon 0, Q, R2 00:08:47
y ahora tenemos que añadir dirección radial y hacia afuera, que es este vector R gorrito que ponemos siempre. 00:08:52
Vamos a ir al caso rojo. El caso rojo es cuando R es más pequeña que R grande, es decir, cuando estamos dentro de la esfera. 00:09:01
¿Qué ocurre? Que ahora la carga interior no es toda la carga, sino es solamente una parte. 00:09:13
Para estos casos nos vamos a definir la densidad de carga que se escribe con esta letra ρ 00:09:18
Y esta letra ρ no es más que la carga total dividida entre el volumen de la esfera 00:09:25
Pero además esto coincide con la carga interior dividido entre el volumen interior 00:09:33
es decir, si cojo menos carga, o sea, perdón, menos esfera 00:09:42
voy a tener menos carga de una forma proporcional al volumen 00:09:47
de aquí, si sustituimos la V por el volumen 00:09:50
observaremos que esto es carga total entre 4 tercios de pi 00:09:56
por el radio de la esfera al cubo 00:10:02
esto es el volumen total 00:10:05
es igual a la carga interior 00:10:06
y ahora quiero el volumen de la esfera roja, que será 4 tercios pi r cubo, r pequeña. 00:10:09
Esta es r grande porque es la esfera completa, esta es r pequeña porque es la esfera pequeña. 00:10:21
4 tercios de pi se puede ir y podemos despejar esta carga interior, 00:10:26
carga interior que será pasando este R cubo multiplicando R sobre R elevado a 3 por la carga total. 00:10:30
Pues bien, ahora podemos sustituir esto en la parte izquierda, esto en la carga interior, me falta el epsilon sub 0 también 00:10:45
y tendremos que el campo por 4 pi r2 es igual a la carga interior, que es este término de aquí, r sobre r elevado a 3 por q y dividido entre épsilon sub cero. 00:10:52
Si aquí despejamos el campo, observaremos que el campo va a ser este 4pi que pasa dividiendo con la r al cuadrado 00:11:12
4pi epsilon 0, 1 sobre r al cuadrado, que es este r al cuadrado de aquí 00:11:25
r al cubo entre r al cubo y por q 00:11:34
observemos que esta r al cuadrado con este r al cubo simplifica 00:11:39
y nos queda 1 sobre 4pi epsilon sub 0 00:11:44
y nos queda carga por r entre r al cubo 00:11:49
si tuviésemos el campo vectorial añadiríamos el r al gorrito 00:11:56
vamos a analizar esta expresión 00:12:02
esto nos está diciendo que dentro de la esfera 00:12:05
si r pequeña se hace pequeño, es decir, si me acerco al centro de la esfera 00:12:08
como va habiendo menos carga, esto se va haciendo cada vez más pequeño 00:12:12
sin embargo si estoy fuera de la esfera, como la carga es todo el rato la misma 00:12:16
vamos a ir reduciendo también el campo a partir de un valor máximo 00:12:20
que coincidirá con cuando esté sobre la superficie de esta esfera 00:12:24
si esto lo representamos en una gráfica, esto es r 00:12:27
y esto es el módulo del campo, como es el módulo 00:12:34
siempre va a ser positivo vamos a tener bueno vamos a tener un punto que va a ser el punto 00:12:41
donde estamos sobre la superficie de la esfera y entonces vamos a tener para radios menores 00:12:49
tendremos esta ecuación de aquí vale si radios y r pequeña es cero todo esto de aquí es cero 00:12:57
por lo tanto partimos de aquí y en el punto R hemos dicho que teníamos este máximo 00:13:03
entonces esto va a ser lineal, fijémonos que va como R 00:13:08
porque todo lo demás, Q es constante, R cubo es constante, R grande es constante 00:13:13
y todo esto es constante, esto va proporcional a R 00:13:17
más allá del radio empezamos a decaer como 1 sobre R cuadrado 00:13:21
1 sobre R cuadrado tiene una forma como así, 1 sobre R cuadrado 00:13:27
y esto sería la representación de esto que nos ha salido como consecuencia de la utilización de la ley de Gauss 00:13:34
y así es como calcularemos el campo creado por una esfera maciza 00:13:43
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Àngel M. Gómez Sicilia
Subido por:
Àngel Manuel G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
136
Fecha:
8 de febrero de 2021 - 20:11
Visibilidad:
Público
Duración:
13′ 53″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
461.52 MBytes

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