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Cálculo de límites en un punto - Contenido educativo
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Cálculo de límites en un punto
En este vídeo vamos a ver cómo se calculan los límites de funciones en un punto.
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Bien, para calcular los límites de funciones en un punto lo que vamos a hacer va a ser sustituir en la función x por el punto.
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Si obtenemos un número real, pues ya está, ese va a ser el límite.
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Bien, aquí hacemos el límite cuando x tiende a menos 1, entonces sustituimos la x por menos 1.
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¿Y qué nos queda? Pues nos queda menos 1 al cuadrado menos menos 1 menos 2 y partido por menos 1 al cuadrado menos 4 por menos 1 y más 4.
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El límite pues es 1 más 1 menos 2 partido por 1 más 4 más 4.
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Este límite pues es 0 partido por 9 y 0 partido por 9 pues es igual a 0.
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Y ya habríamos terminado.
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Bien, ¿qué ocurre cuando al calcular el límite nos queda un número partido por 0?
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Bueno, pues si nos queda un número partido por cero, esto va a ser siempre o infinito o menos infinito,
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o bien los límites laterales van a ser uno infinito y otro menos infinito.
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En estos casos siempre hay que calcular los límites laterales, a no ser que podamos determinar el signo del cero sin calcular los límites laterales.
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Bien, lo primero que tenemos que hacer, igual que antes, siempre en los límites en un punto es sustituir la x por el punto, en este caso por menos 2.
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Y nos queda 1 menos 2 por menos 2 partido por 2 más menos 2. Esto es 5 partido por 0.
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Nos queda un número partido por 0, entonces calculamos los límites laterales.
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Siempre que nos queda un número partido por 0, el límite va a ser o bien infinito o bien menos infinito,
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o bien no va a existir el límite porque por un lado tiene infinito y por otro lado tiene menos infinito.
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De hecho, bueno, nunca va a existir porque decir que un límite es infinito no tiene sentido.
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Para que un límite exista, tiene que ser un número real.
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Bien, entonces calculamos el límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda.
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Límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda.
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Y el límite cuando x tiende a menos 2 por la derecha de la misma función.
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Bien, volvemos a sustituir, nos vuelve a quedar lo mismo, 5 partido por 0, aquí abajo también 5 partido por 0,
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y bueno, cuando calculamos los límites laterales lo que hacemos es determinar el signo de ese 0.
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Entonces vamos a pensar un momento, a ver, si aquí está el 0 y aquí está el menos 2, si me acerco a menos 2 por la izquierda,
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Los valores que están a la izquierda de menos 2 son valores como menos 2,1, menos 2,01, valores cercanos a menos 2.
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Y si nos aproximamos a 2 por la derecha, pues nos acercamos por valores como menos 1,9, menos 1,99.
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Muy bien. Bien, ¿cómo es el signo de 2 más x? Pues 2 más x será 2 más menos 2,1 y eso va a ser negativo.
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Si nos acercamos por la izquierda, pues esta suma de estos valores, 2 más x, será 2 más menos 2,1, va a ser negativo.
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Por lo tanto, este 0 va a ser negativo. El límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda va a ser 5 partido por 0 menos. Y eso es menos infinito. Más entre menos, menos. Menos infinito.
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Y si nos acercamos a menos 2 por la derecha, entonces en ese caso 2 más x pues será de la forma 2 más menos 1,9.
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Y esto va a ser mayor que 0, siempre. Por lo tanto va a ser positivo. Va a ser más entre más, más infinito.
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Por tanto, el límite cuando x tiende a menos 2, pues vamos a decir que no existe,
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porque por la izquierda tiende a menos infinito y por la derecha tiende a infinito.
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Pero en el caso de que fuese infinito, pues tampoco existiría,
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porque para que exista un límite, éste tiene que ser un número finito.
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Bien, vamos a ver ahora qué ocurre cuando obtenemos una expresión de la forma 0 partido por 0.
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0 partido por 0 es una indeterminación.
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Entonces, ¿cómo se resuelven estas indeterminaciones en los límites cuando x tiende a un punto? Pues factorizando numerador y denominador.
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Entonces, bueno, lo primero que tenemos que hacer es identificar la indeterminación. Sustituimos y nos queda 1 al cubo menos 1, 0. 1 al cubo menos 1 partido por 1 al cuadrado menos 1, 0 partido por 0. Indeterminación, ¿vale?
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Porque una indeterminación no es igual a nada. Entonces lo ponemos aquí abajo y la resolvemos arriba. Indeterminación. Y nos queda el límite cuando x tiende a 1, tengo que factorizar numerador y denominador.
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Yo ya sé que el 1 va a ser una raíz porque me sale 0.
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Por lo tanto, bueno, el denominador es fácil.
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El denominador es una diferencia de cuadrados, se puede poner como x menos 1 por x más 1.
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Y el numerador, pues lo vamos a hacer por Ruffini.
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x cubo menos 1, pues lo podemos factorizar aplicando Ruffini.
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Ponemos los coeficientes, 1, 0x cuadrado, 0x menos 1, y ¿con quién vamos a probar?
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Vamos a probar con el 1 porque el 1 sabemos que es una raíz.
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1, 1, 1, 0.
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Un factor va a ser x menos 1 y el otro factor va a ser x cuadrado más x más 1.
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Este polinomio ya es irreducible porque no tiene raíces reales, podemos comprobarlo, pero no lo voy a hacer ahora en este momento, y bueno, factorizamos, x menos 1 por x cuadrado más x más 1.
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Simplificamos, x menos 1 y x menos 1, simplificamos los factores que hacen 0, el numerador y el denominador,
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y ahora volvemos a sustituir.
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¿Y qué nos queda? Pues 1 al cuadrado más 1 más 1, de 1 más 1.
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Y esto es igual a 3 medios.
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El límite cuando x tiende a 1 de esa función, pues es igual a 3 medios.
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Bien, vamos a ver ahora cómo se resuelven las indeterminaciones 0 partido por 0 cuando aparecen diferencias de raíces.
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Cuando aparece una diferencia de raíces, la resolvemos multiplicando numerador y denominador por el conjugado.
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Bien, primero vamos a identificar la indeterminación, sustituimos y nos queda 1 menos 1 partido por 3 menos la raíz de 1 más 8 que es 9, eso es 0 partido por 0 indeterminación, ¿vale?
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Bien, lo ponemos aquí abajo porque una indeterminación no es igual a nada, entonces no tendría sentido poner que esto es igual al límite de lo que fuese, ¿no? Entonces lo ponemos aquí abajo, ¿vale?
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Y resolvemos esta indeterminación y nos queda pues el límite cuando x tiende a 1 de 1 menos x por 3 más raíz de 3 de x más 8 de x más 8.
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Y partido por 3 menos la raíz de x más 8 por 3 más la raíz de x más 8.
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Lo que hacemos es multiplicar numerador y denominador por el conjugado,
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con lo que obtenemos una expresión equivalente a la anterior, ¿no?
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Porque aquí se podría simplificar y quedaría igual.
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Y esto nos queda, pues el límite cuando x tiende a 1 de 1 menos x por 3 más raíz de x más 8, dividido entre suma por diferencia y diferencia de cuadrados.
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cuadrado del primero que es 9, menos el cuadrado del segundo, raíz de x más 8 al cuadrado, y esto nos queda el límite, cuando x tiende a 1, de 1 menos x por 3 más raíz de x más 8,
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Y bueno, pues esto aquí, ¿qué nos va a quedar? Nos va a quedar 9 menos x menos 8, ¿vale? Al quitar el cuadrado con la raíz, ¿vale? El menos cambia todo de signo, sería menos x menos 8, 9 menos 8, 1, pues sería 1 menos x también, ¿no?
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1 menos x
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1 menos x
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bien
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si volvemos a calcular el límite
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nos queda 0 partido por 0
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normalmente multiplicamos por el conjugado
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y después de multiplicar por el conjugado
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nos sigue quedando 0 partido por 0
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entonces lo que tenemos que hacer es factorizar
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aquí ya lo tenemos factorizado
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el 1 menos x y el 1 menos x
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lo podemos simplificar
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y bueno pues nos queda el límite
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cuando x tiende a 1
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Cuando x tiende a 1 de 3 más la raíz de x más 8, pues esto es igual a 3 más 3, 6, ¿vale?
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Entonces, bueno, repasamos un poco este límite.
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Cuando obtenemos indeterminación 0 partido por 0 y aparecen diferencias de raíces,
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se multiplica numerador y denominador por el conjugado.
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Una vez que hemos multiplicado, pues nos vuelve a quedar 0 partido por 0.
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Entonces, factorizamos, como habéis visto aquí, ¿vale? Factorizamos y resolvemos ya el límite.
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Bien, vamos a ver ahora una indeterminación del tipo 0 por infinito.
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¿Cómo se resuelven las indeterminaciones 0 por infinito?
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Pues en este caso se resuelve simplemente operando y obteniendo una vez después, después de operar obtenemos pues una indeterminación por el tipo cero partido por cero o resolvemos la indeterminación directamente.
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Bien, este límite, pues aquí va a ser igual, pues este límite va a ser igual a 1 partido por 0 al cuadrado, 1 partido por 0 al cuadrado, por 1 medio menos 1 medio, ¿vale?
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Al sustituir la x por cero, pues cero más dos es dos, y cero al cuadrado más dos es dos.
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Por lo tanto, uno partido por cero al cuadrado, eso es infinito.
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Eso es infinito, además es un infinito positivo, porque es cero al cuadrado, eso siempre va a ser positivo.
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Por cero, infinito por cero, indeterminación.
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Bien, entonces la vamos a resolver operando.
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Bueno, en el segundo de bachillerato, pues veremos que este tipo de indeterminaciones se pueden resolver también
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transformando la función y aplicando la regla del orbital, pero en el nivel
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en el que nos encontramos ahora en primero de bachillerato, pues las vamos a resolver
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simplemente operando. Además, todavía no hemos visto derivadas.
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Y bueno, pues este límite será igual a
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el límite cuando x tiende a cero
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de 1 partido por x cuadrado
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y bueno, pegamos aquí en el paréntesis y nos queda x cuadrado
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1 más 2 menos x más 2, x más 2 por 1, y dividido entre x más 2 por x cuadrado más 2.
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Vamos a dejarlo, este término de abajo del denominador lo vamos a dejar así, porque luego igual tenemos que factorizar,
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entonces mejor lo dejamos así sin multiplicar.
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En los límites cuando x tiende a un punto, pues es mejor dejarlo todo factorizado.
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Y nos queda, pues, el límite cuando x tiende a 0 de x cuadrado más 2 menos x menos 2,
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los dos se los podemos simplificar, partido por x cuadrado por x más 2 por x cuadrado más 2.
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Fijaos, al multiplicar 1 por el numerador, pues se queda todo igual.
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Nos queda el límite, cuando x tiende a 0, de x cuadrado menos x partido por x cuadrado por x más 2 por x cuadrado más 2.
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Por repetir, cuando se calculan límites en un punto, pues es mejor dejarlo todo, todos los productos indicados y no multiplicar nada, porque luego hay que factorizar.
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Bien, este límite volvemos a sustituir y nos queda 0, menos 0, 0.
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Y aquí 0 al cuadrado por 0 más 2 por 0 más 2, pues nos queda 0.
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0 partido por 0, indeterminación.
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Entonces, ¿cómo la resolvemos?
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Pues la resolvemos factorizando numerador y denominador.
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y nos queda pues el límite cuando x tiende a 0 de x por x menos 1
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dividido entre x cuadrado por x más 2 por x cuadrado más 2.
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Esta x con este cuadrado lo podemos simplificar.
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Y si calculamos el límite cuando x tiende a 0, pues nos queda 0 menos 1 menos 1.
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Y abajo, ¿qué nos queda? 0 por x más 2 por x cuadrado más 2 nos queda 0.
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Menos 1 partido por 0.
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Siempre que obtengamos una expresión de la forma un número partido por 0, calculamos los límites laterales.
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Calculamos el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda y el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de la función.
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Que era x menos 1 partido entre x por x más 2 por x cuadrado más 2.
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Y por la derecha lo mismo, x menos 1, x por x más 2 por x cuadrado más 2.
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Bien, volvemos a sustituir por 0, nos va a salir lo mismo, menos 1 partido por 0, menos 1 partido por 0.
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Y ahora pues estudiamos el signo de ese 0.
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A ver, si yo me acerco a 0 por la izquierda, la izquierda de 0 son valores como menos 0,1, entonces es menos 0,1, menos 0,1, que es negativo, por menos 0,1 más 2, que eso es positivo, por menos 0,1 al cuadrado más 2, que también es positivo.
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Es menos por más y por más. Me queda menos. Por lo tanto, este límite es más infinito.
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Y si me acerco a 0 por la derecha, me estoy acercando por valores como 0,1.
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Y sería 0,1 por 0,1 más 2 por 0,1 al cuadrado más 2.
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Los tres términos son positivos, por lo tanto, esto va a ser más.
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Menos entre más menos, este límite va a ser menos infinito.
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El límite por la izquierda va a ser más infinito, el límite por la derecha va a ser menos infinito,
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este límite, por lo tanto, no va a existir porque los límites laterales son distintos
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y este límite, por lo tanto, no existe.
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Y de hecho, por un lado tiende a infinito y por otro lado tiende a menos infinito.
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Bueno, pues esto es todo. Aquí hay un pequeño resumen de cómo se calculan los límites en un punto.
00:18:03
- Idioma/s:
- Autor/es:
- Julio Molero
- Subido por:
- Julio M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial
- Visualizaciones:
- 159
- Fecha:
- 14 de febrero de 2021 - 12:44
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 18′ 19″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
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