mate 2_marzo

Aquí hay mucho cambio de variable, lo bueno es que casi siempre es el mismo cambio de 00:00:00

variable. 00:00:13

Entonces ir jugando con eso, y con eso tiene que ser una función, demostrando nada, diciéndoselo 00:00:14

a nosotros. 00:00:20

Cuando nosotros tengamos un integral en R2, vamos a tener esto, este tiene que ser una 00:00:21

función, que como veis es una función de R2 en R, continuo, ¿entendéis? 00:00:46

O sea, puede ser discontinua, ojo, esto lo como para un player, haciéndolo con compañeros 00:01:12

de otro espacio, me preguntaron esto en una especie de mini-test de cuatro preguntas 00:01:18

y una de las preguntas era si la función tiene que ser siempre continua, pues no. 00:01:24

Eso sí, las discontinuidades tienen que ser de esas discontinuidades que llamamos asentos 00:01:29

nitos. 00:01:33

En R, las que habéis hecho toda vuestra vida, esto se puede integrar sin ningún tipo 00:01:35

de problema. 00:01:41

Yo tengo aquí una función que termina ahí arriba, y de repente empieza aquí. 00:01:43

Discontinuidad inevitable de salto finito, pero no hay ningún problema, porque como 00:01:52

yo voy a decir, me ha ido la integral de AB y luego me ha ido la integral de AC, me ha 00:01:57

ido las dos integrales, las dos áreas, las sumo y fuera. 00:02:02

A eso se lo que me refiero. 00:02:05

Podéis tener funciones que tengan este tipo de saltos, lo que no se puede tener son funciones 00:02:07

que se vayan al infinito, entonces eso no se va a integrar, no se va a separar, porque 00:02:11

lo que tienen es que hay que integrar. 00:02:15

¿Vale? 00:02:18

Todas las integrales, ahora ya todas, absolutamente todas, sin ninguna excepción, son siempre 00:02:19

definidas. 00:02:24

Aquí no se preguntan integrales y definidas, son siempre definidas. 00:02:25

Aquí siempre va a haber un dominio, y el dominio muchas veces es el dolor de cabeza. 00:02:29

No lo que pongan dentro, que tú estás viendo lo dentro y pones X. 00:02:33

La integral de X no será muy complicada. 00:02:37

El problema es este, que es que a veces es muy complicado, porque ahora ya no es de AB, 00:02:39

ahora estamos en el plano. 00:02:44

Entonces como estamos en el plano, no es cualquier cosa. 00:02:46

Y cualquier cosa es cualquier cosa, ¿vale? 00:02:48

Como la rosa tora de cuatro pedazos, lo que les derrama. 00:02:51

¿Vale? 00:02:54

Dependiendo de cómo sea el dominio, la cosa va empeorando. 00:02:56

Así que tipos de dominio. 00:02:59

Vamos a empezar por el más sencillo, que es B. 00:03:06

Es un rectángulo, ¿vale? 00:03:16

Entonces, si B es un rectángulo, B nos lo van a dar de esta manera. 00:03:19

Pongo las expresiones que pueden utilizar. 00:03:24

Una forma de escribirlo es así. 00:03:32

Podéis disfrutar. 00:03:34

AB por C. 00:03:36

Eso es lo que se llama un producto cartesiano de dos conjuntos. 00:03:38

Pero bueno, a vosotros lo que os quedáis es la X va de AB, la Y va de CAB. 00:03:41

Ya tengo los datos del rectángulo. 00:03:47

Así que otra manera de ponerlo, sería escribirlo así. 00:03:49

La X va de AB, la Y va de CAB. 00:03:55

No voy a dibujar el dominio, es un rectángulo igual. 00:04:07

¿Vale? 00:04:10

Entonces, ¿cómo hago la integral? 00:04:11

No importa el orden. 00:04:14

Y eso se le llama teorema de Fubini. 00:04:17

No sé hasta qué punto vuestros profesores, todos, van a hacer ahí súper precisos. 00:04:25

Pero mirad, las integrales se hacen de dentro hacia afuera. 00:04:31

Por lo tanto, si los límites de integración, dentro, he puesto C y D, 00:04:34

debería respetar ese orden y empezar integrando la Y. 00:04:39

Así que tendría que poner aquí la integral de Y. 00:04:43

Y una vez que me he quitado todas las Y, entonces integro la X. 00:04:46

Lo que pasa, que si todo lo que tengo como límite de integración son numeritos, 00:04:50

puedo cambiar el orden sin interés. 00:04:55

Y entonces, ¿a qué pasa? 00:05:06

¿Vale? 00:05:10

Si queréis, lo podéis hacer así. 00:05:11

De hecho, si la función F de X y Y es una función en la que tienes las X por un lado 00:05:14

y las Y por otro, por ejemplo. 00:05:22

Imaginemos que la función es así. 00:05:25

Tengo la parte de la X aquí. 00:05:28

La parte de la Y aquí. 00:05:30

No las tengo ocultadas, las tengo ahí. 00:05:32

Unas en un lado, otras en otro. 00:05:34

Pues bien, si ocurre eso... 00:05:36

Entonces, ¿qué tengo? 00:05:44

Tengo la función F de X y la función Y de Y. 00:05:46

¿Vale? 00:05:51

Entonces es que tengo una función que depende de X y una función que depende de Y. 00:05:57

¿Vale? 00:06:05

La que depende de X, la que depende de Y. 00:06:06

Pues bien, puedo integrar la X por un lado, la Y por el otro de manera separada 00:06:08

y multiplicar las dos integrales. 00:06:13

¿Vale? 00:06:16

Podría hacer esto. 00:06:17

Hago la de G por un lado y le multiplico lo que va con ella. 00:06:18

Deberíais hacerlo constantemente. 00:06:27

¿Bien? 00:06:34

Esto son uno o seis, lo que tú quieras. 00:06:37

Uno menos seis, uno menos el seno de Y, lo que queráis. 00:06:39

Simplemente para que veáis. 00:06:42

Están así por un lado, todas iguales. 00:06:43

Vale, esto de aquí, como os digo, deberíais utilizarlo mucho. 00:06:46

Utilizarlo vosotros también, pero por favor, tienen que estar los cuatro límites numeritos. 00:06:49

Tienen que ser. 00:06:55

Como alguno de los límites no sea un número, todo esto ya no sirve. 00:06:56

Porque no puedo utilizarlo, entonces no me da función Y. 00:06:59

¿Vale? 00:07:01

Bueno, pues este es el primer tipo de dominio. 00:07:03

Este es el mejor dominio. 00:07:04

De verdad, no sirve reponer rectángulo, reponer gráfico. 00:07:07

Así que... 00:07:11

Segundo tipo de dominio. 00:07:13

Digamos que el que voy a poner ahora es el dominio clásico. 00:07:17

Es decir, aquí. 00:07:20

¿Vale? 00:07:21

D. 00:07:25

D es un dominio que se llama tipo 1. 00:07:36

Y eso significa lo siguiente. 00:07:41

El dominio D lo ponen ellos o nosotros somos capaces de ponerlo de esa manera. 00:07:44

La X sigue estando encerrada entre dos números. 00:07:55

Pero la Y está encerrada entre dos funciones que dependen de la X. 00:08:00

O sea, el típico dibujito que acompaña este dominio, pues sería así. 00:08:13

La X entre A y B. 00:08:29

Y la Y, aquí está Y1, la función que está por abajo. 00:08:32

Aquí está Y2. 00:08:39

La función que va por arriba. 00:08:44

Ese es el típico dibujo que yo hago, porque me lo piden. 00:08:48

Y si no me lo piden, pues lo hago yo, porque así lo veo que lo tengo claro. 00:08:50

Y entonces, en los dominios tipo 1, para no meter la pata, os recomiendo meter una línea vertical. 00:08:55

Pero ponerla siempre por la mitad del dominio. 00:09:04

Y así veis perfectamente de dónde a dónde va la Y. 00:09:06

Porque a lo mejor hay más de una Y. 00:09:10

En esta parte voy desde aquí hasta aquí. 00:09:13

Pero cuando me muevo hacia la derecha, voy de aquí a aquel otro sitio. 00:09:15

Y así va viendo perfectamente de dónde a dónde va. 00:09:18

Todo esto del dominio tipo 1, en la gran mayoría de los problemas, sois vosotros. 00:09:22

Los que tenéis que decidir si lo queréis ver así, si lo queréis ver de otra manera, o lo que ve de sí el dominio. 00:09:25

Hay algunos dominios que se pueden ver de varias maneras. 00:09:31

Otros no, solo conviene verlos de uno. 00:09:34

Una vez que uno ha decidido que va a hacer la integral utilizando esto y ese dominio escrito así, 00:09:37

la integral solo se puede hacer de una manera. 00:09:43

Solo de una. 00:09:46

Así que hay que respetar el orden sí o sí. 00:09:47

Obligatoriamente, primero hay que integrar la Y. 00:09:52

Porque la Y depende de X. 00:09:57

Depende de X. 00:09:59

¿Vale? Digo, obligatoriamente. 00:10:03

Como la vais a ver, se acabó la integral. 00:10:06

¿Vale? 00:10:20

Pues ese sería el dominio tipo... 00:10:22

Siguiente tipo de dominio. 00:10:29

Pues el dominio tipo 2. 00:10:32

Al dominio tipo 2 estáis menos acostumbrados, porque tenéis que ver las cosas en vertical, 00:10:50

si tenéis que ver las cosas en horizontal. 00:10:54

Pero ese es el que es, y es muy útil, y en algunos dominios es justo el que tengo que utilizar. 00:10:57

Es cuando D lo puedo escribir de esta manera. 00:11:02

Ahora es la X la que va a depender de Y. 00:11:09

Así que X está encerrada entre dos funciones que dependen de Y. 00:11:13

Mientras que Y va por libre, entre dos numeritos. 00:11:21

Bueno, el dibujo sería algo así. 00:11:32

Una cosa, estoy poniendo todos estos dibujos en el primer cuadrante simplemente por comodidad. 00:11:36

Da igual en qué cuadrante estén. 00:11:41

¿Vale? Aquí está lo mismo. 00:11:43

Aquí tengo C y D. 00:11:51

Esto es el dominio D. 00:11:57

Y entonces, esta de aquí es X sub 1, que depende de Y. 00:12:00

Y la que está más lejos, X sub 2, que también depende de Y. 00:12:06

De manera que a mí me interesa ver las cosas, 00:12:13

en horizontal. 00:12:15

Luego me interesaría meter una línea horizontal, 00:12:16

para ver bien de dónde a dónde va la X. 00:12:21

Porque es ahora la X la que depende de otra variable. 00:12:24

Bueno, pues como es ahora la X la que depende de Y, 00:12:30

es la X la que primero tenemos que integrar. 00:12:33

Obligatoriamente. 00:12:36

Solo se puede hacer la integral, 00:12:39

de esa manera. 00:12:41

¿De acuerdo? 00:13:12

Luego está el cuarto tipo de dominio, 00:13:15

que es aquel que ni es un rectángulo, ni es un dominio tipo 1, ni es un dominio tipo 2, 00:13:17

pero si lo troce, cada trozo me cuadra en uno de estos. 00:13:23

¿Vale? 00:13:28

Cuarto. 00:13:29

Ponemos 00:13:33

D 00:13:35

como una unión 00:13:37

como una unión 00:13:39

de subdominios. 00:13:45

La X. 00:13:51

Siempre. 00:13:52

Obviamente. 00:13:53

¿Vale? 00:13:57

D lo troceo. 00:13:58

En los trozos que sea. 00:13:59

Y D es entonces la unión de mis distintos trozos. 00:14:01

De sub 1, de sub 2, de sub 3. 00:14:04

Porque cada uno de esos trozos me cuadra con alguno de los dominios anteriores. 00:14:06

¿Vale? 00:14:10

Digo, mira, este trozo es un dominio tipo 1. 00:14:11

Este otro trozo, tipo 2. 00:14:13

Y aquí tengo un rectángulo. 00:14:15

¿Vale? 00:14:16

Lo hago cada uno por separado y sumo las integrales. 00:14:17

Así que la integral sobre D 00:14:21

es la suma 00:14:29

de las integrales sobre cada uno de los subdominios. 00:14:32

¿Vale? 00:14:36

Así. 00:14:43

Voy haciendo cada una de las integrales 00:14:45

y al final las sumo. 00:14:47

Recordad que todas estas integrales son números. 00:14:49

Son definidas. 00:14:51

Así que el último paso es sumar los números por D en cada una. 00:14:52

¿Vale? 00:15:06

Y nos queda el ritmo. 00:15:09

Que es el gran peor. 00:15:11

Y si aún así soy incapaz de hacerlo. 00:15:14

Pues entonces tendría que hacer cambio de variable. 00:15:17

¿Vale? 00:15:20

Y aquí lo malo es que el cambio de variable hay que cambiar una. 00:15:21

Hay que cambiar dos. 00:15:24

Entonces ya la cosa se complica. 00:15:27

En esto, justo en donde abro los profesores si quieren, 00:15:30

ahí es donde aprietan las D2. 00:15:33

¿Vale? 00:15:36

Ahora yo voy a poner como se hace un cambio de variable. 00:15:37

Así que lo que voy a poner siempre. 00:15:40

Pero claro, el cambio de variable lo tienes que poner tú. 00:15:42

Cada problema tiene el suyo. 00:15:44

Pero hay uno que cubre 9 de cada 10. 00:15:46

De las personas que ponen. 00:15:49

Que es pasarme a coordenadas polares. 00:15:50

Las mismas que con los límites. 00:15:53

¿Vale? 00:15:55

Pero luego, si ese tampoco sirve. 00:15:56

Entonces ahí es donde está el problema. 00:15:59

El problema está puesto así. 00:16:01

Porque yo tengo que inventarme el nuevo cambio de variable. 00:16:02

¿Qué sirve? 00:16:05

Para que vayas. 00:16:06

Algunos de vuestros profesores. 00:16:07

Son más o menos legales. 00:16:09

¿Y qué es lo que hacen? 00:16:11

Os dan. 00:16:12

Os dan el cambio de variable para que vosotros demostréis que sabéis utilizarlo. 00:16:13

Que sabéis la fórmula que hay que utilizar. 00:16:17

Y lo ponéis. 00:16:19

Pues claro, si ya tenéis el cambio de variable. 00:16:20

Ya te han quitado el 90%. 00:16:22

¿Vale? 00:16:24

Quien quiera apretar. 00:16:25

No te lo da. 00:16:26

Y se os tiene que ocurrir a vosotros. 00:16:27

Y para cada una. 00:16:29

Es difícil. 00:16:30

¿Vale? 00:16:31

Entonces la teoría dice los siguientes. 00:16:32

Quinto tipo. 00:16:37

Cambio de variable. 00:16:42

Uno llega a la conclusión de que tiene que hacer un cambio de variable. 00:16:45

Si ve. 00:16:48

No es un rectángulo. 00:16:49

No lo podes poner tipo 1. 00:16:52

Ni tipo 2. 00:16:54

Ni lo podes trocear. 00:16:55

Nada. 00:16:56

¿Vale? 00:16:57

Y no penséis que tiene que ser un dominio extraño. 00:16:58

Por ejemplo. 00:17:00

Un círculo. 00:17:01

Cambio de variable. 00:17:02

Un sector circular. 00:17:03

Cambio de variable. 00:17:04

Un avirse. 00:17:05

Cambio de variable. 00:17:06

O sea que tampoco tiene que ser una cosa espectacular. 00:17:07

Esto. 00:17:09

Que es el que suelen moleros muchas veces. 00:17:11

Una recta. 00:17:13

Otra recta. 00:17:15

Una hiperbola. 00:17:16

Otra hiperbola. 00:17:17

¿Ves esto de aquí adentro? 00:17:18

Bueno. 00:17:20

Pues con dos rectas y dos hipérbolas. 00:17:21

Cambio de variable. 00:17:23

Con dos parábolas y dos hipérbolas. 00:17:24

Cambio de variable. 00:17:26

Con dos parábolas y dos rectas. 00:17:27

Cambio de variable. 00:17:29

¿Vale? 00:17:30

O sea que tampoco tiene que ser un dominio de. 00:17:31

¡Hostia! 00:17:32

Me han preguntado aquí. 00:17:33

Una figura super rara. 00:17:34

Es muy fácil. 00:17:35

Que os metan este cambio de variable. 00:17:36

¿Vale? 00:17:38

Cambio de variable. 00:17:39

Ahí. 00:17:40

Sí. 00:17:41

¿Vale? 00:17:42

El cambio de variable dice lo siguiente. 00:17:59

Gracias. 00:18:09

Venga. 00:18:12

Yo empiezo aquí. 00:18:13

Me encuentro con esto. 00:18:14

E insisto. 00:18:15

Ahora. 00:18:16

Vuestros ojos tienen que ir a dos sitios a la vez. 00:18:17

Uno. 00:18:18

¿Cómo es F? 00:18:19

Dos. 00:18:20

¿Cómo es D? 00:18:21

El cambio de variable a lo mejor no lo necesito por cómo es F. 00:18:22

Pero la gran mayoría de las veces es por cómo es D. 00:18:23

¿Vale? 00:18:24

Yo digo que normalmente F lo ves y te va a ir a parir. 00:18:25

Ves D y te va a ir a parir. 00:18:26

¿Vale? 00:18:27

¿Vale? 00:18:28

¿Vale? 00:18:29

¿Vale? 00:18:30

¿Vale? 00:18:31

¿Vale? 00:18:32

¿Vale? 00:18:33

¿Vale? 00:18:34

¿Vale? 00:18:35

¿Vale? 00:18:36

¿Vale? 00:18:37

¿Vale? 00:18:38

¿Vale? 00:18:39

¿Vale? 00:18:41

Si tú quieres hacer un cambio de variable, tenemos que conseguir poner X en función 00:18:42

de dos nuevas variables e Y en función de dos nuevas variables. 00:19:00

Una vez que tengo X e Y en función de las dos variables, me tengo que hallar su matriz 00:19:07

Jacobiana. 00:19:13

Jacobiana en UU, que será derivada de X respecto de U, derivada de X respecto de U, derivada 00:19:14

de X respecto de U y derivada de Y respecto de U. 00:19:27

Una vez que hayas hallado ya la matriz Jacobiana, lo siguiente que tienes que hacer es ver si 00:19:51

ha expresado en R2 pero en las variables que quisieras, ¿vale? 00:19:56

O sea, D será este chulo, en estas variables. 00:20:01

Y D lo tienes que transformar en quienes, en las variables U y V. 00:20:15

Si el cambio de variable es bueno de verdad, D se transforma en un rectángulo. 00:20:21

Eso es lo mejor que nos puede pasar. 00:20:26

Yo ahora voy a poner D con asterisco y voy a poner también un chulo, pero pensad que 00:20:29

intentaré que sea un rectángulo y si no es un rectángulo, pues es un dominio tipo 00:20:33

1 o un dominio tipo 2. 00:20:37

Uno de los que conozco, ¿vale? 00:20:39

pues esto es un chulo. 00:20:42

Así que aquí V, U y tenemos D con asterisco. 00:20:45

Este se transforma en este. 00:20:56

Y esa transformación la tenemos que hacer nosotros. 00:20:59

Bien, en vez de hacer nosotros esta integral, ahora tenemos que hacer la integral sobre 00:21:09

D con asterisco. 00:21:16

F ya no dependerá de X y de Y porque X lo habré sustituido por lo que he puesto aquí 00:21:19

e Y lo habré sustituido por lo que he puesto aquí. 00:21:26

Luego F dependerá de U y de V. 00:21:29

Y a continuación, y por favor que no se os olvide, y aparte uno se lo olvidará. 00:21:37

De hecho a mí en la pizarra siempre olvidará, me diréis, Juanjo, se te ha olvidado el jantobiano. 00:21:41

Siempre hay que multiplicar por el jantobiano. 00:21:46

Aquí tenemos la matriz, pues ya sabéis que el jantobiano es determinante. 00:21:52

Y una vez que tenéis eso, ya se puede hacer la integral diferencial de U diferencial de 00:21:56

Y. 00:22:03

Y no se os espera que la integral de la derecha sea mejor que la integral de la izquierda. 00:22:04

Entonces voy a poner un ejemplo con este porque así me sirve para explicaros el cambio de 00:22:10

variable más típico que hemos comentado, polares. 00:22:14

Bueno, como ejemplo pongo, obtener o calcular, esa integral, fijaros que lo de adentro es 00:22:19

una miserable X, ¿vale? 00:22:38

Así que f de X, Y son los mismos. 00:22:41

Cuantos tenemos que calcular? 00:22:44

La integral de X sobre D, siendo D, es el interior de la circunferencia de radio 1. 00:22:46

O sea, el círculo de radio unidad. 00:23:10

Voy a hacer el dibujo, pues vamos a dibujar un círculo, así que, hecho. 00:23:13

Lo he subrectangulado, no me conviene utilizar dominio tipo 1 porque es un rollo en la ecuación 00:23:22

de la circunferencia despejar X en función de Y, te pican a salir raíces cuadradas, 00:23:28

y meter raíces cuadradas dentro de una integral es lo peor que podemos hacer, ¿vale? 00:23:32

Así que, anotad polares cada uno con vuestras palabras, lo siguiente. 00:23:37

Círculos, circunferencias, elipses, sectores circulares. 00:23:42

O ponéis, todo lo que tenga pinta de círculo, me paso a polares. 00:23:48

Así de simple. 00:23:53

Circunferencias, círculos, coronas circulares, elipses, sectores circulares, ¿vale? 00:23:55

Todo lo que tenga pinta de circunferencia, me paso a polares. 00:24:04

Así, que me paso a polares. 00:24:11

Y lo que voy a poner ahora de coordenadas polares, sirve siempre. 00:24:13

Por ejemplo, me voy a añadir jacobiano, una vez, yo ya no me lo vuelvo a añadir nunca. 00:24:18

Pues vosotros, en clase, si acaso os veis la pallera, cada vez que me paso a coordenadas polares 00:24:23

que tengo que añadir jacobiano, otro otro, porque siempre es el mismo. 00:24:27

Y seguramente olvidarán a los autores y fuera, ¿vale? 00:24:30

O, otra cosa es, alguno de vosotros si que ha visto, que de repente dice, apartado A. 00:24:33

El cambio a coordenadas polares demuestra que el jacobiano vale, para que todos conozcan. 00:24:38

Y claro, luego viene apartado B. 00:24:42

Una integral justo para que utilice las coordenadas de arriba. 00:24:44

¿Vale? Eso alguno de vosotros profesores lo hace. 00:24:47

Así que paso, pregunta, teoría. 00:24:49

¿Vale? 00:24:51

Pero se hace siempre igual. 00:24:52

Entonces, cambio a coordenadas polares. 00:24:54

Normalmente, los dominios me los suelen poner centrados en el origen. 00:25:04

Con cualquier puesto yo. 00:25:11

Y ahora mismo, sin ir más lejos, como he comentado, hice uno de los pruebas en el pasado con Cedric 00:25:13

y, por supuesto, no estaba centrado en el origen. 00:25:18

¿Para qué? 00:25:21

Si lo puedo descentrar y pillo más gente, lo descentro. 00:25:22

Entonces yo voy a poner coordenadas polares, si la circunferencia, la elipse, 00:25:25

lo que sea, no está centrada en el origen, sino que está en cualquier sitio. 00:25:30

Así que las pongo de manera general. 00:25:35

Así. 00:25:37

Una cuestión con la notación. 00:25:54

Mi recomendación. 00:25:56

Aunque en la teoría diga que XY lo cambio por algo en U y V, 00:25:58

cuando utilicéis coordenadas polares para hacer una integral en R2, 00:26:04

no utilicéis U y V. 00:26:09

Utilizar R, o R, como queráis, y el ángulo ticta, alfa, pi, el que os dé la gana. 00:26:11

¿Por qué no utilizo U y V? 00:26:18

¿Por qué no utilizo U y V? 00:26:21

Porque cuando lleguemos a integrales de superficie, voy a utilizar U y V. 00:26:24

Y os montáis un nío entre una y otra de mucho cuidado. 00:26:29

Y todo por la maldita U y V. 00:26:32

Termináis pensando que una integral de superficie es una integral en R2. 00:26:34

Y la hacéis como así, en R2. 00:26:38

Y, claro, se hace igual. 00:26:40

O pensáis que una de R2 es una de superficie. 00:26:42

Y os complicáis la vida. 00:26:45

Y todo por la única U. 00:26:46

Así que, siempre que me vayáis a poner R y ticta, es una integral de R2. 00:26:48

Sin embargo, cuando utilicéis coordenadas polares y pongáis U y V, 00:26:53

entonces será una integral de superficie. 00:26:57

¿Vale? 00:27:00

Parece una tontería, pero es que son integrales totalmente distintas. 00:27:01

¿De acuerdo? 00:27:04

Lo que estamos aquí. 00:27:05

Ahora yo me tengo que hallar esto. 00:27:06

A gobierno que depende de A, de R y de ticta. 00:27:11

Entonces, yo tengo que derivar. 00:27:15

X respecto de R y X respecto de ticta. 00:27:18

Y aquí abajo, la Y. 00:27:23

Estas son las dos derivadas, las cuatro derivadas que tengo. 00:27:31

Pues derivamos. 00:27:36

X0, Y0 son números. 00:27:37

Así que cuando los derivéis, 0. 00:27:40

Derivamos una constante. 00:27:42

Así que si derivo esto respecto de R, pues me queda coseno de ticta. 00:27:43

Y aquí me queda menos R, seno de ticta. 00:27:48

Y ahora aquí me queda seno de ticta y R coseno de ticta. 00:27:52

Esa es la matriz Jacobiana siempre en coordenadas polares. 00:28:00

Siempre. 00:28:04

Y el determinante siempre me da esto. 00:28:07

Jacobiana. 00:28:10

El grupo. 00:28:18

R coseno cuadrado más R seno cuadrado. 00:28:19

Eso es lo que da el determinante. 00:28:25

R coseno cuadrado y menos por menos más R seno cuadrado. 00:28:27

Por lo tanto, puedo sacar el factor común 00:28:35

y coseno cuadrado más seno cuadrado es 1. 00:28:38

Así que esto da R. 00:28:41

El Jacobiana en coordenadas polares. 00:28:44

Estas coordenadas polares. 00:28:47

Siempre salen. 00:28:50

Esto es lo que prefiero, que he hecho una vez. 00:28:52

Pues ya está. 00:28:54

Cada vez que las utilice digo, Jacobiano R. 00:28:55

Última cosa que me queda antes de montar la integral. 00:29:00

¿Quién es D con asterisco? 00:29:03

D me lo han dado ellos. 00:29:05

El círculo unidad. 00:29:08

Entonces, pensar en la cabeza. 00:29:11

¿Veis el círculo unidad? 00:29:13

¿De dónde a dónde va a ir la R? 00:29:15

Pues yo tengo que ir desde el origen de coordenadas hasta que me choque con la circunferencia de radio 1. 00:29:18

O sea que R minúscula tiene que ir del tercero hasta el uno. 00:29:24

Ya tengo los valores de R. 00:29:29

R pertenece al intervalo D. 00:29:38

¿Y el menos uno? 00:29:41

¿Por abajo no...? 00:29:43

No, no. 00:29:44

R es siempre desde el origen al punto. 00:29:45

Y R es un vector. 00:29:48

Es el módulo del vector. 00:29:49

R siempre es positivo. 00:29:50

Te da igual que apunte hacia arriba o hacia abajo. 00:29:52

O sea, tú ves un vector así, que lo vas moviendo por todo el espacio. 00:29:54

Pero siempre es positivo. 00:29:58

Si quieres que esté muy cerquita de la origen de coordenadas, pues cero. 00:30:00

Y a medida que me voy alejando, cada vez más largo. 00:30:04

Y ahora, yo quiero cubrir toda la circunferencia. 00:30:07

Por lo tanto, tía, se tiene que dar una vuelta entera. 00:30:10

Cuidado con esto. 00:30:13

Que habrá problemas donde te dirán, quiero la integral en el primer cuadrante. 00:30:15

Luego te dirá de 0 a pi medios. 00:30:18

Quiero la integral en este sitio. 00:30:21

Pues tened cuidado de dónde a dónde va. 00:30:22

¿Vale? 00:30:24

Que sería R cuadrado, ¿no? 00:30:26

No. 00:30:27

¿Dónde? 00:30:28

¿Aquí? 00:30:29

Sí. 00:30:30

Coseno por R. 00:30:33

¿Pero al sacar factor común se te queda con R cuadrado? 00:30:34

No, porque tengo una R aquí y otra R aquí. 00:30:38

Eso es lo que es un factor común. 00:30:40

¿Solo R? 00:30:42

Vale, sí, sí. 00:30:43

¿Lo vas a estar multiplicando? 00:30:44

Sí, sí. 00:30:45

Venga. 00:30:46

Tita, como acabo de comentar, en este ejercicio... 00:30:47

...tengo que dejar que se dé una vuelta entera. 00:30:52

Cero a pi. 00:30:55

¿De acuerdo? 00:30:57

O sea, D con asterisco es esto. 00:31:00

D con asterisco, que ahora son las variables R y tita... 00:31:05

...es un rectángulo. 00:31:10

Lo mejor que me puede pasar. 00:31:12

¿Vale? 00:31:19

R va de 0 a 1. 00:31:20

Tita va de 0 a 2 pi. 00:31:22

Por lo tanto es un rectángulo. 00:31:24

Porque R está entre dos números. 00:31:31

Luego el lado es 1. 00:31:33

Y tita está entre dos números. 00:31:35

Que el número, si habrá R, me da igual. 00:31:37

¿Vale? 00:31:39

Ya no pienses en vueltas. 00:31:40

Piensa que tita va desde 0 hasta la horizontal por 2 pi. 00:31:41

¿Vale? 00:31:46

Que eso es un número. 00:31:47

¿Listo? 00:31:48

A ver, hacemos la integral. 00:31:49

Ya hemos hecho la parte complicada. 00:31:51

Seguro que la integral no lo está. 00:31:53

¿Nos han puesto esta integral? 00:31:59

Y yo me cambio... 00:32:04

¿Se debería poner como menos 2 pi? 00:32:07

¿Menos? 00:32:11

No, menos igual. 00:32:12

Ah, dice que lo de menor igual. 00:32:14

Es que esto de aquí se lo que pasa, que me sale solo. 00:32:17

Da lo mismo. 00:32:20

A ver, da lo mismo ponerlo abierto o cerrado, porque esto es una integral. 00:32:21

Y el último borde de la integral no va a ningún sitio. 00:32:24

Así que aquí sí, porque por la costumbre. 00:32:28

Cerrarlo. 00:32:30

¿Vale? 00:32:32

Aquí en integral es cerrarlo. 00:32:33

¿Vale? 00:32:34

Pero que si lo dejáis abierto, tampoco va a ser nada. 00:32:35

La integral es exactamente la misma. 00:32:37

¿Vale? 00:32:39

Entonces, 0, 1... 00:32:40

0, 2 pi. 00:32:46

Yo pongo este orden, pero podría haber puesto el orden al contrario. 00:32:47

Porque los 4 son numericos. 00:32:51

¿Vale? 00:32:53

Ahora yo tengo aquí una x. 00:32:55

Eso hay que cambiarlo. 00:32:57

¿Por qué hay que cambiarlo? 00:32:58

Porque x es r coseno de eta. 00:33:00

Tened en cuenta que en este problema, x sub 0 e y sub 0 son 0. 00:33:04

Porque esta circunferencia está centrada en el origen de coordenados. 00:33:08

Así que x sub 0, y sub 0, 0. 00:33:12

Luego solo tengo que poner r coseno. 00:33:15

Lo pongo así, para que no se os olvide. 00:33:19

Que en este ejercicio, el círculo o la circunferencia está centrada en el origen de coordenados. 00:33:22

En otro, no lo está. 00:33:29

Por el zacobiano. 00:33:33

Por este. 00:33:34

Y ahora, diferencial de theta, diferencial de r. 00:33:37

Entonces... 00:33:43

Puedo empezar integrando r. 00:33:46

Puedo empezar integrando theta. 00:33:48

O, como r y theta no están mezclados, puedo integrar cada uno de ellos por separado y los multiplico. 00:33:50

Y eso es lo que voy a hacer. 00:33:58

Yo tengo aquí r al cuadrado. 00:34:00

Todos sabemos integrar r al cuadrado. 00:34:03

Así que, r al cubo, tercios. 00:34:06

Entre 0 y 1. 00:34:12

Y ahora, lo siguiente, tengo que integrar el coseno de eta. 00:34:16

Seno de eta. 00:34:20

Entre 0 y 2.000. 00:34:25

Bueno, lo tenemos terminado. 00:34:29

Porque este integral da 0. 00:34:31

Porque esto es 0. 00:34:33

Seno de 2pi es 0. 00:34:35

Y seno de 0 es 0. 00:34:37

Así que no me molesto en calcular lo otro, aunque es un tercio. 00:34:39

0. 00:34:43

¿Vale? 00:34:46

Este tipo de integral, pues así puede salir lo que quiera. 00:34:47

Positiva, negativa o 0. 00:34:50

¿Vale? 00:34:53

Exacto. 00:34:56

Para hacer el problema de Rubiniagos, prácticamente puedo decir que hago la integral como me dé la gana. 00:34:58

¿Vale? 00:35:03

Cuidado con aquellas en las que las variables estén mezcladas. 00:35:05

Si tenéis las variables r y theta mezcladas, casi siempre conviene empezar integrando theta. 00:35:10

Porque muchas veces pasa esto. 00:35:17

Como te das una vuelta entera, la trigonometría desaparece. 00:35:20

Vale, tengo aquí seno de theta. 00:35:24

Y luego tienes un mogollón así en r. 00:35:26

Claro, si tengo primero theta, me sale seno de theta entre 2pi0. 00:35:28

Y ahora me voy a seguir integrando, porque la integral de 0 siempre es 0. 00:35:32

Así que normalmente funciona muy bien empezar integrando el ángulo. 00:35:35

A lo mejor en otro caso, ¿no? 00:35:39

Fijaros que este, si en vez de dar una vuelta entera, hubiese dicho 00:35:41

No, quiero que te lo calcules solo en el primer cuadrante. 00:35:44

Claro, esto de aquí ya no sería 2pi. 00:35:48

Sería pi medios. 00:35:50

Aquí pondría pi medios y seno de pi medios es 1. 00:35:52

Ya no es 0 de integral. 00:35:55

¿Vale? 00:35:57

¿Lo habéis visto? 00:35:59

¿De acuerdo? ¿Cómo va? 00:36:00

Cambio a polares y 2. 00:36:02

Bien. 00:36:06

Otra cosa muy importante con este tipo de integrales. 00:36:10

Me ha puesto ahora últimamente muy de moda. 00:36:15

El que os pone una integral y os dice 2pi. 00:36:18

Y resulta que no se puede calcularla. 00:36:23

Porque el truco está en no puedo calcularla como ellos me dicen. 00:36:27

Pero si cambio el tipo de dominio, puedo hacerlo. 00:36:33

Así que al calcular siempre se hace un dominio. 00:36:36

Ellos os ponen una integral, por ejemplo, con un dominio tipo 1. 00:36:39

O sea, que y depende de x. 00:36:42

No lo pienses, ¿vale? 00:36:45

Pero imaginaos que os ponen algo así. 00:36:46

Te ponen algo así, ¿no? 00:36:55

Y entonces tú empiezas y dices, lo primero que tengo que hacer es integrar la y. 00:36:57

¿Vale? 00:37:02

Pero es que la y no la puedo integrar. 00:37:03

Porque e elevado a y elevado al cuadrado no se puede integrar. 00:37:06

Porque no hay ninguna función que cuando la derive me dé esto. 00:37:11

Me falta la derivada de lo de arriba. 00:37:14

Regla de la cadena. 00:37:16

O sea que por lo menos aquí delante me falta una y. 00:37:17

Entonces ellos te han montado los límites de integración para que tú no puedas hacerlo. 00:37:20

Pero tú te das cuenta que ellos lo han puesto como un dominio, por ejemplo, tipo 1. 00:37:25

¿Vale? 00:37:29

Y quieren que primero integre la y. 00:37:30

Bueno, pues lo cambio. 00:37:32

Cambio mi dibujo a dominio tipo 2. 00:37:34

Y entonces empiezo integrando la x. 00:37:36

Y me doy cuenta que al hacer el dominio tipo 2, la x va de aquí a aquí. 00:37:39

Y claro, como lo primero que hago es integrar x, esta integral se convierte en esta. 00:37:45

Y esta y, perdón, esta x va de 0 a y. 00:37:56

Aquí no hay ninguna x. 00:38:00

Todo lo que no sea una x es una constante. 00:38:02

Así lo podemos sacar por la integral. 00:38:04

Así que integro el diferencial de x. 00:38:06

Entre 0 y y. 00:38:08

Ya tengo la y. 00:38:10

Y ahora ya me da igual de dónde a dónde vaya la y. 00:38:16

Esa ya se puede hacer. 00:38:18

¿Vale? 00:38:20

Así que voy a poner algo así como aplicaciones y voy a contaros dos. 00:38:21

Una es esta, os lo escribo bien. 00:38:25

Porque ya digo que últimamente me lo están preguntando bastante. 00:38:27

En casi todos los grados siempre se me pasa alguna de... 00:38:30

Oye, ¿y esta integral me la hace esta? 00:38:33

A veces, a ver, son legales y te dicen en el enunciado. 00:38:35

Cambiando el tipo de dominio a esta integral. 00:38:38

Entonces ya te están diciendo, ojo, que tal como la he puesto no se puede. 00:38:40

Pero hay otro que no es, hazlo. 00:38:44

Y claro, tú dices, ¿qué si no puedo? 00:38:46

Vale, pues ya sabéis lo que tenéis que hacer. 00:38:48

Aplicaciones. 00:38:50

Sí. 00:38:58

Esta integral. 00:39:02

La aplicación de las normas. 00:39:05

La integración. 00:39:07

La integración de las dificultades. 00:39:08

El término. 00:39:13

Una serie de actividades. 00:39:14

La integración. 00:39:25

La integración de las normas. 00:39:26

La integración práctica. 00:39:28

La integración. 00:39:29

La integración de las normas. 00:39:30

La integración práctica. 00:39:32

Gracias. 00:39:35

Aunque pongáis algo así, ya sabéis a qué nos referimos. 00:39:47

Vale, siempre lo mismo, ¿eh? 00:39:54

Ellos te lo ponen como tipo 1, tú lo pones como tipo 2. 00:39:56

Ellos lo ponen como tipo 2, tú lo pones como tipo 1. 00:39:58

¿Vale? 00:40:05

Y luego, segunda aplicación. 00:40:08

Que también la preguntan mucho. 00:40:11

Es lo siguiente. 00:40:13

Dado el dominio. 00:40:15

Nos piden calcular su área. 00:40:23

Todas esas integrales en mates 1 y en el bachillerato que habéis estado hallando de área bajo la curva, pasaron a la historia. 00:40:34

Ahora cada vez que me halle un área, lo hago de esta manera. 00:40:42

No tengo que estar ahí dibujando y a ver de dónde a dónde va y cosas de esas. 00:40:45

Yo solo tengo que integrar siempre el número 1. 00:40:49

Sobre el dominio B. 00:40:57

Siempre tengo que integrar el número 1 sobre el dominio C. 00:41:00

Sin excepción. 00:41:04

Vale. 00:41:13

Entonces ahora me voy a calcular el área de una elipse. 00:41:15

Utilizando esto. 00:41:19

Porque así os cuento cuáles son las coordenadas polares que tenéis que utilizar si os ponen una elipse. 00:41:21

Porque hay que hacer una pequeña variación con respecto a las que os acabo de dar. 00:41:26

O sea, las que os he dado ahora. 00:41:30

Todo lo que tenga pinta de círculo. 00:41:32

Y ahora vais a ver que la de la elipse es cambiar una cosita. 00:41:34

Y ya me recuerda. 00:41:37

Vale. 00:41:39

Estamos aquí. 00:41:40

Ejemplo. 00:41:42

Ejemplo. 00:41:49

Ejemplo. 00:41:51

Calcular. 00:41:57

El área de la elipse. 00:42:08

El área de la elipse. 00:42:10

Os pongo aquí la ecuación canónica de la elipse. 00:42:17

Centro x, y 0. 00:42:24

Semillajes A y B. 00:42:26

Esa es la ecuación canónica de una elipse. 00:42:30

Normalmente x, y 0 suelen ser 0. 00:42:32

Pero no tiene por qué ser 0. 00:42:35

Bueno, pues si yo me quiero hallar el área de una elipse, tengo que hacer esto. 00:42:41

Tengo que calcular... 00:42:46

...la integral del número 1... 00:42:50

...sobre mi dominio D. 00:42:53

Donde D es la elipse. 00:42:55

Bueno, pues nos cambiamos... 00:43:02

...a coordenadas... 00:43:04

...por A y para la elipse. 00:43:06

Y estas coordenadas son así. 00:43:35

A por R por coseno de D. 00:43:42

Eso es lo que cambia. 00:43:46

El eje de las X tengo que multiplicar por una A. 00:43:47

Porque el semilleje de las X... 00:43:50

...es una A. 00:43:54

Así que el numerito que pongan aquí... 00:43:55

...le sacan la raíz cuadrada... 00:43:57

...y ese es el numerito que hay que poner aquí. 00:43:59

Que esto es un 9, pues aquí se pone un 3. 00:44:01

Que esto es un 7, pues aquí se pone raíz de 7. 00:44:03

¿Vale? Normalmente ponen números enteros. 00:44:06

25, 16, cosas así. 00:44:08

La A. 00:44:11

Lo mismo, pero con la B. 00:44:13

El numerito que tengáis ahí dividiendo en cuadrados... 00:44:19

...ese hay que ponerle 2. 00:44:22

Y ahora miradlo. 00:44:25

Eso está cubierto. 00:44:26

Y ahora miradlo. 00:44:28

Eso está cubierto. 00:44:29

Que siempre es el mismo. 00:44:31

Así que lo hallamos una vez... 00:44:34

...y ya no hay que hacerlo más. 00:44:36

¿Derivamos? 00:44:51

Derivo respecto de X... 00:44:53

...y me... 00:44:55

...perdón, respecto de X. 00:44:56

Respecto de R. 00:44:57

Queda así. 00:44:59

Respecto de A. 00:45:01

Respecto de R. 00:45:04

Y respecto de A. 00:45:08

Ahí tenemos la matriz Jacobian. 00:45:12

Y ahora ensayamos el determinante. 00:45:16

Jacobian. 00:45:19

A por B por R... 00:45:24

...coseno cuadrado. 00:45:26

Más... 00:45:29

A por B por R... 00:45:31

...seno cuadrado. 00:45:33

Ahora puedo sacar factor común A por B por R. 00:45:36

Y nos queda coseno cuadrado más seno cuadrado... 00:45:40

...que todos sabemos que es 1. 00:45:42

Por tanto, este es el Jacobian. 00:45:45

Siempre en una luz A por B por R. 00:45:48

Cuando utilizo las coordenadas polares normales y correctas... 00:45:51

...lo siguiente es R. 00:45:55

¿De acuerdo? 00:46:02

Ahora necesito los límites... 00:46:04

...de R... 00:46:06

...quizá. 00:46:07

O sea, tengo que poner, tienes ahora... 00:46:09

...D con asterisco. 00:46:11

Muy bien. 00:46:12

D con asterisco... 00:46:14

...es... 00:46:18

Yo quiero cubrir toda la lista. 00:46:21

Bueno, pues R... 00:46:23

...con estas coordenadas... 00:46:24

...siempre va de 0 a 1. 00:46:27

Siempre. 00:46:29

A ver, no es siempre eso que os gustan tanto. 00:46:30

Pero con estas. 00:46:33

Como ponga otras... 00:46:34

...para calcular un elipse... 00:46:36

...vededos a ver. 00:46:37

Si utilizáis estas... 00:46:39

...R va siempre de 0 a 1. 00:46:40

Y luego, el ángulo... 00:46:47

...pues depende de la parte de elipse que estemos cogiendo. 00:46:48

Aquí la estoy cogiendo entera... 00:46:51

...por lo que quiero hallar... 00:46:52

...todo el área del elipse. 00:46:53

Así que como me quiero hallar toda... 00:46:55

...tengo que dejar que quita... 00:46:57

...de una vuelta entera. 00:47:00

Si me queríais en la cuarta parte... 00:47:02

...pues de 0 a 1. 00:47:04

Si me queríais en la mitad... 00:47:05

...pues de 0 a 1. 00:47:06

Lo que digo. 00:47:07

¿Vale? 00:47:09

Pues ya lo tengo todo para sustituirlo aquí. 00:47:11

Así que... 00:47:14

...el área de los anténidos... 00:47:15

...es... 00:47:22

...la integral... 00:47:24

...entre 0 y 1... 00:47:25

...la integral... 00:47:27

...entre 0 y 2 pi. 00:47:28

Eso solo limita la integración. 00:47:30

Tengo dentro un número 1... 00:47:32

...así que no tengo nada que sustituir dentro... 00:47:34

...porque no puedo sustituir en el número 1. 00:47:36

Ya no le pongo el número 1. 00:47:38

Tengo que poner el Jacobiano... 00:47:40

...que no se olvide... 00:47:42

...que esto es un cambio variable. 00:47:43

Luego, cuando estoy haciendo un cambio variable... 00:47:44

...siempre hay que multiplicar con el Jacobiano. 00:47:46

A por B por R. 00:47:49

A por B por R. 00:47:51

Diferencial de theta... 00:47:54

...diferencial de R. 00:47:55

Juanjo, ¿podrías decir por qué de asterisco es esto? 00:47:57

De asterisco es esto... 00:48:00

...porque con estos cambios de variable... 00:48:02

...R siempre va de 0 a 1... 00:48:04

...en la elipse. 00:48:06

Y con este cambio. 00:48:08

Siempre. 00:48:09

Y como me quiero dar una vuelta entera en la elipse... 00:48:11

...theta, tengo que dejar que dé una vuelta entera. 00:48:13

O sea, que es como en el ejemplo anterior del círculo. 00:48:15

Exacto. 00:48:17

Bueno, en el ejemplo anterior íbamos de 0 a 1... 00:48:19

...porque radio es radio. 00:48:21

Si el radio del círculo hubiese sido 9... 00:48:22

...pues habría dicho de 0 a 9. 00:48:24

Aquí, sin embargo, sea como sea la elipse... 00:48:26

...siempre vas de 0 a 1. 00:48:29

Da igual que la elipse sea chiquitita... 00:48:31

...que esté en vertical, que esté en horizontal... 00:48:33

...que sea súper grande... 00:48:35

...darme igual. 00:48:36

Porque ya he puesto A y B. 00:48:37

Ya tengo en cuenta la longitud de los ejes. 00:48:39

Por eso es que siempre va de 0 a 1. 00:48:42

Bien. 00:48:44

En el anterior ejercicio dijimos que estaba... 00:48:45

...de 0 a 9. 00:48:47

¿Puede ser que también quede un radio de 3 a 9? 00:48:48

Entonces sería una corona. 00:48:51

Sí, lo puedes hacer. 00:48:53

Es igual. 00:48:54

Entonces tú dices que R va de 3 a 9. 00:48:55

Y cubres la corona. 00:48:58

Es cuando te ponen a 2. 00:49:00

¿Y te lo están viendo? 00:49:03

Calcúlate la integral de I en C sobre la corona circular... 00:49:06

...radio menor 3, radio mayor 9. 00:49:11

Pues entonces R', tú dices... 00:49:14

...que empiezan 3, terminan 9. 00:49:16

Como me quiero dar una vuelta entera... 00:49:18

...el ángulo, pero de aquí. 00:49:20

Venga. 00:49:22

¿Vale? 00:49:23

Bien. 00:49:24

Hacemos esta integral, que es de coña. 00:49:26

Ahí ves los números. 00:49:28

Luego R cuadrado medios... 00:49:30

...la integral de R... 00:49:33

...entre 0 y 1. 00:49:38

Y como no hay tita, tengo que integrar la diferencial de tita, que es tita. 00:49:41

Entre 0 y 2pi. 00:49:48

Así que me queda AB por 1 medio por 2pi. 00:49:52

Simplifico el 2 con el 1 medio. 00:49:57

Y este será el área de una lista. 00:49:59

Pi por A por B. 00:50:01

Cuando A y B son iguales... 00:50:06

...tenemos una circunferencia. 00:50:08

Y entonces me queda pi por R cuadrado... 00:50:10

...el área del círculo. 00:50:12

¿Vale? 00:50:15

Esto es un ejemplo muy sencillo... 00:50:17

...de... 00:50:19

...cómo me piden áreas de cosas. 00:50:20

Vamos a tirar ahora de... 00:50:24

...exámenes... 00:50:26

...y... 00:50:27

...veis en un momento las cosas de verdad. 00:50:28

... 00:50:40

... 00:50:42

... 00:50:44

... 00:50:46

... 00:50:48

... 00:50:50

... 00:50:52

... 00:50:54

... 00:50:56

Este... 00:50:58

...le preguntaron la energía... 00:51:00

...eh... 00:51:02

...uno del 22. 00:51:04

Os escribo aquí solo el primer apartado... 00:51:10

...porque el segundo apartado es calcular un volumen... 00:51:12

...ahora vamos a meternos con las... 00:51:14

...enumeraciones de MP3... 00:51:16

...y es donde tenemos calculados los volúmenes, ¿vale? 00:51:18

Y luego lo hacemos en el apartado. 00:51:20

Entonces, apartado... 00:51:22

...lo único que pone por aquí arriba... 00:51:24

...es la fecha... 00:51:26

... 00:51:30

... 00:51:32

...21 del sitio 22. 00:51:34

Ejercicio número 5. 00:51:36

Y bueno... 00:51:42

...en las siguientes integrales... 00:51:44

...además de obtener... 00:52:02

... 00:52:06

...el valor requerido... 00:52:12

...por representa... 00:52:14

...y o... 00:52:18

...describe... 00:52:22

...el recinto de integración. 00:52:32

El dibujito que os he dicho... 00:52:34

...que normalmente... 00:52:36

...lo que... 00:52:38

...según sea, conveniente. 00:52:40

Y bien... 00:52:50

...apartado ahora... 00:52:52

...este integrado. 00:52:54

... 00:52:56

... 00:52:58

... 00:53:02

... 00:53:04

... 00:53:06

... 00:53:08

...así. 00:53:10

La integral... 00:53:12

...entre 0... 00:53:14

...y 1... 00:53:16

...de la integral... 00:53:18

...así... 00:53:22

... 00:53:26

... 00:53:28

... 00:53:30

... 00:53:32

... 00:53:34

... 00:53:36

de... 00:53:38

... 00:53:40

... 00:53:42

... 00:53:44

al topar... 00:53:46

...ésta la integramos... 00:53:52

¿Vale? 00:53:54

Para no ser cortadas, lo primero... 00:53:56

...vamos a representar... 00:53:58

...entonces, D como tal no aparece en el enunciado... 00:54:00

...tengo que fijarme en los límites de integración... 00:54:02

...y yo ser capaz de sacar quien es D... 00:54:04

...y representarlo... 00:54:06

...entonces... 00:54:08

...mirando los límites de integración... 00:54:10

...D... 00:54:12

... 00:54:14

...es... 00:54:16

...fijaos que... 00:54:18

...X es la primera que tengo que integrar... 00:54:20

...y depende de Y... 00:54:22

...luego yo tengo... 00:54:24

...X en función de Y... 00:54:26

...y luego Y... 00:54:28

...que es la segunda que tengo... 00:54:30

...dos numeritos... 00:54:32

...así que me han puesto el dominio con un dominio tipo 2... 00:54:34

...así es como me lo han puesto... 00:54:36

...pues así es como lo voy a representar... 00:54:38

...¿Vale? Este dominio... 00:54:40

...es tipo 2... 00:54:42

...porque X... 00:54:46

...está en función de Y... 00:54:48

...en función de Y... 00:54:50

...y...entre dos números... 00:54:52

...este es el límite inferior... 00:54:56

...es lo que antes cuando os he contado la teoría... 00:54:58

...a esto lo he llamado X sub 1... 00:55:00

...y esto de aquí arriba he dicho que era X sub 2... 00:55:02

...luego la X va... 00:55:04

...desde esta raíz... 00:55:06

...hasta el numerito de arriba... 00:55:10

...esto es X... 00:55:12

...esto es un 6... 00:55:14

...6 raíz cuadrada... 00:55:16

...de 1-X sub 1... 00:55:18

...y ahora la Y... 00:55:20

...entre 2 numeritos... 00:55:22

...¿Vale? 00:55:30

...esto es X sub 2... 00:55:34

...y esto es X sub 2... 00:55:36

...y esto es X sub 2... 00:55:38

...esto... 00:55:41

...es esto... 00:55:43

...dice Y O... 00:55:45

...así que yo lo habría hecho... 00:55:47

...utilizando el O... 00:55:49

...¿Vale? Bueno pues yo voy a hacer el Y... 00:55:51

...entonces así lo tenéis de las dos maneras... 00:55:53

...escrito analíticamente... 00:55:55

...ahora lo voy a dibujar... 00:55:57

...por lo tanto... 00:55:59

...todo veo que está en el primer cuadrante... 00:56:01

...la Y va entre 0 y 1... 00:56:03

...si la Y va entre 0 y 1... 00:56:05

...o si la Y va cuando va de 0... 00:56:07

...también entre 0 y 1... 00:56:09

...así que dibujo en el primer cuadrante... 00:56:11

...casi todos los dibujos que os ponen... 00:56:13

...ojo, casi todos... 00:56:15

...son en el primer cuadrante... 00:56:17

...en cuanto no son en el primer cuadrante... 00:56:19

...porque son circunferencias... 00:56:21

...y de seguida dibujan todos lados... 00:56:23

...pero podrían poner más cuadrantes, por supuesto... 00:56:27

...la Y va... 00:56:33

...entre 0 y 1... 00:56:35

...o sea que yo por aquí... 00:56:37

...hago así... 00:56:39

...y digo que esto es el 1... 00:56:41

...por ahí está mi toque, para la Y... 00:56:45

...y luego la X... 00:56:47

...la X empieza en una función... 00:56:49

...que ahora tengo que dibujar... 00:56:51

...pero termina en el 1... 00:56:53

...así que si yo dibujo una vertical por el 1... 00:56:55

...ahí muere la X... 00:56:57

...así que mi dibujo está por aquí... 00:57:01

...en este cuadro... 00:57:03

...ahora yo tengo que dibujar... 00:57:05

...esa función... 00:57:07

...X igual... 00:57:09

...a la raíz cúbica de Y... 00:57:13

...eso es Y, ¿vale?... 00:57:15

...a Y igual... 00:57:17

...a Y... 00:57:19

...si le doy al fumo, es lo mismo... 00:57:21

...a mí me resulta siempre, y a mí y a todo... 00:57:23

...no resulta más fácil dibujar Y en función de X... 00:57:25

...porque es lo que estamos acostumbrados... 00:57:27

...¿vale? pues ya está, despejada de ahí... 00:57:29

...eso es una cúbica... 00:57:31

...¿de acuerdo?... 00:57:33

...cuando X vale 0, esto vale 0... 00:57:35

...y cuando X vale 1... 00:57:37

...Y vale 1... 00:57:39

...y no rompáis mucho la cabeza que me da igual como vaya entre medias... 00:57:41

...yo lo voy a dibujar bien... 00:57:43

...porque esta cúbica es... 00:57:45

...¿vale?... 00:57:47

...hace así... 00:57:49

...porque tiene un punto de inflexión... 00:57:51

...en el 0... 00:57:53

...pero que tampoco que si queréis dibujar un churro así... 00:57:55

...queda lo mismo... 00:57:59

...¿vale?... 00:58:01

...entonces, churro hace así... 00:58:03

...y desde aquí dibuja... 00:58:05

...algo así... 00:58:07

...que es el arco que va entre el punto 0,0... 00:58:09

...y el punto 1,1... 00:58:11

...¿de acuerdo?... 00:58:13

...esa es mi cúbica... 00:58:15

...esto que acabo de poner aquí... 00:58:17

...es Y igual... 00:58:19

...a X igual... 00:58:21

...entonces, ellos... 00:58:25

...me han puesto el dominio... 00:58:27

...de la siguiente manera... 00:58:29

...han metido una línea horizontal... 00:58:31

...y han llegado que la conclusión es que el dominio... 00:58:33

...era eso que he escrito allí por detrás... 00:58:35

...os he puesto antes que los dominios de tipo 2... 00:58:37

...con una horizontal... 00:58:39

...así... 00:58:43

...fijaros... 00:58:45

...X va desde aquí... 00:58:47

...y aquí X va en la raíz cúbica de Y... 00:58:49

...y termina aquí... 00:58:51

...en el 1... 00:58:53

...empieza en la raíz cúbica... 00:58:55

...y termina en el 1... 00:58:57

...y ahora fijaros en la horizontal... 00:58:59

...la horizontal del punto más bajo en el que puede estar... 00:59:01

...es aquí... 00:59:03

...donde Y va de 0... 00:59:05

...y a medida que la vais subiendo... 00:59:07

...la horizontal se va estrechando... 00:59:09

...y me barre todo el área... 00:59:11

...el área D es esto de aquí abajo... 00:59:13

...¿vale?... 00:59:15

...esto que rayo así es D... 00:59:17

...empieza la Y en el 0... 00:59:23

...y termina en ese punto de ahí arriba... 00:59:25

...donde Y va de 0... 00:59:27

...Y va de 0... 00:59:29

...a 1... 00:59:31

...bueno pues ya hemos respondido... 00:59:33

...a toda esta primera parte... 00:59:35

...representa y o describe... 00:59:37

...ahora nos queda esta... 00:59:39

...calcula que la integramos... 00:59:41

...bien... 00:59:43

...que al igual que has puesto que... 00:59:45

...X es igual a... 00:59:47

...la raíz cúbica de Y... 00:59:49

...¿puedes poner como que Y es igual a... 00:59:51

...X al cubo en la parte de la integral... 00:59:53

...a la hora de definirla... 00:59:55

...aquí... 00:59:57

...eso es cambiarte de tipo de dominio... 00:59:59

...no lo puedes poner directamente ahí... 01:00:01

...¿vale?... 01:00:03

...si te vas a cambiar de tipo de dominio... 01:00:05

...ponle otra vez quien va a ser D... 01:00:07

...para poner bien los límites... 01:00:09

...porque luego podes cambiar los de la Y... 01:00:11

...¿vale?... 01:00:13

...¿perdón?... 01:00:15

...porque X es 1... 01:00:17

...¿porque X es 1?... 01:00:19

...porque lo dice aquí... 01:00:21

...va desde aquí... 01:00:23

...y termina en el 1... 01:00:25

...empieza en el 0... 01:00:29

...y termina en el 1... 01:00:31

...por eso he dibujado con la Y 1... 01:00:33

...la X 1... 01:00:35

...y he dicho mi dibujo tiene que estar encerrado ahí dentro... 01:00:37

...¿vale?... 01:00:41

...bien... 01:00:43

...con este orden... 01:00:47

...tenemos que empezar a integrar... 01:00:49

...y no tiene que estar encerrado... 01:00:53

...¿cómo se integra?... 01:00:55

...la raíz cuadrada de 1 menos X a la cuarta... 01:00:57

...porque no tengo la raíz cuadrada de lo de dentro... 01:00:59

...cambio de variable trigonometrico... 01:01:09

...eso que está en mates 1... 01:01:11

...que lo habéis hecho hace 10 minutos... 01:01:13

...¿vale?... 01:01:15

...a ver... 01:01:17

...normalmente... 01:01:19

...ya apretarán lo que quieran... 01:01:21

...y ya les va a ir conociendo... 01:01:23

...lo suyo es no meter... 01:01:25

...las cosas de mates 1... 01:01:27

...dicho lo cual... 01:01:29

...algunos no pasan por eso... 01:01:31

...y hay que hacerlo por partes... 01:01:33

...y luego de repente te encuentras con un cambio de variable... 01:01:35

...no es lo habitual... 01:01:37

...lo habitual es que las integrales... 01:01:39

...que ponen como tal... 01:01:41

...sean sencillas... 01:01:43

...así que deberéis utilizar mucha trigonometría... 01:01:45

...pero no cambios de variable trigonometrico... 01:01:47

...deberéis utilizar... 01:01:49

...fórmulas de trigonometría... 01:01:51

...por ejemplo... 01:01:53

...esto de aquí es el seno del ángulo doble, lo pongo... 01:01:55

...esto de aquí es el coseno del ángulo doble, lo pongo... 01:01:57

...ese tipo de fórmulas... 01:01:59

...porque me reducen las integrales y me resulta más fácil... 01:02:01

...eso sí... 01:02:03

...pero no un cambio de variable trigonometrico... 01:02:05

...eso no suele pasar... 01:02:07

...por lo tal... 01:02:09

...¿y si me cambio de tipo de doble?... 01:02:11

...¿y si empiezo integrando la Y?... 01:02:13

...pues echarle un vistazo... 01:02:15

...no pierdo nada... 01:02:17

...esta ya sé cómo la tengo que hacer... 01:02:19

...esta ya sé que me tengo que meter en un cambio de variable trigonometrico... 01:02:21

...o sea que esto va a ser echarle un lado... 01:02:23

...bueno pues... 01:02:25

...como esta ya sé cómo hay que hacerla... 01:02:27

...vamos a darle la vuelta... 01:02:29

...a ver si es más sencillo... 01:02:31

...¿de acuerdo?... 01:02:33

...pues este mismo dibujo... 01:02:35

...le voy a poner como dominio tipo 1... 01:02:37

...lo escribo aquí... 01:02:39

...y lo escribimos... 01:02:41

...cambiamos... 01:02:45

...el tipo de dominio... 01:02:47

...¿vale?...anotadlo por ahí... 01:02:57

...que cambio el tipo de dominio... 01:02:59

...porque empezar con la X me tengo que ir con los dos pies... 01:03:01

...¿vale?... 01:03:03

...supongo un cambio de variable trigonometrica... 01:03:05

...y no está fuera la vuelta... 01:03:07

...si al final no queda otra... 01:03:09

...no la compras... 01:03:11

...¿vale?...ahora tengo que ver todo... 01:03:15

...en formato vertical... 01:03:17

...el negro... 01:03:19

...meto una línea vertical entre B... 01:03:27

...y ahora... 01:03:31

...X tengo que ponerla entre dos números... 01:03:33

...así que fijaros en el eje de las X... 01:03:35

...y la X empieza en el 0... 01:03:37

...porque empieza en el origen de coordenadas... 01:03:39

...y termina en el 1... 01:03:41

...porque termina en la vertical X igual a 1... 01:03:43

...¿está claro eso, no?... 01:03:45

...así que D es... 01:03:47

...XI... 01:03:49

...y ahora X... 01:03:51

...D0... 01:03:55

...porque la línea que yo he dibujado en negro... 01:03:57

...lo más a la izquierda que puede estar es en el 0... 01:03:59

...y lo más a la derecha... 01:04:01

...en el 1... 01:04:03

...y ahora... 01:04:05

...¿dónde empieza la línea en negro?... 01:04:07

...en el eje... 01:04:09

...y el eje Y vale 0... 01:04:11

...y ¿dónde termina... 01:04:13

...siempre la línea en negro?... 01:04:15

...en la curva en azul... 01:04:17

...y la curva en azul... 01:04:19

...Y es X al cubo... 01:04:21

...no cometéis el error... 01:04:23

...de coger la línea en negro... 01:04:25

...y ponerla justo ahí... 01:04:27

...y decís... 01:04:29

...dejadlo, ¿no?... 01:04:31

...materna, siempre en el negro... 01:04:33

...no en los bordes... 01:04:35

...porque os va a llevar error... 01:04:37

...si yo meto la línea como he puesto... 01:04:39

...esta empieza en 0... 01:04:41

...y termina en esa curva... 01:04:43

...y esa curva Y vale X al cubo... 01:04:45

...por eso lo que escribo aquí... 01:04:47

...que Y va de 0... 01:04:49

...a X al cubo... 01:04:53

...¿eso ha quedado claro?... 01:04:57

...¿cómo he cambiado de dominio tipo 2... 01:04:59

...a dominio tipo 1?... 01:05:01

...bien... 01:05:11

...pues ahora... 01:05:13

...lo que tendremos que hacer es... 01:05:15

...replantear la integral que me he puesto... 01:05:17

...a ver si como estoy tipo 1... 01:05:19

...es mejor... 01:05:21

...y si no, pues somos periódico... 01:05:23

...me voy aquí arriba... 01:05:27

...a ver... 01:05:31

...la integral ahora es... 01:05:39

...X... 01:05:41

...entre 0 y 1... 01:05:43

...a casualidad que son los mismos... 01:05:45

...pero yo primero... 01:05:47

...tengo que integrar la Y... 01:05:49

...y la Y va ahora de 0 a X al cubo... 01:05:51

...0... 01:05:53

...a X al cubo... 01:05:55

...lo de dentro no se toca... 01:05:57

...no se toca... 01:05:59

...pero ahora empiezo con la Y... 01:06:03

...y continúo con la X... 01:06:05

...eso si cabe... 01:06:07

...por lo tanto... 01:06:11

...yo empiezo a integrar la Y... 01:06:13

...así que ahora la raíz no me molesta... 01:06:15

...porque en la raíz no hay Y... 01:06:17

...así que para mí la raíz cuadrada... 01:06:19

...esa que me han puesto es una constante... 01:06:21

...luego... 01:06:23

...esta raíz con el número 6... 01:06:25

...y una pieza integral que lleva... 01:06:27

...lo único que tenemos que integrar es esto... 01:06:29

...y la integral de diferencial de Y... 01:06:31

...es Y... 01:06:33

...así... 01:06:43

...entre 0... 01:06:45

...y X al cubo... 01:06:47

...y ahora ahí tengo... 01:06:49

...X al cubo... 01:06:51

...menos 0... 01:06:53

...6X al cubo... 01:06:55

...6X al cubo... 01:06:57

...y esta raíz la pongo así... 01:06:59

...porque ahora... 01:07:03

...si que voy a poder hacer la integral... 01:07:05

...porque eso es una potencia... 01:07:07

...ya que casi tengo la derivada de lo dentro... 01:07:09

...la derivada de lo dentro es menos 4... 01:07:13

...X al cubo... 01:07:15

...el menos 4 no es un problema... 01:07:17

...multiplico por menos 4... 01:07:19

...divido por menos 4... 01:07:21

...y el 6... 01:07:23

...sale tumbado fuera de la integral... 01:07:25

...así que... 01:07:27

...6 como divido entre menos 4... 01:07:29

...divido entre menos 4... 01:07:31

...y aquí dentro... 01:07:35

...he multiplicado por menos 4... 01:07:37

...bien... 01:07:39

...claro, esto... 01:07:47

...el de arriba menos el de abajo... 01:07:49

...vale... 01:07:51

...ahora está ya sin la potencia... 01:07:59

...por lo tanto... 01:08:05

...queda...voy simplificando... 01:08:07

...menos 3 medios... 01:08:09

...y ahora me quedaría... 01:08:11

...1... 01:08:13

...menos X a la cuarta, 1 medio más 1... 01:08:15

...3 medios... 01:08:17

...dividido, 1 medio más 1... 01:08:19

...3 medios... 01:08:21

...y todo esto entre 0 y 1... 01:08:23

...así... 01:08:27

...3 medios multiplicando... 01:08:31

...3 medios dividiendo... 01:08:33

...fuera los 3 medios... 01:08:35

...vale... 01:08:41

...aquí tengo un signo menos... 01:08:43

...vale... 01:08:45

...voy a hacer una cosa... 01:08:47

...lo hago yo...no significa que lo tengáis que hacer vosotros... 01:08:51

...pero como yo me conozco... 01:08:53

...sé que estos signos menos me los termino comiendo... 01:08:55

...entonces yo hago lo siguiente... 01:08:57

...cuando veo un signo menos... 01:08:59

...y tengo que hacer el de arriba... 01:09:01

...menos el de abajo... 01:09:03

...lo hago al revés... 01:09:05

...y hago el de abajo... 01:09:07

...menos el de arriba... 01:09:09

...que yo sé que eso es multiplicar e integrar por menos 1... 01:09:11

...así que este signo menos... 01:09:13

...ni le tengo contra... 01:09:15

...desaparece... 01:09:17

...pero lo hago al revés... 01:09:19

...el de abajo menos el de arriba...pero lo hago yo... 01:09:21

...no tenéis por qué hacerlo vosotros... 01:09:23

...si no, vosotros ponéis menos... 01:09:25

...abrís un paréntesis... 01:09:27

...el de arriba menos el de abajo... 01:09:29

...¿entendido?... 01:09:31

...lo voy a hacer como lo haría vosotros primero... 01:09:33

...pero luego veréis que yo muchas veces lo hago al revés... 01:09:35

...si hago el de arriba... 01:09:37

...menos el de abajo... 01:09:39

...sustituyo aquí por 1... 01:09:41

...cero... 01:09:43

...menos... 01:09:45

...y ahora tengo que sustituir... 01:09:47

...el de abajo... 01:09:49

...sustituyo aquí...y me queda 1 elevado a 3 medios... 01:09:51

...o sea 1... 01:09:53

...y menos por menos... 01:09:57

...más... 01:09:59

...así que se integra... 01:10:01

...¿vale?... 01:10:03

...y hemos podido calcular... 01:10:05

...¿vale?... 01:10:07

...ojo... 01:10:09

...esta integral puede ser positiva... 01:10:11

...negativa...o cero... 01:10:13

...cuando os piden una área... 01:10:15

...tiene que ser positiva sí o sí... 01:10:17

...no existen áreas negativas... 01:10:19

...y mucho menos cero... 01:10:21

...si la tengo delante de la nariz es como va a dar... 01:10:23

...pero esto no es un área... 01:10:25

...esto es un campo escalar... 01:10:27

...lo que hay dentro de la integral... 01:10:29

...que estoy evaluándolo... 01:10:31

...sobre este dominio... 01:10:33

...ahora bien... 01:10:35

...podéis echar siempre el siguiente vistazo... 01:10:37

...el dominio... 01:10:39

...es en el primer cuadrante... 01:10:41

...luego todas las X... 01:10:43

...y todas las Y que yo cojo... 01:10:45

...son positivas... 01:10:47

...y esto de aquí... 01:10:49

...en el primer cuadrante... 01:10:51

...y X como mucho puede valer 1... 01:10:53

...esto de aquí dentro es positivo... 01:10:55

...porque es 1 menos algo... 01:10:57

...y ese algo como mucho vale 1... 01:10:59

...así que si algo positivo... 01:11:01

...lo estoy integrando sobre algo positivo... 01:11:03

...me tiene que dar positivo... 01:11:05

...no sé el número... 01:11:07

...pero si esto me hubiese salido menos 5... 01:11:09

...mosqueados... 01:11:11

...lo que pasa es que ese tipo de comprobacias nunca valen... 01:11:13

...y si me falto a lo mejor me sigue... 01:11:17

...porque a lo mejor me he confundido en una chorrada de signos... 01:11:19

...no me tiene que dar menos 5... 01:11:21

...me tiene que dar más 5... 01:11:23

...y lo pilláis... 01:11:25

...esa es un poco para la tradición social... 01:11:27

...me voy en menos... 01:11:29

...de acuerdo... 01:11:31

...problema de examen... 01:11:33

...vuestro...y ya habéis visto... 01:11:35

...dice que hay que cambiar el dominio... 01:11:37

...pero no lo dice... 01:11:39

...y hay que cambiar el dominio... 01:11:41

...este es algo que me rejería... 01:11:43

...que es lo último que están poniendo siempre... 01:11:45

...y lo hacen muchos...os plantan una... 01:11:47

...empezáis a intentar hacerla... 01:11:49

...quedaros enfregados que los habíamos metido si lo hacemos de la primera manera... 01:11:51

...acuérdate de cuál es el cambio... 01:11:53

...suponemos que te acuerdas... 01:11:57

...el cambio...y todos sabemos... 01:11:59

...por más que es uno...que con cricolometría esas integrales... 01:12:01

...los haríamos rápido... 01:12:03

...bueno...pues eso es... 01:12:07

...entonces...ahora... 01:12:11

...os voy a explicar integrales en R3... 01:12:13

...porque vista las de R2... 01:12:15

...resulta muy sencilla la explicación... 01:12:17

...porque lo único que tengo que hacer es... 01:12:19

...subir una división... 01:12:21

...integrales en R3... 01:12:23

...integrales en R3... 01:12:25

...tenéis todo esto ya... 01:12:27

...pues me lo voy a quitar todo de cara... 01:12:29

...¿estáis listos para copiar? 01:12:31

...pues vamos... 01:12:55

... 01:13:25

... 01:13:29

... 01:13:33

... 01:13:37

...vale... 01:13:41

...todas las funciones que ustedes van a poner dentro son continuas... 01:13:43

...pero bueno...o si a alguien le damos preguntas... 01:13:45

...algo raro...en plan... 01:13:47

... 01:13:49

... 01:13:51

... 01:13:53

... 01:13:55

...vale...aquí tenemos ahora una pegada... 01:13:57

...el equivalente a rectángulo... 01:13:59

...es una caja de zapatos... 01:14:01

...vale...paralelo y equilibrado... 01:14:03

...pero para todos nosotros... 01:14:05

...una caja de zapatos... 01:14:07

...que es el primer tipo de dominio que vamos a poner... 01:14:09

...el FAP...vale... 01:14:11

...así que...tipos de dominios... 01:14:13

... 01:14:15

... 01:14:17

... 01:14:19

... 01:14:21

... 01:14:23

... 01:14:25

... 01:14:27

... 01:14:29

... 01:14:31

... 01:14:33

... 01:14:35

... 01:14:37

... 01:14:39

... 01:14:41

... 01:14:43

... 01:14:45

... 01:14:47

... 01:14:49

... 01:14:52

... 01:15:04

... 01:15:06

... 01:15:10

... 01:15:12

... 01:15:14

... 01:15:17

... 01:15:21

... 01:15:24

... 01:15:26

... 01:15:28

... 01:15:31

... 01:15:33

... 01:15:36

... 01:15:39

... 01:15:41

Así... 01:15:49

Si cambiáis el orden de las variables, la integral es... 01:15:52

...la misma. 01:15:55

Así que empezáis por la que más la veo. 01:15:57

¿Vale? 01:16:05

Y yo ahora voy a poner solo... 01:16:07

...uno de los tipos. 01:16:09

Antes he puesto tipo 1 o tipo 2. 01:16:11

Porque ahora aquí saldrían tres distintos. 01:16:13

Pero yo voy a poner el más típico. 01:16:15

Que casi siempre es el mismo. 01:16:17

Cuando salga en un curso de ejemplo otro distinto, pues a otro referencia. 01:16:19

Y es ver las cosas en vertical. 01:16:22

¿Vale? 01:16:25

Entonces, es lo que se llama dominio tipo 1. 01:16:27

... 01:16:40

Y aquí vamos. 01:16:48

Cuando yo veo las cosas en vertical. 01:16:50

¿Vale? 01:16:53

Z queda encerrada entre dos funciones... 01:16:55

...que dependen de X y de Y. 01:16:59

Así que yo voy a tener a Z así. 01:17:02

A Z1... 01:17:10

...me oiréis decir un montón de veces... 01:17:12

...esto es el suelo. 01:17:14

Y Z2... 01:17:19

...diremos que es el techo. 01:17:21

Z1... 01:17:25

...las superficies sobre las que yo muevo mis pies. 01:17:27

Y Z2... 01:17:29

...pues si levanto la cabeza, la que veo. 01:17:31

X e Y... 01:17:35

...pueden ser cualquier dominio de R2... 01:17:37

...que hemos visto antes. 01:17:40

Así que simplemente escribo así. 01:17:42

X y Y... 01:17:45

...pertenecerán a un dominio... 01:17:47

...T con asterisco. 01:17:49

¿Dónde? 01:17:51

T con asterisco puede ser... 01:17:56

...cualquier tipo visto en R2. 01:18:07

Puede ser un rectángulo... 01:18:13

...puede ser un dominio tipo 1... 01:18:15

...puede ser un dominio tipo 2... 01:18:17

...puede ser que me tenga que cambiar la coordenada por aires... 01:18:19

...lo que sea. 01:18:21

O sea, el truco, digamos, es... 01:18:26

...intentar quitarme la Z a lo más rápido posible. 01:18:28

Y una vez que me he quitado la Z... 01:18:30

...ya no tengo que invertirte. 01:18:32

Tengo que invertir doble la real. 01:18:34

Por eso los planteantes son tan importantes. 01:18:36

Porque éstas simplemente los planteas... 01:18:38

...y las Z normalmente te van a quitar en tu lugar. 01:18:40

Y ya estás en integrales de R. 01:18:42

¿Vale? 01:18:44

Bueno, hay algunas de las integrales... 01:18:48

...que os piden... 01:18:50

...que ni molestes. 01:18:52

Así que hay que hacer cambio de variable. 01:18:54

Pero los dos cambios de variable que utilizamos... 01:18:56

...aquí sí que son siempre lógicos. 01:18:58

Pero son importantísimos, ¿eh? 01:19:00

Así que tenedlos en cuenta porque los vamos a utilizar... 01:19:02

...muchas veces. 01:19:04

Es... 01:19:10

...cambio de variable. 01:19:12

No nos cuadra la integral para hacerla directamente... 01:19:26

...y nosotros queremos transformar... 01:19:28

...lo de dentro, el dominio... 01:19:30

...las dos cosas... 01:19:32

...con un cambio de variable. 01:19:34

Entonces... 01:19:36

...primer cambio de variable. 01:19:38

Ordenadas cinímicas. 01:19:40

Este. 01:19:54

Como si fuesen... 01:19:56

...unas polares... 01:19:58

...en X e Y. 01:20:02

Y la Z sigue siendo Z. 01:20:04

¿Vale? 01:20:08

De forma que yo paso... 01:20:10

...de mis coordenadas cartesianas... 01:20:12

...a mis coordenadas polares. 01:20:16

Y hay que respetar el orden. 01:20:18

Estas son las coordenadas... 01:20:20

...perdón, polares. 01:20:22

Cinímicas. 01:20:24

R, Z, Z. 01:20:26

Siempre S2. 01:20:28

Los tendríamos que hacer en esta gobierno. 01:20:32

Eh... 01:20:36

...les voy a poner con toda. 01:20:38

¿Vale? 01:20:40

Porque, bueno, este es fácil. 01:20:42

A ver, habría que hacer esto. 01:20:44

Tendríamos que hacer... 01:20:48

...esta matriz. 01:20:50

¿Vale? 01:20:54

La Y... 01:21:04

...la Z. 01:21:06

La Y... 01:21:08

...la Z. 01:21:10

Y luego la Y... 01:21:14

...respecto de Z... 01:21:16

...y la Z respecto de Z. 01:21:18

Ahora tendríamos... 01:21:24

...una matriz de 3 por 3. 01:21:26

La pongo en esta cualidad. 01:21:28

Y esto de aquí sería... 01:21:32

...coseno... 01:21:34

...menos R, seno y cero. 01:21:36

Seno... 01:21:42

...R, coseno y cero. 01:21:44

Y esto es cero, cero y uno. 01:21:46

Muy bien. 01:21:48

Siempre da R. 01:21:50

Igual que en polares. 01:21:52

Si hacéis ese determinante... 01:21:54

...de 3 por 3... 01:21:56

...sale R. 01:21:58

Y luego... 01:22:08

...los valores de R... 01:22:10

...de tinta y de Z... 01:22:12

...pues dependiendo de cómo sea el problema. 01:22:14

¿Vale? Luego hay que calcular... 01:22:16

...quién es D... 01:22:18

...con asterisco. 01:22:20

Vale. 01:22:48

O sea... 01:23:18

...la integral que a nosotros nos ponen... 01:23:20

...es esta. 01:23:22

Yo la sacerdo... 01:23:36

...y me paso a coordenadas tríplicas. 01:23:38

Y entonces, yo interno ahora... 01:23:40

...sobre D con asterisco. 01:23:42

F... 01:23:48

...ya no depende de XY y Z... 01:23:50

...sino de R, tinta y Z. 01:23:52

Porque yo he hecho el cambio de variable. 01:23:54

Donde he visto una X... 01:23:56

...he puesto R, coseno y así. 01:23:58

Multiplico con el taco diagonal. 01:24:00

Y ahora ya sí... 01:24:04

...integro en R, tinta y Z. 01:24:06

Y lógicamente uno espera que la de la derecha... 01:24:10

...sea mejor que la del izquierdo. 01:24:12

Entonces... 01:24:14

...este es el cambio... 01:24:16

...a coordenadas tríplicas. 01:24:18

Pues el otro... 01:24:30

Aunque parezca una tontería... 01:24:32

...anotarlo aquí. 01:24:34

¿Cuándo funciona bien este cambio? 01:24:36

Lógicamente con cilindros... 01:24:38

...conos... 01:24:40

...y paraboloides. 01:24:48

El paraboloide es el tazón. 01:24:52

Que son figuras, estas tres... 01:25:00

...que constantemente salen dobladas. 01:25:02

Esa es una opción. 01:25:04

No significa que sea un cónim... 01:25:06

...que sea tríplica. 01:25:08

Cuando dices que el jacobiano... 01:25:10

...es R... 01:25:12

...como por ejemplo en el ejemplo del círculo... 01:25:14

...antes cuando hemos dicho el ejemplo de la elipse... 01:25:16

...salía A, B, R. 01:25:18

Paralelito. 01:25:20

Vale, vale. 01:25:22

Si ahora yo me invento otras coordenadas distintas... 01:25:24

...que tengo que añadir a un jacobiano... 01:25:26

...porque puede cambiar. 01:25:28

Este es R, si yo pongo justo esto... 01:25:30

...como modifique esto... 01:25:32

...a lo mejor ya me sale. 01:25:34

Bueno, siguiente cambio de variable... 01:25:38

...espéricas. 01:25:40

Las coordenadas espéricas... 01:25:54

...dependen de R... 01:25:56

...y de los ángulos. 01:25:58

Yo utilizo tita... 01:26:04

...y fin. 01:26:06

Ese es el cambio. 01:26:20

Ahora habría que deducir al jacobiano. 01:26:24

Aquí la verdad es que uno... 01:26:26

...he hecho un rato. 01:26:28

Así que os lo planteo directamente como resultado. 01:26:30

Si queréis vosotros pues ya sabéis como tenéis que hallar. 01:26:32

El determinante de la matriz jacobiana... 01:26:34

...y veréis que es grande. 01:26:36

El resultado es este. 01:26:38

R al cuadrado... 01:26:46

...cero. 01:26:50

Los jacobianos siempre se toman en positivo. 01:26:54

Lo digo porque... 01:26:56

...este por ejemplo sale negativo. 01:26:58

Pero vosotros siempre en positivo. 01:27:00

Siempre. Sin excepción. 01:27:02

Nunca te ponemos jacobiano negativo. 01:27:04

Y lo siguiente que tendríamos que hallar... 01:27:10

...serían los nuevos valores... 01:27:12

...para R, para tita... 01:27:14

...y para fin. 01:27:16

Así que, por último... 01:27:18

...obtenemos... 01:27:22

...los valores... 01:27:26

...para R, tita y fin. 01:27:32

O sea, D... 01:27:34

...con asterisco. 01:27:36

Eso es lo que tendríamos que hacer. 01:27:38

Así que a nosotros nos plantean... 01:27:42

...esta integral triple... 01:27:44

...y yo hago... 01:27:54

...esta otra. 01:27:56

Mis nuevas variables... 01:27:59

...mi jacobiano... 01:28:03

...e integro... 01:28:06

...en las nuevas variables. 01:28:08

¿Cuándo nos conviene utilizar esto? 01:28:20

Pues lógicamente... 01:28:22

...con esfera. 01:28:24

Y con paraboloides... 01:28:28

...también suele salir bien. 01:28:30

A mí me gusta más utilizar elíndricas... 01:28:34

...pero si tengo un paraboloide y una esfera... 01:28:36

...pues entonces utilizo acelicas, claro. 01:28:38

¿Vale? 01:28:48

Y ahora viene una aplicación. 01:28:50

Y voy a poner un ejemplo con la aplicación... 01:28:52

...muy sencillo. 01:28:54

Y así ya... 01:28:56

...hemos divisado también R3. 01:28:58

Aplicación. 01:29:02

Nos piden calcular... 01:29:14

...el volumen... 01:29:16

...de D. 01:29:18

¿Vale? 01:29:26

Yo tengo D... 01:29:42

...que es lo que sea en el espacio. 01:29:44

En R3. 01:29:46

Bueno, pues ese volumen... 01:29:50

...siempre se hace de la misma manera. 01:29:52

Integro el número 1... 01:29:56

...sobre D. 01:30:00

Esto es lo que tenemos acá. 01:30:08

Fijaros que antes, en R2, el área... 01:30:10

...el número 1 sobre D, en R2. 01:30:12

O sea que era un U... 01:30:14

...sobre D, en R3. 01:30:16

¿Vale? 01:30:18

Lo preguntan mucho, ¿eh? 01:30:24

Lo de, hay que hacer volumen de tal forma. 01:30:26

Yo voy a poner uno súper sencillo y así veis como manejo esfericas. 01:30:30

Todavía nos han dicho que... 01:30:34

...el volumen de una esfera es 4 tercios de pi R3. 01:30:36

Pues vamos a ver si es verdad. 01:30:38

Ejemplo. 01:30:42

¿Vale? 01:30:48

Volumen de una esfera... 01:31:00

...de radio R. 01:31:02

O sea que tenemos que calcular esto. 01:31:12

Volumen de D... 01:31:14

...la integral triple... 01:31:18

...algunos de vuestros profesores se cansan de escribir las tres... 01:31:20

...y hacen esto. 01:31:22

Ponen una... 01:31:24

...y ponen aquí uno U. 01:31:26

De volumen. 01:31:28

Y entonces os ponen aquí F... 01:31:30

...que encima no ponen ni X, ni Y, ni Z... 01:31:32

...y ponen esto. 01:31:34

Diferencial en U. 01:31:36

Simplemente por cuajería, por escribir menos, de crear menos... 01:31:38

¿Vale? 01:31:40

Uno va leyendo el enunciado y sabe lo que le están preguntando. 01:31:42

Esto equivale a esto. 01:31:44

¿De acuerdo? 01:31:46

Yo voy a poner siempre dobles, triples... 01:31:48

...a no ser que en un problema no lo ponga. 01:31:50

Bueno, tenemos que hacer esto. 01:32:00

Pero como es una esfera... 01:32:02

...me voy a pasar a esfericas. 01:32:04

Lo voy a coger de la ecuación de una esfera... 01:32:06

...X cuadrado más Y cuadrado... 01:32:08

...x cuadrado es Z cuadrado, igual a R al cuadrado... 01:32:10

...y liarme a despejar la Z. 01:32:12

Así que me paso a coordenadas esféricas. 01:32:14

Así que, como me paso a coordenadas esféricas... 01:32:16

...no tengo nada que sustituir. 01:32:20

¿Vale? Así que me da lo mismo quien sea X, Y, Z... 01:32:22

...pero sí tengo que poner el faculián. 01:32:24

Eso no se me puede olvidar. 01:32:26

Así que esto... 01:32:28

...dejo así separación, porque ahora tengo que poner los límites. 01:32:32

Pongo el faculián. 01:32:36

¿Vale? 01:32:40

En el número uno no hay nada que sustituir. 01:32:42

Así que... 01:32:44

...uno por el faculián. 01:32:46

R minúscula. 01:32:48

R minúscula tiene que ir... 01:32:50

...desde el centro de la esfera... 01:32:52

...hasta que se choque con la superficie esférica. 01:32:54

Que he dicho que está a una distancia... 01:32:56

...R mayúscula. 01:32:58

El rayo de la esfera. 01:33:00

Así que R minúscula va... 01:33:02

...de cero a R. 01:33:04

Ya tengo los límites de integración... 01:33:06

...de la R minúscula. 01:33:08

Yo ahora quiero darme... 01:33:12

...una vuelta entera a la esfera... 01:33:14

...porque quiero calcularme todo su volumen. 01:33:16

Así que el ángulo tic-tac... 01:33:18

...que es el ángulo horizontal... 01:33:20

...tengo que dejar de ser una vuelta entera. 01:33:22

Cero dos pi. 01:33:24

Tic-tac. 01:33:26

Y ahora cuidado... 01:33:30

...porque phi no tiene que darme una vuelta entera. 01:33:32

Phi es el ángulo... 01:33:34

...con el eje Z. 01:33:36

Para que no haya redundancia... 01:33:38

...y pase dos veces por el mismo punto... 01:33:40

...sólo tengo que dejar... 01:33:42

...que haga 180 grados. 01:33:44

Así que va de cero... 01:33:46

...hasta pi. 01:33:48

De cero... 01:33:50

...hasta pi. 01:33:52

Diferencial de phi. 01:33:54

¿Vale? 01:33:56

Me estoy calculando el volumen de toda... 01:33:58

...una esfera. 01:34:00

No tengo los problemas donde me digan... 01:34:02

...sólo quiero el primer octante... 01:34:04

...quiero entre tal sitio y tal sitio... 01:34:06

...entonces tendré que cambiar los datos de los ángulos. 01:34:08

¿Vale? 01:34:10

Si no me cogen todas las esferas en un trozo... 01:34:12

...pues el trozo no me coja. 01:34:14

¿Para hallar qué volumen? 01:34:18

Sí. 01:34:20

Me puedo hallar el volumen de un cuarto de esfera... 01:34:22

...y lo multiplico por cuatro. 01:34:24

De un octavo de esfera... 01:34:26

...y lo multiplico por ocho. 01:34:28

Y todo eso... 01:34:30

Mira, los científicos lo han visto. 01:34:32

Os he visto ya... 01:34:34

...he visto preguntar dos veces esto. 01:34:36

Una... 01:34:38

...hallate el área de... 01:34:40

...lefiscata de Bernoulli. 01:34:44

Así empezó a dar problema. 01:34:46

Y así con lo del infinito. 01:34:48

Si intentas hallarte directamente... 01:34:50

...el área de esto... 01:34:52

...porque me dan coordenadas polares... 01:34:54

...que ya veremos qué pasa cuando me dan... 01:34:56

...las polares. 01:34:58

Porque la integral no se entera. 01:35:00

La integral hace... 01:35:02

...área uno, área dos... 01:35:04

...área tres, área cuatro... 01:35:06

...como estas dos son iguales de arriba al negativo... 01:35:08

...cero. Ahí hay que darse cuenta... 01:35:10

...hacer un cuarto... 01:35:12

...es decir, que la figura es simétrica... 01:35:14

...multiplicado. 01:35:16

El año pasado... 01:35:18

...en la Ingeniería de la Energía... 01:35:20

...preguntaron esto. 01:35:22

Que es la rosa B... 01:35:28

...cuatro metados, en este caso. 01:35:30

¿Vale? 01:35:32

Como me la dieron en coordenadas polares... 01:35:34

...si intento hacerlo todo del pilón... 01:35:36

...subo el resto...cero. 01:35:38

Pero si hace dibujar... 01:35:40

...veo que esto es igual que lo demás... 01:35:42

...yo me doy un cuarto, lo multiplico por cuatro... 01:35:44

...y fuera. Pero en la esfera no hay truco. 01:35:46

En la esfera no va a salir bien. 01:35:48

¿Vale? 01:35:50

Cuando no me sale bien, es cuando me den esto... 01:35:52

...como su ecuación... 01:35:54

...por A. 01:35:56

Si me dan la ecuación por A... 01:35:58

...ahí hay que tener cuidado. 01:36:00

Porque, a lo mejor, si lo hago... 01:36:02

...hace la integral y dice... 01:36:04

...pero, ya sé lo que pasa. 01:36:06

He hecho todo de golpe, y estoy sumándolo de arriba a abajo. 01:36:08

Ahora, tengo que volver para atrás... 01:36:10

...hacer el dibujo, y ver... 01:36:12

...de dónde a dónde van las cosas en el primer cuadrante. 01:36:14

¿Vale? 01:36:16

Un área jamás os puede dar fe. 01:36:18

Bueno, seguimos con esta... 01:36:20

Voy a utilizar el problema de Fubini. 01:36:24

Porque todos son números. 01:36:26

Así que integro... 01:36:28

...r por un lado... 01:36:30

...entre cero... 01:36:40

...y r por dos. 01:36:42

Integro cero... 01:36:44

...menos cero. 01:36:46

Menos cero. 01:36:48

Entre cero... 01:36:52

...y pi. 01:36:54

Y como no hay tita... 01:36:56

...pues solo tengo que integrar diferencial de tita. 01:36:58

Que es tita. 01:37:00

Entre cero... 01:37:02

...y dos pi. 01:37:04

Vale. 01:37:08

Si sustituyo en la primera... 01:37:10

...solo hay que sustituir la R mayúscula... 01:37:12

...porque luego hay que sustituir un cero. 01:37:14

¿Vale? 01:37:16

R al cubo... 01:37:18

...tercios. 01:37:20

Menos coseno de pi. 01:37:26

Sustituyo por el de arriba. 01:37:28

Coseno de pi es menos uno. 01:37:30

Menos sustituyo por el de abajo. 01:37:32

Uno. O sea que me da menos dos. 01:37:34

Pero tengo un menos delante. 01:37:36

Dos. 01:37:38

Así que esto, dos. 01:37:40

Y este, dos pi. 01:37:42

Cuatro... 01:37:44

...pi tercios... 01:37:46

...de R. 01:37:48

Fórmula de todavía, el volumen... 01:37:50

...de una. 01:37:52

Así que ya podemos estar tranquilos... 01:37:54

...que lo sabemos. 01:37:56

¿Vale? 01:38:00

Pues, vistas de R2 y R3. 01:38:06

Me cambio de... 01:38:08

...este de aquí a ver si... 01:38:10

...que hemos hecho el apartado A. 01:38:12

Apartado B. 01:38:24

El mismo problema que he puesto antes... 01:38:26

...que hemos hecho el apartado A... 01:38:28

...vamos a hacer el apartado B. 01:38:30

Que me viene calcular un volumen. 01:38:32

Era el examen ese de junio... 01:38:36

...de la energía B. 01:38:38

Calcula el volumen. 01:38:42

¿Vale? 01:39:12

Vale. 01:39:42

Esto es lo mismo. 01:40:08

Esto es un dibujo tipo alfado. 01:40:10

¿Vale? El 2D. 01:40:12

Así que yo voy a dibujar... 01:40:14

...de esta manera. 01:40:16

La I... 01:40:24

...y la C. 01:40:28

La X sale así, nos pincha la A. 01:40:30

Por lo tanto... 01:40:32

...cuando yo veo un cilindro en alfado... 01:40:34

...yo lo veo como un rectángulo. 01:40:36

Yo veo algo que tiene altura... 01:40:38

...y una anchura 2 veces la radio. 01:40:40

Así que, el primero. 01:40:42

El radio es 2. 01:40:44

X cuadrado... ¡Ojo! Esto no son circunferencias. 01:40:46

Estamos en el espacio. 01:40:48

X cuadrado más Y cuadrado... 01:40:50

...igual a 4 es un cilindro... 01:40:52

...y el eje, la letra que falta. 01:40:54

La Z. Así que es un cilindro... 01:40:56

...como toda la vida. Un tú. 01:40:58

Si me pusiese... 01:41:00

...Y cuadrado más Z cuadrado... 01:41:02

...entonces sería un cilindro que sale así de la pared. 01:41:04

Pero sigue siendo un cilindro. 01:41:06

Y si me pusiese... 01:41:08

...X cuadrado más Z cuadrado... 01:41:10

...entonces sería un cilindro que sale de esta pared para allá. 01:41:12

Un cilindro en horizontal. 01:41:14

Pero sigue siendo un cilindro. 01:41:16

Así que, el primer cilindro... 01:41:18

...así. 01:41:20

Los cilindros no tienen fin. 01:41:26

Así que sigue para arriba y para arriba. 01:41:28

Sin embargo, aquí abajo, sí que me han puesto un toque. 01:41:30

En tierra y en el suelo... 01:41:32

...Z igual a 0. 01:41:34

Por eso no lo dibujo por debajo. 01:41:36

Solo lo dibujo por arriba. 01:41:38

Esto de aquí es el menos 2. 01:41:40

Esto de aquí es el 2. 01:41:42

Porque el radio del cilindro es 2. 01:41:44

Y ahora en rojo... 01:41:46

...dibujo el otro. 01:41:48

Que como el radio es 3... 01:41:50

...pues es un poquito más grande. 01:41:52

Dibujado los cilindros. 01:42:02

Y ahora tengo... 01:42:04

...en negro... 01:42:06

...plano Z igual a 0. 01:42:08

Aquí lo tenéis. 01:42:10

El suelo. 01:42:12

Ya lo he dibujado. Ese es Z. 01:42:14

Así que ahora voy a trazar... 01:42:16

...me voy a calcular... 01:42:18

...o voy a dibujar mejor... 01:42:20

...la traza del otro plano... 01:42:22

...cuando... 01:42:24

...corta mi pizarra. 01:42:26

Cuando yo corto la pizarra... 01:42:28

...X es 0. 01:42:30

En la pizarra X es 0. 01:42:32

Yo solo dibujo Y y Z. 01:42:34

Lo X es 0. 01:42:36

Así que lo que tengo que dibujar en la pizarra es una recta. 01:42:38

Que es la traza del plano... 01:42:40

...contra el plano. 01:42:42

Contra la pizarra. 01:42:44

Así que Z igual a menos Y... 01:42:46

...más 5. 01:42:48

Esto es lo que voy a dibujar. 01:42:50

Z igual a 5 menos Y. 01:42:52

Si Y vale 0... 01:42:54

...Z vale 5. 01:42:56

Si Y vale 5... 01:42:58

...Z vale 0. 01:43:00

Pues pongo por aquí... 01:43:02

...el punto 5. 01:43:04

Digo que este es el 5. 01:43:06

Y digo que este es el 5. 01:43:08

Por aquí. 01:43:14

Así. 01:43:18

Ese es... 01:43:20

...el plano. 01:43:22

Entonces esto de aquí... 01:43:24

...para verlo bien, pues me conviene... 01:43:26

...subir un poco más... 01:43:28

...para terminar bien el dibujo... 01:43:30

...esta parte de los cilindros... 01:43:32

...las pongo así... 01:43:34

...para que se choquen con el plano. 01:43:36

Que viene por aquí. 01:43:38

Esto es Z igual a... 01:43:42

...5 menos Y... 01:43:44

...más 6. 01:43:46

Pero yo solo veo la traza. 01:43:48

Luego me están pidiendo... 01:43:54

...que nos calculemos el volumen. 01:43:56

Lo que me están pidiendo... 01:43:58

...es que me calcule... 01:44:00

...todo esto de aquí. 01:44:02

Y esto de aquí. 01:44:04

Cuidado. Esto... 01:44:08

...lo he dibujado en 2D. 01:44:10

Pero esto sale así. 01:44:12

¿Vale? Yo lo que he hecho es un corte. 01:44:14

Así. Pero esto tiene volumen. 01:44:16

Esto sale así. 01:44:18

Así que visto desde arriba... 01:44:20

...yo veo desde arriba los dos cilindros... 01:44:22

...yo lo que estoy viendo es esto. 01:44:24

Es una corona circular. 01:44:26

Yo veo el cilindro grande... 01:44:28

...y el cilindro pequeño. 01:44:34

¿Vale? O sea que yo tengo... 01:44:36

...un volumen. Lo que pasa que ahí... 01:44:38

...al dibujarlo en R2 parece que son dos áreas. 01:44:40

No. Lo rayamos un volumen. 01:44:42

Muy bien. 01:44:46

Así. 01:44:48

Planteamos la integral. 01:44:50

La integral que nos están pidiendo... 01:44:52

...es calcular esto. 01:44:54

Volumen D. 01:44:58

El número 1... 01:45:00

...sobre D. 01:45:02

¿Vale? 01:45:12

Entonces, el número 1 no es un problema. 01:45:14

Yo lo que quiero es ver quién es D. 01:45:16

D. 01:45:20

Meteos dentro del volumen... 01:45:24

...que quieren que os cayéis. 01:45:26

O sea, yo hago esto. 01:45:28

Me cojo aquí... 01:45:30

...y me meto dentro del volumen. 01:45:32

Mis pies... 01:45:38

...están en Z igual a 0. 01:45:40

Y cuando levanto la cabeza... 01:45:42

...veo el plano. 01:45:44

Mi techo... 01:45:46

...es el plano. 01:45:48

Luego, tal como he puesto en teoría... 01:45:50

...Z sub 1... 01:45:52

...es el suelo. 01:45:54

Z igual a 0. 01:45:56

Y Z sub 2 es el plano. 01:45:58

Y aquí tengo despejada Z. 01:46:00

Así que yo ya sé de dónde... 01:46:02

...a dónde va Z. 01:46:04

Algunos de vuestros profesores... 01:46:06

...dicen... 01:46:08

...no te hagas... 01:46:10

...una integral triple. 01:46:12

Pues dicen que todas las integrales triples... 01:46:14

...de este tipo... 01:46:16

...se pueden convertir en integrales dobles. 01:46:18

De esta manera. 01:46:20

Ahora vamos a ver quién es D con este disco. 01:46:24

Directamente voy a poner... 01:46:28

...mi techo menos mi suelo. 01:46:30

Eso es lo que voy a hacer. 01:46:32

Techo... 01:46:34

...menos suelo. 01:46:38

Me recomiendo hacerlo así siempre. 01:46:40

Porque de un plumazo... 01:46:42

...os quitáis Z. 01:46:44

Y ya sólo me tengo que preocupar en qué pasa en el suelo. 01:46:46

¿Vale? 01:46:48

Muy útil... ¡Ojo! Esto sólo sirve... 01:46:50

...cuando estoy calculándome volúmenes. 01:46:52

Si aquí dentro... 01:46:54

...hay una función... 01:46:56

...tened cuidado de si vais a empezar por la Z... 01:46:58

...porque la Z es un espanto de integral. 01:47:00

Y conviene empezar por otra variable antes. 01:47:02

Aquí, como no hay ninguna... 01:47:04

...elijo Z. ¿Por qué? 01:47:06

Porque los volúmenes que nos ponen a todos los otros... 01:47:08

...siempre son en vertical. 01:47:10

Y hacer en vertical es muy fácil. Ver quién es el suelo... 01:47:12

...y ver quién es el techo. Cuesta más ver quiénes son las paredes laterales. 01:47:14

¿Vale? 01:47:16

Z sub 2... 01:47:18

...el plano. 01:47:20

Z sub 1... 01:47:22

...el suelo. 01:47:24

¿Vale? Z sub 2... 01:47:26

...este plano. 01:47:28

Z sub 1... 01:47:34

...el suelo. 01:47:36

Pues sustituyo. 01:47:38

Y ya sólo tengo X y Y. 01:47:40

Así que el volumen es... 01:47:42

...la integral doble... 01:47:44

...de con asterisco... 01:47:46

...de X menos Y menos Z... 01:47:48

...diferencial de X... 01:47:50

...diferencial de Y. 01:47:52

Ya me he quitado la tercera dimensión. 01:48:02

¿No sería más 5? 01:48:04

Es más 5. Gracias. 01:48:06

¿Vale? 01:48:14

Pues ahora... 01:48:18

...siempre que os quitéis... 01:48:20

...la tercera dimensión... 01:48:22

...como si fueseis un pájaro... 01:48:24

...os ponéis desde arriba, vista cenital... 01:48:26

...y lo que veáis desde arriba. 01:48:28

¿Y qué es lo que veo desde arriba? 01:48:30

Yo tengo un cilindro dentro de otro cilindro. 01:48:34

Así que yo desde arriba veo una corona circular. 01:48:36

He dicho circular... 01:48:40

...a polares. 01:48:42

¿De acuerdo? 01:48:44

Así que D con asterisco... 01:48:46

...es esto. 01:48:48

En X y Y... 01:48:52

...es... 01:48:54

...esta corona circular. 01:48:56

Radio pequeño, 2. 01:48:58

Radio grande, 3. 01:49:00

4 y 9. 01:49:02

Así que tengo que poner esto. 01:49:04

Todos los puntos que estén... 01:49:08

...entre un radio 2... 01:49:10

...y un radio 3. 01:49:12

O sea, entre 4 y 9. 01:49:14

La circunferencia grande menos la circunferencia pequeña. 01:49:18

Y ahora me paso a coordenadas polares. 01:49:22

Así que ahora voy a poner D con asterisco... 01:49:26

...en polares. 01:49:28

Ya sabemos cuáles son... 01:49:30

...así que no tengo por qué ponerlas. 01:49:32

Vosotros en el examen ponerlas, eh. 01:49:34

Jacobiano, ya sabemos cuál es. 01:49:36

Es R, no tengo por qué deducirlo. 01:49:38

Solo me tengo que preocupar... 01:49:40

...de dónde a dónde va R minúscula... 01:49:42

...que va de 2 a 3. 01:49:44

No de 4 a 9. 01:49:46

Eso es R al cuadrado. 01:49:48

De 2... 01:49:50

...a 3. 01:49:52

Y quiero darme una vuelta entera... 01:49:56

...porque me piden todo el volumen. 01:49:58

Así que el angulito tita... 01:50:00

...cero dos pi. 01:50:02

Y luego pongo aquí... 01:50:08

...para que no se me olvide el Jacobiano. 01:50:10

Que en coordenadas polares... 01:50:16

...sabemos qué es R. 01:50:18

Voy a poner todo esto fuera. 01:50:20

Dibujo fuera. 01:50:22

Y ahora... 01:50:28

...esta de aquí. 01:50:30

Me paso a polares. 01:50:32

Volumen... 01:50:36

...entre 2 y 3. 01:50:38

Entre 0 y 2. 01:50:42

Todas las X... 01:50:46

...sabemos que son R coseno de 90. 01:50:48

Porque estamos utilizando las polares de toda la vida. 01:50:50

Así que esto es R coseno de 90. 01:50:52

Y estamos utilizando las polares de toda la vida. 01:50:54

Así que esto es R coseno de 90. 01:50:56

Menos... 01:51:00

...R seno de 90. 01:51:02

Más 5... 01:51:04

...por el Jacobiano. 01:51:06

Diferencial de tita... 01:51:10

...diferencial de R. 01:51:12

Y ahora vosotros visualizad el caso. 01:51:18

Empezamos por tita. 01:51:20

¿Vale? 01:51:22

Para ver si alguna de las trigonometrías se me va. 01:51:24

Y entonces esa ya la tengo que acelerar. 01:51:26

Donde se vaya. 01:51:28

Como puedo elegir porque todos son números... 01:51:30

...pues empiezo por tita. 01:51:32

La integral de coseno... 01:51:36

...C. 01:51:38

Esta ya se va a ir a la basura. 01:51:42

La integral de menos seno... 01:51:48

...Coseno. 01:51:50

Otra que va de sobre. 01:51:52

Y la única que no va a quedar... 01:52:00

...es esta de aquí. La integral de 5. 01:52:02

5 por tita. 01:52:04

Y luego, que no se os olvide, que aquí fuera del paréntesis hay otra. 01:52:10

Otra. 01:52:12

Por tanto... 01:52:18

Seno de 2pi, 0. 01:52:20

Seno de 0, 0. 01:52:22

Coseno de 2pi, 1. 01:52:24

Coseno de 0, 1. 01:52:26

1 menos 1, 0. 01:52:28

Esas dos integrales, 4. 01:52:30

Así que solo me queda esta. 01:52:32

Eso va de 2pi. 01:52:38

Que no puedo sacar fuera de la integral. 01:52:40

Junto con el 5. 01:52:42

10pi. 01:52:44

Y entonces hay que hacer la integral de R. 01:52:48

Aquí hay una R que multiplicaba al paréntesis. 01:52:50

Así. 01:52:54

Bueno, pues he recuadrado medios... 01:53:00

...es el pi. 01:53:04

Y esto entre 3... 01:53:06

...y 2. 01:53:08

9 medios... 01:53:14

...menos, para sustituir a por 2... 01:53:16

...4 menos. 01:53:18

5 menos. 01:53:24

25. 01:53:26

Esto. 01:53:30

¿De acuerdo? 01:53:36

Pues ahí lo vamos. 01:53:38

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