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Anexo derivadas - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Anexo derivadas

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Veamos el ejemplo de una derivada más que no cae en el examen, concretamente de cómo se deriva la función f elevado a g. 00:00:00
Hay dos formas de realizar la derivada de la función f elevado a g. Una es emplear la fórmula g por f elevado a g menos 1 por f' más logaritmo de piano de f por f elevado a g por g'. 00:00:09
Esta fórmula no está nueva porque, de hecho, emplea un par de fórmulas que ya conocemos 00:00:31
Si llamamos a esto parte potencial y a esto parte exponencial 00:00:40
Podemos observar que la función f elevado a n al derivarla es nf elevado a n-1 por f' 00:00:48
Y estas dos funciones, la parte potencial y esta derivada son la misma, es decir, aquí g hace el apel de n. 00:01:02
Por otra parte, si consideramos la función a elevado a g, por lo que será enseguida y no en vez de a elevado a f, 00:01:16
obtendríamos que es el logaritmo de P y no de A por A elevado a G por G'. 00:01:24
Entonces tenemos que esta función es igual a esta, solo que aquí F hace el papel de A. 00:01:33
No es tan raro si tenemos en cuenta que si consideramos que F es constante, 00:01:44
entonces el prima será 0 y tendríamos esto 00:01:50
y al revés, si consideramos que g es constante 00:01:55
tendríamos que g' es igual a 0 y tendríamos esto 00:01:58
la otra forma de hacerlo es 00:02:02
considerar que f elevado a g' 00:02:11
esto es igual a e elevado al logaritmo de perinode f 00:02:17
elevado a g, todo ello derivada 00:02:20
que es e elevado al logaritmo de perinode f por g 00:02:24
Y podemos utilizar esto empleando la derivada de la función exponencial y la derivada de un producto de funciones, además de la derivada de un logaritmo de una función. 00:02:27
Hagamos un ejemplo. Cogemos el coseno de x y lo le damos a x cuadrado menos x. 00:02:46
Y derivamos. Entonces aquí tendremos la función f, aquí la función g. 00:02:55
y ponemos entonces el gfc-1 por g' y el logaritmo de p1 de f, f elevado a g por g'. 00:03:01
Entre el caso, la derivada sería gx cuadrado menos x, por supuesto con paréntesis, 00:03:17
por f coseno de x elevado a g-1, x cuadrado menos x menos 1, por g', que es menos seno de x, 00:03:25
Más logaritmo de periano de f, pues el logaritmo de periano del coseno de x, por f elevado a g, por el coseno de x elevado a x cuadrado menos x, por g prima, que es 2x menos 1. 00:03:37
Y ya tendremos la función. 00:03:53
Un detalle es que esta función se podría definir allí donde el coseno de x es positivo, porque ya hemos visto los problemas que hay con la definición de la exponencial. 00:03:55
Bien, sigamos. La otra forma de definirlo sería hacer el coseno de x, x cuadrado menos x, podemos hacer los dos pasos o uno solo, tampoco es igual, voy a hacer los dos, elevado al logaritmo neperiano del coseno de x, todo elevado a x cuadrado menos x, 00:04:08
que es igual a elevado al logaritmo neperiano del coseno de x por x cuadrado menos x 00:04:37
y ahora ponemos derivada y derivada 00:04:46
y ahora utilizamos que esto es elevado a una función cuya derivada es elevado a f por f' 00:04:51
prima, es decir, elevado al logaritmo neperino del coseno de x por x cuadrado menos x. Y 00:04:58
ahora habría que poner f prima, que sería un producto de dos funciones, vamos a llamarla 00:05:12
esta f y esta g, con lo cual tendríamos f prima por g más f por g prima. A su vez, 00:05:22
f' es el logaritmo de la función 00:05:31
es el logaritmo de f 00:05:34
cuya derivada es 00:05:37
perdón 00:05:39
f es el logaritmo de f mayúscula 00:05:40
y f' es 00:05:43
f' partido por f 00:05:45
pues lo ponemos 00:05:46
sería el coseno de x 00:05:47
y arriba su derivado 00:05:51
que es menos el coseno de x 00:05:55
perdón, quería poner 00:05:56
menos el seno de x 00:05:58
ahora ponemos g 00:06:00
que es x cuadrado menos x 00:06:06
ahora ponemos más 00:06:09
que es el logaritmo de perinodo del coseno de x 00:06:13
y multiplicamos por g prima 00:06:16
que es 2x menos 1 00:06:20
y aunque tengan diferente expresión 00:06:22
esta función 00:06:24
y esta función 00:06:28
son la misma 00:06:30
de hecho si desarrollamos esto 00:06:31
obtenemos 00:06:34
pues vamos a ver 00:06:36
elevado a f 00:06:37
por f', pues elevado al logaritmo de pleno de f 00:06:39
por g, por f', 00:06:43
que es un producto, 00:06:49
pues sería derivada del primero, que es f' partido por f, 00:06:53
por el segundo, más el primero sin derivar, 00:06:58
por la derivada del segundo. 00:07:03
Si observamos que esto es elevado al logaritmo de pleno de f 00:07:08
elevado a g 00:07:11
que es f elevado a g 00:07:13
nos da f elevado a g 00:07:15
por 00:07:17
f' partido por f 00:07:18
y de hecho 00:07:20
podemos poner también 00:07:24
como f' por f 00:07:26
bueno, si está bien así 00:07:30
partido por f 00:07:31
por g más el logaritmo de f 00:07:36
por g' 00:07:39
a la hora de desarrollar 00:07:40
nos sale 00:07:42
vamos a cambiar la orden 00:07:43
esto por esto pues sería g 00:07:45
por f elevado a g partido por f 00:07:48
por f' 00:07:51
más 00:07:53
logaritmo de f por f elevado a g 00:07:54
multiplicar esto por esto 00:07:57
por g' 00:07:59
y esto de aquí sería g 00:08:00
por f elevado a g menos 1 00:08:03
por f' 00:08:04
más logaritmo de f 00:08:07
por f elevado a g por g' 00:08:09
de modo que 00:08:11
esta fórmula 00:08:13
se deduce de esta 00:08:13
Si queréis podéis hacer un ejemplo, por ejemplo, x al cuadrado menos x elevado a raíz cuadrada de x derivada. 00:08:17
Pues podéis hacerlo con los dos métodos y corregimos. 00:08:34
Bueno, supongo que ya lo habéis hecho, para la grabación lo habéis hecho, ahora corrijo. 00:08:40
Esto es f elevado a g, cuya derivada es gfg-1 por f' más logaritmo de f por f elevado a g por g'. 00:08:45
Que sería, pues g raíz de x por f, pues x cuadrado menos x elevado a g menos 1 elevado a raíz cuadrada de x menos 1 por f'. 00:09:02
Pues por 2x menos 1. 00:09:17
Más. 00:09:21
¿Logaritmo de periano de f? 00:09:22
Pues logaritmo de periano de x cuadrado menos x. 00:09:23
¿Por f elevado a g? 00:09:27
Pues x cuadrado menos x elevado a raíz de x. 00:09:29
¿Por g prima? 00:09:33
1 entre 2 raíz de x. 00:09:34
Ya está, no tiene más. 00:09:36
Es copiar esto. 00:09:37
La otra fórmula es quizás un poco más lenta, pero también es válida. 00:09:39
Esto es elevado al logaritmo de perinodo de x al cuadrado menos x, todo ello elevado a la raíz de x. 00:09:43
Si derivamos, bueno, esto es elevado al logaritmo de perinodo de x al cuadrado menos x por raíz de x, 00:09:53
cuya derivada es, elevado a una función, pues eso es elevado a f, pues sería elevado a f por f' 00:10:03
pues elevado al logaritmo de periódico de x al cuadrado menos x 00:10:10
por la derivada de esto de aquí 00:10:14
tenemos un producto f y g 00:10:19
poníamos f' por g más f por g' 00:10:23
donde f es el logaritmo de periódico de la función, vamos a llamarlo otra vez f mayúscula 00:10:27
y cuya derivada es 00:10:31
f' partido por f, pues ponemos eso mismo 00:10:33
f' que es 2x menos 1 entre f, x cuadrado menos x, por g, que es raíz cuadrada de x, más ahora la f, logaritmo europeano de x cuadrado menos x, por la derivada de g, que sería 1 entre 2 raíz de x. 00:10:40
Y si operamos igual que hemos hecho en la parte de enunciado, podemos observar que esto va a ser igual a esto. 00:11:01
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
6
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 11:14
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Anexo derivadas
Duración:
11′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
82.68 MBytes

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