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Ejemplo de cálculo de asíntotas de una función racional - Contenido educativo

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Subido el 4 de mayo de 2020 por Eva A.

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Vamos a hacer un ejemplo de cálculo de asíntotas con una función racional. 00:00:01
Para eso vamos a empezar por las asíntotas verticales. 00:00:05
Las asíntotas verticales de existir van a estar situadas en puntos de discontinuidad de nuestra función. 00:00:20
En nuestro caso, cuando es discontinua la función, cuando el denominador va a ir cero. 00:00:27
Por tanto, mi función podrá tener o no tener asíntotas verticales, 00:00:38
pero si las tiene, tienen que estar o en x igual a 3 o en x igual a menos 3. 00:00:42
Ahora, para saber si tiene asíntotas verticales en este punto, lo que vamos a hacer es calcular este límite. 00:00:48
Si sustituimos, en la función nos queda 3 por 3, 9, por 2, 18, 13, partido de 0. 00:01:01
13 partido de 0 sabemos que quiere decir que el límite es infinito o menos infinito. 00:01:15
Por tanto, ahí sí va a haber una asíntota vertical. 00:01:21
Pero tenemos que ver qué pasa cuando nos acercamos por la izquierda y por la derecha, 00:01:25
porque justo en el 3 no existe necesariamente límite como tal. 00:01:28
Estudiamos los límites laterales. 00:01:40
En este caso, podemos comprobar que este límite nos va a quedar más infinito. 00:01:44
¿Cómo lo vamos a comprobar? 00:01:53
pues sustituís en vez de en 3, cogéis un número muy próximo 00:01:54
pero un poco mayor que el 3, por ejemplo el 3,1 00:01:58
si sustituís en la función veréis que esto os queda positivo 00:02:01
por tanto quiere decir que la función se está acercando a este valor 00:02:04
por valores positivos y por tanto el límite es más infinito 00:02:09
hacemos lo mismo por la izquierda 00:02:12
si calculáis este límite veréis que nos queda menos infinito 00:02:15
porque si sustituís por ejemplo el 2,9 veréis que es negativo 00:02:27
y por tanto quiere decir que esta función cerca del 3, acercándonos por números más pequeños, 00:02:31
toma valores negativos cada vez más grandes. 00:02:38
De aquí deducimos que sí tenemos una asíntota vertical en el punto x igual a 3. 00:02:42
Pero lo que pasa en x igual a 3 no implica nada respecto al x igual a menos 3, 00:02:47
tenemos que ver qué pasa en x igual a menos 3. 00:02:52
Si sustituimos en menos 3 nos vuelve a quedar 13 partido por 0, 00:03:01
Quiere decir que esta función se va a acercar a más infinito o menos infinito 00:03:19
Volvemos a calcular los límites laterales 00:03:23
Bueno, si aquí sustituís en un número muy cercano a menos 3 pero un poco mayor que él 00:03:27
Por ejemplo, menos 2,9 00:03:48
Veréis que esto toma valores negativos y por tanto esto va tomando valores negativos cada vez más grandes 00:03:50
Es decir, tiende a menos infinito 00:03:56
Y ahora el límite por la izquierda 00:03:58
Veréis, por ejemplo, usando el menos 3,1 00:04:00
Veréis que este límite se hace positivo. 00:04:11
Por tanto, de este primer cálculo deducimos que x igual a 3 va a ser una asíntota vertical 00:04:15
y de este segundo cálculo que x igual a menos 3 también es una asíntota vertical. 00:04:23
Y con esto habríamos terminado el cálculo de las asíntotas verticales. 00:04:35
Pasamos ahora a estudiar las asíntotas horizontales. 00:04:41
Una función, si tiene asíntotas horizontales, no las va a tener oblicuas y viceversa. 00:04:44
Por tanto, si tenemos suerte y nos encontramos asíntotas verticales, habremos terminado. 00:04:49
Si no, tendríamos que comprobar las oblicuas. 00:04:54
Pues vamos a por las verticales. 00:04:57
Estamos buscando una recta horizontal a la cual se nos acerca la función cuando nos vamos a más infinito o a menos infinito. 00:05:18
Por tanto, lo que tenemos que estudiar es el límite de la función cuando se nos va a más infinito o menos infinito 00:05:25
Y ese límite tendría que salirnos un número real para poder decir que en ese punto tenemos una asítota 00:05:32
Vamos a empezar con más infinito 00:05:41
Aquí si sustituís veis que nos queda una indeterminación, infinito partido por infinito 00:05:47
que estas las sabemos resolver sin problemas 00:06:02
así que sabemos que tenemos que dividir por la parte literal del término de mayor grado 00:06:06
en este caso x cuadrado 00:06:11
simplificamos lo que se pueda simplificar 00:06:12
estos términos, 5 partido de x cuadrado, 9 partido de x cuadrado 00:06:32
se van a cero, por tanto desaparecen 00:06:38
nos quedaría 2 entre 1, es decir, 2 00:06:41
así que cuando nos vamos hacia el más infinito 00:06:44
mi función se va a acercar a la recta horizontal y igual a 2. 00:06:48
Vamos a ver qué pasa en menos infinito. 00:06:53
Nos vuelve a quedar lo mismo, una indeterminación que resolvemos de la misma forma, 00:07:12
dividiendo todos los términos entre x al cuadrado. 00:07:16
Igual que antes, este término y este término se van a cero, 00:07:34
por tanto me queda 2 partido de 1, que será 2. 00:07:38
Así que hacia menos infinito, la recta y igual a 2 también va a ser una asíntota horizontal. 00:07:42
Entonces, os habréis dado cuenta que nos ha quedado lo mismo en ambos sentidos. 00:07:56
Esto no es casualidad porque mi función es racional. 00:08:01
En las funciones racionales esto siempre nos va a pasar. 00:08:04
Por tanto, en realidad, me hubiera bastado con calcular el primer límite. 00:08:07
Y así lo vamos a hacer a partir de ahora. 00:08:12
Pero sí tened en cuenta que va a haber funciones no racionales, 00:08:14
de otro tipo de funciones, donde puedo tener una asíntota de un tipo hacia un lado 00:08:19
y de otro tipo hacia otro, no tener asíntota por un lado, puede encontrar funciones con 00:08:23
todas las combinaciones posibles, pero las racionales, que son las que más manejamos 00:08:28
nosotros, funcionan bien en este sentido y hacer uno de los dos cálculos me hubiera 00:08:32
sido suficiente. Ya lo hemos dicho, pero bueno, lo vamos a dejar por escrito. Como hemos visto 00:08:36
que hay asíntotas horizontales, vamos a decir que asíntotas oblicuas no tiene, puesto que 00:08:45
tiene con centavos. Y ya he dado toda la información sobre todas las asíntotas posibles. Vamos 00:09:01
ahora a representar las asíntotas que nos permite hacer un primer esquema de la función, 00:09:14
aunque a lo largo del curso veremos que hay que estudiar muchas más cosas para hacer 00:09:20
una gráfica bien hecha. Pero bueno, una primera aproximación es situar las asíntotas. Os 00:09:24
vamos a hacer un poco de trampa y lo vamos a hacer con GeoGebra. Empezamos con las asíntotas 00:09:29
verticales. Las rectas, x igual a 3, x igual a menos 3. Y luego la horizontal. Con esto 00:09:34
ya sabemos hacia dónde van las ramas, pero no qué hace la función entre ellas. Bueno, 00:09:44
pues nuestra función es esta, es una función que si os fijáis es bastante simétrica, 00:09:50
bueno, tiene muchas propiedades que iremos viendo cómo estudiarlas a lo largo de este 00:09:55
curso pero este dibujo bueno esta rama esta rama así a ojo la podríamos hacer para situar bien una 00:10:00
función nos interesa tener algún elemento que nos la fije la forma más sencilla de fijar algunos 00:10:09
puntos concretos es buscar los puntos de corte con los ejes claro aquí no es fácil ver exactamente 00:10:16
los puntos, no nos quedan números enteros, pero si es fácil calcularlos, porque sabemos 00:10:24
calcular los puntos de corte con los ejes, vamos a calcularlos un momentito en la otra 00:10:31
pantalla para que veamos cómo hubiéramos encontrado estos puntos para poder hacer un 00:10:36
primer dibujo de la función. ¿Puntos de corte con los ejes? ¿Qué puntos estamos 00:10:40
buscando? Aquellos donde o bien la coordenada X o bien la coordenada Y vale cero. Vamos 00:10:48
a empezar por ver qué pasa cuando la x vale cero, es decir, estamos buscando dónde corta 00:10:53
la función al eje vertical, al eje de las i. Lo que hacemos es sustituir la x por cero 00:11:00
y calcular el valor de la función en ese punto. Nos queda un decimal, perdón, cinco 00:11:09
novenos que sería aproximadamente cero y pico como habíais visto en la gráfica bien 00:11:22
representada por GeoGebra. ¿Qué pasa cuando la Y vale 0? Buscamos los cortes con el eje 00:11:27
horizontal. Aquí solo me va a salir 1 porque solo va a haber un punto en la función donde 00:11:35
la X vale 0. Aquí me pueden aparecer más de 1. Estoy buscando aquellos valores de la 00:11:40
X que hacen que la función vale 0, pero como mi función es racional, para que esto 00:11:47
valga cero, tiene que valer cero el numerador. Así que lo que estoy buscando son los ceros 00:11:57
de un polinomio, de este polinomio en particular. Bueno, sería una ecuación incompleta. Entonces, 00:12:07
esta función, si la fuéramos a representar a mano, ya damos por hecho que de forma muy 00:12:22
exacta no vamos a ser capaces. Sabemos que esto es un número decimal entre cero y uno, 00:12:26
un número que estará aproximadamente entre 1 y 2 00:12:33
con estos puntos un dibujo perfecto no nos saldría 00:12:37
pero sí que para tener una buena aproximación 00:12:41
y poder hacer una buena aproximación de la gráfica 00:12:44
sí seríamos capaces 00:12:46
los puntos de corte serían entonces 00:12:47
en el primer eje 0, 5 novenos 00:12:49
y en el vertical 00:12:55
perdón, en el eje horizontal 00:12:58
nos quedarían dos puntos de corte 00:13:11
que estarían simétricos respecto al origen de coordenadas. 00:13:13
Bueno, pues aquí hemos situado los tres puntos de corte, 00:13:17
con el eje vertical y los dos con el eje horizontal. 00:13:21
No es inmediato esto dibujarlo, pero en GeoGebra se ve muy bien. 00:13:24
Os subiremos también este archivo GeoGebra, 00:13:28
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
EVA ANEIROS VIVAS
Subido por:
Eva A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
158
Fecha:
4 de mayo de 2020 - 19:10
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CALDERÓN DE LA BARCA
Duración:
13′ 34″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
138.28 MBytes

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