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RELACIONES GEOMETRICAS - Contenido educativo
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RELACIONES DE PUNTOS Y VECTORES DE BACHILLERATO
Bien, vamos a ver una serie de relaciones geométricas utilizando los vectores.
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En primer lugar, ¿cómo calculamos el punto medio entre dos puntos dados?
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Fijaos, si me dan dos puntos A y B, conociendo sus coordenadas x1 y 1 y x2 y 2, ¿cuál será el punto que está justo en medio?
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Pues las coordenadas, para calcularlas, habrá que hacer la media aritmética de las coordenadas x y la media aritmética de las coordenadas y, porque precisamente ese es lo que cae justo en medio.
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Es una operación muy sencilla.
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Por ejemplo, si el punto A es , yo puedo situarlo en los ejes de coordenadas, 2 a la izquierda y 4 hacia arriba.
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y el punto B es el punto 4, 2. 4 a la derecha y 2 arriba. Bien, pues ¿qué punto será justo el que
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está en medio de estos dos? Pues lo que tengo que hacer es utilizar esa fórmula. Hago menos 2 más 4
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entre 2, que es la media aritmética de las X, y hago 4 más 2 entre 2, que es la media aritmética
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de las y. Lo veis ahí. El resultado que sale es 1, 3. Bien, si lo dibujamos, 1, 3 arriba, se verá
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perfectamente que es justo el valor que está en medio de ellos. Así que, primera de las relaciones
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muy sencillas. Vamos con la siguiente. Relacionado con esto del punto medio, tenemos el punto
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simétrico. Decimos que S es el punto simétrico de A respecto de B, si B es justo el punto que está
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en medio de S y de A. ¿De acuerdo? O sea, el que queda en medio es B, el respecto de. ¿De acuerdo?
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O sea, que podemos utilizar otra vez lo del punto medio. Por ejemplo, menos 3, 4. Lo dibujo. 3 a la
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izquierda, 4 hacia arriba. Y el punto B es 1, 6. 1 a la derecha, 6 hacia arriba. Bien, ¿cuál será el
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punto simétrico de A respecto de B? Pues bien, es el que está a la misma distancia pero al otro lado
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de A. ¿De acuerdo? Está en línea recta a la misma distancia al otro lado. ¿Pero qué es lo que tiene
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que ocurrir? Pues que B caiga justo en medio. Así que si yo, por ejemplo, digo que el punto S,
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que es el simétrico, todavía no conozco sus coordenadas, lo que sí tengo claro, como B es el
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que está en medio, es precisamente que 1, 6 es el punto medio de A y de S. Así que hago la media
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aritmética de las x, la media aritmética de las y, separo coordenadas porque no mezclo x con y,
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por lo tanto 1 que es la x de este será menos 3 más x entre 2, 6 que es la y será 4 más y entre 2
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y ahora despejo cada una de las incógnitas que aparecen ahí. El 2 pasará multiplicando y el
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número que hay aquí pasará restando. Por lo tanto aquí nos queda que la x es 5 despejando y que la
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y es 8. Efectivamente si dibujamos este punto 5 a la derecha y 8 hacia arriba observaremos que
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cae justo en medio de los dos. ¿De acuerdo? Bien, podríamos calcular esto también utilizando esta
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fórmula. Esta fórmula ni más ni menos es lo que estamos haciendo aquí al despejar. Multiplico por
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2 a las coordenadas de B, lo veis ahí, lo azul es lo de B, y luego resto las coordenadas de A, ¿vale?
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Por lo tanto esta formulita es exactamente lo mismo que lo que hemos hecho. Siguiente relación.
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¿Cómo divido un segmento en partes iguales?
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Bien, si yo quiero partir un segmento en partes iguales,
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primero lo que hago es calcular el vector que une sus extremos, ¿vale?
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Y lo dividimos en las partes en las que queramos hacer.
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Si quiero hacer cuatro partes, lo divido entre cuatro.
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Si quiero hacer tres, lo divido entre tres, en función de eso.
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Vamos a ver cómo sería.
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A ver, imaginad que queremos dividir en cuatro trozos el segmento que une estos dos puntos, A y B, que son menos 3, 4 y 5, 8.
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¿Vale? Podría dibujarlos. Bueno, yo quiero partir en cuatro trozos el segmento que los une.
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Pues primero calculo el vector AB. El vector AB, ni más ni menos, que va a ser restar B menos A.
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¿Os acordáis, verdad? Para calcular AB, el extremo menos el origen.
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Utilizo ahora las coordenadas. Primero pongo las de B, luego las de A y hago la resta.
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el vector sale 8, 4.
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Bien, pues si el vector es 8, 4 y yo quiero partir en 4 trozos,
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divido precisamente el vector entre 4.
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Si divido entre 4 ese vector, hago un cuarto, me sale 2, 1.
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De forma que si yo coloco 4 veces el vector 2, 1, habré partido en 4 trozos.
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Vale, pero ¿qué puntos serán justo los que necesito para partir eso en 4?
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Pues lo que voy haciendo es, a partir de A, ir sumando la cuarta parte del vector, o sea, el vector 2, 1 que me ha salido.
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Así que, ¿cómo calculo el primer punto? Por ejemplo, le llamo P1.
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Pues lo que hago es sumar a más el vector 2, 1, que es lo que me ha salido la cuarta parte de a, b.
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Si hacemos esa suma, pues el resultado que nos sale es menos 1, 5.
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¿Vale? Menos 3 más 2, menos 1, 4 más 1, 5.
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Bien, si sitúo el punto menos 1, 5, pues resulta que justo vamos a ver que es la cuarta parte de ese vector.
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Pero quiero los siguientes puntos. Pues nada, a partir de P1 vuelvo a sumar otra vez el vector 2, 1, que es la cuarta parte,
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y obtendré otro punto que llamo P2 y así voy haciéndolo hasta que tenga todos los puntos.
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Si calculo esto con coordenadas, P1 era menos 1,5. Le tengo que sumar otra vez 2,1.
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Calculo y sale 1,6. 1 a la derecha, 6 hacia arriba.
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Efectivamente, ese está justo en medio porque como es la cuarta parte, el segundo está en medio.
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Y luego el siguiente, pues vuelvo a sumar al vector, o sea, perdón, al punto P2 que he calculado antes, 1, 6, otra vez 2, 1.
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Sumo 1, 6 más 2, 1, que sale 3, 7.
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Coloco el punto 3, 7 y ya he conseguido todos los puntos precisamente que dividen al segmento en cuatro trozos.
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Y por último, algo que ya hemos utilizado, aunque de otra manera, y va a ser mucho más sencillo, cómo averiguar que dos vectores son paralelos.
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El vector u es paralelo a v, y lo vamos a escribir de esta forma, u paralelo v, significa además lo mismo que linealmente dependiente, si existe un número k, de forma que u es k por v.
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¿Vale? ¿Qué significa esto de u igual a k por v?
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Que si multiplico a un número por el vector v consigo calcular el vector u
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O sea que en definitiva lo que hago es cambiar de tamaño a v pero no le cambio de dirección por eso es paralelo
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Vale, pero esto en realidad es lo mismo que si divido las coordenadas obtengo el mismo resultado, porque los vectores son proporcionales.
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Proporcionales significaba que al dividir siempre salía lo mismo, ¿vale?
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Y relacionado con esto, podré decir también que tres puntos A, B y C están alineados si el vector que une los dos primeros, por ejemplo AB, es paralelo al que une los dos siguientes BC.
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si son paralelos es que los tres están en línea. Así que vamos a ver un ejemplo de cada uno para
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que lo veamos bien. Bien, aquí tengo el vector u, menos 1, 2, y el vector v, menos 3, 6. ¿Son
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paralelos estos vectores? Bueno, pues simplemente lo único que tengo que comprobar es que si divido
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las coordenadas, menos 1 entre 2 y menos 3 entre 6, el resultado es el mismo. Efectivamente, para
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que dos fracciones sean iguales, al multiplicar en cruz me tiene que salir lo mismo y aquí cumple
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ese requisito. La proporción que hacemos, esto de dividir las coordenadas, se puede hacer como
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lo he hecho aquí. Veis que divido las coordenadas del mismo vector, el verde, pero también podría
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decir, menos 1 dividido entre menos 3 me da lo mismo que 2 dividido entre 6. O sea, las coordenadas
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x al dividir sale lo mismo que las y, porque la proporción que sale es la misma. Así que cualquiera
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de los dos criterios lo podríais usar. Aquí, por ejemplo, si lo dibujo, el vector u es el menos 1,
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2, 1 a la izquierda, 2 arriba, y el vector v, 3 a la izquierda, 6 arriba. Se ve que efectivamente
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están en la misma dirección. Bien, y ahora voy a dar tres puntos. A es el punto 1, 2, que estaría
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situado ahí. B es el punto 3, 6, que estaría ahí. Y c es el punto 4, 8. No tienen por qué estar a la
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misma distancia, ni mucho menos. Lo que quiero es comprobar si están alineados. Pues voy a calcular
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primero el vector AB. El vector AB lo que hago es restar B menos A. B menos A, pongo las coordenadas
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y me sale 2, 4. Luego calculo el vector BC de la misma forma. BC es C menos B. Utilizo las
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coordenadas otra vez y sale 1, 2. 1 a la derecha y 2 para arriba. Estos dos
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vectores son paralelos, pues aplico el criterio anterior. 2 cuartos, que es la
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división de estas coordenadas, ¿sale lo mismo que un medio? Pues sí, son
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equivalentes, por lo tanto los puntos están alineados.
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- Subido por:
- Manuel B.
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- Fecha:
- 9 de marzo de 2022 - 19:18
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- 12′ 29″
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