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Funciones de Proporcionalidad Inversa - Contenido educativo
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En este vídeo se estudia la función y=1/x y sus derivadas y=k/(x-a)+b. Todos los gráficos están hechos con Geogebra.
En este vídeo vamos a estudiar las funciones de proporcionalidad inversa.
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La primera pregunta que nos hacemos es ¿por qué se llaman así?
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Resulta que en los problemas de proporcionalidad inversa siempre el producto de las dos magnitudes es constante.
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Por ejemplo, si tenemos que recorrer 500 km, si aumentamos la velocidad, disminuimos el tiempo,
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y el producto siempre de la velocidad por el tiempo permanece constante.
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Como el producto de las dos magnitudes es constante, debe ser que una de ellas es la constante partido por la otra magnitud
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Vamos a estudiar en concreto la función y igual a 1 partido por x
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Esta función no está definida en x igual a 0, su dominio es todos los reales menos el 0
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¿Qué pasa en ese punto? Pues como no puede pasar por la recta vertical x igual a 0, pues tiene que escaparse hacia el infinito en este caso
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a menos infinito y volver por el infinito. En concreto ahí tenemos la tabla de valores
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de esta función cerca de cero. Cuanto más nos acercamos a cero más se va al infinito.
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Por la izquierda se va a menos infinito y por la derecha se va a más infinito. Esta
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función y igual a uno partido por x tiene también como propiedades que la recta y igual
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a cero es una asíntota horizontal. Cuando la x se hace grande los valores se acercan
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cada vez más a 0. La recta x igual a 0 sería una asíndota vertical. Esta función es decreciente
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en todo su dominio y además es discontinua en x igual a 0. También resulta que es simétrica
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respecto al punto O00, el origen de coordenadas. Hay una simetría central y el recorrido es
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todo r menos el 0. En esa animación vemos como cada punto de una rama tiene un simétrico en la
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otra. Esta función y igual a 1 partido por x también se conoce como hipérbola, es una de las
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cónicas, las curvas que se obtienen seccionando un cono. En resumen, esta función y igual a 1
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partido por x tiene como dominio a todos los reales menos el 0. Su recorrido también son todos los
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reales menos el cero. Es siempre decreciente, no tiene máximos ni mínimos. Tiene como
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asíntota horizontal y igual a cero, asíntota vertical x igual a cero, es simétrica respecto
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al origen de coordenadas, no es periódica, es discontinua en x igual a cero, cuando x
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tiende a cero por la izquierda se va a menos infinito y cuando x tiende a cero por la derecha
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se va a más infinito. Ahora vamos a ver distintas funciones que se parecen a uno partido por
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x son variaciones de esta que ya conocemos. En este caso sería y igual a k partido por
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x menos a más b, donde k es esa constante de proporcionalidad, x menos a sería lo que
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hay debajo del denominador y más b sería un factor que suma o resta. Esta k va a determinar
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si es creciente o decreciente. Cuanto mayor sea la k en valor absoluto, más se va a separar
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de las asíntotas. El valor a va a determinar su asíntota vertical y la va a desplazar
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lateralmente. b va a desplazar a la función hacia arriba o hacia abajo y va a determinar
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la asíntota horizontal. En esa gráfica que tenemos ahí, igual a 5 partido por x menos
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3 más 2, como k igual a 5 es mayor que 0, va a ser decreciente. Al dividir por x menos
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3 sacamos a x igual a 3 del dominio de definición, lo podemos dividir por 0. x igual a 3 va a
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ser entonces una asíntota vertical. Al sumar 2 la función sube hacia arriba dos unidades e igual a
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2 es una asíntota horizontal. La función será ahora simétrica no respecto a 0,0 sino respecto
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al punto 3,2 donde se cortan las dos asíntotas. Vamos a ver ahora con esta animación cómo se
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comporta la función cuando variamos los parámetros. Si k se hace grande vemos que se va separando de
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sus asíntotas. Cuando k se hace negativa, la función ya no es decreciente, es creciente.
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Si movemos, la a se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda. Cuando a es positiva,
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hacia la derecha. Y a la izquierda, cuando a es negativa. Si movemos la b, la función
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sube o baja. Si movemos todos los parámetros a la vez, vamos a encontrar todas las posibilidades
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juntas. Sube, baja, se hace decreciente, creciente... En resumen, estas funciones de i igual a k
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partido por x menos a más b tienen como dominio a todos los reales menos al a, o sea, al que
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hace cero el denominador. Tienen como recorrido a todos los reales menos el b, es decir, aquel
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que suma o resta, aquel que hace subir o bajar. Si k es mayor que cero, la función es decreciente.
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Si k es menor que cero, la función es creciente. Si el valor absoluto de k es grande, se aleja
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de las asíntotas. No tiene ni máximos ni mínimos. La asíntota vertical es x igual
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a, la asíntota horizontal es y igual a b, hay una simetría central en el punto p a
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b donde se cortan las dos asíntotas y va a ser discontinua en x igual a a. Bueno, pues
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ya solo te queda que te aprendas todas estas cosas y que las practiques.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Alejandro Gallardo Lozano
- Subido por:
- Alejandro G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
- Visualizaciones:
- 171
- Fecha:
- 16 de febrero de 2018 - 8:53
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- CPR INF-PRI-SEC RAFAELA YBARRA
- Duración:
- 06′ 32″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 1024x768 píxeles
- Tamaño:
- 193.56 MBytes