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PR4. 6.2. Ejercicio 12 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 14 de marzo de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal. 00:00:21
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 12. 00:00:31
En este ejercicio se nos pide considerar una máquina que produce botones, de los cuales 00:00:47
el 10% resultan defectuosos. 00:00:51
Tomando una muestra de 400 botones al azar, se nos pide calcular la probabilidad de que en la muestra, en primer lugar, haya como mucho 30 botones defectuosos. 00:00:54
Si pensamos en el tipo de distribución de probabilidad subyacente, pensamos en que se trata de una distribución binomial. 00:01:03
Y x, la variable que cuenta el número de botones defectuosos en una muestra de n igual a 400 botones, sigue una distribución binomial con n igual a 400, como acabo de decir, 00:01:10
y probabilidad de éxito igual al 10%, que es 0,1. 00:01:20
Y se nos pide, en este caso, calcular la probabilidad de que x sea menor o igual que 30, 00:01:26
que haya como mucho 30 botones defectuosos. 00:01:31
Eso supondría calcular la probabilidad de que x fuera igual a 0, igual a 1, igual a 2, etc., etc., hasta 30, 00:01:34
y sumar esas 31 probabilidades. 00:01:39
Puede hacerse, pero resulta muy laborioso. 00:01:42
Y nos preguntamos por cuál es la posibilidad de transformar ese cálculo laborioso en uno más sencillo utilizando la distribución normal. 00:01:44
Para hacer la aproximación lo que vamos a hacer es en primer lugar calcular la media de la distribución binomial n por p que es 40 y la desviación típica, la red cuadrada de n por p por 1 menos p que resulta ser 6. 00:01:54
Puesto que el número de repeticiones es suficientemente grande, el teorema de De Majo en Laplace nos habla de n tendiendo infinito, 400 pensamos que es suficientemente grande, 00:02:08
lo que vamos a hacer es no considerar esta variable aleatoria x, sino una variable aleatoria y normal con media 40 y desviación típica 6. 00:02:19
Vamos a utilizar la corrección de Yates y entonces, puesto que se nos pide calcular la probabilidad de que X, mi variable binomial, sea menor o igual que 30 00:02:29
lo que voy a hacer es hacer el cálculo con Y, distribución normal, pero en este caso voy a calcular la probabilidad de que Y sea menor o igual que 30 más 0,5 00:02:39
para incluir el 30. Lo primero que voy a hacer es, bien, Y sigue una distribución normal pero no es estándar 00:02:49
Para estandarizar voy a restar la media y dividir entre la desviación típica. 00:02:57
La media, la desviación típica de la normal, que coincide con la media, la desviación típica de la binomial, por supuesto. 00:03:01
Así pues, lo que tengo es que calcular la probabilidad de que z, variable normal estándar, sea menor o igual que menos 1,58. 00:03:07
Tengo la cola de la izquierda de una abscisa negativa. 00:03:16
Así que voy a hacer uso de la simetría de la función de densidad de probabilidad 00:03:20
y voy a calcular esta probabilidad como la de que z sea mayor o igual que 1,58, 00:03:23
mayor o igual que el simétrico, que sería positivo. 00:03:29
Ahora tengo la probabilidad de una cola de la derecha. 00:03:32
Para transformarlo en la probabilidad de una cola de la izquierda, 00:03:35
tengo que hacer uso del suceso contrario. 00:03:37
Y esta probabilidad es 1 menos la probabilidad del suceso contrario a este, 00:03:39
será la probabilidad de que z sea menor que 1,58. 00:03:45
Esta probabilidad la puedo leer en la tabla de la distribución normal, es 0,9429, y la probabilidad pedida resulta ser 0,0571. 00:03:48
Si hiciéramos el cálculo con la distribución binomial, es normal que encontráramos un valor muy similar a este, 00:03:59
puesto que la aproximación es razonable, aunque desde luego no sería idéntico. 00:04:06
En el apartado B se nos pide hallar la probabilidad de que en esa muestra de 400 botones haya entre 25 y 45 botones defectuosos. 00:04:10
Esta discusión acerca de la distribución normal equivalente a este binomial no la vamos a repetir. 00:04:21
Sencillamente vamos a calcular esa probabilidad de que X esté comprendido entre 25 y 45 utilizando la corrección de Yates. 00:04:28
como la probabilidad de que y, la distribución normal, la variable de la teoría, perdón, que sigue la distribución normal, 00:04:39
esté comprendido entre 25 menos 0,5 para incluirlo y 45 más 0,5 para incluirlo. 00:04:45
Esta y sigue una distribución normal pero no estándar, así que vamos a ahora restar la media 00:04:53
y dividir entre la desviación típica para que tengamos una distribución normal estándar aquí. 00:05:00
Y esta probabilidad con la binomial equivale a esta probabilidad con una distribución normal, que equivale a esta ya, con una distribución normal estándar, de que z esté comprendido entre menos 2,58 y 0,92. 00:05:05
Se va a calcular cómo la probabilidad de que z sea menor o igual que este extremo superior, 0,92, menos la probabilidad de que z sea menor o igual que este extremo inferior, menos 2,58. 00:05:20
Esta probabilidad de que z sea menor que un número positivo, la cola de la izquierda de una abscisa positiva, se podrá leer directamente en la tabla. 00:05:32
Aquí tengo la cola de la izquierda, probabilidad menor o igual que una abscisa negativa. 00:05:40
Lo que voy a hacer es uso, en primer lugar, de la simetría de la función de densidad de probabilidad. 00:05:46
Esta probabilidad es igual a la probabilidad de que z sea mayor o igual que el simétrico positivo, 2,58. 00:05:50
y puesto que tengo una cola de la derecha, tengo que hacer uso del suceso contrario para escribirla como 1 menos la probabilidad del suceso contrario a este, 00:05:57
que es la probabilidad de que z sea menor que 2,58. Cuidado con estos corchetes que he puesto aquí. 00:06:06
Esta probabilidad, z menor que 0,92, dije que se podía leer directamente en la tabla. Esta otra también, probabilidad de la cola de la izquierda, z menor que un valor positivo. 00:06:13
La primera resulta ser 0,8212, la segunda 0,9951 y, haciéndolo a operación, la probabilidad pedida resulta ser 0,8163. 00:06:21
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:06:35
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:06:41
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:06:46
Un saludo y hasta pronto. 00:06:51
¡Gracias! 00:06:53
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
10
Fecha:
14 de marzo de 2025 - 10:52
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
07′ 20″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
17.70 MBytes

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