Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

FUNCIONES-INTRODUCCION - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 14 de febrero de 2022 por Pablo V.

109 visualizaciones

asdf

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Buenos días a todos. Comenzamos hoy en la unidad 7, una unidad nueva, a pesar de que ya la habéis visto en otras ocasiones, en otros cursos. 00:00:00
La unidad trata sobre funciones y gráficas. Vamos a comenzar definiendo qué se entiende por función. 00:00:12
Una función establece una relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la primera, que llamaremos variable independiente o x, 00:00:20
le corresponde un único valor de la segunda variable dependiente y. 00:00:27
Aquí es muy importante recalcar la palabra único. 00:00:33
Aquí a la derecha os he puesto un esquema que es el que se suele utilizar en estos casos. 00:00:39
Yo tengo un conjunto A que vamos a llamar dominio, 00:00:45
que es el conjunto en el que está definida la variable independiente x. 00:00:50
Y un conjunto B, o recorrido, que es el conjunto de las imágenes que establece la función entre la variable independiente y la variable dependiente. 00:00:54
Es decir, la función pone en relación los elementos del conjunto A, o dominio, con los elementos del conjunto B, o recorrido. 00:01:08
De tal manera que a cada valor x del conjunto A del dominio le hace corresponder un único valor del recorrido, ¿de acuerdo? 00:01:22
Eso no quiere decir que pueda haber, si nosotros tenemos dos variables independientes, por ejemplo, 00:01:38
O sea, dos valores distintos de la variable independiente x1, x2, pueda suceder que las dos tengan el mismo valor, la misma imagen en el recorrido. 00:01:43
Eso sí es posible, pero lo que no es posible es que un único valor x o x1 tenga dos valores distintos en el recorrido. 00:01:57
Lo vamos a ver ahora en distintos ejemplos. 00:02:07
Lo voy a dejar así, que es como lo teníamos inicialmente. 00:02:12
Y para nosotros los conjuntos A y B serán subconjuntos de R. 00:02:16
Que R es el conjunto de todos los números reales. 00:02:21
Lo que nosotros representamos con la recta real en el tema número 1 del libro. 00:02:26
Por eso tenemos que aprender a representar intervalos. 00:02:30
porque como vamos a tratar con subconjuntos de R, tenemos que recordar que eran los intervalos, ¿de acuerdo? 00:02:34
Entonces, recordad, una función es una regla que hace corresponder a cada alimento de un conjunto de partida, 00:02:41
que llamaremos dominio, un único valor de un conjunto que llamaremos recorrido, ¿vale? 00:02:51
Bien. Recordad, variable independiente la x, variable dependiente la y. Y como se lee la y, se puede llamar también f de x y se escribe así, f de x. 00:02:58
¿Vale? Es lo mismo. Y le voy a poner aquí, así, y igual a f de x. ¿De acuerdo? Bien. 00:03:14
¿Cómo se puede expresar la regla f de x o la función f de x? Pues se puede dar de distintas maneras. 00:03:25
Se puede dar como una tabla, se puede dar como una ecuación o se puede dar como una gráfica. 00:03:33
gráfica. Lo tenéis aquí, una tabla, una gráfica o una ecuación. La ecuación es lo 00:03:38
que más vamos a manejar y a lo que más estáis acostumbrados. Entonces, como hemos dicho 00:03:45
que para nosotros los conjuntos A y B serán subconjuntos de los reales, nosotros vamos 00:03:50
a poder escribir aquí, en el eje de las abscisas, a nuestro conjunto A y en el eje de las ordenadas 00:03:58
a las imágenes de cada una de las variables independientes. 00:04:07
Es decir, como hemos dicho que tanto x como f de x van a ser subconjuntos de R 00:04:15
y para nosotros la R, como visteis, era la recta real, que es lo que vimos en el tema número 1, 00:04:23
y tenemos dos subconjuntos, el subconjunto A y el subconjunto B, 00:04:30
Pues lo que podemos hacer es unos ejes coordenados. Representamos en el eje horizontal a las variables independientes y en el eje vertical a las variables dependientes y igual a f de x. 00:04:35
lo podemos poner así, ¿vale? Hemos utilizado dos ejes coordenados y eso es lo que vamos a hacer. 00:04:53
Y si nos fijamos en la gráfica, tal y como habíamos dicho al principio, una función es una regla que hace corresponder a cada variable independiente x 00:05:01
un valor único en el recorrido, único, ¿vale? Conocido una variable independiente, esa variable, ese valor de la variable independiente 00:05:11
no puede tener dos imágenes. Por lo tanto, en esta gráfica que nosotros tenemos aquí a la derecha, diremos que esa gráfica no representa una función, 00:05:21
porque para todos estos valores que tenemos aquí comprendidos, representados, estamos obteniendo dos valores de y para cada valor de x. 00:05:34
¿Lo veis? Aquí tenemos el valor de abajo, que es negativo, y el valor de arriba, que es positivo. 00:05:49
Y eso no puede ser. Luego, esta gráfica no es de una función. 00:05:55
Puede representar una elipse, puede representar muchas cosas de geometría analítica, 00:05:59
porque recordad que en el tema anterior, en el tema 6 de geometría analítica, nosotros representamos puntos, segmentos, rectas. 00:06:04
Pero también se pueden representar circunferencias, elipses, y tenemos ecuaciones para representar circunferencias o elipses en geometría analítica, pero esas representaciones no serían gráficas, ¿vale? 00:06:11
Sin embargo, el de la izquierda sí es una gráfica, porque para cada valor de la variable independiente x se obtiene un único valor de la función. 00:06:29
La imagen tiene un único valor, ¿vale? Todos esos puntitos que yo estoy representando ahí son valores únicos. 00:06:43
Sin embargo, aquí, si yo trazo la vertical, para un valor de x obtengo dos valores de y, y eso no puede ser en una función. 00:06:49
También es importante destacar que en las gráficas de las funciones vamos a seguir el mismo convenio que utilizábamos para los intervalos de la recta R, 00:07:02
Aunque no lo explicamos en su momento, en el tema 1, y sí lo vamos a recordar aquí, cuando nosotros tenemos un intervalo en la recta real, por ejemplo, entre el punto 1 y el punto 3, si yo quiero representar los valores que son mayores que 1, pero menores e iguales que 3, ¿vale? 00:07:14
Yo en 3 dibujo un circulito cerrado, ¿no? Y en el punto 1 dibujo una circunferencia, ¿vale? Es decir, no la relleno. ¿Eso qué quiere decir? Eso quiere decir que mi intervalo es los valores de x que son mayores, pero no mayores iguales, mayores, estrictamente mayores que 1 y menores iguales que 3, ¿vale? 00:07:34
El 3 estaría comprendido en mi conjunto, en mi intervalo, pero el valor 1 no estaría contenido en mi conjunto. 00:08:01
Por eso lo represento con una circunferencia. 00:08:11
Sin embargo, el 3 lo represento con un círculo. 00:08:14
Recordad que esto es una circunferencia y esto es un círculo. 00:08:17
Un círculo es una circunferencia rellena. 00:08:21
Pues, para las imágenes, para los valores de ahí, representamos lo mismo. 00:08:25
Si este es el valor de x igual a 1 y este es el valor de x igual a 2, la función evaluada en 2 no toma dos valores, sino que para el valor x igual a 2, el valor de la función sería el de abajo porque es el que tiene el círculo relleno y no el de arriba, que es una circunferencia. 00:08:29
¿De acuerdo? Sin embargo, en x igual a menos 1, la función estaría dada por la rama inferior, ¿vale? Por este valor de aquí, que es aproximadamente menos 2, y no por este valor de aquí, que es menos 1, porque aquí la circunferencia tenemos, o sea, porque aquí en esta rama tenemos una circunferencia y aquí en esta rama tenemos un círculo para x igual a menos 1. 00:08:57
¿De acuerdo? Bien. A continuación vamos a ver una función que es un ejemplo clásico de cuánto puede costar, de cuáles son las tarifas de una compañía telefónica, que como sabéis hay distintos sistemas de tarificación. 00:09:21
Hay algunos que cobran un fijo al mes y hay otros que cobran un fijo más una parte variable, ¿vale? 00:09:43
En este caso tenemos el sistema que se utilizaba antiguamente, que es que una compañía telefónica te cobra 0,15 euros por cada vez que llamas, independientemente del tiempo que estés, ¿vale? 00:09:51
Y luego, 3 céntimos de euro por cada minuto de conversación, ¿vale? 00:10:04
Talificado de manera gradual, segundo a segundo. 00:10:11
Entonces, nos piden una tabla en la que se indiquen los precios de una llamada en función de su duración 00:10:14
y representar la gráfica y una ecuación algebraica, ¿vale? 00:10:19
Pues este es muy sencillo. La solución no la he tapado porque es muy sencillo. 00:10:26
Aquí nos están poniendo los minutos que dura la llamada, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y el precio total. 00:10:30
Pues entonces, para la duración 0, ¿cuánto nos va a costar la parte fija? 00:10:38
Para un minuto nos va a costar el establecimiento de llamada, 0,15 más 3 céntimos porque ha pasado un minuto. 00:10:43
Y así sucesivamente vamos sumando 3 céntimos al precio anterior. 00:10:51
es decir, este es el establecimiento de llamada y luego será 0,18 00:10:56
0,18 más 3 es 0,21 00:11:00
0,21 más 3 es 0,24 00:11:03
0,27, 0,3, 0,33 00:11:05
y si hacemos la gráfica, pues aquí la tendríamos 00:11:07
como veis, en el valor x igual a 0 00:11:10
yo tengo lo que se llama la ordenada en el origen 00:11:15
tengo un precio, un coste 00:11:17
que es 0,15 euros, 15 céntimos 00:11:21
Es decir, aunque yo nada más que me lo coja mi corresponsal cuelgue, yo tengo que pagar 15 céntimos. Ese es el fijo, el establecimiento llamado. Y a partir de ahí sube con una pendiente de 3 céntimos por cada minuto. 00:11:24
Y esta es la ecuación, 0,15, que es la ordenada en el origen, y luego la pendiente por la duración. 00:11:43
Esto es, como acabamos de ver en el tema anterior, la ecuación explícita de la recta, igual a mx más n, aunque han escrito primero la n antes que la mx. 00:11:52
Es decir, 0,03 sería el valor de m, que es la pendiente, y n es la ordenada en el origen. 00:12:05
Muy sencillo, no quiero seguir con ello. 00:12:14
Los ejemplos 1, 2 y 3 también son muy sencillos, por eso me los salto y vamos a ir directamente al concepto de dominio y recorrido, 00:12:19
que aunque los hemos introducido en el apartado anterior, vamos a insistir en ello. 00:12:28
Dice, el dominio de una función es el conjunto de abscisas, ¿vale? 00:12:34
Por lo tanto, es el conjunto del eje horizontal, del eje real, 00:12:37
porque como hemos dicho antes, para nosotros el conjunto de partidas, 00:12:43
es decir, el dominio y el recorrido van a ser subconjuntos de R, de todos los números reales, ¿vale? 00:12:47
Por lo tanto, el dominio de una función es el conjunto de abscisas para los que existe su gráfica. 00:12:55
El dominio, por tanto, se expresa en forma de intervalos sobre el eje x. 00:13:00
Y por eso vamos a recordar ahora qué eran los intervalos. 00:13:05
En esta gráfica que nosotros tenemos aquí, ¿cuál creéis vosotros que va a ser el dominio? 00:13:10
Aquí tenemos la forma de la gráfica. 00:13:16
Voy a resaltar dónde estarían las abscisas, que sería el eje horizontal, x. 00:13:19
voy a recordarlo porque alguno de vosotros todavía os leéis con esto, el eje horizontal, el eje de las x, el eje de la variable independiente se llama abscisas, 00:13:26
y le voy a poner aquí 00:13:37
variable independiente 00:13:43
y aquí está el eje I 00:13:48
de ordenadas 00:13:56
o variable dependiente 00:14:00
lo pongo así con mayúsculas 00:14:05
dependiente 00:14:12
bien, entonces 00:14:13
¿Dónde estaría el dominio de esta gráfica? Vamos a empezar desde menos infinito. Yo tengo aquí mi recta real que viene desde menos infinito y va hasta más infinito. Esto continúa hasta más infinito. 00:14:20
Si yo me sitúo en menos infinito y voy avanzando, ¿hay algún valor? ¿En estos valores de aquí está definida la función? No, no, aquí no tengo ningún valor de la función. Yo no encuentro la gráfica y no es cuestión de zoom porque me lo hubieran expresado de alguna manera. 00:14:37
Aquí no hay gráfica, aquí no hay gráfica, sin embargo, una vez que llego a 0, ahí ya sí que tengo la gráfica, que por lo que se ve estaría en menos infinito, ¿vale? Porque esto sería una asíntota. La gráfica se me va a menos infinito. 00:14:55
en 0,5, en 0,6, en 0,7 00:15:13
la función está definida, ¿vale? aquí la tenemos definida 00:15:17
todos estos valores son valores de la función 00:15:20
la función estaría ahí, estaría ahí, estaría ahí 00:15:23
¿vale? estaría ahí, aquí tengo el valor de la función ahí 00:15:27
aquí tengo el valor de la función, aquí tengo el valor de la función 00:15:31
¿cuál creéis vosotros que va a ser el valor, o sea, el dominio? 00:15:34
voy a seleccionar el color verde para que se vea bien 00:15:39
El dominio será todo esto, es decir, el semieje positivo, y por aquí seguiría, y por aquí seguiría, y por aquí seguiría, todo lo que he puesto en verde, en los valores positivos de x, en el semieje positivo de las abscisas del eje x, yo voy a tener función. 00:15:42
Por lo tanto, el dominio de f de x es igual al intervalo 0, es decir, a y, x igual a 0, hasta x igual a más infinito. 00:16:08
Eso se representa así, con paréntesis y no con corchetes, ¿vale? 00:16:31
Porque en el 0 el valor de la gráfica se va a menos infinito y cuando tú tienes un valor infinito lo pones con paréntesis y no con corchetes 00:16:37
y luego se va a más infinito, que también se representa con un paréntesis y no hay un corchete, ¿vale? 00:16:47
Vamos a recordar qué eran los intervalos y para eso nos tenemos que ir al tema 1, a la unidad 1 del libro, que es lo pegado aquí, ¿vale? Que no lo vimos en su momento porque consideramos que era preferible verlo ahora porque tiene más aplicación práctica en el tema 7, que es el de funciones, ¿de acuerdo? 00:16:53
Entonces, un intervalo es una forma de agrupar todos los números reales comprendidos entre dos llamados extremos, ¿vale? 00:17:15
Y existen los siguientes tipos, intervalos abiertos, intervalos cerrados y intervalos semiabiertos o semicerrados, según como queráis ver la botella, medio llena o medio vacía. 00:17:23
Los intervalos abiertos son aquellos en los que no queremos incluir los extremos del intervalo, extremos o frontera, como lo queráis ver. 00:17:36
Se denotan entre paréntesis, que lo tenemos aquí representado, y los extremos se separan por comas. Esto es un intervalo abierto, recordad, abierto, paréntesis, y los extremos separados por comas. 00:17:44
Es como si fueran los vectores. ¿Os acordáis que los vectores representábamos una coordenada x y una coordenada y cerrado entre paréntesis y sus valores separados por coma? 00:18:02
Pero no tiene nada que ver. Esto no es un vector, es un intervalo. 00:18:13
Ahora, tenemos los intervalos cerrados en los cuales, en vez de poner paréntesis, ponemos corchetes. 00:18:18
Y eso quiere decir que los extremos sí que están incluidos en el conjunto, en el intervalo. 00:18:24
Ahora veremos ejemplos. Y luego tenemos los intervalos semiabiertos o semicerrados, que son aquellos en los que tenemos un paréntesis y un corchete. Es decir, bien tenemos paréntesis-corchete o corchete-paréntesis. 00:18:29
Esto quiere decir, el primero, que el extremo inferior no estaría contenido en el intervalo, pero el extremo superior sí estaría contenido en el intervalo. Y aquí, al revés. 00:18:42
Por ejemplo, si tenemos el intervalo abierto menos 1, 3, quiere decir que los valores menos 1 y 3 no están incluidos en nuestro intervalo y se enunciaría así el conjunto de los números mayores que menos 1 y menores que menos 3. 00:18:57
Entonces, fijaros en que dice mayores y no mayor o igual, ¿vale? Mayores, estrictamente mayores y estrictamente menores, ¿vale? Por lo tanto, mi intervalo se representaría así, con circunferencias y no con círculos en los extremos. 00:19:18
Y sería todo este intervalo, el que va de menos uno hasta tres, ¿vale? Y la expresión algebraica sería x, es decir, cualquier x perteneciente a r, tales que x sea mayor, no incluye el menor, el no y no mayor o igual, y menor que tres, ¿vale? 00:19:37
x mayor que menos 1 y menor que 3 00:20:00
un ejemplo de intervalo cerrado pues sería 00:20:03
corchete 2,5 corchete 00:20:06
que es un intervalo cerrado 00:20:09
el conjunto de los números comprendidos entre 2 y 5 00:20:11
incluidos 2 y 5 00:20:14
¿vale? incluidos 2 y 5 00:20:17
y aquí como veis estamos usando 00:20:19
círculos y no circunferencias 00:20:24
para los extremos, para el 2 y para el 5. 00:20:27
Luego, mi intervalo sería la parte de la recta real 00:20:31
que va desde 2 hasta 5 incluidos. 00:20:37
Y la notación algebraica sería x, 00:20:41
es decir, cualquier valor de x perteneciente a r, 00:20:44
tal es que x es mayor o igual que 2 y menor o igual que 5. 00:20:47
Como veis aquí, nos están incluyendo el igual. 00:20:53
El igual. Cosa que antes no se hacía. Menor o igual. Menor o igual. ¿Sí? Muy importante. Arriba no teníamos el igual. 00:20:57
¿Y el semicerrado? Pues cuando tenemos un corchete y un paréntesis o al revés. 00:21:07
Aquí tenemos el intervalo semicerrado o semiabierto, como prefiráis. Corchete menos 5, menos 1. Paréntesis. 00:21:12
el conjunto de los números mayores o iguales, es decir, aquí el menos 5 está incluido, mayores o iguales que menos 5 y menores que menos 1, es decir, sería la parte de la recta que va desde menos 5 incluido hasta menos 1, sin incluir al 1, por eso en el menos 1 dejo una circunferencia, ¿vale? 00:21:21
Y en la expresión algebraica utilizaríamos menor o igual para menos 5 y menor para menos 1, ¿vale? 00:21:46
Bien, vamos a volver entonces a nuestro concepto de dominio. 00:21:57
El dominio de... ahora entendemos por qué el dominio, en el ejemplo que hemos visto, es un intervalo abierto. 00:22:02
Pero se me ha olvidado explicar una cosa. 00:22:12
Lo que son las semirrectas, ¿vale? Una semirrecta es una forma de agrupar todos los números mayores o menores que otro, ¿sí? 00:22:15
Entonces, en función de si queremos considerar o no el extremo numérico en la semirrecta, encontramos la siguiente clasificación que sigue las mismas notaciones que los intervalos anteriores. 00:22:25
Tenemos la semirrecta abierta y la semirrecta cerrada. Por ejemplo, 2 más infinito es el conjunto de los números mayores que 2, ¿vale? Y por lo tanto, utilizamos un círculo en 2 para indicar que no vamos a incluir al extremo inferior, que es 2, ¿vale? 00:22:36
y esto se nos va hasta más infinito, por eso lo representamos con una flecha. 00:22:57
Y en notación algebraica sería el conjunto de X, de todos los X pertenecientes a R, a la recta real, 00:23:03
tales que esos elementos X son mayores que 2 en sentido estricto, es decir, que no son mayores o iguales, sino mayores. 00:23:13
Un ejemplo de semirrecta cerrada, menos infinito 2, veis como en tanto en más infinito como en menos infinito siempre utilizamos paréntesis, nunca indicamos corchetes, porque consideramos que el infinito no se puede alcanzar como tal nunca, ¿vale? 00:23:24
Sin embargo, los extremos inferiores o superiores que no tienen valor infinito pueden ser con paréntesis o con corchetes, ¿vale? 00:23:43
Bueno, pues esto es lo mismo. 00:23:54
La semirrecta cerrada menos infinito 2 es el conjunto de todos los valores que viniendo desde menos infinito llegan hasta 2 incluido. 00:23:56
Por eso ponemos un círculo, ¿vale? 00:24:06
Es el conjunto de todos los valores x pertenecientes a R, tales que el valor de x es menor o igual, ¿vale? 00:24:08
Aquí hay un ejemplo, que si queréis lo tenéis resuelto aquí, os he incluido la resolución, pero creo que no merece la pena seguir con ello, ¿vale? 00:24:18
más interesantes son los ejemplos en los que se toma el valor absoluto de x 00:24:28
como por ejemplo el 10a que nos dice 00:24:34
escribe en forma de intervalo los números que se expresan por medio de desigualdades 00:24:39
por ejemplo, ¿cómo se expresaría el intervalo que se ha expresado de esta manera? 00:24:43
A, lo voy a poner aquí, el valor absoluto de X es mayor o igual que 2, ¿vale? 00:24:50
Si nosotros lo representamos en la recta real, bueno, aquí me he trocido un poco, lo voy a poner así, 00:25:00
este sería el valor 0, este sería el valor 1, este sería el valor 2, esto sería menos 1 y esto sería menos 2, ¿vale? 00:25:10
Por lo tanto, ¿dónde estaría mi intervalo o mi conjunto expresado de manera algebraica como el valor absoluto de x es mayor o igual que 2? 00:25:19
Bueno, de momento lo que tengo claro es que tanto 2 como menos 2 van a estar incluidos, ¿no? Bien. 00:25:31
¿Y el 0 estaría incluido? No, porque si yo me fijo, el valor absoluto de 0 es 0 y no es mayor o igual. 00:25:39
Y menos 1, lo mismo, no es mayor o igual que 2. 00:25:49
Luego está claro que mi intervalo va a estar comprendido en estas, va a venir desde menos infinito hasta menos 2 y desde 2 hasta más infinito, ¿vale? 00:25:53
Luego, esa sería la representación gráfica. Esto sería desde menos infinito hasta menos 2 y de 2 hasta más infinito. 00:26:07
¿Y eso cómo se expresaría de manera algebraica? Pues tendría dos intervalos unidos. La solución es la unión de dos intervalos. Por un lado, la semirrecta cerrada menos infinito menos 2, porque el menos 2 lo estamos cogiendo, unión, ¿vale? 00:26:17
Que es así como se dice la suma de dos conjuntos, unión, dos, más infinito. 00:26:41
Es decir, es la unión de dos semirrectas cerradas. 00:26:49
Cerradas porque en los extremos, que no son ni menos infinito ni más infinito, se han incluido los valores. 00:26:54
¿Veis? Esta es la misma solución que tenemos aquí. 00:27:03
El B se haría de una manera muy similar. 00:27:06
El C, ¿cómo se haría? 00:27:08
En el ceno se están diciendo cuál es el valor absoluto, o sea, cómo se representaría el intervalo definido mediante la expresión valor absoluto de x menos 1 mayor que 1. 00:27:11
¿Vale? Bien. Bien. Para representar este intervalo lo que tenemos que tener en cuenta es que el valor absoluto de x menos 1 representa la distancia desde un punto cualquiera de la recta real a el valor x igual a 1. 00:27:25
Es decir, si yo aquí tengo mi recta real, el valor absoluto de x menos 1 es la distancia de cualquier punto a el valor x igual a 1. 00:27:58
Y si me están diciendo que ese valor absoluto tiene que ser mayor que 1, vamos a ver, por ejemplo, que sucede en x igual a 2. 00:28:11
En x igual a 2, el valor absoluto de x menos 1 es 1. Luego, x igual a 2 no está comprendido. 00:28:21
Y para 0, ¿cuánto vamos a tener? 0 menos 1 es menos 1. Y el valor absoluto de menos 1 es 1. 00:28:35
¿Vale? Por lo tanto, no es mayor, luego aquí voy a tener un círculo, ¿sí? Entonces está claro que mi intervalo va a ser este de aquí, va a ser la suma de estas dos semirrectas, ¿de acuerdo? 00:28:43
Luego, la expresión algebraica va a ser la semirrecta menos infinito cero, y en cero pongo un paréntesis, unión dos más infinito, es decir, es la unión de dos semirrectas abiertas, ¿vale? 00:29:05
menos infinito coma cero 00:29:26
unión dos más infinito 00:29:29
ahora de momento 00:29:31
os cuesta un poco ver 00:29:34
los intervalos expresados de esta manera 00:29:35
mediante el valor absoluto 00:29:38
pero si lo veis como 00:29:40
o tenéis claro 00:29:41
que es la distancia 00:29:43
que el valor absoluto de x menos uno 00:29:45
es la distancia que hay de 00:29:47
de un punto cualquiera x 00:29:49
a el punto 00:29:51
x igual a uno 00:29:53
al punto este que me está aquí restando, vais a poder representar correctamente estos intervalos. 00:29:55
¿De acuerdo? Estos de aquí salen de la misma manera. 00:30:04
Bien. 00:30:07
Bien. Hemos visto, por lo tanto, cómo se calcula el dominio de una función a través de su gráfica. 00:30:19
Que eso no es complicado. ¿Vale? Lo hemos visto aquí. 00:30:25
Eso no es complicado. 00:30:29
Hemos visto que el dominio del ejemplo anterior es una semirrecta abierta, en concreto la semirrecta abierta 0 más infinito. 00:30:31
Ahora vamos a ver cómo se calcula el dominio de una función a partir de su expresión analítica, de su expresión algebraica. 00:30:39
Y para ello vamos a centrarnos en los ejercicios resueltos que trae el libro. 00:30:50
El primer ejemplo que nos propone es esta función racional. f de x igual a 3x menos 2 dividido entre 2x más 1. Es una función racional. ¿Qué significa racional? 00:30:54
que es del tipo f de x igual a un polinomio dividido entre un polinomio, eso es función racional, igual que función racional. 00:31:09
Vosotros os acordaréis que vimos lo que eran las ecuaciones racionales, que era precisamente eso, un polinomio dividido entre otro polinomio. 00:31:35
¿Y de dónde viene la expresión racional? Viene de razón, ¿vale? 00:31:43
Que lo hemos expresado varias veces cuando hemos estado viendo lo que era proporcionalidad y razón, y también cuando hablamos de las ecuaciones racionales. 00:31:48
¿Y qué dijimos cuando nosotros trabajábamos con ecuaciones racionales y encontrábamos las soluciones de una ecuación racional? 00:31:57
¿Qué es lo que teníamos que ver o qué salvedad teníamos que fijarnos? 00:32:07
¿O cuáles eran los puntos peligrosos de cualquier ecuación racional? 00:32:11
Los denominadores, porque si en una ecuación racional el denominador se nos hace cero, tenemos un problema. 00:32:16
Es decir, los valores de x, los valores de la variable independiente que hacen 0, el denominador de una ecuación racional o de una función racional, dan problemas. 00:32:23
¿Cuál es el denominador de nuestra función racional? Yo tengo aquí f de x igual a 3x menos 2, dividido entre 2x más 1. 00:32:35
El numerador no me da a mí ningún problema, pero el denominador es mi lugar conflictivo. Si a mí 2x más 1 se me hace 0, esto va a ser un valor dividido entre 0, que es infinito o menos infinito. 00:32:50
Habría que verlo, ya lo veremos más adelante en estos temas de funciones. 00:33:08
Pero de momento, ahora mismo, yo los valores de x que me hagan 0 en el denominador, los voy a sacar del dominio, porque en esos puntos no está definida la función. 00:33:14
Entonces, ¿cómo calculo yo los puntos problemáticos? Muy fácil, voy a igualar el denominador a 0 y voy a ver en qué puntos sucede eso. 00:33:25
2x más 1 igual a 0 implica que 2x es igual a menos 1, o lo que es lo mismo, x igual a menos 1 medio. 00:33:34
Luego, mi denominador se me hace 0 en x igual a menos 1 medio. 00:33:53
Por lo tanto, el dominio, y lo vamos a expresar como lo ha expresado el libro más arriba, el dominio de f de x es igual a que lo expresamos así, el conjunto de los números reales menos el conjunto que yo voy a excluir. 00:33:58
Y para eso se utilizan las llaves del conjunto, menos el conjunto definido por un único elemento, que es menos un medio. 00:34:31
Se me ha olvidado el uno. Menos un medio. ¿Vale? Ese sería mi dominio. ¿Vale? 00:34:42
Vamos con el siguiente apartado. El apartado B. 00:34:51
Es una función con raíces, ¿no? Con radicales. 00:34:54
Entonces, el apartado b me dice cuál es el dominio de la función f de x definida como la raíz de x cuadrado menos 5x más 6. 00:35:03
¿Vale? 00:35:17
Bien, como recordaréis también, cuando trabajamos con las ecuaciones con radicales, dijimos que había que comprobar siempre si las soluciones que nosotros obteníamos para los valores de x hacían que el radicando fuera negativo. 00:35:18
Es decir, porque en esos lugares, radicando menor que 0, no pongo el igual que 0, porque cuando un radicando es 0, la raíz está definida, raíz de 0 es 0. 00:35:38
Pero cuando el radicando es negativo, radicando menor que 0, implica que f de x no está definida. ¿Por qué? Porque no hay ningún número real, o sea, porque la raíz de un número negativo no es un número real. 00:35:52
En los reales, la raíz de un número negativo no tiene solución. 00:36:19
Para eso habría que ampliar el concepto a los números complejos que los veréis en bachillerato, pero no en la ESO. 00:36:23
Por lo tanto, cuando a mí un radicando se me hace cero, la función no está definida. 00:36:30
Entonces, yo, para saber dónde tengo problemas, tengo que decir x cuadrado menos 5x más 6 tiene que ser mayor que cero. 00:36:36
Ese va a ser mi dominio. Estos son los puntos en los cuales yo no tengo problemas. 00:36:51
Y aquí hay una cosa que no he dicho bien y es que mi dominio será los valores de x en los cuales la expresión x cuadrado menos 5x más 6 es mayor o igual que 0. 00:36:56
Porque tal y como hemos dicho antes, cuando la x es 0 la función está definida. 00:37:17
Bien, pero esto que tenemos nosotros aquí es una inequación y las inequaciones las teníamos que haber visto antes, pero decidí explicároslas mejor en este tema, que es donde van a tener una aplicación más directa, ¿sí? 00:37:24
Por lo tanto, ahora vamos a explicar cómo se resuelven las ecuaciones de primer y de segundo grado, ¿vale? 00:37:40
Vamos a dar, a hacer una disgresión y vamos a explicar inequaciones, ¿vale? 00:37:49
Que eso se veía o se debía haber visto en la unidad 3 del libro, en concreto en el apartado 6.1, ¿vale? 00:37:56
El apartado 6.1 está dedicado a las inequaciones de primer grado, ¿vale? 00:38:04
Son las más sencillas. Y para saber manejar en ecuaciones de primer grado tenemos que tener en cuenta dos reglas muy sencillas. La regla de la suma y la regla del producto. 00:38:10
La regla de la suma es la misma que utilizáis continuamente cuando estáis resolviendo ecuaciones, ¿vale? Cuando vosotros tenéis ecuaciones, que tenéis una igualdad, podéis transformar una ecuación en una ecuación equivalente sumando o restando en ambos lados de la igualdad la misma cantidad positiva o negativa. 00:38:21
Es decir, si yo tengo la inequación A menor que B, yo puedo pasar a una inequación equivalente sumando C en ambos lados de la inequación. 00:38:43
Es decir, si yo tengo que A es menor que B y yo le sumo un valor C perteneciente a R, es decir, que puede ser positivo o negativo, 00:38:56
porque r contiene valores positivos o negativos, yo paso a una inequación equivalente que es a más c es menor que b más c. 00:39:06
Por ejemplo, si yo tengo que 2 es mayor que 1, yo puedo obtener una inequación equivalente sumando 5 en ambos lados de la inequación. 00:39:17
2 más 5, que es 7, es mayor que 1 más 5, que es 6. 00:39:25
¿Vale? La inequación se mantiene 00:39:29
Y esto si lo representamos como una balanza desequilibrada 00:39:32
El 2 pesa más que el 1 00:39:35
Y la báscula no cambia 00:39:37
No cambia su posición 00:39:43
Si yo sumo 5 en ambos platillos 00:39:46
¿Vale? 00:39:50
Es decir, 2 más 5 es 7 y 1 más 5 es 6 00:39:51
Y los platillos siguen estando desequilibrados hacia el mismo lado 00:39:53
Ahora viene la regla del producto 00:39:57
que es un poquito más complicada y hay que tener un poco más de cuidado. 00:39:59
Si yo tengo la inequación A es menor que B, puedo pasar a una inequación equivalente, 00:40:03
es decir, manteniéndose el signo menor, ¿vale? 00:40:10
Si yo multiplico por un número positivo, acordaros de que en la regla de la suma o de la resta, 00:40:15
yo puedo sumar o restar un valor, tanto positivo como negativo. 00:40:22
Antes decíamos que c pertenecía a r, ahora decimos que c pertenece a la semirrecta positiva, es decir, si yo tengo un valor c positivo que pertenece a la semirrecta 0 más infinito y yo tengo una inequación a menor que b, esa inequación se mantiene, es decir, el signo de relación menor se mantiene si yo multiplico ambos lados de la inequación por el valor c positivo. 00:40:27
Es decir, a menor que c equivale, por eso tenemos doble implicación, a que ac es menor que bc. 00:40:55
Por ejemplo, si yo tengo que 2 es mayor que 1, eso equivale a que 2 por 5 es mayor que 1 por 5. 00:41:04
Es decir, 2 por 5, 10, es mayor que 5. 00:41:10
Sin embargo, cuidado, cuidado, cuidado, y hay que tener muchísimo cuidado porque esto os cuesta mucho. 00:41:15
Si el número por el que yo multiplico es negativo, la inequación cambia y se invierte el orden de la desigualdad. 00:41:22
Es decir, si yo tengo que A es menor que B, ¿vale? 00:41:31
La flecha está mirando hacia la izquierda, esta flecha está mirando hacia la izquierda, ¿vale? 00:41:36
La estoy haciendo aquí un poquito más grande para que la veáis bien. 00:41:43
y yo multiplico por un valor negativo, porque c pertenece ahora a la semirrecta menos infinito cero, 00:41:46
es decir, yo multiplico por un valor negativo, el sentido de la inequación cambia y ahora va a mirar hacia la derecha. 00:41:56
Es decir, si a es menor que b y yo multiplico por un número negativo, ac va a ser mayor que bc. 00:42:08
Por ejemplo, yo tengo la inequación 2 mayor que 1, que lo tengo aquí pintado con esta báscula, y yo multiplico por el valor menos 5, yo paso de ser el signo mayor al signo, al símbolo menor, ¿vale? 00:42:15
Se me ha cambiado de estar mirando hacia la derecha, este pico, ha pasado a mirar hacia la izquierda, ¿vale? Porque 2 por menos 5 es menos 10, que es menor que 1 por menos 5, que es menos 5, ¿vale? 00:42:33
Yo tengo aquí, acordaros, que si yo tengo un valor negativo, menos 10, y aquí tengo menos 5, menos 5 está más a la derecha que menos 10, luego menos 5 es mayor, por eso el signo cambia, que menos 10, que esto es menos 10, ¿vale? 00:42:49
¿De acuerdo? Entonces, con esta regla resolveremos inequaciones de primer grado del tipo 3x menor o igual que 6. 00:43:13
Aquí vamos a dividir, a multiplicar, por números positivos en el primer ejemplo, es decir, yo tengo 3x menor o igual que 6. 00:43:23
Entonces, yo divido ambos lados de la inequación por un número positivo, que es 3, yo voy a dividir entre 3, 00:43:32
Y eso, como 3 es positivo, ¿vale? Esto no cambia. El signo de la inequación no cambia. Paso de menor o igual a menor o igual. ¿Sí? Por lo tanto, yo voy a tener que 3x por un tercio, lo que es lo mismo 3x dividido entre 3, es menor o igual que 6 dividido entre 3. 00:43:40
O lo que es lo mismo, que x es menor o igual que 2. Y yo aquí ya tendría mi inequación resuelta, que x es menor o igual que 2. Pero, pero, pero, si yo tengo que menos 4x es menor o igual que 2 tercios, yo para dejar la x sola voy a tener que dividir los dos lados de la inequación entre menos 4. 00:44:03
Como estoy dividiendo entre un número negativo, da lo mismo que yo divida o que multiplique, ¿vale? A efectos de lo que es el cambio del signo de la desigualdad. 00:44:25
Yo aquí tengo que menos 4x es menor o igual que 2 tercios. Yo como divido entre un número negativo, que es menos 4, el sentido de mi ecuación se invierte. Antes estaba el pico mirando a la izquierda y aquí va a mirar hacia la derecha. 00:44:39
Es decir, que de menor o igual pasa a mayor o igual. Y esto tenéis que tener mucho cuidado porque nos equivocamos mucho. ¿Vale? Como, recordad, como estoy dividiendo entre menos 4, el sentido de la inequación se invierte. ¿Vale? 00:44:56
Entonces ahora tengo menos 4x dividido entre menos 4 es mayor, ahora esto es mayor o igual que 2 tercios. Eso me queda que x, porque aquí se me va el menos 4 con el menos 4, me queda que x es mayor o igual que menos 1 sexto. 00:45:13
Esta sería mi solución y la tenéis que tener muy clara, ¿vale? 00:45:31
Aquí vamos a hacer algún ejemplo, ¿vale? 00:45:36
Voy a tachar esto. 00:45:40
Uf, control Z, porque no era eso lo que yo quería. 00:45:42
Vamos a resolver estas inequaciones, ¿vale? 00:45:46
La primera, el caso A. 00:45:49
Bien, tenemos A. 00:45:53
3x menos 4 más 5x menos 6 es mayor o igual que 10x menos 21. 00:46:01
Se resuelven igual que resolvíamos las ecuaciones lineales. 00:46:14
Es decir, hay que agrupar todas las x en un lado y todos los números en otro. 00:46:17
Por lo tanto, yo voy a dejar 3x más 5x, este 10x, lo resto. 00:46:23
O sea, lo paso restando al otro lado, porque acordaros de que cuando yo sumo o resto, tanto cantidades positivas como negativas, el sentido de la desigualdad no cambia. 00:46:30
Luego yo, lo de pasar sumando o restando al otro lado de la inequación, es como cuando teníamos ecuaciones normales, ¿vale? 00:46:41
Y ahora voy a pasar los números al lado de la derecha, es decir, el menos 4 pasa a 4, el menos 6 pasa a más 6 y este menos 21 se mantiene en su sitio, ¿vale? Punto y coma. 00:46:49
Esto es 3x más 5x es 8x, menos 10 será menos 2x, es mayor o igual que 4 más 6, 10, menos 21, menos 11, ¿vale? 00:47:03
Bien, yo me tengo que deshacer de este menos 2, por lo tanto voy a dividir todo entre menos 2, pero si yo divido todo entre menos 2, recordad que el sentido de mi inequación se va a invertir, es decir, menos 2x dividido entre menos 2, y ahora de mayor o igual paso a menor o igual, ojo, ojo, ojo, ojo, lo pongo así, recuadrado, va a ser menor o igual, 00:47:19
que menos 11 dividido entre menos 2, punto y coma, es decir, menos 2 con menos 2 se va y me da positivo, x menor o igual, 00:47:48
y ahora tengo menos 11 entre menos 2, menos entre menos, más x menor o igual que 11 medios, ¿de acuerdo? 00:48:01
Bien, eso lo podríamos dejar así, pero como estamos practicando los intervalos, vamos a ver cómo lo podríamos expresar como un intervalo abierto, como una semirrecta abierta, ¿vale? 00:48:10
Y vamos a representarlo también gráficamente. Si yo aquí tengo mi recta real y esto es más infinito y esto es menos infinito, mi intervalo, ¿dónde estaría? Me están diciendo que x tiene que ser menor o igual que 11 medios. 11 medios es más o menos, es 5,5, ¿no? Luego esto estaría aquí, 11 medios. 00:48:31
y como mi desigualdad incluye el igual, eso quiere decir que 11 medios estaría incluido en el intervalo, ¿vale? 00:48:53
Por eso pinto un círculo y no una circunferencia, ¿vale? 11 medios. 00:49:04
Y como me están diciendo que tiene que ser menor o igual, la semirrecta va a ser esta, ¿sí? Esa sería la semirrecta. 00:49:10
Y si yo lo quiero expresar como un intervalo, pues sería el intervalo menos infinito, once medios, y el once medios que pongo un paréntesis o un corchete, un corchete, porque el once medios está incluido, ¿vale? 00:49:19
Luego esto sería la semirrecta cerrada, menos infinito, 11 medios, ¿vale? Y así se harían los demás. Esto no es muy complicado. Donde sí que tenemos más complicación, aquí los tenéis resueltos en el libro, todos los demás, que los podéis mirar, ¿vale? 00:49:37
¿Vale? Donde sí que tendríamos más complicación es en el siguiente apartado. Bueno, más complicación porque no lo hemos visto, ¿vale? Y lo vamos a explicar ahora, que son las inequaciones polinómicas de grado mayor o igual que 2 con una incógnita. 00:49:58
Que esto es precisamente lo que nosotros necesitamos, porque acordaros que hemos llegado a esto, o hemos venido aquí, porque necesitamos resolver esta inequación. 00:50:14
f de x igual, o sea, x cuadrado menos 5x es mayor o igual que 0. Esa va a ser mi inequación, que como veis es una inequación de segundo grado. 00:50:28
¿Vale? Pues vamos con ella. Inecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 2 con una incógnita. Eso es lo que nosotros necesitamos saber, que está en el tema 3, apartado 6-1. 00:50:41
¿Cómo se resuelve eso? 00:50:56
Voy a tachar la solución 00:51:03
Y ahora lo vamos a ver 00:51:05
Voy a tachar aquí el ejemplo 00:51:07
Y lo vamos a explicar 00:51:09
Esta es la herramienta 00:51:11
Vamos a ir con el apartado número A 00:51:15
Apartado número A 00:51:17
Que me dicen 00:51:19
Resuelve la siguiente inequación polinómica 00:51:21
De grado 2 00:51:23
con una sola incógnita, x cuadrado menos x mayor que 6, ¿vale? 00:51:24
El primer paso siempre es convertirla en una inequación de grado, 00:51:32
es decir, pasar todas las incógnitas y los números, los términos independientes, 00:51:37
a un lado de la inequación, es decir, al igual que hacíamos con las ecuaciones de segundo grado. 00:51:44
Si esto para mí fuera una ecuación de segundo grado, yo lo tengo que dejar en la forma canónica, ax cuadrado más bx más c igual a cero, ¿vale? Pues lo hago. Yo digo x cuadrado menos x menos 6 mayor que cero. Eso estaría, por así decirlo, en la forma canónica, ¿vale? 00:51:51
Y el 6 lo hemos podido pasar restando sin cambiar el sentido del símbolo de la inequación porque por la regla de la suma y de la resta yo puedo sumar y restar sin ningún problema y sin que cambie el signo de la desigualdad, ¿vale? 00:52:13
Y a continuación, ¿qué es lo que haríamos? Nosotros tenemos que factorizar este polinomio de grado 2. Para ello lo que tenemos que hacer es resolver la ecuación en la cual nosotros tendríamos esto igualado a 0. 00:52:30
Yo igual a 0 y resuelvo la ecuación de segundo grado. x cuadrada menos x menos 6 igual a 0. Y esto se resuelve por la ecuación de segundo grado que vosotros conocéis. 00:52:47
Entonces, x es igual a menos b, que menos b es menos 1, por lo tanto esto sería 1 más menos la raíz cuadrada de b cuadrado, que sería 1 menos 4 por 1 y por c. 00:52:59
menos 4 por 00:53:13
x, me escribe 00:53:16
menos 4 por 1 00:53:18
y por 00:53:21
menos 6, ¿vale? 00:53:22
partido por 2a 00:53:27
que es 2, es decir 00:53:28
esto es igual a 1 00:53:31
más menos la raíz 00:53:32
de, esto es 1 00:53:35
menos 4 por menos 6 00:53:36
es menos 20 00:53:38
más 24, más 1 00:53:40
25. 1 más menos raíz de 25, partido por 2. Es decir, esto es igual a 1 más menos 5, partido por 2. Es decir, x sub 1 es igual a 1 más 6, 5 entre 2, 3. 00:53:42
Y x sub 2 es igual a 1 menos 5 menos 4 entre 2 menos 2, ¿vale? Ya tengo las soluciones a esta ecuación de segundo grado, ¿vale? Por lo tanto, yo eso lo puedo factorizar, ¿vale? Yo esto lo puedo factorizar como x menos 3 por x más 2 igual a 0. 00:54:00
¿Ok? Bien, o sea que yo la expresión x cuadrado menos x menos 6 igual a 0 la puedo expresar factorizada de esta manera. 00:54:30
Pero, como lo que yo voy buscando no es los puntos en los que esa expresión se hace 0, sino los puntos en los que es mayor que 0, 00:54:45
Yo puedo expresar esta expresión algebraica, valga la redundancia, x cuadrado menos x menos 6 mayor que 0 es equivalente a ver en qué puntos el producto x menos 3 por x más 2 es mayor que 0. 00:54:55
Y para eso lo que vamos a hacer es lo siguiente. 00:55:17
Vamos a hacer una tabla y vamos a ver dónde cambia el signo de nuestros factores. 00:55:20
Yo tengo dos factores, x menos 3 y x más 2, ¿no? 00:55:31
Bien. 00:55:35
Y, por otro lado, tengo dos raíces. 00:55:37
Voy a bajar esto un poco. 00:55:40
Yo tengo, no puede ser, ¿cuánto es z? 00:55:41
A ver, ¿cómo hago esto ahora? Nada, control Z. Entonces, lo que hacemos ahora es una tabla en la que ponemos en la primera columna los factores que tenemos, x menos 3 y x más 2, ¿vale? 00:55:49
Y en la primera fila, bueno, esta me ha quedado muy mal, y en la primera fila lo que vamos a poner es los lugares en los que cambian las raíces que nosotros tenemos. 00:56:06
Es decir, vamos a poner aquí menos infinito porque es el valor más extremo, luego aquí ponemos de manera ordenada las raíces de nuestra inequación, ¿vale? 00:56:29
Que son, primero va el menos 2 y luego va el menos 3, pongo menos 2 y luego pongo aquí 3. 00:56:41
Luego aquí pongo más infinito, más infinito. Y aquí voy a poner, en la última fila, voy a poner el producto x menos 3 por x más 2. Ya sé que esto ahora mismo os va a parecer un poco complicado, pero veréis que no es difícil en cuanto practiquéis un poquito. 00:56:48
Y ahora vamos a estudiar el signo de cada uno de los factores. Es decir, si yo doy un valor entre menos infinito y menos 2 a la x, porque estoy en este cuadrante, ¿cuánto va a valer el factor x menos 3? 00:57:09
¿Cuál va a ser el signo del factor? Va a ser negativo. 00:57:26
Si ahora le doy un valor comprendido entre menos 2 y 3, por ejemplo, 0, 1, 2, porque aquí estaría el 0, aquí estaría el 1, el 2, ¿qué valor voy a tener? 00:57:32
Voy a tener un valor negativo. Por ejemplo, si le diera el valor 0, 0 menos 3, menos 3. Luego el signo va a ser negativo. 00:57:45
Si yo le doy el valor 3, aquí se me va a hacer un 0. Esto no se suele representar el 0, pero a mí me gusta ponerlo, para que se vea dónde se va a producir el 0. 00:57:52
Y si le doy un valor que está comprendido entre 3 y más infinito, por ejemplo, 10, yo voy a tener un signo positivo. Por ejemplo, 10 menos 3 es 7, positivo. 00:58:03
¿Vale? Luego mi factor x menos 3, desde menos infinito hasta 3, va a ser negativo. En 3 se hace 0 y a partir de 3 positivo. ¿Vale? Por eso es menos, menos, más. 00:58:12
Ahora vamos con el factor x menos 2 00:58:26
Si yo le doy un valor a la x muy negativo, por ejemplo, menos 100, menos 100 más 2 es negativo 00:58:28
En menos 2, si le doy x menos 2, aquí voy a tener un 0 00:58:34
Y si le doy un valor grande, por ejemplo, 0, 10, 20, 10 más 2, ya voy a tener positivo siempre 00:58:39
Por lo tanto, ¿cuál va a ser el signo de x menos 3 por x menos 2? 00:58:47
pues será el signo de la primera fila multiplicado por el signo de la segunda fila, es decir, entre menos infinito y menos 2 vamos a tener menos por menos, más. 00:58:54
En menos 2 vamos a tener lo que sea por 0, va a ser 0. 00:59:05
Entre menos 2 y 3 vamos a tener menos por más, menos. 00:59:10
En 3 vamos a tener un 0. 00:59:15
Y a partir de 3 vamos a tener más por más, más. 00:59:18
¿Vale? Y yo, ¿qué es lo que estaba buscando? Que ya con todo se me, a veces se nos olvida lo que vamos buscando 00:59:22
Yo voy buscando los valores en que x menos 3 por x más 2 sea positivo 00:59:28
Luego mi intervalo va a ser este y este 00:59:33
¿Qué pasa con los valores x menos 2 y x igual a 3? 00:59:38
Pues en esos valores este producto es 0 y a mí me están pidiendo los valores de x en los cuales la inequación es estrictamente positiva, ¿vale? Por lo tanto, esta inequación tiene como soluciones estos dos intervalos. 00:59:43
Recordad que aquí estamos en el tema 3, no estamos en el tema 7. Me están pidiendo simplemente los valores de las x. No estamos hablando de dominios ni de nada. Me están diciendo que resuelva las siguientes inequaciones. 01:00:05
Por lo tanto, esta inequación, x cuadrado menos x mayor o igual que 6, o sea, mayor que 6, es equivalente a x cuadrado menos x mayor que 0, y la solución va a ser el intervalo menos infinito coma menos 2, y aquí lo dejo abierto porque no me vale el 0, porque tiene que ser mayor que 0, estrictamente mayor, unión, que se hace con este signo, 01:00:19
Intervalo abierto, porque el 3 no está incluido, porque en 3 se hace 0 la expresión. 01:00:49
Unión, el intervalo abierto, 3 más infinito. 01:00:57
¿De acuerdo? 01:01:04
Bien, con eso habríamos resuelto el primer apartado. 01:01:06
Vamos a ir ahora con el apartado B, porque como es algo novedoso, vamos a hacer varios ejemplos. 01:01:17
El segundo apartado dice lo siguiente. 01:01:25
B. Resuelve las siguientes inequaciones polinómicas, 3x más 2x a la cuarta más 3x al cubo menor o igual que 8x al cuadrado, ¿vale? 01:01:28
Es decir, es más complicada porque es de grado 4, pero no debemos ponernos nerviosos. 01:01:47
Vamos a aplicar lo que sabemos, y es que tenemos que dejar en uno de los lados de la inequación, debemos dejar 0 y todos los demás términos pasarlos al otro lado. 01:01:53
Por lo tanto, como aquí tengo el término 2x a la cuarta con coeficiente positivo, voy a pasar todo al lado de la izquierda y lo voy a ordenar 2x a la cuarta más 3x cubo menos 8x cuadrado más 3x, más 3x, tiene que ser menor o igual que 0, ¿vale? 01:02:03
porque aquí tengo un menor o igual, y el 8x al cuadrado lo he pasado restando, ¿vale? 01:02:31
Por lo tanto, ahora yo tengo que factorizar este polinomio de grado cuarto. 01:02:35
Si os acordáis, los pasos para factorizar un polinomio, lo primero era sacar factor común, 01:02:40
ver si hay identidades notables, y luego resolver la ecuación de las ecuaciones que nos vayan quedando. 01:02:47
Si son de grado mayor que 2, aplicábamos Ruffini, y si eran de grado 2, 01:02:55
resolvíamos por el método de la ecuación de segundo grado. 01:02:59
Aquí está claro que puedo sacar factor común a la x. 01:03:03
Es decir, yo voy a poder decir que esa expresión es igual a x 01:03:07
que multiplica a 2x cubo más 3x cuadrado menos 8x más 3 01:03:11
y eso tiene que ser menor o igual que cero. 01:03:22
Ya he sacado factor común a la x. 01:03:26
No puedo sacar factor común a este factor, ya no puedo seguir. Por lo tanto, tengo que aplicar Ruffini porque tengo grado 3 a este polinomio, ¿vale? Como mi término independiente es 3, yo tengo que probar primero a ver si hay soluciones enteras y si hay soluciones enteras tendrán que ser divisores del término independiente que tiene por divisores más menos 1 y más menos 3. 01:03:27
Si lo hacemos un poquito abajo, vemos que, vamos a probar con 1. 01:03:57
Yo tendría 2 más 3, 5, 5 más 3, 8, menos 8. 01:04:04
Sí, con el valor x igual a 1, yo voy a tener, o sea, el valor x igual a 1 lo hace 0. 01:04:10
Entonces voy a aplicar Ruffini. 01:04:18
Yo tengo 2, 3, menos 8 y 3, ¿vale? 01:04:20
Luego, si yo aquí pongo 1, ¿qué voy a tener? 2 por 1, 2. 3 más 2, 5. 5 por 1, 5. Menos 8 más 5, menos 3. Menos 3 por 1, menos 3. Y aquí voy a tener 0, ¿vale? 01:04:26
Por lo tanto, ese polinomio yo lo puedo expresar como x que multiplica, acordaros, cuando yo aquí tengo el valor de una raíz, voy a tener por factor x menos ese valor. 01:04:44
Y el siguiente cociente va a ser x cuadrado más 5x menos 3 igual a 0. 01:04:58
Si eso lo resuelvo por la ecuación de segundo grado, yo voy a tener que x es igual a menos b, es decir, menos 5 más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, que es 25, menos 4 por 1, es que escribir los puntos me cuesta mucho, 01:05:10
Menos 4 por 1 por menos 3, ¿vale? Divido entre 2a, siendo a 1, por lo tanto me queda esto. 01:05:31
Y esto es igual a menos 5 más menos la raíz de 25 menos más, o sea, menos por menos es más, 12 partido por 2. 01:05:42
lo cual es igual a menos 5 más menos la raíz cuadrada de 37. 01:06:00
Y aquí estos números ya no me suenan, luego en algo me he debido equivocar. 01:06:11
Ah, esto es un 2, esto es un 2, aquí me he equivocado, ¿vale? 01:06:16
Menos 4, luego esto es un 2, ¿vale? Menos 4 y esto es 24, y esto es, esto es 24. 01:06:27
por lo tanto, esto va a ser 49 01:06:52
esto va a ser 49 01:06:56
y esto va a ser 7 01:07:00
menos 5 más menos 7 01:07:01
partido por 2 01:07:05
y eso nos da por un lado 01:07:06
menos 5 más 7, 2 entre 2, a 1 01:07:10
y ahora voy a tener menos 5 menos 7 01:07:13
es menos 12 01:07:17
y aquí también me he equivocado, porque esto es 2 por 2 01:07:18
2 por 2, y esto es 2 por 2, y esto es 4. Esto es menos 5 más 7, es 2. Entre 4, esto es un medio. Y menos 5 menos 7 es menos 12. Entre 4 es menos 3. 01:07:23
¿Sí? Ahora sí que lo tendríamos bien. Entonces, este polinomio se factorizaría como x por x menos 1 por x menos 1 medio y por x más 3. ¿Vale? Y eso tiene que ser menor o igual que 0. 01:07:45
Todo esto es factorización de polinomios, que es lo que hemos estado viendo en los temas anteriores, repasadlo, pero no es complicado. Y ahora tendríamos que hacer lo que ya hemos hecho en el ejercicio anterior, que es formar una tabla donde lo pongo yo para que esto me quepa y no me quede feo. 01:08:06
Voy a alargar este cuadrado, ¿vale? Y lo vamos a hacer así, así no queda muy feo, ¿vale? Entonces, esto sería igual, vamos a poner en la primera columna, en primer lugar, los valores, en primer lugar, los factores, 01:08:29
x, x menos 1, x menos 1 medio, x más 3, x más 3 y por último el producto de todos ellos, x que multiplica a x menos 1 por x menos 1 medio y ahora x más 3, ¿vale? 01:08:53
A ver, y ahí vamos a poner los valores de los cambios. 01:09:26
Esto sería menos infinito, ¿cuál es el siguiente, el más pequeño de todos ellos? 01:09:30
Luego vendría menos tres, de todas las raíces vendría menos tres, 01:09:35
luego vendría cero, si no me equivoco, 01:09:41
y luego vendría un medio, si lo hacemos en orden, un medio, 01:09:48
y luego vendría uno, ¿vale? Esas son todas las raíces. 01:09:54
Es que las he puesto de manera muy desordenada. 01:09:57
Es decir, yo raíces tengo 0 por la x, tengo 1 por x menos 1, tengo un medio y tengo menos 3. 01:09:59
Esas serían las raíces ordenadas. 01:10:12
Y luego tengo más infinito. 01:10:14
¿Vale? 01:10:16
Bien. 01:10:17
Entonces, bajo una barra, una línea, por cada una de las raíces ordenadas. 01:10:18
Ordenadas, acordaros de ordenarlas. 01:10:25
¿Vale? 01:10:27
Entonces, voy a hacer así, más o menos, me va a salir todo muy torcido, pero bueno, bien. 01:10:29
Entonces, ¿dónde van a estar los cambios de la x, del signo de la x? 01:10:43
Pues es muy fácil, en x igual a 0 será 0, y en estos dos intervalos será negativo, y a partir de aquí será positiva siempre, ¿vale? 01:10:54
Es decir, el signo de la x es negativo desde menos infinito, al llegar a 0 se hace 0 y a partir de x igual a 0 se hace positivo. x menos 1, ¿dónde tendrán el cambio de signo? O sea, ¿dónde se hará 0? En x igual a 1, es decir, aquí se hará 0 y en todos estos valores va a ser negativo. 01:11:03
Si yo le doy el valor a la x 01:11:24
Menos 100 por ejemplo 01:11:28
Menos 100 menos 1 01:11:29
Menos 101 01:11:30
Es negativo, negativo, negativo 01:11:31
En x igual a 1 se hace 0 01:11:33
Y a partir de x igual a 1 se hace positivo 01:11:35
x menos 1 medio 01:11:38
¿Dónde se hará 0? 01:11:39
En x igual a 1 medio 01:11:41
Antes va a ser siempre negativa 01:11:44
Y a partir de ahí positiva 01:11:46
¿Vale? 01:11:48
x más 3 01:11:50
¿Dónde se hará 0? 01:11:51
en x igual a menos 3. Antes era negativa y a partir de ahí positiva. ¿Sí? Y el producto 01:11:52
de todas ellas, ¿cómo va a ser? Menos por menos más, menos por menos más. Es decir, 01:12:01
menos por menos más, por menos menos, por menos más. Aquí cero, porque vamos a tener 01:12:08
un cero entre los factores. Aquí como hay tres signos menos, que es un número en par, 01:12:14
vamos a tener signo negativo. En cero, como tenemos un factor que se hace cero, vamos 01:12:21
a tener un cero. Y aquí tenemos dos signos menos y dos signos más. Luego vamos a tener 01:12:27
valor positivo. En x igual a un medio volvemos a tener cero. Aquí signo menos. ¿Por qué? 01:12:34
Porque tenemos un número impar de regiones negativas. En x igual a uno vamos a tener 01:12:42
un 0 y a partir de 1 todo positivo. Y a mí, como me estaban pidiendo dónde era menor 01:12:50
o igual que 0, menor o igual, ¿vale? Luego, ¿cuáles van a ser mis intervalos? Este van 01:12:57
a ser mis intervalos, van a ser las soluciones. Y en los extremos los voy a coger. Yo los 01:13:04
voy a coger porque me están diciendo que el valor del producto puede ser 0. Luego las 01:13:13
solución es, menos 3, perdón, control Z, tengo que poner corchetes, la solución va 01:13:20
a ser menos 3, 0, con corchetes, porque yo voy a admitir los valores iguales a 0, que 01:13:27
hacen la solución igual a 0, unión, corchete, un medio, 1, corchete, ¿vale? Esta sería 01:13:35
la solución, ¿eh? Que por cierto, he olvidado una cosa muy importante, muy importante, porque 01:13:46
aquí me había comido este 2, la factorización debe incluir aquí el coeficiente principal, 01:13:59
que es el coeficiente del término de mayor grado, ¿vale? Aquí me lo he comido y esto 01:14:08
es muy importante, muy importante. Al ser positivo no cambia el signo, pero si hubiera 01:14:13
sido negativo, hubiera cambiado el signo, ¿vale? Acordaros de incluir ahí el coeficiente 01:14:19
del término principal, ¿vale? Muy importante. Bien, por lo tanto, si volvemos ahora a nuestro 01:14:26
ejercicio del tema 3, del tema 7, a mí me estaban pidiendo que calcule el dominio de 01:14:38
esta función f de x igual a raíz cuadrada de x cuadrado menos 5x más 6. Por lo tanto, 01:14:44
El dominio, como hemos dicho, va a ser aquellos valores de x que hagan que el radicando sea positivo. Es decir, aquellos valores en los que x cuadrado menos 5x más 6 es mayor o igual que 0. 01:14:50
Y ahora, como ya sabemos resolver estas inequaciones, vamos a proceder. Lo que hacemos es resolver la ecuación de segundo grado y factorizar esa expresión algebraica. 01:15:02
Es decir, se sabe muy fácilmente que las soluciones de esta ecuación de segundo grado son x1 igual a 2 y x2 igual a 3, ¿vale? 01:15:14
Si lo hacéis por la fórmula, lo veréis muy fácilmente. Entonces, yo esa expresión algebraica la puedo escribir como x menos 2 por x menos 3 mayor o igual que 0, ¿vale? 01:15:30
Por lo tanto, si yo escribo aquí mis factores, como hacíamos en el apartado anterior, en columna, x menos 3, y aquí el producto, x menos 2 por x menos 3, y me formo mi tabla, ¿vale? 01:15:49
Empiezo con menos infinito. Aquí pongo menos infinito. Y ahora pongo la primera raíz, que es 2, la más pequeña. Aquí pongo 2 y aquí pongo 3. Y aquí pongo más infinito. 01:16:19
Y empiezo a dar valores. Lo primero, ¿dónde se hará x menos 2, 0? Pues se hará aquí. Y en menos 100, por ejemplo, menos 100, menos 2, menos 102. Esto es negativo. 01:16:35
Y para valores mayores que 2, por ejemplo, si le doy 3 o 5, 5 menos 2 es 3. 01:16:47
Luego esto es positivo, si le doy un valor muy grande a la x vuelve a ser positivo. 01:16:57
x menos 3, ¿dónde se va a hacer 0? Pues aquí, en x igual a 3. 01:17:01
En x igual a menos infinito, o menos 100, menos 100 menos 3, menos 103. 01:17:06
Luego esto es negativo, en 2,5 por ejemplo, 2,5 menos 3 va a ser negativo, en 3 se hace 0 y a partir de ahí ya positivo. 01:17:10
Y si yo ahora hago el producto, menos por menos, entre menos infinito y 2, menos por menos, más. 01:17:23
En 2 se hace 0 porque este factor se me hace 0. 01:17:29
Entre 2 y 3, más por menos, menos. 01:17:33
En 3 se hace 0. Y a partir de 3, más por más, más. Lo cual será el dominio de mi función. Todos aquellos valores en los que el radicando es positivo o igual a 0. 01:17:36
Luego a mí los extremos de estos dos intervalos los voy a incluir, luego lo escribo dominio de f de x y lo pongo como dominio porque ahora lo que me está imprimiendo es el dominio no que resuelva la ecuación, es igual a, y lo escribo así, menos infinito coma dos, aquí pongo un corchete porque se me admite el igual a cero, porque la raíz de cero está definida, unión. 01:17:52
Corchete, 3, más infinito. Y en menos infinito y más infinito pongo paréntesis, ¿vale? Porque los paréntesis no está definida, o sea, porque en más infinito y menos infinito se utilizan paréntesis, ¿vale? 01:18:22
Bien, continuamos ahora con el apartado c. El apartado c nos dice que indiquemos el dominio de la función logarítmica f de x igual al logaritmo neperiano de x cuadrado menos 9, siendo el argumento de la función neperiano x cuadrado menos 9. 01:18:39
Para ello tenemos que saber dónde está definida la función logarítmica 01:19:03
Acordaros que los logaritmos están definidos en todos aquellos puntos en los cuales el argumento es mayor que 0 01:19:09
Es decir, no existen logaritmos de argumentos negativos o iguales a 0 01:19:17
Por lo tanto, yo tengo que resolver la inequación x cuadrado menos 9 mayor que 0 de manera estricta, ¿sí? 01:19:22
Bien, por lo tanto, yo tengo que resolver esa inequación. 01:19:35
Esto, como veis, es una identidad notable, porque esto es una diferencia, una suma por una diferencia. 01:19:43
Eso lo puedo escribir yo como x más 3 por x menos 3, mayor que 0. 01:19:50
Bien, por lo tanto, tendremos que resolver esta inequación, x más 3 por x menos 3, mayor que 0. 01:20:04
¿Y cómo se resuelve? Pues muy fácil, como hemos dicho anteriormente, primero escribimos los factores en una columna, 01:20:12
x más 3, x menos 3 y ahora aquí la multiplicación 01:20:19
x más 3 por x menos 3 01:20:24
y aquí en la primera línea 01:20:28
escribimos los puntos de cambio 01:20:32
primero tenemos menos infinito, luego que vendría 01:20:35
nuestra raíz que sería x menos 3 01:20:39
luego tenemos otra raíz en 3 y luego esto es 01:20:42
más infinito, esto es el final, ¿vale? ¿Cómo van a ser los cambios de signo de nuestra inequación? Vale, x más 3, ¿dónde se va a hacer 0? En x igual a menos 3. 01:20:48
x menos 3, ¿dónde se va a hacer 0? En x igual a 3. Entonces, si yo le doy a la x un valor muy negativo, por ejemplo, menos 100, menos 100 más 3, va a ser negativo. 01:21:03
luego va a ser 0 y a partir de aquí ya positivo 01:21:14
x menos 3 va a ser negativo hasta que lleguemos a x igual a 3 01:21:17
que se va a hacer 0 y a partir de aquí positivo 01:21:21
¿y cómo va a ser x más 3 por x menos 3? 01:21:23
pues el producto de las dos primeras filas 01:21:26
menos por menos, más 01:21:28
en x igual a menos 3, 0 01:21:30
aquí más por menos, menos 01:21:32
aquí 0 porque tenemos un factor que es 0 01:21:35
y aquí más por más, más 01:21:37
y como yo busco los valores en los que esto es 0, es mayor que 0 01:21:40
van a ser, va a ser este intervalo y este intervalo, por lo tanto, el dominio, el dominio de f de x va a ser igual a menos infinito menos 3, 01:21:44
aquí abierto, porque el 0 no se admite, unión 3 más infinito, ese sería el dominio, así de fácil, ¿vale? 01:22:03
Bien, luego, ¿cómo sería el dominio del apartado D? 01:22:16
El apartado D me da una función f de x, que es una función exponencial, es decir, una base elevada a una función racional. 01:22:24
Es decir, la función es una base elevada a un exponente, que es una función. 01:22:40
las funciones exponenciales no tienen problemas, salvo que el exponente se haga más o menos infinito. 01:22:46
Es decir, f de x va a ser el dominio de f de x, va a ser igual a todo el conjunto de los números reales, salvo el valor 0. 01:22:55
¿Por qué 0? Porque en 0 el exponente se hace infinito, porque voy a tener un número, en concreto, menos 1, dividido entre infinito, ¿vale? 01:23:10
Y, por lo tanto, tengo que excluir el valor 0, ¿sí? 01:23:22
Y por último, el apartado E me pide hallar el dominio de una función polinómica f de x igual a 3x elevado a 5 menos 4x al cubo más 2x menos 8, ¿vale? 01:23:26
Y esto, al ser una función polinómica, no tiene ningún punto que debamos excluir del dominio, ¿vale? 01:23:48
Porque las funciones polinómicas no tienen puntos peligrosos en los que haya un denominador que se haga igual a cero 01:23:55
o una raíz en la que el radicando se haga negativo, ¿vale? 01:24:03
Por lo tanto, el dominio de f de x es el conjunto de todos los números reales, ¿de acuerdo? 01:24:06
En el siguiente apartado entraremos ya a explicar qué es lo que es el recorrido 01:24:12
para que no se haga este vídeo demasiado extenso 01:24:16
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Autor/es:
Pablo Valbuena
Subido por:
Pablo V.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
109
Fecha:
14 de febrero de 2022 - 9:15
Visibilidad:
Público
Centro:
CP INF-PRI-SEC ADOLFO SUÁREZ
Duración:
1h′ 24′ 20″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
223.32 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid