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Posiciones relativas entre rectas. Puntos de intersección. Distancia entre rectas paralelas - Contenido educativo

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Subido el 17 de marzo de 2023 por Roberto A.

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Se explica, con ejemplos, las posiciones relativas entre rectas. El punto de intersección, si son secantes y la distancia entre rectas paralelas.

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Buenas, voy a hacer un recopilatorio de la clase de hoy, 17 de marzo del 2003. 00:00:01
Hoy hemos estado viendo una cosa que se vio en cuarto, 00:00:06
que eran las posiciones relativas entre rectas. 00:00:09
Entonces, ¿cómo pueden ser dos rectas entre sí? 00:00:13
Pues pueden ser secantes, si se cruzan. 00:00:16
Pueden ser paralelas, si no se cruzan no tienen ningún punto en común. 00:00:19
Aquí tienen un punto en común. 00:00:24
O pueden ser coincidentes si estamos hablando de la misma recta. 00:00:26
Entonces, para hallar la forma analítica, hallar las posiciones relativas entre rectas de forma analítica, nosotros necesitamos los vectores directores de las rectas, ¿vale? 00:00:30
si nosotros tenemos una recta R cuyo vector director tiene las componentes VRX y VRI 00:00:41
y una recta S que tiene como vector director Vsus con su componente X y su componente Y 00:00:47
nosotros lo que tenemos que hacer es ver si se cumple esta proporcionalidad 00:00:54
es decir, si entre ambos directores se cumple la misma proporcionalidad para la X como para la Y 00:00:59
Si yo hago esta división, siempre tened en cuenta que aquí puedo elegir arriba las x, abajo las s, o de forma indiferente, pero siempre la misma recta, los componentes de una recta, por ejemplo, de la recta r arriba y la s abajo, o viceversa, pues si se cumple que al hacer la división de las componentes x y las componentes y sale el mismo número, son proporcionales, pues pueden ser o paralelas o coincidentes. 00:01:06
¿De acuerdo? Por ejemplo, hicimos en clase este ejemplo donde r es a x menos 2t e y era igual a 5 más 5t. 00:01:34
Eso está en paramétrica. Por otro lado, tenemos la recta S que es igual a x es igual a menos 4t y la y es igual a 2 más 10t. 00:01:46
¿Cómo sacamos los vectores directores? Siempre en paramétrica los vectores directores son aquellos que acompañan a la t. 00:01:54
Son los coeficientes, en este caso el menos 2 y el 5 que acompañan a la t, por lo tanto el v sub r es menos 2, 5, ¿de acuerdo? 00:02:02
v sub r es menos 2, 5. 00:02:11
De igual modo, la recta S, el coeficiente que acompaña a la t, en este caso es el 4, el menos 4, perdona, y este es el 10, pues tenemos que v sub s es menos 4. 00:02:14
Por lo tanto, nosotros podemos ver aquí que menos 4 entre menos 2 da 2, que es lo mismo que 10 entre 5. 00:02:28
Por lo tanto, esta recta R y esta recta S o son paralelas o son coincidentes. 00:02:41
¿Cómo sé si son coincidentes? Pues si son coincidentes tienen infinitos puntos en común. 00:02:48
Si son paralelas no tienen ningún punto en común. 00:02:53
entonces lo que yo tengo que hacer es comprobar que un punto de la recta R 00:02:56
pertenece o no a la recta S o viceversa 00:03:02
puedo coger un punto de la recta S 00:03:05
si veo que pertenece a la recta R 00:03:08
entonces ambas rectas son coincidentes 00:03:10
aquí veo que el punto de la recta R 00:03:14
o uno de los puntos de la recta R 00:03:17
es el 3,5, lo tengo directamente de las ecuaciones paramétricas de la recta R 00:03:19
¿y qué tengo que hacer? 00:03:24
Pues voy a ver si el 3, 5 verifica la ecuación de la resta S. 00:03:26
Si lo verifican, es decir, tienen la misma T, pues son dos restas coincidentes. 00:03:30
Si no lo verifica, al ser proporcionales van a ser restas paralelas. 00:03:37
Por lo tanto, sustituyo el punto 3, 5 en la resta S y veo que 3 tiene que ser igual a menos 4T. 00:03:43
Yo despejo la T de aquí, veo que T es menos 3 cuartos. 00:03:51
Hago lo mismo con la componente Y. Sustituyo la Y por 5 y tengo que 5 tiene que ser igual que 2 más 10T. 00:03:56
Y si aquí despejo la T, veo que T tiene que valer 3 décimos. Como menos 3 cuartos es distinto de menos 3 décimos, el punto 3,5 no pertenece a la recta S. 00:04:05
Por lo tanto, ¿qué son? Son rectas paralelas. 00:04:18
¿De acuerdo? Si aquí hubiéramos tenido que el punto 3, 5 hubiera satisfecho estas ecuaciones de aquí, de la recta S, pues entonces hubiesen llegado a ser coincidentes. 00:04:21
coincidente. Vámonos a este ejemplo de aquí, donde tenemos esta resta r y esta resta s, ¿de acuerdo? 00:04:46
¿Qué obtengo? Pues, como hemos hecho antes, el menos 2 menos 4, que son los coeficientes que 00:04:55
acompañan a la t, me dan directamente el vector director. Aquí es muy importante poner siempre 00:05:01
una flechita en lo alto de los vectores directores para distinguir los vectores que no lo son. Y 00:05:06
Y aquí el vector director de S, pues igual, son los coeficientes que acompañan a la T. 00:05:12
Por lo tanto, tenemos el 3 menos 10. 00:05:17
¿Qué hago? Yo compruebo si menos 2 partido de 3 es igual que 4 veinteavos o menos 4 veinteavos. 00:05:19
Y veo que efectivamente esto de aquí, pues no son proporcionales. 00:05:27
Al no ser proporcionales, pues entonces son secantes y tienen un punto en común. 00:05:32
Hemos visto después, pues, si nosotros las rectas las tenemos en forma general, pues tenemos que ver esto de aquí. 00:05:40
Si ambas rectas, la r y la s, están en forma general, lo que se tiene que cumplir es, si yo divido el coeficiente que acompaña a la x de una recta entre el coeficiente que acompaña a la x de la otra recta, es decir, a entre a', 00:05:54
y lo divido y me da igual que el coeficiente que acompaña a la i 00:06:10
y entre el coeficiente que acompaña a la i de la otra recta, 00:06:15
es decir, a entre a' es igual a b entre, es distinto, perdona, que b entre b', 00:06:19
entonces son secantes, se cortan. 00:06:25
Sin embargo, si son iguales, a entre a' es igual que b entre b', 00:06:28
pues nos puede pasar dos cosas, o que son paralelas o que son coincidentes. 00:06:34
Y entonces me tengo que ir a este término de aquí, que no acompaña ni a la x ni a la y. 00:06:38
Y si esos coeficientes también son proporcionales, pues entonces son paralelas, son coincidentes, perdona. 00:06:44
Pero si no son iguales, entonces son paralelas. 00:06:50
Viendo un ejemplo se ve mejor. 00:06:53
Si yo tengo la recta R, que es 5x menos 7y más 1 igual a 0 por un lado, y tengo la recta x menos 14 igual a 0, 00:06:55
yo lo que hago es primero cojo los coeficientes que acompañan a la x que es 5 y 1, lo divido, es lo mismo 5 entre 1 que es 5, es igual que los coeficientes que acompañan a la y menos 7 menos 14, 00:07:06
Aquí hay que prestar atención en el sentido de que esto de aquí es la componente, los de arriba son las componentes X e Y de la recta R, este y este son de la recta R y este y este son de la componente S, tened mucho cuidado, y estos de aquí son la componente X y estos de aquí son la componente Y, ¿de acuerdo? 00:07:21
Vamos a ver la fórmula, esta de aquí, que además está en el libro, echarle un vistazo. 00:07:44
Pues como no son proporcionales, R y S son restas secantes. 00:07:49
Sin embargo, si nosotros tenemos este ejemplo de aquí, donde tenemos la resta R, que es 10X más 3Y menos 25 igual a 0, 00:07:54
y por otro lado tenemos la resta S, que es 11X más 33 décimos de Y igual a 0, pues ¿yo qué tengo que ver? 00:08:02
Pues yo divido 10 entre 11, es lo mismo que 3 partido de 33 partido de 10, cuando eran dos fracciones equivalentes, si yo las multiplico en cruz y me dan lo mismo, son equivalentes, entonces si veis, 10 por 33 entre 10, ¿cuánto es? 33, y 11 por 3, ¿cuánto es? 33, por lo tanto, son proporcionales, o, ahora, son proporcionales, entonces podemos decir, 00:08:09
Estas dos restas o bien son paralelas o bien son coincidentes, ¿vale? 00:08:36
¿Qué ocurre? Que ahora me voy al tercer elemento, el que no está acompañado a la x y la y. 00:08:41
Aquí veo que es menos 25 y aquí que no tengo, pues vale 0. 00:08:46
Por lo tanto, 10 partido de 11 es lo mismo que 3 partido de 30 y 3 partido de 10, 00:08:51
pero es distinto de menos 25 partido de 0, que de hecho esto es infinito, menos infinito. 00:08:56
Por lo tanto, ya no son coincidentes, son restas paralelas. 00:09:01
¿De acuerdo? Sin embargo, aquí hay un ejemplo muy bueno donde yo una recta la tengo, por ejemplo, en paramétricas, ¿de acuerdo? Y otra sí la tengo en su forma general. Pues nada, aquí lo suyo es pasar la de paramétricas, la pasamos a recta a forma general. 00:09:05
¿Vale? ¿Cómo se pasaba a forma general? Pues yo aquí despejo la late, o bueno, como yo sé ya aquí un punto, un punto es el 1 menos 4, pues vamos aquí en forma continua, y menos 1, y menos 4, y luego el vector director es menos 1, 2, ¿de acuerdo? Es menos 1, 2. 00:09:30
Entonces, ahora aquí multiplicando en cruz veo que 2 por x menos 1 es lo mismo que menos 1 por y menos 4, que es esto de aquí. 00:09:53
Por lo tanto, yo ya obtengo que 2x más y menos 6 es igual a 0, ¿de acuerdo? 00:10:02
Por lo tanto, ya al tener la resta r de forma general y la resta s que ya me la habían dado de forma general, 00:10:10
Yo lo que hago es la división de 6 entre 2 es lo mismo que 3 entre 1 y es lo mismo que menos 18 entre menos 6, pues evidentemente esto da 3, esto de aquí también da 3 y esto de aquí también da 3, ¿vale? Con lo cual estas restas son coincidentes, se trata de la misma resta. 00:10:19
Aquí hemos hecho otro ejemplo donde nosotros partíamos de una recta en paramétrica y otra recta en forma general. 00:10:40
Una forma también de hallarlo es decir, yo tengo el vector director de la recta R que los tengo de los coeficientes que acompañan a la T. 00:10:54
Aquí vemos que es menos 2, 1, con lo cual tengo ya el vector director de R. 00:11:01
Y luego recordamos que la forma general, cuando tenemos la ecuación general de una recta, 00:11:06
nosotros lo que podemos obtener del tirón es un vector normal. 00:11:12
Esto es un vector normal. 00:11:15
¿Vale? Esto es un vector normal. 00:11:23
Perdonad. 00:11:26
Vale, a ver si me sale aquí lo que yo quiero. 00:11:28
Esto es un vector normal. 00:11:32
¿Cómo hallo yo el vector director? 00:11:34
Pues, perdonad, esto es un vector normal. ¿Cómo hay un vector director? Pues nada, le doy la vuelta, le cambio el signo a uno de ellos. Aquí tengo un vector director o puedo utilizar este, uno u otro. Los dos son, si os fijáis, son proporcionales porque uno de los dos, lo multiplico por menos uno y ya lo tengo. 00:11:36
Con lo cual, yo ya tengo del tirón de la fórmula paramétrica el vector director y luego he hallado, a través del vector normal de la ecuación general de la recta S, he obtenido el vector director de la recta S. 00:11:57
Veo que no son proporcionales, ¿por qué? Porque menos 2 partido de 2 es distinto que un cuarto. Por lo tanto, como los vectores directores no son proporcionales, pues son rectas secantes. ¿De acuerdo? 00:12:12
Son proporcionales. 00:12:27
Otra forma, pues, lo que hemos dicho antes, yo paso R a forma general. 00:12:31
Para ello paso por la forma continua, ¿vale? 00:12:37
Esto es la continua, las ecuaciones continuas de la recta, 00:12:39
que es x menos un punto partido por el vector, la componente x del vector directo, 00:12:44
y menos un punto, que en este caso es cero partido de la componente y del vector directo, 00:12:49
Y de aquí multiplicando en cruz tengo que x menos 5 es igual que menos 2y. Es decir, yo ahora lo agrupo todo en un miembro y lo igualo a cero. Esta es la ecuación general de la recta R. 00:12:55
Por lo tanto, si yo tengo la ecuación general de la recta R y la recta S, que ya me la habían dado también en general, pues yo lo que hago es, al ser secante, pues esto lo trato como un sistema de ecuaciones que se han dado ya en tercero y en cuarto. 00:13:10
Es decir, yo pongo aquí x más 2 es igual a 5, 4x menos 2 es igual a menos 3 y en este caso de aquí lo que aplico es reducción, yo sumo estas dos ecuaciones, por lo tanto, x más 5x más 4x es 5x, 2y menos 2y se van y 5 menos 3 es 2, por lo tanto despejo la x y x me sale 2 quintos. 00:13:25
Para hallar la componente Y, este punto de aquí pertenece a ambas rectas, pues nada, sustituyo la X por 2 quintos, por ejemplo lo he hecho en R, sustituyo la X por 2 quintos y hallo la Y y me sale que la Y es 23 décimos. 00:13:46
¿De acuerdo? Entonces, como son secantes, el punto de corte es el punto B, por ejemplo, es 2 quintos 23, decimos. 00:14:07
¿Vale? Esto lo podéis hacer en GeoGebra y veis que sale perfectamente. 00:14:22
En este caso de aquí tenemos otra vez la ecuación R en paramétrica y S la tenemos en la ecuación general de la recta. 00:14:26
Esto es otra forma de hallar el punto de corte, un poquito más complicado, pero se puede hallar igual, donde nosotros lo que hacemos es la recta R, ya la tenemos en paramétrica, 00:14:41
Lo único que aquí lo que hemos hecho es cambiarla por una letra mu, para no confundir, y la recta S la hemos convertido en paramétrica. 00:14:51
¿Cómo la convertimos en paramétrica? Yo aquí sé directamente el vector normal, lo que hallo es un vector perpendicular, por lo tanto este es el vector director de S, 00:15:02
Y luego hay un punto. ¿Cómo hay un punto? Hago que la x sea igual a 0 y al ser la x igual a 0, ¿qué me queda? Pues que menos 2y es igual a 3, de donde a menos 3, perdona, vamos a hacerlo todo por paso, menos 2y más 3 es igual a 0, de donde 2y es igual a 3 y es igual a 3 medios. 00:15:13
Por lo tanto, como la X vale 0, la Y vale 3,2, este punto A pertenece a la recta AS. 00:15:40
Aquí el 0, 3,5, pues yo para pasarlo a paramétrica, este es el 0 y este es el 3,5. 00:15:48
Ya tengo S en forma paramétrica. 00:15:54
Al tenerlo en forma paramétrica, yo sé que ese cante que lo hemos analizado antes, 00:15:57
hay un punto de corte que cumple, que pertenece a las dos. 00:16:02
El punto de corte de esta recta R y esta recta S es este de aquí, es el punto P, por ejemplo, y es común a ambas, por lo tanto, la X de uno y la X de otro tienen que ser igual, ¿verdad? Pues es lo que estoy haciendo aquí. La X de la recta R tiene que ser igual que la X de la recta S. Y por otro lado, la Y de la recta R es igual a la Y de la recta S. 00:16:06
Y aquí, como he cambiado la t por mu, si yo no lo cambiara, pues entonces me hago un lío, ¿vale? Estas letras se llaman, estos parámetros se llaman letras mudas porque realmente me da igual cómo se llamen que tienen la misma función, ¿vale? 00:16:31
Entonces yo en vez de denominar las t, para evitar la confusión, la he llamado mu, ¿vale? 00:16:50
De aquí lo que tengo es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitos. 00:16:56
Yo he optado por hacer sustitución, como mu ya la tengo aquí despejado, pues lo sustituyo en la ecuación de arriba 00:17:01
y obtengo que t en este caso vale un quinto, ¿vale? 00:17:07
Si t vale 1 quinto, pues yo en cualquiera de las dos ecuaciones sustituyo la t por 1 quinto, ya tengo que la componente x es 2 quintos y luego de la componente y obtengo que vale 23 décimos. 00:17:14
Esto lo hacéis en la cebra y efectivamente veis que el punto P, que es 2 quintos partido de 23 décimos, es un punto que pertenece a la recta R, un punto que pertenece a la recta S. 00:17:30
Y además el punto de corte es el punto común a ambas rectas, ¿vale? 00:17:45
Más cosillas. 00:17:52
Aquí, aquí lo que estamos es hallando las distancias entre rectas paralelas, ¿vale? 00:17:54
Si yo sé que son dos rectas paralelas, yo puedo hallar la distancia entre rectas paralelas, ¿de acuerdo? 00:17:59
Para ello, ¿qué ocurre? Yo tengo que saber, esto se da en cuartos, la distancia de un punto a una recta, ¿vale? 00:18:09
Yo tengo un punto, yo tengo una recta en forma general, es súper importante pasar la recta a forma general o implícita, ¿de acuerdo? 00:18:16
Y tengo que aplicar esta fórmula que vemos aquí, ¿vale? La distancia de un punto a una recta, ¿vale? Es sustituir mi punto en la ecuación general de la recta, es decir, yo sustituyo mi punto PXPI, lo sustituyo en esta ecuación de la recta R, hallo su valor absoluto porque las distancias siempre son positivas. 00:18:25
Y luego, esto de aquí no es más que el módulo del vector normal de la recta R. ¿De acuerdo? ¿Cuál es el vector normal de R? Aquí que no se nos olvide la flechita, pues es AB. ¿De acuerdo? 00:18:51
Entonces, lo suyo es ver un ejemplo. 00:19:13
Si yo tengo mi resta, que es 2x menos y igual a 0, 00:19:15
y luego tengo la resta 4x menos 2y más 5 igual a 0, 00:19:20
¿son paralelas? 00:19:24
Sí, porque 2 entre 4 es lo mismo que menos 1 entre menos 2. 00:19:25
¿Vale? Aquí me falta un menos. 00:19:33
¿De acuerdo? Y esto es, son iguales. 00:19:34
Por lo tanto, o son paralelas o son coincidentes. 00:19:36
¿Vale? ¿Cómo sabría yo si son coincidentes o no? Pues precisamente la c aquí, ¿cuánto vale? Cero, ¿verdad? Y abajo, ¿qué vale? Cinco. Pues como ya son distintas, entonces yo ya puedo decir que son paralelas. 00:19:42
Con esto de aquí, únicamente puedo decir que son o paralelas o coincidentes. Pero ya con esta parte tercera, que es con la letra c, ¿vale? Que es la que no tiene ni x ni y, yo ya puedo decir que son paralelas. 00:19:56
¿Qué hago al ser paralela? Pues yo hallo un punto de cualquiera de las dos rectas. He decidido hallar el punto de la recta R. Si yo a la X le doy el valor 0, pues que tengo 2 por 0 menos Y es igual a 0. ¿Cuánto vale Y? Pues Y vale 0. 00:20:09
Por lo tanto, el punto 0,0 pertenece a la recta R. ¿Por qué? Porque verifica esta ecuación de aquí. 00:20:27
¿Y entonces cómo sé la distancia entre dos rectas paralelas? Pues hallando la distancia que hay entre el punto A sub R, que pertenece a la recta R, y la recta S. 00:20:35
No me vayáis a hacer la distancia entre AR y R, que al ser un punto de la recta sería 0. 00:20:46
Aquí es la distancia entre un punto R. 00:20:53
Por ejemplo, si yo tengo esta es la recta R y esta es la recta paralela S, 00:20:57
yo cojo aquí un punto de AR y aquí mido la distancia que hay entre este punto AR y la recta S. 00:21:01
¿Qué es lo que hago? 00:21:09
Pues sustituyo en la ecuación general de la recta S, sustituyo mi punto, que es el 0, 0. 00:21:10
¿Vale? Aquí pongo el 0, aquí pongo el 0 y aquí tengo el más 5 y hallo el valor absoluto, eso que no se os olvide. 00:21:16
Y abajo, ¿qué tengo? Pues es la raíz de 4 al cuadrado más menos 2 al cuadrado y me sale 5 partido de raíz de 20. 00:21:23
Yo racionalizo y al final me sale raíz de 5 partido de 2. 00:21:32
Si yo en vez de coger el punto 0, 0 cojo un punto B, que es el 1, 2, ¿cómo hallo el punto 1, 2? 00:21:37
Pues yo, de la recta R, sé que es 2X menos Y igual a 0. 00:21:43
Pues si yo esfuerzo que X vale 1, ¿vale? 00:21:48
Si X vale 1, ¿qué ocurre? 00:21:52
Pues que 2 por 1 menos Y es igual a 0. 00:21:54
¿Cuánto vale Y? Pues Y vale 2. 00:21:59
Por lo tanto, el punto BR es 1, 2. 00:22:02
¿De acuerdo? 00:22:06
Y ahora, pues nada, como siempre, sustituyo la ecuación. 00:22:07
En la ecuación general de S pongo la x que vale 1 y la y que vale 2. 00:22:11
Hayo esto de aquí, 4 por 1 es 4, menos 2 por 2 es menos 4, 4 menos 4 es 0, más 5 es 5 y abajo raíz de 20. 00:22:17
Por lo tanto, me tiene que salir igual, es lógico, ¿no? 00:22:26
Al ser dos rectas paralelas, yo cojo a cualquier punto de una recta, siempre va a estar a la misma distancia respecto a la otra. 00:22:29
¿De acuerdo? 00:22:38
Cuando las rectas son secantes, pues además de tener un punto de intersección entre ellas, forman un ángulo, ¿vale? 00:22:38
Entonces ese ángulo lo puedo hallar bien con los dos vectores directores de la recta o con los dos vectores normales. 00:22:49
¿Y qué tengo que aplicar? Pues la ecuación del producto escalar, ¿vale? 00:22:55
Voy a hacerlo un poquito más recto que queda mejor. 00:22:59
Entonces, el producto escalar de dos vectores que era el módulo de uno por el módulo del otro por el coseno del ángulo que forma. 00:23:03
Entonces, en esta recta de aquí, ¿cuánto es el vector director? Pues menos 1, 1, que está aquí. 00:23:10
En la recta S, ¿cuál es el vector director? Pues menos 1, menos 1. 00:23:15
En este caso, si os fijáis, si yo hago el producto escalar, este es el producto escalar, ¿vale? 00:23:20
el producto escalar 00:23:26
de vr con vs 00:23:28
pues me sale que son ortogonales 00:23:30
porque me sale 0 ¿vale? es decir yo 00:23:32
multiplico menos 1 por menos 00:23:34
1 más 1 por menos 00:23:36
1 me sale 0 00:23:38
¿de acuerdo? esto de aquí 00:23:40
lo voy a hacer 00:23:42
mejor 00:23:44
¿vale? y esto es un menos 00:23:45
1 ¿vale? que parece otra 00:23:48
cosa, esto es un 00:23:50
menos 1, menos 1 por 00:23:52
menos uno, más uno por menos uno, eso es cero. Entonces, ¿qué hago? Si yo aplico 00:23:54
el despejo del producto escalar, el coseno del ángulo, el coseno del ángulo que es 00:23:59
el producto escalar, el coseno de u y v, que es lo que es, es igual al producto escalar 00:24:06
de u por v, ¿verdad? Partido por el módulo de u, por el módulo de v. Yo aquí hay el 00:24:13
módulo de v sub r que es raíz de 2 y de v sub s también es raíz de 2. Por lo tanto, 0 partido de 00:24:22
raíz de 2 raíz de 2 es 0. Al ser 0, el coseno, el arco coseno y me sale 90 grados. Es lo que ya 00:24:27
habíamos visto. Cuando dos vectores son perpendiculares, el producto escalar es 0. 00:24:35
Aquí, si no me equivoco, he hecho con otra recta. Tengo esta recta de aquí r, tengo esta recta de 00:24:41
aquí, quiero ver el ángulo que hay entre ellos. Entonces, como tengo la forma general, obtengo del 00:24:46
tirón el vector normal, que es el 2 menos 1. De la S también obtengo del tirón el 1, 5, que es el 00:24:53
vector normal. Y puedo hacer igual los vectores normales. Hago el producto escalar entre ellos, 00:25:01
¿vale? Me sale menos 3. Hayo el módulo del vector normal de R, que es raíz de 5. Hayo el módulo del 00:25:07
vector normal de s que es raíz de 26, ahora aplico la fórmula. La fórmula que era, pues, si yo tengo u por v, ¿verdad? El producto escalar es igual al módulo de u, ¿vale? Por el módulo de v por el coseno del ángulo que forma. Si yo despejo de aquí el coseno del ángulo que forma es el producto escalar de u por v, ¿vale? No os olvidéis la flechita, partido de 00:25:15
el módulo de u por el módulo de v. 00:25:45
Tengo el producto escalar con un asterisco 00:25:49
y el por normal con un puntito. 00:25:51
Por lo tanto, el coseno de alfa es igual a menos 3, 00:25:53
que es lo que hemos hallado aquí, el producto escalar. 00:25:56
Este es el producto escalar. 00:25:58
Este es el módulo del vector normal de r, 00:26:00
y raíz de 26, el módulo del vector normal de s. 00:26:04
Con lo cual, yo aquí hago la multiplicación y me sale esto de aquí. 00:26:13
Si yo hago ahora el arco coseno de esto que me he dado aquí, pues el ángulo que me sale es 105,31 grados, ¿vale? 00:26:17
Ahora, ¿qué es lo que esto también es de cuarto? 00:26:27
Esto es para ver lo que es el punto medio, ¿vale? 00:26:30
El punto medio de un segmento. 00:26:34
Yo tengo un punto A, yo tengo aquí un punto B, 00:26:37
y quiero hallar el punto medio, pues la fórmula es esta de aquí, ¿vale? 00:26:41
Sumo las componentes de A y de B y lo divido entre 2, sumo las componentes de Y y la divido entre 2. 00:26:47
Es decir, si yo tengo el punto A que es 3, 2 y el punto B que es 10, 1, 00:26:53
si yo quiero hallar el punto medio, pues sumo 3 más 10 y lo divido entre 2, eso que es 13 medios, ¿lo veis? 00:26:58
Y ahora, si quiero hallar la componente Y del punto medio, sumo la Y de A con la Y de B, que es 2 más 1 es 3, 3 entre 2, este es el punto medio. 00:27:04
Si yo ahora lo que quiero hallar es el punto simétrico, ¿vale? 00:27:18
Que tengo el punto A, quiero hallar el simétrico de A respecto de B, ¿vale? 00:27:23
Pues si os fijáis, el simétrico que es que si yo tengo una distancia D entre A y B, la misma distancia la tengo con S, con lo cual él ve que es el punto medio de A y S, el punto medio de A y S. 00:27:29
Pues nada, yo lo que sé es que si B es el punto medio, ¿no? Pues cumple las ecuaciones que hemos dicho antes, ¿vale? 00:27:45
Si yo, por ejemplo, utilizo el ejemplo de antes, donde A es 3, 2, B era el punto medio anterior, esto era M, que es 3, medio, 3, medio, pues yo si aplico esta fórmula de aquí, ¿vale? De aquí, que se obtiene de aplicar el punto medio, ¿de acuerdo? Pues obtengo el punto 10, 1, que era mi B de antes. 00:27:55
probarlo ustedes y me decís 00:28:24
cualquier cosa, ¿vale? 00:28:26
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
38
Fecha:
17 de marzo de 2023 - 16:44
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
28′ 30″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
56.43 MBytes

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