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Rango de una matriz por determinantes - Contenido educativo

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Subido el 20 de julio de 2018 por Manuel D.

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Se explica como calcular el rango de una matriz rectangular por determinantes

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Hola, ¿qué tal chicos? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de 00:00:02

bachillerato. Seguimos con la serie de vídeos dedicados a determinantes de matrices cuadradas. 00:00:11

En esta ocasión vamos a explicar cómo calcular una importantísima noción usando determinantes. 00:00:16

Se trata del rango de una matriz. El rango de una matriz es una noción esencial, principalmente 00:00:22

en la geometría y en el álgebra, por dos motivos principalmente. En geometría, porque 00:00:29

te sirve para calcular la dimensión de un subespacio vectorial. Por ejemplo, podemos 00:00:34

determinar si tres vectores son coplanarios o no, están en el mismo plano. En el álgebra 00:00:38

lineal nos sirve para resolver sistemas de ecuaciones y poder saber qué ecuaciones dependen 00:00:43

unas de otras y poder eliminar esas ecuaciones en un sistema dado. Bien, vamos a recordar 00:00:49

brevemente la definición de rango de una matriz. Si tenemos una matriz rectangular, no tiene por qué 00:00:55

ser cuadrada, cogemos un conjunto de líneas, ya sean filas o columnas, y una serie de números 00:00:59

escalares, alfas. Si cogemos cada número alfa, lo multiplicamos por una de las líneas y al final 00:01:07

sumamos todo, eso es una combinación lineal. Un conjunto de líneas se dice linealmente independiente 00:01:13

si ninguna de ellas se puede escribir como combinación lineal del resto. Y llamamos rango 00:01:19

de la matriz al número de líneas, ya sea filas o columnas, linealmente independientes. 00:01:24

Se verifica, como veremos, que el rango se puede calcular tanto por filas como por columnas. 00:01:29

Bien, la propiedad fundamental de los determinantes que vamos a utilizar a lo largo de todo este 00:01:36

vídeo es la siguiente. Si una línea es combinación lineal del resto en una matriz cuadrada, su 00:01:40

determinante es cero. Vimos esta propiedad en el vídeo de propiedades de determinantes. 00:01:45

Y eso qué significa? Pues que si tú tienes un determinante que es no nulo, eso es un buen punto de partida porque esas líneas serán independientes. Tenemos que buscar el máximo número de líneas independientes, es decir, el mayor de esos posibles menores no nulos. 00:01:50

Pero ojo, estamos hablando de matrices cuadradas cuando hablamos de determinantes. Entonces, ¿qué pasa cuando tenemos una matriz rectangular M por N, de dimensión M por N? Bueno, pues que tendremos que extraer menores, que es lo que se llaman submenores, submatrices cuadradas y calcular determinantes. 00:02:08

Entonces un menor de orden k va a ser la intersección de k filas y k columnas y calcular el determinante de esta submatriz. 00:02:25

Por ejemplo, imaginemos que nos piden calcular un menor de orden 3 de esta matriz, que es una matriz de 5 filas y 4 columnas. 00:02:31

Pues por ejemplo podemos coger esas 3 columnas, estas otras 3 filas y la intersección nos quedaría un determinante de orden 3, 3 por 3, lo calculamos y el menor valdría menos 16. 00:02:40

Bien, el rango va a coincidir con el orden del menor no nulo de orden máximo de todos. 00:02:51

Es decir, dentro de todos los menores no nulos tenemos que coger el de orden máximo y ese va a ser el rango. 00:02:58

En la práctica, ¿cómo se va a calcular el rango de una matriz? 00:03:04

Bien, pues lo primero de todo es que puede que haya algunas líneas que sobren a ojo, 00:03:09

porque directamente veamos que hay una de esas líneas es combinación lineal del resto. 00:03:14

Bien, pues esa línea la eliminamos, nos olvidamos de ella. 00:03:19

Después tenemos que buscar un menor de orden 2 que sea no nulo, esto se ve a simple vista. 00:03:22

Después partimos de ese menor de orden 2 no nulo y orlamos. 00:03:27

¿Qué va a significar esto? Bueno, pues enseguida lo vamos a entender, 00:03:32

pero es a partir de ese menor no nulo encontrar menores de orden 3 que lo contengan 00:03:35

y mirar a ver si esos menores de orden 3 son nulos o no nulos. 00:03:40

Y así sucesivamente, así tenemos que seguir. 00:03:45

Pero hay que tener una cosa en cuenta, que el rango no va a superar nunca el menor de las dimensiones n o m. 00:03:46

Es decir, por ejemplo, si tenemos como en esta matriz 5 filas y 4 columnas, pues el menor, el rango como mucho va a ser el mínimo de 5 y 4, pues 4. 00:03:55

El rango como mucho será 4. Vamos a calcular el rango de esta matriz 5 por 4. 00:04:04

Para ello, pues nos fijamos que la última de las filas se puede obtener como la suma de las dos primeras, ahí lo veis a simple vista. 00:04:09

Es decir, ¿qué significa eso? Bueno, pues significa que la fila 5 no aporta nada al rango y por lo tanto nos podemos perfectamente olvidar de ella. 00:04:16

Bien, partimos de un menor no nulo de orden 2. A simple vista, ese es no nulo. 00:04:25

Eso significa que el rango, como poco es 2, significa que esas dos filas primeras son linealmente independientes. 00:04:29

Entonces, ¿qué tenemos que hacer? Orlar a menores de orden 3. ¿Qué significa eso? 00:04:35

Bueno, pues partir de esas dos primeras filas y aumentar hasta menores de orden 3. ¿Qué hay que hacer? Calcular esos determinantes. Este primero es 0, así que no nos vale, no podemos deducir de ahí que las tres primeras filas sean independientes. 00:04:39

Entonces calculamos otro. Ese también es 0. Entonces esto que significa, como todos los menores de orden 3 al orlar la tercera fila son 0, significa que esa tercera fila sobra, nos podemos olvidar de ella porque esa fila depende de las dos primeras, es linealmente dependiente de las dos primeras. 00:04:53

entonces el rango al considerar esta tercera fila no aumenta 00:05:10

ya sabíamos que la quinta fila tampoco aportaba nada 00:05:14

así que solo nos falta la cuarta fila 00:05:17

hay que considerar la cuarta fila menores de orden 3 00:05:19

que contengan la cuarta fila 00:05:21

por ejemplo ese, vale, resulta que es 0 también 00:05:24

vamos a ver el último que nos queda 00:05:27

ese, pues resulta que lo calculamos y es 0 00:05:28

¿qué podemos deducir de todo esto? 00:05:31

bueno, pues podemos deducir que la cuarta fila tampoco va a aportar nada 00:05:33

que todos los menores de orden 3 van a ser 0 00:05:37

y que por tanto el rango tiene que ser 2. 00:05:40