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Resolución EVAU 2020 MODELO MATEMÁTICAS II MADRID, ALGEBRA OPCIÓN B.

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Subido el 23 de abril de 2020 por Justo Rafael D.

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Resolución del problema mencionado en el título

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Bueno, ahora vamos a resolver el problema de la opción B del modelo de EBAO, Matemáticas 2, de 2020. 00:00:01
En este caso se trata de resolver un sistema matricial y de obtener también rangos. 00:00:17
Entonces vamos a empezar con el primer apartado, nos dan en este caso tres matrices, la X y la B, veis que aparece ahí un parámetro T y nos dicen en el apartado A que calculemos el rango de la matriz A en función del parámetro T. 00:00:27
Pues bien, para los rangos de estas matrices paramétricas lo mejor es utilizar el sistema de Gauss, que ya sabéis que es convertir la matriz en triangular, ¿no? Operando con las filas. 00:00:46
Entonces, si ponemos aquí nuestra matriz A, que es 1, 2 más T, segunda fila 5, 10 más 3T, 00:00:58
veréis que el método de Gauss es práctico y rápido, menos 1 y menos 2 sería la tercera fila. 00:01:11
Entonces, vamos a utilizar, recordad que en Gauss se llama pivote a los elementos de la diagonal. 00:01:18
Entonces, cogemos el primer elemento de la diagonal, que es un 1, y lo utilizamos de pivote. 00:01:30
Es decir, vamos a intentar operar con ese 1 para que todos los números que estén debajo sean ceros. 00:01:36
¿Vale? Entonces para ello lo que vamos a hacer es transformar la fila 2 para conseguir que el 5 sea un 0 y transformar la fila 3 para conseguir que el menos 1 sea un 0. 00:01:42
¿Cómo? Operando con la fila que tiene el pivote. Entonces, fijaos, si yo digo que la nueva fila 3 es igual a la antigua fila 3, a la cual lo que voy a hacer es restarle la fila 1 multiplicada por 5, ya consigo que se convierta en 0. 00:01:56
porque la fila 1, como es un 1, si la multiplico por 5, 5 por 1, 5, y si se lo resto al de abajo me queda 0. 00:02:14
Bueno, en este caso es la 2, ¿vale? Disculpad, la 2. 00:02:26
Y como consigo un 0 aquí, sumándole directamente la fila 1, es decir, que la nueva fila 3 va a ser la fila 3 antigua más la fila 1 antigua. 00:02:32
Entonces fijaos que con estas operaciones solo me estoy fijando en cómo conseguir que el 5 sea un 0 y que el menos 1 sea un 0. 00:02:43
Y con esto ya tenemos nuestra nueva matriz. 00:02:51
La primera fila ni la toco, 1 más 2t. 00:02:55
La segunda fila aquí me queda un 0. 00:02:58
Y luego este segundo elemento lo podemos hacer aparte porque es fila 2, 10 más 3t, 00:03:01
al cual le resto lo que tiene la fila 1, 2 más t, multiplicado por 5. 00:03:08
¿Veis que es justo lo que estoy diciendo aquí en la formulita? 00:03:15
Entonces, si yo opero esto, ¿qué me queda? 00:03:18
10 más 3t menos 10 menos 5t, ¿de acuerdo? 00:03:21
Bueno, el 10 y el 10 se me van, me queda menos 2t, ya está transformado. 00:03:29
En la tercera esto me queda un 0 y tengo que la nueva fila 3 es la fila 3 antigua más la fila 1, que es 2 más t, ¿de acuerdo? Entonces me queda, perdón, no es menos 3, esto es un menos 2, ¿vale? 00:03:35
menos 2 más, 2 más t total, que esto me queda 00:03:55
t, ¿vale? 00:03:59
simplemente era sumarlas, bien, pues entonces ya tenemos 00:04:04
transformado todo en la primera fila 00:04:07
perdón, en la primera columna, en la que es un 0, 0, 0 00:04:12
bien, un 1, 0, 0, el segundo pivote es el segundo elemento de la diagonal 00:04:15
va a ser este, y necesito conseguir que debajo haya un 0 00:04:20
¿Cómo logro que debajo haya un 0? Pues diré que la nueva fila 3 es igual a 2 por la fila 3 00:04:24
A la cual lo que hago es simplemente sumarle la fila del pivote que es la fila 2 00:04:35
Si hago 2 por la fila 3 y le sumo la fila 2 ya tengo un 0 aquí abajo 00:04:40
Con lo cual transformando esa tercera fila me queda primera fila sin tocar nada 00:04:44
Segunda fila, como en la del pivote, tampoco toco nada. Y tercera fila me queda cero y aquí me quedaría cero también. ¿De acuerdo? Entonces ya he convertido la matriz en triangular, se llama este tipo de matrices. 00:04:51
Bien, y ahora ya vemos que aquí la matriz puede ser de rango 1 o de rango 2 00:05:10
Recordad que el rango es el mayor menor distinto de 0 00:05:17
El menor que eran los menores, los determinantes que podíamos formar con los elementos de la matriz 00:05:20
Entonces como aquí nos queda distinto de 0, fijaos que la última fila es toda 0 00:05:26
Solo nos quedan los 4 elementos de aquí, el 1, el 2 más t, el 0 y el menos 2t 00:05:31
Entonces, si la segunda fila fuese todo cero, el rango de esta matriz sería uno. Entonces, ¿cómo consigo que la segunda fila sea toda cero? Si la t vale cero, con lo cual diremos que si t vale cero, pues la segunda fila también sería nula. 00:05:37
Y entonces el rango de esta matriz sería 1, ¿vale? Si t es igual a 0, el rango de A sería 1. Si t es distinto de 0, pues el rango de A será 2, ¿ok? Y esa sería la solución a la parte A. 00:05:56
Bien, en el apartado b lo que nos piden es que resolvamos el sistema ax igual a b, ¿vale? 00:06:25
Bien, bueno, esto no es más que un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y nos dicen que utilicemos los valores de t que lo hagan compatible determinado. 00:06:39
Bueno, si un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas tiene que ser compatible determinado es porque dos de las tres ecuaciones tienen que ser combinación lineal. 00:06:52
Pero eso lo hacemos por Gauss muy fácil. 00:07:02
Simplemente cogemos la matriz de los coeficientes, que es la que ya teníamos, 1, 2 más t, 5, 10 más 3t, menos 1 y menos 2. 00:07:05
y la completamos con los coeficientes, perdón, con los términos independientes, 3, 9, 3t más 3. 00:07:19
Entonces, si aplicamos el mismo gauss que habíamos aplicado hasta ahora, lo que pasa es que añadimos la última fila, sería 1, 2 más t, 3, ¿vale? 00:07:31
La segunda fila nos quedaría 0, menos 2t, y este 9 nos quedaría transformado en menos 6, ¿vale? 00:07:42
Y la tercera fila nos había salido 0, 0, y si hacemos lo mismo que habíamos hecho aquí, 2f3 más f2, pues este último me queda 6t más 6, ¿de acuerdo? 00:07:55
Para que sea compatible determinado, como tiene que ser un sistema en el que dos de las ecuaciones tienen que ser combinación lineal, tengo que obligar a que esto sea igual a cero, ¿vale? 00:08:08
Entonces, para que esto sea igual a cero, pues 6t más 6 igual a cero significa que la t tiene que ser igual a menos uno. 00:08:20
Entonces, si la t vale menos 1, el sistema va a ser compatible determinado. Y operando en la matriz, ¿cómo nos quedaría con t igual a 1, esa matriz? Pues me quedaría 1, 2 menos 1, que sería el 2 más t, ¿verdad? Me quedaría 1, 3, esto es 0, esto sería menos por menos más 2 por 1, 2, me quedaría un 2 y este me quedaría menos 6. 00:08:31
Y ya con esto resolvemos el sistema porque esto sería 2y igual a menos 6 con lo cual y valdría menos 3 y sustituyendo en esta tenemos que x menos 3 es igual a 3, lo paso al otro lado y entonces x me sale 6 con lo cual queda resuelto el sistema. 00:09:00
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Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Autor/es:
JUSTO RAFAEL DE LAMO ARANGO
Subido por:
Justo Rafael D.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
105
Fecha:
23 de abril de 2020 - 20:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES VALLECAS-MAGERIT
Descripción ampliada:
IES VALLECAS MAGERIT
Duración:
09′ 32″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
960x720 píxeles
Tamaño:
52.64 MBytes

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