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Uso de ecuaciones paramétricas para resolver un problema de geometría - Contenido educativo

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Subido el 6 de febrero de 2024 por Manuel D.

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Uso de ecuaciones paramétricas para resolver un problema de geometría

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Bueno, pues vamos a resolver este problema que tenéis ahí, que consiste en determinar la distancia, 00:00:00
determinar dos puntos de la recta cuya distancia al punto que nos dan A es igual a 10 unidades. 00:00:06
Es decir, a ver si hago un poco de zoom y lo veis mejor, 00:00:13
lo que nos gustaría es buscar aquí un punto de la recta y, por tanto, por simetría, otro punto de la recta, 00:00:16
de manera que esta distancia de aquí a aquí sea exactamente 10 unidades. 00:00:23
Y, claro, pues está también 10 unidades. 00:00:28
Hay dos, pues porque aquí se forma un triángulo que es isósceles, cuyos lados iguales miden 10 y la base pues medirá lo que mida. 00:00:31
La restricción es que los puntos, vamos a llamarlos los que voy a buscar P y Q, tienen que estar en la recta. 00:00:40
Entonces, la importancia de este problema es porque podemos resolverlo de una forma, 00:00:48
bueno, podríamos resolver construyendo directamente este, 00:00:54
el triángulo calculando su área, calculando la proyección, calculando este vector, 00:00:58
para ello, previamente, tendríamos que calcular la base, un follón. 00:01:04
Entonces, lo ideal es lo siguiente, esta estrategia. 00:01:07
Lo primero de todo es que voy a escribir la ecuación de la recta de forma paramétrica, ya veréis para qué. 00:01:11
Entonces, recuerdo que para calcular la ecuación paramétrica lo que me interesa es tenerla dada mediante un vector y un punto. 00:01:17
Para ello, 00:01:26
despejo y me da que la pendiente es 3, y como la pendiente es 3, el vector director es, puede ser, el vector , ¿verdad? 00:01:28
Es un vector cuya pendiente es 3. 00:01:37
También podría haber visto directamente desde esta ecuación que el vector normal, el vector perpendicular a la recta, es el vector , 00:01:39
que son los coeficientes de la ecuación y, por lo tanto, un vector perpendicular a este sería el vector director. 00:01:47
Es decir, 00:01:55
este vector director lo voy a pintar, 00:01:56
lo voy a pintar de azulito, 00:01:57
pues sería, pues un vector que está, pues por aquí, en esta recta. 00:01:59
Bien. 00:02:03
Es este vector director, vamos a llamarlo V sub r. 00:02:04
V sub r. 00:02:07
Entonces, a partir de aquí yo ya puedo calcular la ecuación de la recta en forma paramétrica. 00:02:09
Esto es muy sencillo. 00:02:14
Ay, perdón, claro, me falta un punto. 00:02:15
Pues un punto dándole a x el valor 0, un punto pues haría el 0, 1, por ejemplo. 00:02:17
Esto es un punto posición de la recta. 00:02:21
El punto , que es justo este que está aquí. 00:02:24
Entonces ya sí puedo escribir las ecuaciones paramétricas. 00:02:27
Sería vector 0, 1, como punto posición, más t veces el valor 1, más t veces el valor 3. 00:02:31
Aquí, recuerdo que se pone los coeficientes, perdón, aquí se pone los coeficientes del vector y aquí los coeficientes del punto. 00:02:40
Punto posición y vector. 00:02:52
Bien. 00:02:54
Eh... 00:02:55
Lo interesante de esto es que estas coordenadas las voy a escribir como punto. 00:02:56
Serían c más t, 0 más t, 1 más 3t. 00:03:01
Esto es un punto que al variar los valores de la t, vamos a simplificarlo, esto sería t, 3t más 1, lo puedo escribir así. 00:03:06
Bien. 00:03:16
Esto es un punto de la recta. 00:03:17
Diréis, no, no es un punto porque tiene la t. 00:03:20
Bueno, de acuerdo, pues son infinitos, son todos los de la recta. 00:03:22
Si yo varío el valor de t como un número real cualquiera, es decir, si doy valores a la t, ahí el punto p se me va a ir moviendo en función, o sea, a lo largo de la recta. 00:03:26
Es decir, es como que t fuese el tiempo y el p, el punto, se fuese moviendo en la recta a lo largo del tiempo. 00:03:39
Y diréis, ¿qué utilidad puede tener esto? 00:03:46
Pues fijaos. 00:03:48
Ahora, p es un punto que pertenece a la recta. 00:03:49
Eh... 00:03:53
Y a mí me puede interesar, yo estoy buscando qué punto de la recta mi distancia con el punto a es 10. 00:03:54
Bueno, entonces, lo bueno de esto es que como ahora he convertido la recta en un punto, en un punto móvil, yo puedo calcular la distancia entre estos dos puntos. 00:04:04
¿Cómo? 00:04:11
Pues la distancia era el módulo del vector p. 00:04:12
Es decir... 00:04:21
A mí me están diciendo... 00:04:22
Que el módulo de esa distancia es 10. 00:04:23
Entonces, voy a calcular aquí, aparte, el punto a era el punto . 00:04:26
El punto p que me están dando es... 00:04:31
Bueno, que lo calculo yo, es el . 00:04:34
Y yo ahora puedo calcular el vector. 00:04:37
El vector es directamente restar las coordenadas de t menos las de a. 00:04:39
Es decir, que me va a quedar , . 00:04:44
Es decir... 00:04:51
Ese vector es el vector . 00:04:52
Bien. 00:04:59
Y ahora yo quiero calcular y imponer esto, que es, en realidad, una ecuación que depende de t. 00:05:00
Quiero resolver esta ecuación. 00:05:05
Es decir, la subrayo esto. 00:05:07
Esta ecuación lo que me viene a decir es que el módulo de este vector tiene que ser 10. 00:05:12
Tengo que calcular la t para que ese módulo sea 10. 00:05:17
Por lo tanto, ¿qué es lo que yo voy a hacer? 00:05:20
Primero bajar, hacer un poco de scroll. 00:05:22
Calcular este módulo. 00:05:24
El módulo, recuerdo, que era la raíz cuadrada de... 00:05:25
Pues, por Pitágoras, coordenada de x al cuadrado más coordenada de y al cuadrado. 00:05:28
Y esto tiene que valer 10. 00:05:35
¿Y esto qué es? 00:05:37
Pues es una ecuación de segundo grado que yo puedo resolver elevando al cuadrado los dos términos. 00:05:38
Se me va la raíz. 00:05:43
Y me queda esta ecuación. 00:05:44
Bueno, ¿y ahora cómo resuelvo esta ecuación? 00:05:50
Pues esto es una ecuación de segundo grado que tengo que tener mucho cuidado. 00:05:53
Elevando al cuadrado aquí y quitando con las identidades notables. 00:05:56
Es decir, lo hago por aquí. 00:06:01
Tendría t menos 2 al cuadrado será t al cuadrado más 4 menos 4t. 00:06:03
Identidades notables, recordad. 00:06:10
Y ahora el cuadrado del otro será 9t al cuadrado. 00:06:12
9t al cuadrado más 10. 00:06:15
16t, perdón, más 16. 00:06:20
Menos el doble de 4 que es 8 por 3. 00:06:23
8 por 3 es 24. 00:06:26
24t. 00:06:27
Y esto tiene que ser igual a 100. 00:06:28
Bueno, pues aquí ¿qué hago? 00:06:30
Pues es una ecuación de segundo grado que evidentemente tiene dos soluciones. 00:06:32
Vamos a buscarla. 00:06:35
Si simplifico me queda 10t al cuadrado. 00:06:37
Haciendo la cuenta. 00:06:41
Aquí me va a quedar menos 28t. 00:06:43
Luego voy a tener 16 y 4, 20. 00:06:46
Y con este menos 100. 00:06:48
Pues van a ser menos 80. 00:06:49
Igual a 0. 00:06:51
Intento simplificar un poquito. 00:06:52
5t al cuadrado menos 14t. 00:06:54
Estoy dividiendo entre 2. 00:06:57
Menos 40 igual a 0. 00:06:59
Y ahora esa ecuación de segundo grado la tengo que resolver. 00:07:01
Resolviendo esa ecuación de segundo grado voy a obtener los valores de t. 00:07:04
Y diréis, pero si eso no son puntos. 00:07:07
Bueno, pero es que cuando yo tenga el valor solución t1 y t2. 00:07:09
Esos son dos numeritos de t. 00:07:12
Dos valores de t, dos números. 00:07:14
Lo voy a sustituir luego. 00:07:16
En el punto. 00:07:18
Las coordenadas del punto. 00:07:20
Yo calculo aquí. 00:07:22
Yo tengo la t. 00:07:23
Y ya tengo el punto. 00:07:24
Y ya está. 00:07:25
Ya tengo los puntos. 00:07:26
Así de sencillo. 00:07:27
Bueno, pues vamos allá. 00:07:28
La t será. 00:07:29
No me ha dado exactamente eso. 00:07:39
Vamos a ver que me he podido equivocar en algún sitio. 00:07:40
Vamos a ver. 00:07:43
Bueno, si ya he visto el error. 00:07:46
Fijaos. 00:07:48
Hay que tener mucho cuidado con cuando restáis. 00:07:49
Vamos a ver. 00:07:51
Donde tengo el lápiz. 00:07:52
Por aquí. 00:07:53
Fijaos. 00:07:54
Al restar. 00:07:55
El punto p menos el punto a. 00:07:56
Aquí yo tengo un menos. 00:07:57
Y menos. 00:07:58
Al restar. 00:07:59
Pues esto tendría que haber sido más. 00:08:00
Entonces voy a cambiarlo en rojo. 00:08:01
Para que veáis. 00:08:02
Por si lo veis. 00:08:03
Lo que estoy cambiando. 00:08:04
Para tenerlo muy en cuenta. 00:08:05
Esto era un más. 00:08:06
Ok. 00:08:07
Vamos a ver. 00:08:08
Vamos a ver. 00:08:09
Vamos a ver. 00:08:10
Vamos a ver. 00:08:11
Ok. 00:08:12
Vamos a ver. 00:08:13
Vamos a ver. 00:08:14
Era un menos veinte. 00:08:15
Ahora ya sé que es diferente. 00:08:16
Un menos. 00:08:17
Un más. 00:08:18
Un más. 00:08:19
Ok. 00:08:20
Porque es t menos. 00:08:21
Menos dos. 00:08:22
Pues t más dos. 00:08:23
nose que. 00:08:24
Esto. 00:08:25
Pues ha habido esta. 00:08:26
Por favor. 00:08:27
Hay que cenar. 00:08:28
Entonces. 00:08:29
Esto tenemos aquí un más. 00:08:30
Vamos a ver. 00:08:31
Si con esas. 00:08:32
Ya da. 00:08:33
Porque creo que la cuenta daba exac. 00:08:34
Entonces aquí tenemos. 00:08:35
Un más. 00:08:36
Okey. 00:08:37
Y entonces. 00:08:38
Este más. 00:08:39
Con este menos hace que esto sea un. 00:08:40
Exacto. 00:08:41
Ahora ya sé que cuadra. 00:08:42
Esto era un menos veinte. 00:08:43
Y entonces. 00:08:44
Vamos a borrar todo esto porque ya vamos a hacerlo bien que la cuenta estaba preparada para que diese exacta. 00:08:45
De hecho, este ejemplo lo habían cogido dos compañeros vuestros de clase y les daba bien, por eso lo he elegido. 00:08:52
Entonces, esta cuenta, ya la pongo en azul, sigo en azul, sería dividiendo entre 10 todo t cuadrado menos 2t menos 8 igual a 0. 00:08:59
Y ahora ya aquí las soluciones sí que son exactas porque tienen que ser dos números que al multiplicar dan menos 8 y que al sumar dan 2. 00:09:10
Y esos dos números que al multiplicar dan menos 8 y al sumar dan 2, pues van a ser el 4 y el menos 2. 00:09:19
Fijaos, el 4 y el menos 2 al multiplicar esto, pues va a dar 0. 00:09:26
2 por menos 4 es menos 8 y menos 4t más 2t menos 2t. 00:09:33
En cualquier caso, si lo queréis lo podéis resolver. 00:09:37
Por la ecuación de segundo grado que también os van a dar las soluciones, menos 2 y 4. 00:09:40
Fijaos, lo comprobamos. 00:09:45
En menos b más menos 2b cuadrado menos más 32 partido por 2. 00:09:47
Y esto es 2 más menos 6 partido por 2. 00:09:54
2 y 6, 8 entre 2, 4. 00:09:57
2 menos 6 menos 4 entre 2, menos 2. 00:09:59
Ok, las soluciones eran menos 2 y 4. 00:10:02
Y esas dos soluciones dan lugar a... 00:10:07
2 puntos. 00:10:10
Cada una de ellas da 2 puntos. 00:10:11
Cada una de ellas pregunta un punto. 00:10:13
El punto p sub 1 sería si la t es menos 2. 00:10:14
Y ese punto sale de sustituir las coordenadas de aquí, del punto parametrizado. 00:10:19
Es decir, lo selecciono y... 00:10:27
Lo selecciono, ya no me acuerdo dónde estaba el selector. 00:10:31
Esto es para dibujar rectángulos, creo que era este. 00:10:35
Sí. 00:10:38
Copiamos y pegamos hacia abajo. 00:10:40
Y tendríamos... 00:10:54
Si la t es menos 2, el punto menos 2. 00:10:57
Y 3 por menos 2, menos 6. 00:11:00
Menos 6 más 1, menos 5. 00:11:03
Aquí tenemos el primer punto. 00:11:05
Y si la t vale 4... 00:11:06
Pues el punto en cuestión sería 4, 3 por 4, 12, más 1, 13. 00:11:08
Vamos a ver si tiene algo de sentido esto con el dibujo. 00:11:15
Tengo el menos 2, 5. 00:11:18
Menos 2, 5. 00:11:20
Que está más o menos... 00:11:21
Lo había puesto más o menos bien, justo por aquí. 00:11:24
Menos 2, 5. 00:11:26
Y el otro punto que me ha dado, ¿verdad? 00:11:29
Es el 4. 00:11:31
El 3, 11 es... 00:11:33
No, el 4, 13. 00:11:34
Bueno, este lo había dibujado un poquillo mal. 00:11:36
El 4, 13 que está justo por aquí. 00:11:38
Más o menos. 00:11:45
Entonces, bueno. 00:11:46
Pues de todas formas, si queréis, para resolverlo con GeoGebra, 00:11:48
si queremos resolverlo con GeoGebra, que se puede, 00:11:52
la cosa sería tal que así. 00:11:54
Yo lo he resuelto ya, lo voy a volver a resolver. 00:11:57
Si queremos calcular los puntos cuya distancia es 10, 00:11:59
pues básicamente lo que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio 10. 00:12:02
Esos son los puntos cuya distancia es punto A. 00:12:06
Entonces, pincho ahí, le digo que la distancia es 10, 00:12:08
me marca y ahora simplemente tengo que buscar los puntos de intersección 00:12:11
y los puntos de intersección son justo al 4, 13 y el menos 2, 5. 00:12:15
O sea que lo tengo bien. 00:12:19
¿Ok? 00:12:20
Bueno, pues esto era el primero de los problemas que os quería enseñar. 00:12:21
Enseguida grabo el siguiente. 00:12:23
¡Hasta luego! 00:12:25
Autor/es:
Manuel Romero Muro
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
68
Fecha:
6 de febrero de 2024 - 19:25
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
12′ 28″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
37.20 MBytes

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