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EVAU 2020 MATES II ALGEBRA 3

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Subido el 29 de abril de 2020 por Justo Rafael D.

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Resolución Modelo 2019 Opción A de Matemáticas II, Madrid

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Hola, hoy vamos a resolver este problema propuesto como modelo en la BAU de 2019. 00:00:00
Es un problema de álgebra de matrices. 00:00:09
Nos dice que propongamos para cada uno de los cuatro casos una matriz cuadrada de dimensión 3x3 00:00:11
en el que todos los números sean distintos de cero. Esto es un aspecto importante, no puedes tener ceros. 00:00:19
Y que tengas las tres filas y las tres columnas diferentes. 00:00:25
Y que además cumpla cada una de las cuatro condiciones que nos van poniendo aquí. En el apartado primero, o apartado A, nos dicen que el determinante valga cero. 00:00:29
Para que en una matriz el determinante valga cero basta que dos filas o dos columnas sean combinación lineal o que una tercera columna sea combinación de las dos anteriores, etc. 00:00:42
O sea que, por ejemplo, vamos a inventarnos una matriz y vamos a poner dos columnas que cumplan las condiciones y luego la tercera columna lo que hacemos es una combinación de las anteriores. 00:00:55
Por ejemplo, esta matriz, 1, menos 2, 5, que sean números diferentes entre sí y distintos de 0, la segunda columna, 2, 3, 2, y la tercera puede ser, por ejemplo, la suma de las dos anteriores, o la segunda columna multiplicada por 2, etc. 00:01:09
Eso significa combinación, ¿vale? Entonces, por ejemplo, si sumamos las dos, esto sería tres, aquí nos quedaría un uno y este sería un siete. Bueno, esta matriz, por el hecho de que la tercera columna es combinación de la primera y la segunda, nos da un determinante nulo, ¿vale? Sin más que desarrollar el determinante se puede ver que vale cero, ¿vale? 00:01:29
Esto os lo dejaría a vosotros, o sea, este determinante vale cero porque la columna 3 es igual a la columna 1 más la columna 2 y eso hace que el determinante sea cero. Esto mismo lo podemos hacer también por filas, que la fila 3 sea la suma de las dos anteriores o sea la segunda multiplicada por alguien, etc. Eso es lo que significa combinación lineal. 00:01:54
Bien, en el apartado B lo que nos piden es que el determinante valga 1. 00:02:21
Bueno, me voy a inventar otra matriz que no tenga determinante 0. 00:02:26
Por ejemplo, 1, 2, 1, menos 2, 3, 4, 5, 2, 6. 00:02:31
Bien, esta matriz, pues como vemos, las filas o columnas no son combinación lineal entre ellas. 00:02:41
Pues para que su determinante sea 1, basta que nos calculemos el determinante de esta matriz, que sería, vamos por diagonales, recordad que las diagonales hacia abajo van con más y las diagonales de abajo arriba van con menos. 00:02:46
Así que primera diagonal, 1 por 3 por 6 me da 18, segunda diagonal, 2 por 4 por 5 da más 40, ¿vale? Tercera diagonal, 1 por menos 2 y por 2 me da menos 4 y le restamos las otras diagonales de abajo arriba, 5 por 3 por 1, 15, 2 por 4 por 1, 8, 6 por menos 2 y por 2, menos 24. 00:03:04
¿Vale? Operamos esto y nos da 55. Pues bien, si yo cojo esta matriz A, la voy a llamar, la matriz B sea la matriz A, pero dividiendo una fila cualquiera de ellas por el determinante, 00:03:35
1, por ejemplo, la primera fila 1 partió por 55, 2 partió por 55, 1 partió por 55 y el resto lo dejo igual, menos 2, 3, 4, 5, 2, 6, pues el determinante de esta matriz es 1. 00:03:55
¿De acuerdo? Simplemente basta con dividir cualquiera de sus filas por el determinante que tenía. 00:04:15
¿vale? bien, en el tercer caso dice que una matriz coincida con su traspuesta 00:04:22
bueno, pues para esto lo que hace falta es que esa matriz sea simétrica 00:04:29
la matriz simétrica tiene esa propiedad que es su traspuesta 00:04:34
por ejemplo, fijaos que cojo solo la parte del triángulo derecho, ¿no? 00:04:39
de la matriz inicial que teníamos 00:04:46
voy a coger mejor la segunda 00:04:48
porque como en la primera habíamos hecho una combinación lineal 00:04:51
bueno, vamos a coger esta, que es la segunda que dice 00:04:56
bueno, pues para que sea simétrica, esto tiene que ser un 2, esto un 1 00:04:59
y esto un 4, de manera que A sea igual 00:05:03
a la traspuesta, entonces para esto 00:05:07
esto es cuando las matrices sean simétricas 00:05:10
entonces la matriz y su traspuesta coinciden en este caso 00:05:17
bien, en el último nos dicen que A por C sea igual a C por A 00:05:24
A es la que nos tenemos que inventar y C nos dicen que sea una matriz 00:05:31
que no sea ni la matriz unidad, o sea la matriz identidad y la matriz unidad es lo mismo 00:05:37
aquella matriz que es todo cero menos la diagonal que son unos 00:05:42
entonces que C no puede ser ni la matriz nula ni la matriz identidad 00:05:45
bueno, en realidad, para que el producto de matrices sea conmutativo 00:05:50
que en general nunca lo es 00:05:54
el producto de matrices no es conmutativo 00:05:56
pero para que sea conmutativo basta con que una de las dos matrices sea una matriz diagonal 00:06:00
entonces si esa matriz es diagonal el producto sí es conmutativo 00:06:06
Con lo cual, si C fuese una matriz diagonal, matriz diagonal es que tenga solo números en su diagonal, por ejemplo esta o que sea el 2, el 1 no porque sería la matriz identidad y nos han dicho que no vale. 00:06:09
¿Vale? Entonces si C es una matriz diagonal con esos números en su diagonal, pues entonces el producto sí es conmutativo. ¿De acuerdo? Si A es la que habíamos dicho, 1, 2, 1, menos 2, 3, 4 y 5, 2, 6, pues aquí sí se cumple que A por C es igual a C por A. ¿De acuerdo? 00:06:31
Entonces basta que esa una de las dos sea matriz diagonal. 00:06:59
Pues con esto hemos terminado. 00:07:06
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Materias:
Matemáticas
Autor/es:
JUSTO RAFAEL DE LAMO ARANGO
Subido por:
Justo Rafael D.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
82
Fecha:
29 de abril de 2020 - 11:51
Visibilidad:
Público
Centro:
IES VALLECAS-MAGERIT
Duración:
07′ 08″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
960x720 píxeles
Tamaño:
36.01 MBytes

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