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Ejercicio Representación de la parábola paso a paso - Contenido educativo

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Subido el 25 de abril de 2021 por Jose S.

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Bueno, vamos a hacer la actividad que nos piden como último ejercicio de esta actividad de la parábola que hemos hecho antes. 00:00:00
En el último apartado nos decía que repitiéramos el mismo ejercicio con la función esta. 00:00:09
Bien, a ver, en realidad todos estos preguntas que nos hacen en la actividad anterior, 00:00:16
Hemos aquí el enunciado, lo hicimos con esta función, repito que vamos a hacer este último apartado, pero en realidad, pues, todas estas preguntas que nos hacemos tienen como finalidad representar la gráfica de esta función que sabemos que es parabólica, dado que es un polinomio de grado 2. 00:00:26
Pues bien, lo que nosotros vamos a hacer es un poco ir más al grano 00:00:48
No hace falta hacer exactamente todos los apartados 00:00:53
Aunque de algún modo vamos a hacerlo muy parecido y nos va a servir de orientación 00:00:56
En primer lugar, darnos cuenta de una cuestión 00:01:03
Para representar una parábola, fijaos, imaginaos que yo tengo una parábola dibujada 00:01:06
Puede ser esta 00:01:16
No importa donde esté 00:01:16
No importa si los cuernos van para arriba o van para abajo 00:01:19
Bueno, supongamos esta parábola 00:01:22
Un segundo 00:01:26
Mirad, esto es una parábola 00:01:27
¿En qué caracteriza esta parábola? 00:01:38
Pues mirad 00:01:42
Lo que caracteriza esta parábola es su eje de simetría 00:01:43
Su vértice 00:01:46
Y digamos la apertura 00:01:48
Porque la parábola podría estar 00:01:50
Está haciendo así 00:01:54
Pero podría estar haciendo así 00:01:55
Más cerrada 00:01:59
o más abierta 00:02:00
y sigue siendo una parábola 00:02:03
todas estas parábolas que estoy pintando 00:02:06
como veis 00:02:09
diríamos que 00:02:09
tienen el mismo eje de simetría 00:02:11
y tienen el mismo vértice 00:02:14
ahora 00:02:16
lo que nos va a hablar de la apertura 00:02:18
lo que nos va a caracterizar 00:02:20
esta apertura es 00:02:22
dos puntos que sean simétricos 00:02:23
y es que 00:02:26
en realidad toda parábola 00:02:28
tiene por cada punto de la gráfica de una parábola 00:02:30
tenemos otro que es simétrico respecto del eje de simetría 00:02:35
esto es importante 00:02:41
por ejemplo 00:02:44
una por ejemplo lo pintemos con los cuernos para abajo 00:02:45
no importa 00:02:50
si este fuera el eje de simetría 00:02:50
y este el vértice de la parábola 00:02:53
y yo conozco que pasa por aquí y por aquí 00:02:56
Pues ya la puedo dibujar 00:03:03
En consecuencia, lo que necesito para representar una parábola es 00:03:05
Puntos simétricos 00:03:13
Con un par de ellos valdría, pero mejor si tengo dos parejitas 00:03:15
A, A', B y B' 00:03:20
Si tengo también el eje de simetría y el vértice 00:03:24
Con estos elementos puedo dibujar perfectamente la parábola 00:03:31
¿De acuerdo? Ahora, ¿cómo consigo todos estos elementos de una parábola a partir de la expresión algebraica? 00:03:35
Esta es la cuestión. Pues nada, daros cuenta de una cuestión importante. 00:03:45
Lo primero que puedo encontrar son los puntos simétricos. Los puedo obtener a partir de la imagen de un valor cualquiera. 00:03:54
No un valor cualquiera, sino un valor que pertenezca al recorrido de la función 00:04:09
Fijaos, el recorrido de esta función, de esta parábola sería 00:04:15
Todos los números reales desde este valor, t, hasta el menos infinito en este caso 00:04:19
Pues si escoges cualquier valor de y del conjunto imagen 00:04:34
Este es el conjunto x, que es el del conjunto origen 00:04:39
este el conjunto y que es el conjunto final si coges cualquier valor t del conjunto final del recorrido 00:04:44
pues fíjate que la anti imagen me va a llevar generalmente a dos puntos que son simétricos 00:04:52
este valor es la x y es del punto a y este a prima sería la x del punto a prima 00:05:00
y estos puntos serían de coordenadas A, T 00:05:15
y este sería de coordenada A' T 00:05:20
Por lo tanto, lo que vamos a hacer para encontrar puntos simétricos 00:05:23
como digo, es calcular la antiimagen de un valor T cualquiera 00:05:30
que pertenezca al partido de la función 00:05:34
Podríamos coger otro valor T' por aquí 00:05:37
para obtener otros dos puntos simétricos 00:05:41
Una vez que tenemos los puntos simétricos, encontrar el eje de simetría es fácil porque está justo en medio 00:05:45
Mira, este eje de simetría está en medio de este valor y este 00:05:54
Que son las coordenadas en X de dos puntos simétricos 00:05:58
Si hubiéramos cogido otros dos puntos simétricos, también en medio está el eje de simetría 00:06:03
Por lo tanto, el primer paso será, como digo, encontrar dos parejitas 00:06:09
O una, me valdría, pero voy a hacerlo dos 00:06:15
Dos parejitas de valores simétricos de la parábola 00:06:17
En medio tengo el eje de simetría 00:06:21
Y finalmente buscaremos el vértice 00:06:25
¿Cómo buscaremos el vértice? 00:06:29
Pues es fácil, porque si tengo el eje de simetría 00:06:33
Si este valor de x es s 00:06:36
Pues el vértice será de coordenada en X, S 00:06:40
Y aquí será F de S 00:06:47
Estas serían las coordenadas del vértice 00:06:53
De este punto 00:06:56
S, F de S 00:06:57
Así que con esta explicación procedemos a realizar el ejercicio 00:07:02
Entonces, como digo, lo primero que buscaremos es 00:07:07
La antiimagen de un valor 00:07:10
Ahora, una cuestión interesante 00:07:13
No lo voy a hacer por tanteo 00:07:17
Imagínate que quieres hacer la cal... 00:07:20
Si quedas que calculas la antiimagen de este valor 00:07:22
Pues no tiene antiimagen 00:07:25
Porque está fuera del recorrido 00:07:27
Para buscar un punto T que pertenezca al recorrido 00:07:31
Para garantizar esto lo que voy a hacer es calcular la imagen de cualquier valor 00:07:36
Porque date cuenta que si escojo al azar, por ejemplo 00:07:40
un valor cualquiera A 00:07:43
y calculo su imagen 00:07:46
este valor que es la imagen de A 00:07:49
de seguro que pertenece al recorrido de la función 00:07:52
es un poco por ganar tiempo 00:07:57
¿de acuerdo? 00:08:03
por tanto, aquí tenemos nuestra expresión algebraica de la función 00:08:06
calculemos puntos simétricos 00:08:11
lo primero que hacemos es, como digo 00:08:15
Calcular la imagen de un valor cualquiera 00:08:19
He escogido el 0 00:08:22
Porque se opera fácil al sustituir aquí 00:08:23
Calculamos la imagen 00:08:29
F de 0 y nos da menos 12 00:08:31
Bien 00:08:34
De esta manera garantizamos que el valor menos 12 00:08:35
Pertenece al recorrido de F 00:08:40
Porque es imagen de 1 00:08:42
De al menos 1 00:08:45
Entonces calculamos la antiimagen del menos 12, con la finalidad de buscar, como digo, dos puntos simétricos de la parábola. 00:08:46
Y ya sabemos cómo se hace. Para calcular la imagen del menos 12, igualamos la expresión algebraica menos 12 y despejamos x. 00:08:58
Tenemos aquí la ecuación planteada, que al resolver nos da x igual a 0 y x igual a 8. 00:09:09
Por lo tanto, la antiimagen del menos 12 serían los valores 0 y 8 00:09:19
¿En qué se traduce esto? 00:09:28
Pues que la parábola pasa por los puntos de coordenadas 0, menos 12 00:09:32
Y por el punto 8 de coordenadas 8, menos 12 00:09:42
Y además, estos dos puntos, que voy a llamar A y A', son puntos simétricos 00:09:47
Los voy a representar en el sistema de ejes 00:10:01
Tenemos aquí nuestro sistema de ejes 00:10:06
Y como digo, vamos a representar los puntos A y A', ¿vale? 00:10:11
Bien, los tenemos aquí, 0 menos 12, es uno de ellos, es A 00:10:20
que estaría aquí, aquí está el valor menos 12 00:10:30
y el punto 0 menos 12 es este 00:10:44
que hemos llamado A 00:10:49
y el otro punto simétrico es A' que es de coordenadas 8 menos 12 00:10:52
8 está en la X aquí, menos 12 00:11:02
Por lo tanto, el punto A' es este, A' de coordenadas 8 menos 2, ya digo que este es el de coordenadas 0 menos 2, y son dos puntos simétricos. 00:11:19
Esto ya nos dice donde está el eje de simetría 00:11:41
Porque ha de estar en medio de estos dos 00:11:48
Del 0 y del 8 00:11:50
3 y 4 00:11:54
Aquí es donde está el eje de simetría 00:11:55
Simplemente con encontrar dos valores simétricos 00:11:58
Ya obtenemos el eje de simetría de manera sencilla 00:12:04
Sería esto 00:12:19
Está en x igual a 00:12:20
Como digo, es el punto medio entre los valores de x de estos puntos simétricos, a y a. 00:12:25
En general, para encontrar el punto medio entre un valor a y a, entre este valor y este, 00:12:38
lo que haremos es sumar y dividir entre 2. 00:12:44
Fijaros que el 4 sale de sumar 0 más 8 entre 2, que es 4. 00:12:46
Lo digo porque aquí se ve a ojo fácil, pero si fuera un número decimal, 00:12:54
para encontrar el punto medio exacto, pues ya digo que sumaríamos este valor y este 00:12:59
y lo dividimos entre 2 y eso nos da el punto medio. 00:13:06
Bien, vamos a representar ahora, tenemos otro par de puntos simétricos por ahí, 00:13:12
cuando hemos calculado los correspondientes al cálculo de la antihimagen del menos 5. 00:13:22
Aquí tenemos, para encontrar otros dos puntos simétricos, pues he calculado f de 1 que me da menos 5 00:13:28
De esta manera garantizamos que menos 5 pertenece al recorrido de f y por tanto va a tener antiimagen del menos 5 00:13:41
Calculamos la antiimagen de menos 5 y nos va a dar lugar a dos puntos simétricos 00:13:50
Igualamos a 5 la expresión algebraica 00:13:56
Y obtenemos la antiimagen de menos 5 00:14:02
Igualamos a menos 5, perdón 00:14:07
Y así obtenemos la antiimagen de menos 5 00:14:08
Aquí lo tenemos 00:14:10
Y la solución de la ecuación es esta 00:14:13
Por lo tanto 00:14:15
Decimos que 00:14:17
Decimos que 00:14:20
La antiimagen de menos 5 es 00:14:23
1 y 7 00:14:27
El conjunto numérico formado por los números 1 y 7 00:14:30
Esto me da lugar a dos puntos simétricos 00:14:35
Que son b de coordenadas 1, menos 5 00:14:40
Y b' de coordenadas 7, menos 5 00:14:45
¿Qué puedo representar aquí? 00:14:49
En el sistema de Gés Cartesiano 00:14:54
1 menos 5 está aquí, aquí está el 1 y aquí el menos 5, pues este punto sería el punto B de coordenadas 1 menos 5 00:14:56
el otro punto es B' que es 7 menos 5, aquí está el 7, aquí el menos 5 00:15:19
Este es B' de coordenadas 7, menos 5 00:15:31
Y como podemos observar, en medio entre el 1 y el 7, dado que son simétricos 00:15:41
Sigue estando justamente el 4, que es donde está el eje de simetría 00:15:49
¿De acuerdo? 00:15:54
Como no puede ser de otra manera, porque son puntos simétricos 00:15:56
Lo que he buscado al calcular la antiimagen del menos 00:15:59
Pues bien, ya tenemos dos parejas de puntos simétricos, los puntos A y A', que son simétricos, los puntos B y B', que son simétricos. 00:16:03
Tenemos que el eje de simetría pasa, el eje de simetría, por x igual a 4, me faltaría buscar el vértice de la parábola. 00:16:22
Como sabemos que el vértice se encuentra en algún lugar del punto, podría estar aquí, o aquí, o aquí, o más abajo, 00:16:42
Como se encuentra en algún lugar del eje de simetría 00:16:50
Sabemos que de v, del vértice, sabemos una coordenada 00:16:54
La coordenada en x 00:16:59
De v, por lo tanto, del vértice, sabemos que pasa por 4 00:17:02
Y la y la desconocemos 00:17:08
Pero la podemos calcular porque es f de 4 00:17:10
Así pues calculamos f de 4 00:17:15
g de 4, perdón, la hemos llamado g 00:17:20
g de 4 que es menos 4 al cuadrado 00:17:25
más 8 por 4, menos 12 00:17:28
que sería menos 16 00:17:32
más 32 menos 12 00:17:36
que es igual a 4 00:17:40
g de 4 vale 4, por lo tanto el vértice 00:17:44
va a ser el de coordenadas 4, g de 4, como digo, que es 4, 4. 00:17:49
Pasa por 4, 4 y ese es el vértice. 00:18:00
Aquí tenemos el punto de coordenadas 4, 4, que es el vértice. 00:18:05
Y por tanto ya tenemos la parábola resuelta. 00:18:14
pasa por aquí, pasa por estos dos puntos que son simétricos, b y b', pasa por a y a', 00:18:17
así que necesariamente ha de hacer así. 00:18:27
Ya la podemos dibujar. 00:18:36
Esto ha sido un poco así chapucero, pero... 00:18:38
Una cuestión interesante es que cuando corta al eje de las x, que no siempre lo hará, 00:18:44
pero cuando corta ha de hacerlo en puntos simétricos. 00:18:51
respecto del eje de simetría 00:18:55
y podríamos encontrar estos puntos 00:18:58
¿Cómo? 00:19:01
pues son justamente 00:19:03
los puntos que se obtienen calculando la antiimagen del cero 00:19:05
lo hacemos para terminar el ejercicio 00:19:12
serán los puntos de corte 00:19:14
k' vamos a por ello 00:19:18
calculamos como digo la antiimagen del cero 00:19:21
Porque en estos puntos la Y vale cero, puntos de corte. 00:19:26
Así que para calcular los puntos de corte, para calcular los puntos de corte con el eje OX calculamos la antiimagen del cero. 00:19:32
Esto es f a la menos 1 de 0 00:20:07
¿Cómo? Pues como siempre, igualando mi expresión algebraica a 0 00:20:10
En este caso a 0, porque es la antiimagen que quiero calcular 00:20:14
Resolvemos esta ecuación 00:20:20
Bien, es una ecuación de grado 2 00:20:25
Y aplicando la fórmula de la ecuación completa de grado 2 00:20:30
Obtengo dos soluciones, 2 y 6 00:20:34
Por lo tanto, la antiimagen del 0 es 2 y 6. 00:20:36
Y los puntos de corte, por tanto, serán los de coordenadas 2, 0, este es K, y K' que será de coordenadas 6, 0. 00:20:41
Lo representamos, 2, 0 y 6, 0. 00:20:57
Ya lo tenemos aquí, este es de coordenada 2, 0 y este es 6, 0. 00:21:00
Fijaros como nuevamente observamos que el punto medio entre el 2 y el 6 es el 4 00:21:06
Que es donde está el eje de simetría 00:21:15
Así que a modo de resumen, para representar una parábola, repito 00:21:18
Hemos calculado la antiimagen de dos valores 00:21:26
Cada antiimagen nos da lugar a dos puntos simétricos 00:21:31
Dos parejitas de puntos simétricos 00:21:39
Con estos puntos simétricos se puede encontrar el eje de simetría y con el eje de simetría ya podemos calcular el vértice, porque donde se encuentra el eje de simetría es el valor de la x del vértice. 00:21:41
solo faltaría obtenerla ahí calculando la imagen de este valor 00:21:58
y ya una vez que tengo el vértice y los puntos simétricos 00:22:04
que también pueden ser puntos de corte por ejemplo 00:22:08
que podría ser lo primero que busquemos si queréis 00:22:12
obtenemos ya rápidamente y de manera sencilla la gráfica 00:22:16
lo único a decir que los puntos de corte es un poco delicado 00:22:22
Ir directamente a por ellos 00:22:25
Bueno, saber que puede no tener puntos de corte 00:22:27
Imagínate que la parábola hace así 00:22:31
Pues esta no tiene puntos de corte 00:22:32
O hace así, tampoco tiene puntos de corte 00:22:34
En fin 00:22:37
Con esto cortamos el vídeo ya 00:22:38
Subido por:
Jose S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
87
Fecha:
25 de abril de 2021 - 15:06
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
22′ 43″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
329.75 MBytes

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