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Ejercicio III Examen Parte Análisis MAT II - Contenido educativo

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Subido el 22 de febrero de 2026 por Roberto A.

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Vale, este ejercicio 3 separamos apartado A y apartado B. 00:00:00
El apartado B yo creo que es un poco regalo. 00:00:06
Nosotros tenemos aquí una ecuación trascendente que no la podemos utilizar 00:00:09
por una de las metodologías que hemos aprendido a lo largo de la secundaria 00:00:13
y también del bachillerato. 00:00:17
Por lo tanto, nosotros lo que vamos a utilizar es el teorema de Borsan. 00:00:19
¿Pero qué ocurre? 00:00:24
Para ello nos vamos a definir una f de x que precisamente es esta función de aquí. Es 2x menos 1. Esa es nuestra f de x. Es seno de x más 2x menos 1. 00:00:24
¿Y por qué? Porque nosotros, el teorema de Bolzano, lo que nos dice es que si f de x es continua en un intervalo cerrado, es continua en a, b, 00:00:40
Pues si el signo de f de a es distinto del signo de f de b, pues resulta que existe un punto dentro de ese intervalo cerrado a b tal que f de c es igual a cero. 00:00:56
nosotros al pasar el 1 a la izquierda tenemos una ecuación que es igual a 0 00:01:18
por lo tanto tendrá que existir un valor de x o varios valores de x que nos cumplan esta ecuación 00:01:27
¿qué es lo que ocurre? pues precisamente vamos a aplicar el teorema de Bolzano 00:01:38
Y nuestra función f de x es precisamente lo que queremos que sea igual a cero. 00:01:43
Es decir, mi función f de x es seno de x más 2x menos 1. 00:01:52
f de x es continua porque es una composición de funciones continuas. 00:01:57
Es continua porque es una composición de funciones continuas. 00:02:03
De funciones continuas. 00:02:17
Está el seno de x que es continuo y la función 2x menos 1 que es polinómica y es continua. 00:02:20
Por lo tanto f de x es continua en todo su dominio, es continua en todo r y por lo tanto también es continua en todo r y por lo tanto en cero pi. 00:02:33
Aquí hay un fallo y esto es cerrado, perdón. 00:02:50
Entonces, ¿qué es lo que hacemos? Vamos a hallar f de cero. 00:02:57
Si yo hallo f de cero, esto es seno de cero más 2 por cero menos 1. 00:03:01
Resulta que esto es menos 1, que es menor que cero, es negativo. 00:03:08
Si yo hallo f de pi, tenemos que es seno de pi más 2 por pi menos 1. 00:03:12
El seno de 0 es 0, pero es que el seno de pi también es 0. Por lo tanto, aquí lo que me queda son 2pi menos 1. 2pi son 628 menos 1, esto es mayor que 0. 00:03:22
Por lo tanto, ¿qué ocurre? Yo ya tengo las premisas del teorema de Bolzano. Yo ya tengo que el signo de f de 0 es distinto del signo de f de pi en f de x continua en 0 pi. 00:03:37
Y, por lo tanto, aplicando el teorema de Bolzano, existe al menos un c que pertenece a 0pi tal que f de c es 0. 00:04:02
Es decir, seno de c más 2c menos 1 es igual a 0. Esto es suma c. 00:04:20
Y ya estaría demostrado este apartado. 00:04:29
vamos a irnos a los límites 00:04:34
los límites ya son un poquito más complicados 00:04:38
sobre todo el segundo 00:04:41
este límite de aquí primero 00:04:42
donde me dicen que el límite 00:04:45
cuando x tiende a 0 00:04:47
de 1 partido de x 00:04:49
menos 1 partido 00:04:51
el logaritmo neperiano de 1 más x 00:04:53
lo primero que hacemos es sustituir 00:04:56
y que es lo que tenemos 00:04:58
1 partido de 0 00:04:59
menos 1 partido también 00:05:01
el logaritmo neperiano de 1 más 0 es 1 y el logaritmo neperiano de 1 es 0 00:05:03
por lo tanto yo lo que tengo aquí es infinito menos infinito 00:05:10
esto de aquí no os recomiendo que lo pongáis en el examen de la PAONI 00:05:13
en el nuestro lo sustituís y ponéis infinito menos infinito 00:05:18
y esto lo que es es una indeterminación 00:05:22
entonces ¿qué es lo que ocurre? 00:05:24
pues que aquí hay mucha gente que ha hecho multiplicar arriba y abajo por el conjugado 00:05:29
pero eso solo ocurría en los infinitos menos infinitos cuando tenemos raíces 00:05:35
aquí lo único que podemos hacer es operar 00:05:39
la única posibilidad es operar estas dos fracciones 00:05:42
precisamente al operar nos queda el mismo denominador común 00:05:46
que es x por el logaritmo neperiano de 1 más x 00:05:52
si todo esto lo dividimos entre x me queda logaritmo neperiano de 1 más x 00:05:57
que por 1 tenemos logaritmo neperiano de 1 más x y aquí tenemos el menos y si lo dividimos todo por logaritmo neperiano de 1 más x 00:06:02
y me queda x, x por 1, x. Esto es lo que a mí me queda, que ahora al sustituir pues tengo otra vez logaritmo neperiano de 1 más 0 00:06:11
que es logaritmo neperiano de 1, que eso es 0, menos 0, tengo aquí un 0 y aquí al tener logaritmo neperiano de 1 más 0 00:06:22
que es logaritmo neperiano de 1, que es 0 por 0, pues tenemos también 0 por 0. 00:06:30
Y aquí, ¿qué es lo que ocurre? Que ya podemos aplicar L'Hôpital. 00:06:35
Y L'Hôpital, ¿qué es lo que me dice? Que los límites de una determinación 0 partido de 0, infinito partido de infinito, 00:06:40
es igual a la derivada del numerador partido la derivada del denominador. 00:06:50
Por lo tanto lo que hacemos ahora es derivar. ¿Cuál es la derivada del logaritmo neperiano de 1 más x? Pues la derivada es 1 partido 1 más x por 1. ¿Y cuánto es la derivada de menos x? Pues menos 1. 00:06:54
Ahí tenemos ya la derivada del numerador. 00:07:11
¿Y cuál es la derivada de x por logaritmo neperiano de 1 más x? 00:07:16
Esto es un producto, por lo tanto es la derivada del primero, que es 1, por la segunda, que es logaritmo neperiano de 1 más x, 00:07:19
más el segundo sin derivar por la derivada de logaritmo neperiano de 1 más x, que es 1 más x. 00:07:30
Esto es lo que nos queda, donde hemos hecho la derivada del numerador por un lado y la derivada del denominador por otro. 00:07:38
Si continuamos y agrupamos, ¿qué es lo que nos queda? 00:07:46
Pues aquí me queda 1 menos 1 más x partido de 1 más x y aquí abajo me queda 1 más x por logaritmo neperiano de 1 más x, todo ello más x partido también de 1 más x. 00:07:51
Y aquí es muy importante, tenéis que saber lo que he hecho aquí es el mínimo común múltiplo, ¿de acuerdo? He hecho el mínimo común múltiplo de esto y lo he operado y me sale esto de aquí. 00:08:16
Y aquí también el mínimo común múltiplo es 1 más x y lo he operado. No sé si os dais cuenta o no, pero al tener dos fracciones dividiéndose con el mismo denominador, esto y esto se nos va y nos queda todo mucho más claro. 00:08:26
Arriba, si yo quito este menos, el 1 menos 1 se va y me queda el límite de menos x. 00:08:42
Y abajo lo que me queda es x más 1 más x por el logaritmo neperiano de 1 más x, cuando x tiende a 0. 00:08:53
Y de nuevo, si yo sustituyo, pues me queda 0 partido de 0. 00:09:07
¿Qué voy a hacer entonces? Pues de nuevo voy a aplicar L'Hôpital. 00:09:11
Al aplicar L'Hôpital, ¿cuál es la derivada de menos x? Pues arriba, fíjate que fácil, me queda el menos 1. 00:09:18
Y abajo, ¿qué es lo que me queda en el denominador? La derivada de x es un 1, más esto que es la derivada del primero, 00:09:28
que es un 1, por logaritmo neperiano de 1 más x, más el primero sin derivar, que es 1 más x, 00:09:36
por la derivada de logaritmo neperiano de 1 más x, que es 1 partido 1 más x. 00:09:46
Que si os fijáis, ¿cuánto vale todo esto de aquí? Pues todo esto de aquí es un 1, porque esto se me va con esto de aquí. 00:09:52
Por lo tanto, recopilando, me queda que esto es igual al límite cuando x tiende a 0, arriba menos 1 y abajo me queda este 1 más esto de aquí, 00:10:03
que es logaritmo neperiano de 1 más x, más esto de aquí, que es 1. 00:10:28
Si yo ahora sustituyo, ¿qué es lo que me queda? 00:10:35
Me queda arriba menos 1, esto es logaritmo neperiano de 1, que es 0, 00:10:39
y abajo me queda 1 más 0 más 1, que esto es igual a menos 1 medio. 00:10:45
Es decir, el límite este es igual a menos 1 medio. 00:10:51
¿Qué es lo que tenemos que tener claro aquí recopilando? Pues que nosotros tenemos un infinito menos infinito, como no tenemos raíces, lo único que nos queda es operar estas fracciones, hallamos el mínimo común múltiplo, que en este caso el mínimo común múltiplo es x por logaritmo neperiano de 1 más x, operamos. 00:10:55
al operar resulta que nos sale 0 partidos de 0 00:11:15
por lo tanto aplicamos lopital 00:11:19
y tenemos que tener aquí muy claro 00:11:20
que esto al final es la derivada de un producto 00:11:22
por lo tanto vamos aplicando 00:11:26
vamos viendo que nos podemos ir quitando cositas 00:11:28
siempre que podáis iros quitando cosas 00:11:30
luego que ocurre 00:11:34
cuando yo ya lo dejo todo más despejado 00:11:36
me vuelvo a encontrar con el 0 partidos de 0 00:11:39
pues nada, aplico una segunda vez lopital 00:11:41
y aquí voy viendo qué cosas se me van 00:11:44
y al final obtengo este resultado 00:11:47
que es menos un medio. 00:11:50
Entonces este ejercicio es muy potente, 00:11:52
es muy de evau, 00:11:55
de evau que se llama ahora 00:11:56
porque es un ejercicio donde el alumno 00:12:00
tiene que demostrar pues varios aspectos. 00:12:03
Primero que sabe operar con fracciones, 00:12:06
que sabe y controla bien las derivadas 00:12:08
que son de primero de la ESO 00:12:11
y luego, pues, sobre todo aplicar L'Hôpital, que, bueno, L'Hôpital también es de primero, 00:12:13
perdón, primero de la ESO, no, de primero de bachillerato y que se repasa ahora en segundo. 00:12:19
Ahora nos vamos a ir a este ejercicio de aquí. 00:12:23
Este ejercicio de aquí sí que es bastante más complejo, pero volvemos a lo mismo. 00:12:26
Si tenemos las ideas claras y sabemos bien la función tangente y sabemos derivar 00:12:32
y las propiedades de los logaritmos pues no se hace tan pesado, pero de todos los ejercicios del examen este quizá es lo más difícil por excelencia 00:12:40
que bueno, ha habido compañeros que lo han resuelto la verdad que bastante bien, vamos a ello. 00:12:49
El b es el límite, si no me equivoco, límite de 1 partido de x cuadrado elevado a tangente de x cuando x también tiende a 0. 00:12:55
¿Verdad? Pues entonces, ¿qué ocurre? 00:13:11
Pues que nosotros a la hora de sustituir nos vamos a encontrar que esto es infinito elevado por cero y es una indeterminación. 00:13:23
En clase vimos, y está también subido un documento, que cuando tenemos las indeterminaciones de este tipo, 00:13:32
o infinito elevado a cero, cero elevado a infinito y demás. 00:13:41
Lo que tenemos que aplicar, que ha habido muchos de ustedes que lo habéis aplicado muy bien, 00:13:45
es aplicamos logaritmo neperiano. 00:13:48
Es decir, yo llamo a a es igual a todo el límite. 00:13:53
A es igual al límite de x, cuando x tiende a cero, de uno partido de x cuadrado, 00:13:58
todo ello elevado a tangente de x. 00:14:04
Si yo aplico logaritmo neperiano, yo tengo que logaritmo neperiano de a es igual a logaritmo neperiano del límite de 1 partido de x cuadrado, todo ello elevado a tangente de x. 00:14:06
Pero resulta que hay una propiedad de los límites que me dicen que el logaritmo neperiano de un límite es el límite, y se me ha olvidado, el límite del logaritmo. 00:14:20
Por lo tanto, tengo el límite del logaritmo neperiano de 1 partido de x cuadrado de tangente de x. 00:14:31
Hay una propiedad, que esto es muy importante recordarlo, que cuando yo tengo el logaritmo neperiano de una potencia, 00:14:39
es decir, yo tengo el logaritmo neperiano de a elevado a b, esto es igual a b por el logaritmo neperiano de a. 00:14:47
Precisamente creo que fue Hernán me preguntó un ejercicio que subí y dejé que os echara ahí un vistazo donde se aplicaban bastante estas propiedades de los logaritmos. 00:14:54
Con lo cual también es importante que veáis todo lo que os digo en clase y que subo los ejercicios de cara a los exámenes. 00:15:05
Entonces, ¿qué ocurre? Que esto de aquí es igual al límite de la tangente de x por el logaritmo neperiano de 1 partido de x al cuadrado. 00:15:16
Esto de aquí se puede seguir operando, pero yo creo que es mucho más fácil, mucho más fácil. 00:15:29
este logaritmo neperiano de 1 partido de x cuadrado 00:15:38
lo vamos a convertir, porque hay otra propiedad que me dice 00:15:42
que el logaritmo neperiano de a partido de b 00:15:46
es igual al logaritmo neperiano de a menos logaritmo neperiano de b 00:15:49
es decir, el logaritmo neperiano de una división es la resta del logaritmo 00:15:54
por lo tanto yo aquí tengo logaritmo neperiano de 1 00:15:58
menos logaritmo neperiano 00:16:02
ah, perdón, logaritmo neperiano, vaya, logaritmo neperiano de x cuadrado. 00:16:04
¿Qué es lo que tenemos que saber? Que el logaritmo neperiano de 1, si nos hacemos la calculadora, esto es 0. 00:16:12
El logaritmo neperiano de x cuadrado, aplicando esta propiedad, nos queda que esto es el límite de tangente de x 00:16:20
que multiplica a menos 2 logaritmo neperiano de x, porque he aplicado aquí la propiedad que me dice el logaritmo de una potencia, cuando x tiende a 0. 00:16:31
Si yo agrupo, esto es el límite de menos 2 tangente de x logaritmo neperiano de x, cuando x tiende a 0. 00:16:43
Una vez que yo he llegado aquí, pues lo que sería interesante hacer es sustituir la tangente de x por seno de x partido coseno de x. 00:16:55
¿Y qué es lo que me quedaría? Me quedaría el límite cuando x tiende a 0 de menos 2 seno de x logaritmo neperiano de x partido coseno de x. 00:17:16
Y aquí, ¿qué es lo que ocurre? Que me sale, esto es 0, pero el logaritmo neperiano de 0 es menos infinito, lo cual yo tengo que pasar este seno, este seno de aquí, lo voy a pasar dividiendo para convertir una indeterminación del tipo 0 por infinito, la voy a convertir a 1 de 0 partido de 0 o infinito partido de infinito. 00:17:30
Es decir, yo tengo aquí menos 2 logaritmo neperiano de x partido de coseno de x, todo ello seno de x, cuando x tiende a 0. 00:17:58
Y entonces aquí, ¿qué es lo que me sale? Me sale la indeterminación infinito partido de infinito, con lo cual yo aquí también puedo aplicar, pues, L'Hospital. 00:18:11
Al aplicar L'Hospital, ¿qué es lo que tengo? Pues arriba me queda menos 2 partido de x, porque la derivada del logaritmo neperiano de x es 1 partido de x. 00:18:24
Y aquí yo tengo que aplicar la derivada de la cotangente, porque realmente esto es igual a cotangente de x, que es la inversa de la tangente. 00:18:35
Pero si no me acuerdo, yo derivo una fracción. Es la derivada del primero, la derivada del coseno es menos seno de x por el segundo, que es seno de x, menos el primero sin derivada por la derivada del segundo, la derivada del seno es el coseno. 00:18:48
Y todo ello elevado al cuadrado del denominador. Eso es lo que yo tengo en el denominador al aplicar el hospital. 00:19:10
Muy importante, esto de aquí, si yo saco factor común, el menos, tengo menos seno al cuadrado de x más coseno al cuadrado de x. 00:19:23
Y esto precisamente vale 1. Esto cuando yo os expliqué la derivada de la tangente, que hay de tres tipos, yo os recordé de nuevo el teorema fundamental de la trigonometría, que es este de aquí. 00:19:38
Por lo tanto, recopilando, ¿qué es lo que me queda? Pues me queda menos 2 partido de x, todo ello partido por menos 1 partido de seno cuadrado de x. 00:19:57
Es decir, si yo esto lo recompongo, este menos y este menos se me va y me queda 2 seno cuadrado de x partido de x, cuando x tiende a 0. 00:20:16
Este ejercicio se puede hacer de muchas formas. Yo creo que esta es una de las formas más livianas, pero se puede hacer de varias formas. 00:20:30
aquí si de nuevo sustituimos el seno de 0 es 0 y cuando x tiende a 0 tengo otra vez otra indeterminación donde yo voy a aplicar pues l'Hôpital 00:20:40
y ahora sí, ahora ya va a salir todo bien porque esto es 2, ¿cuál es la derivada de seno cuadrado de x? 00:20:54
Pues 2 por el seno de x por el coseno de x, la regla de la cadena, es 2 veces mi función elevado a menos 1 por la derivada de mi función que es coseno de x. 00:21:03
¿Cuál es la derivada de x? 1, 1. 00:21:16
Si yo ahora aquí sustituyo, puedo daros cuenta que coseno de 0 es 1, seno de 0 es 0, por lo tanto aquí me queda un 0. 00:21:20
y que tenemos que recordar que yo lo que tenía aquí era que el logaritmo neperiano de a es igual a 0 00:21:28
de donde a resulta que vale 1 00:21:36
es decir a que era el límite cuando x tiende a 0 de 1 partido de x cuadrado tangente de x 00:21:40
pues todo eso es igual a 1 00:21:53
Este ejercicio es muy completo, eso sí, pero es complicado. Daros cuenta que primero vamos a pasar de una determinación infinito elevado a cero, donde aplicamos los logaritmos neperianos, vamos a llegar a una indeterminación del tipo infinito partido de infinito, 00:21:57
donde aplicando límite el lopital perdona volvemos a llegar a otra indeterminación de 0 partido de 0 que ya al aplicar lopital pues vemos que es inmediata y nos da el resultado. 00:22:18
Entonces, fijaros lo completo que es este ejercicio. Tenemos que saber propiedades de logaritmos neperianos, tenemos que saber también recordar que la tangente es el seno partido del coseno y ir eliminando cosas que nos sobran. 00:22:32
Yo, no sé, hay gente que me ha hecho en el examen la derivada de cotangente de x, que creo que es menos secante de x. Yo es que nunca me acuerdo. ¿De acuerdo? ¿Que la sabéis? Pues oye, lo ponéis, está bien, perfecto. 00:22:52
Yo, como nunca me sé la derivada de la tangente de la cotangente, lo que hago es pongo la fórmula y derivo de un cociente, ¿de acuerdo? Y luego lo que sí tengo que recordar es el teorema fundamental de la trigonometría, ¿de acuerdo? 00:23:06
Y entonces ya llegamos a esto de aquí. Espero que os sirva. 00:23:21
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
3
Fecha:
22 de febrero de 2026 - 20:05
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
23′ 27″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
57.52 MBytes

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