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Aplicaciones de la derivada. Ejercicio 6 - Contenido educativo

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Subido el 14 de febrero de 2025 por Carolina F.

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Entonces, dice, ¿cuándo, en qué intervalos ha crecido y decrecido B? 00:00:03
O sea, nos preguntan otra vez si es creciente, decreciente, y luego el máximo, el mínimo, y luego un valor concreto. 00:00:13
Venga, pues entonces sabemos que es como hacer dos problemas en uno. 00:00:23
Entre 0 y 3 tengo que usar esta función, y entre 3 y 5 esta otra. 00:00:28
Vamos a hacer primero la derivada en el primer intervalo. La derivada vale 2. Es independiente del valor de t. 00:00:33
Y dos, si recuerdas, decíamos, si hacemos la primera derivada, es como hacer la pendiente de la recta tangente a la función. ¿Te acuerdas que decíamos? Si la función fuera esto, pues si la derivada en este punto es una línea así, sería decreciente. 00:01:07
O sea, la derivada negativa, la función es decreciente. Y si la función es creciente, pues la pendiente de la tangente me sale positiva. Entonces, si la derivada primera es positiva, la función es creciente. 00:01:29
entonces, simplemente 00:01:48
haciendo la primera derivada 00:01:51
veo que me da 2 y que además es independiente 00:01:53
del tiempo, entonces la función 00:01:55
es creciente entre 0 y 3 00:01:57
seguro 00:01:59
ahora vamos a ver 00:02:00
la otra, vamos a ver la derivada 00:02:09
de la función que me dan 00:02:11
para el intervalo entre 3 y 5 00:02:13
es primero 00:02:16
una suma, vamos a hacer la derivada 00:02:22
aquí un poco aparte, y luego la borro 00:02:25
Entonces, la derivada de 6 es 0, luego me olvido de ese término y me centro en el otro 00:02:27
Y puedo coger el 1 medio y sacarlo fuera 00:02:34
Entonces, sería el 1 medio, es como una constante, lo saco fuera y me centro en hacer la derivada de esto 00:02:38
T menos 3 elevado al cubo 00:02:49
Entonces, era una función dentro de otra función 00:02:50
¿Sí? Esto lo vimos cuando hicimos alguna de las derivadas así un poco más complicada 00:02:55
Decíamos, es una función elevado a 3 00:03:04
Entonces, esto, la derivada de esto es 00:03:06
Considero T-3 como si fuera un bloque, una X, por ejemplo 00:03:11
¿Vale? Entonces sería 3 y ese bloque elevado al cuadrado 00:03:16
y ahora tengo que multiplicarlo 00:03:23
por la derivada de lo que hay dentro 00:03:27
por la derivada de la función 00:03:29
pero la derivada de lo que hay dentro es 1 00:03:31
porque el t es como la x 00:03:33
era una de las propiedades 00:03:36
de las funciones 00:03:39
y ahora no me olvido 00:03:40
del 1 medio que está aquí 00:03:43
este 1 medio es la constante 00:03:45
que la he sacado fuera 00:03:47
o sea, este ejercicio 00:03:48
lo que tiene un poco complicado es este paso 00:03:51
de derivar 00:03:53
entonces es 00:03:55
y esto, todo esto 00:03:57
tenía un signo negativo 00:04:00
entonces es 00:04:01
menos tres medios 00:04:02
por 00:04:04
t menos tres 00:04:08
al cuadrado 00:04:10
bueno, el t 00:04:12
cuando 00:04:25
t vale justo 00:04:27
tres, hemos dicho 00:04:30
que la función está definida por lo de arriba 00:04:31
por este corchete así raro 00:04:34
que tiene el enunciado 00:04:36
o sea, la función de abajo no se incluye 00:04:37
el 3 00:04:40
porque si incluyésemos aquí el 3 00:04:40
está derivada 00:04:44
a 0 00:04:46
entonces t siempre 00:04:47
es mayor que 3 00:04:50
¿vale? este siempre va a ser 00:04:51
mayor que 3 00:04:54
¿lo ves? 00:04:55
por definición, porque esta función 00:04:57
se aplica cuando t 00:05:00
pertenece al intervalo 00:05:01
entre 3 y 5 años. Entonces T siempre va a valer 3 con 1, 3 con 2, 4, 4 y medio, hasta 00:05:04
5, siempre es mayor que 3. Entonces todo esto va a quedar positivo. Si T fuera 2, este término 00:05:11
quedaría negativo. De todas maneras está elevado al cuadrado. Entonces todo esto siempre 00:05:25
va a quedar positivo. Luego, este término siempre va a ser negativo, por este menos. 00:05:31
O sea, como esto está elevado al cuadrado, todo lo que hay aquí dentro siempre va a 00:05:39
ser positivo. Entonces, hay que darse cuenta de que por culpa de este signo menos, todo 00:05:45
esto va a quedar siempre negativo. Luego, a partir de tres años, la función va a ser 00:05:51
decreciente, porque la primera derivada es negativa. Entonces ya podemos contestar al 00:05:57
apartado A. La solución del apartado A sería que la función crece entre 0 y 3 y decrece 00:06:10
entre 3 y 5. Bueno, pues voy a borrar todo esto para tener más espacio para lo que viene 00:06:19
después. Y pasamos ya al B, que dice, ¿dónde se alcanza el máximo, el mínimo y cuánto 00:06:39
valen? Bueno, pues hay que hacer que la primera derivada sea cero. En el caso de entre cero 00:06:51
y tres años no se puede porque la derivada vale dos, nunca va a ser cero. O sea, entre 00:07:03
cero y tres no hay ni máximos ni mínimos. ¿Vale? La derivada vale dos, no podemos igualar 00:07:07
2 a 0, no hay resultados. Pero entre 3 y 5, que es esta función, la primera derivada, 00:07:14
sí que podemos calcular, sí que podemos igualar esto a 0. Entonces, hacemos menos 00:07:21
3 medios por t menos 3 al cuadrado igual a 0. Y esto se reduce a ver cuando esto vale 00:07:33
0. O sea, solamente tenemos una posibilidad y el que t sea igual a 3. ¿Sí? 00:07:46
solamente se hace 0 esto 00:07:58
para t igual a 3 00:08:02
solo tengo una x 00:08:03
dicho de otra manera 00:08:07
si paso este 3 medios al otro lado 00:08:08
me da 0 00:08:11
entonces la única posibilidad 00:08:12
es que sea 0 00:08:17
este término que está elevado al cuadrado 00:08:19
pero lo único 00:08:21
es sustituir la t por 3 00:08:23
3 menos 3 me daría 0 00:08:25
Entonces, en t igual a 3 sabemos que puede ser máximo, mínimo, punto de inflexión... ¿Cómo lo hacemos? ¿Cómo especificamos qué es? 00:08:27
¿Cómo lo sabemos? Con la derivada segunda. La derivada segunda de t es, pues dejo el primer término, lo dejo fuera y tengo que hacer la derivada de t menos 3 al cuadrado. 00:08:47
Pues hacemos como antes, como si t menos 3 fuera un bloque, y sería 2 por t menos 3 elevado a 1, y ahora derivo lo de dentro, pero me queda 1, así que ya ni lo pongo. 00:09:10
este 2 con este 2 se van 00:09:24
y me queda 00:09:27
menos 3 por 00:09:28
t menos 3 00:09:30
y cambio la t 00:09:32
por su valor 00:09:35
me daría t igual a 3 00:09:36
pero es que 00:10:24
t igual a 3 00:10:26
no está en este intervalo 00:10:27
porque hemos dicho 00:10:30
que esta función vale para 00:10:32
cuando t es justo mayor que 3 00:10:33
y menor que 5 00:10:36
entonces el 3 no está 00:10:37
en el intervalo 00:10:40
¿vale? no tengo 00:10:50
justamente no puedo calcularlo 00:10:51
porque para 3 00:10:56
utilizo la otra función 00:10:58
la de 2 por t 00:10:59
esto es una cosa rara que hay que darse cuenta 00:11:00
continuamente 00:11:05
por esto de tener dos funciones 00:11:06
una para 0,3 y otra para 3,5 00:11:09
¿vale? el punto 3 00:11:11
se estudia con la otra función 00:11:14
vale, entonces 00:11:16
lo que tenemos que hacer es mirar 00:11:23
los extremos del intervalo 00:11:25
es decir, tenemos que ver 00:11:27
que pasa para tiempo 00:11:29
para tiempo 00:11:31
que es justo donde la función cambia 00:11:40
función 00:11:43
de definición 00:11:47
y luego el otro extremo del intervalo 00:11:49
que es el 5, porque solo estamos estudiando la función los primeros 5 años. 00:11:52
Bueno, ¿cuál no es el beneficio cuando el tiempo vale 0? 00:12:03
Pues cambiamos la t por 0, 2 por 0, 0. 00:12:06
El 3 está incluido en esta primera parte, no en la siguiente. 00:12:10
Entonces, se calcula como 2 por t. 00:12:17
2 por 3, 6. 00:12:20
y el otro extremo del intervalo es t igual a 5 00:12:22
entonces tenemos que sustituir el t por un 5 00:12:29
es 6 menos 5 menos 3 al cubo partido de 2 00:12:33
o sea 6 menos 2 al cubo partido de 2 00:12:45
O sea, seis menos ocho partido por dos, que es cuatro, entonces serían dos millones, ¿no? 00:12:51
Cientos de miles. 00:13:09
Ah, son cientos de miles. 00:13:11
Vale. 00:13:12
Y este igual, entonces. 00:13:15
Pues serían doscientos mil. 00:13:17
Y este sería seiscientos mil. 00:13:22
Bueno, pues entonces ya podemos rellenar los huecos. 00:13:38
El apartado A ya lo habíamos hecho, ¿no? 00:13:42
La función crece en 0, 3 y decrece en 3, 5 00:13:45
Apartado B 00:13:49
El máximo se alcanza en T igual a 3 00:13:51
Y su valor es 600.000 euros 00:13:56
El mínimo se alcanza en T igual a 0 00:14:02
Y su valor es 0 00:14:08
Cuando el beneficio fue igual a 500.000 euros 00:14:10
Vale, pues entonces 00:14:19
¿Cuál de las dos fórmulas utilizamos? 00:14:21
Sabemos que la función está creciendo 00:14:24
Entre 0 y 2 años 00:14:27
Y que crece hasta 600.000 00:14:30
Aquí alcanza un valor de 600.000 00:14:34
Y luego empieza a decrecer hasta llegar a 200.000. 00:14:37
Entonces puede que haya dos momentos en que la función tuvo un beneficio de 500.000. 00:14:49
Uno antes y otro después del máximo. 00:14:59
Entonces vamos a calcular ambos. 00:15:04
Por un lado, tenemos 2T igual a 500.000. Entonces, T sería 250.000. 00:15:05
Perdón, hay que poner la T sin los ceros. Hay que expresarla como... 00:15:20
Sabemos que son cientos de miles, pero hay que poner un 5, nada más. 00:15:30
Vale, 2t igual a 5, pues t me queda 2,5, o sea, a los dos años y medio. 00:15:35
Pero también puede haber pasado esto en el otro lado del intervalo. 00:15:51
También puede pasar esto y entonces tendríamos que resolver esto. 00:16:00
t menos 3 al cubo partido de 2 igual a 5. 00:16:05
Voy a poner aquí que todo esto es el apartado C. Lo primero, este 6 que está sumando le paso restando y me queda menos 3 al cubo partido por 2 igual a 5 menos 6 menos 1. 00:16:14
Este menos y este menos se van 00:16:44
Este 2 puede pasar al otro lado y me queda 00:16:48
T menos 3 al cubo igual a 2 00:16:52
Y esto se resuelve quitando el cubo 00:17:00
puedo hacer 00:17:11
t menos 3 00:17:12
igual a raíz cúbica 00:17:14
de 2 00:17:17
la raíz cúbica de 2 es 00:17:19
1 con 26 00:17:23
entonces t es igual 00:17:25
a 1 con 26 00:17:27
menos 3 00:17:29
todo esto son 00:17:31
operaciones, ¿vale? matemáticas 00:17:33
con 26 00:17:37
o sea, hay dos momentos 00:17:38
en los que el beneficio fue ese, a los 2,5 años y a los 4,26 años. 00:17:43
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación de personas adultas
    • Bachillerato adultos y distancia
      • Primer Curso
      • Segundo Curso
Subido por:
Carolina F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
14 de febrero de 2025 - 20:56
Visibilidad:
Clave
Centro:
CEPAPUB SIERRA DE GUADARRAMA
Duración:
18′ 02″
Relación de aspecto:
1.69:1
Resolución:
856x506 píxeles
Tamaño:
259.39 MBytes

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