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V0201 Problemas01-02c

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Subido el 15 de noviembre de 2018 por Pablo De A.

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Bueno, pues vamos a empezar con los problemas de números complejos. 00:00:00
El primer problema son cuatro cuentas. 00:00:07
Entonces vamos a hacer las cuatro cuentas. 00:00:12
Me piden que exprese de forma binómica, polar y trigonométrica los siguientes números. 00:00:16
Y lo que me piden es, pues bueno, hacer unas cuentas, conseguir los números en forma binómica 00:00:24
y posteriormente pasarlos a forma trigonométrica y luego a forma polar. 00:00:31
Esto lo único que requiere es de un poquito de cariño y un poquito de orden, pero sois capaces de hacerlo perfectamente. 00:00:39
¿Cuadrado de una suma? 00:00:49
El primero al cuadrado más el segundo al cuadrado más el doble producto del primero por el segundo, 2 por 1 por i. 00:00:51
¿Cuánto vale 1 al cuadrado? Vale 1 00:00:59
¿Cuánto vale y al cuadrado? Vale menos 1 00:01:03
Y esto vale 2y, este se me va con este, este es igual a 2 por y 00:01:06
Bueno, forma binómica 00:01:12
¿Forma trigonométrica? Pues lo que tengo que hacer es calcular el módulo y el argumento 00:01:16
Y posteriormente ya, pues podré ponerlo en forma trigonométrica y en forma polar 00:01:27
Bueno, pues 2y igual. 00:01:33
Esta es la forma en la que os propongo hacerlo. 00:01:35
Cada uno lo expresáis como queráis. 00:01:38
Digo que el módulo de z es igual a la raíz de la parte real. 00:01:41
La parte real vale 0 más la parte imaginaria al cuadrado, que son 2. 00:01:46
Esto vale 2. 00:01:52
Y luego esto es arco tangente de la parte imaginaria entre la parte real, que es 2 entre 0. 00:01:54
Es decir, arco tangente de infinito. 00:02:02
El arco tangente de infinito, ¿cuál será? 00:02:07
Pues acordaos, la tangente de alfa es igual a seno de alfa entre coseno de alfa. 00:02:15
En el momento en el que este valor se me haga cero, la tangente se me irá al infinito. 00:02:23
Entonces lo que tengo que hacer es buscar cuál es el ángulo que me hace que el coseno valga cero. 00:02:28
Es arco coseno de cero. 00:02:39
Y estos son 90 grados porque el coseno de 90 es igual a cero y el seno de 90 es igual a uno. 00:02:44
Entonces estos son 90 grados. 00:02:56
Entonces, lo expresamos de forma polar. Sería 2 y un 90 abajo. 00:02:58
Y si lo expreso en forma trigonométrica sería 2 por el coseno de 90 grados más i por el seno de 90 grados. 00:03:07
Y acordaos que en forma binómica, en forma trigonométrica, no sustituyo los valores, simplemente los dejo así como están. 00:03:16
Y esta sería la forma polar. 00:03:30
Bueno, pues voy a resolver el resto de casos, pero voy a ir un poquito más rápido 00:03:31
Vale, 1 partido por i 00:03:37
¿Qué es lo que hago cuando tengo un número imaginario en el denominador? 00:03:39
Multiplicar y dividir por el conjugado 00:03:48
Entonces, ¿cuál es el conjugado de i? 00:03:50
El conjugado de i es menos i, entonces tengo i, multiplico y divido por el mismo número, que es menos i 00:03:52
entonces aquí me queda menos i 00:04:01
y abajo me queda i por i 00:04:03
i cuadrado 00:04:06
con un menos aquí 00:04:07
i entre menos 1 00:04:08
porque puedo quitar los menos 00:04:12
i cuadrado vale menos 1 00:04:15
y esto me queda menos i 00:04:16
ya está, esta es la forma binomical 00:04:18
módulo de z 00:04:23
sería la raíz de la parte imaginaria 00:04:27
i al cuadrado 00:04:32
es 1 al cuadrado más la parte real al cuadrado 00:04:34
que vale 0 00:04:36
Esto vale 1. Y el argumento es el arco tangente de la parte imaginaria entre la parte real, que es 0, infinito. 00:04:37
Esto es igual a 90 o 270. Recordad, este número, menos i, está aquí. 00:04:53
Este es el punto 0 menos 1, por tanto, este es el número menos i. 00:05:05
¿De qué ángulo estoy hablando? Estoy hablando de este ángulo. 00:05:12
Los 90 son estos, y estos son los 270. 00:05:16
Este ángulo y este ángulo tienen el mismo coseno, que es 0, y por tanto su arco tangente va al infinito. 00:05:23
Pues en este caso, estos son 200. Y la forma trigonométrica sería 1 coseno de 270 más i seno de 200. 00:05:30
Cuando tengamos un arco tangente, siempre voy a tener dos soluciones. 00:05:48
Si es positivo, porque estoy en el primer o en el tercer cuadrante, y si es negativo, porque estoy en el segundo o en el cuarto cuadrante. 00:05:54
Lo que tengo que hacer es entonces mirar en qué posición está mi punto, en cuál de los cuatro cuadrantes está mi punto, 00:06:05
y así tomo este valor o este valor si es positivo, o este valor y este valor si el arco tangente es negativo. 00:06:13
Todo esto que estamos practicando nos va a hacer el siguiente tema muchísimo más sencillo. Pensad en ello. 00:06:21
Bueno, vamos a continuar ahora mismo. Estoy con el apartado C, que me dice i a la 7 más i a la 17. 00:06:27
Bueno, vamos a escribirnos las potencias de i. 00:06:35
i a la 0 es 1, i a la 1 es i, i al cuadrado es menos 1, recordad que i es igual a la raíz de menos 1, 00:06:41
i cubo es menos i, i a la cuarta es igual a 1. 00:06:55
Es decir, cíclico. 00:07:02
Y a la quinta sería y, y a la sexta... 00:07:06
Pero bueno, vamos a hacerlo de la siguiente manera. 00:07:08
Y a la cuatro por y a la tres. 00:07:11
Esto es y a la siete, simplemente sumo los exponentes. 00:07:15
Y a la cuatro es uno, ¿vale? 00:07:18
Entonces me voy a quedar con el y al cubo, pero vamos a ir desarrollando poco a poco. 00:07:20
Y a la diecisiete. 00:07:24
Pues si a la diecisiete lo que hago es utilizar la división euclídea. 00:07:26
Divido en grupos de cuatro. 00:07:31
4 por 4, 16, y de resto me queda 1. 00:07:32
Esto sería lo mismo que i elevado a 4, elevado a 4, por i. 00:07:36
Aquí tengo el 4, aquí tengo el 4, aquí tengo el 1. 00:07:43
Reflexionad un poco sobre esto. 00:07:50
Aquí, simplemente, cuando dividía 7 entre 4, lo que me quedaría es 1, y de resto me quedaría 3. 00:07:52
Es decir, tengo un grupo de 4, 1 por 4, y 3 de resto. 00:08:04
Potencias de la misma base, sumo exponentes, 4 más 3 son 7. 00:08:11
Aquí, ¿qué es lo que tengo? 00:08:16
Potencia de la potencia, producto de los exponentes, 4 por 4, 16. 00:08:17
Y como es un producto luego de dos potencias, sería 16 más 1, 17. 00:08:22
Bueno, sustituyo. Y a la cuarta es igual a 1. 00:08:27
Y al cubo es igual a menos i. 00:08:30
más i a la cuarta, que es 1, elevado a la cuarta, por i a la 1, que es i, 00:08:34
es decir, me queda aquí, menos i, más i, y esto me sale, 00:08:43
que si no me equivoco es el resultado, sí, es el resultado. 00:08:53
Bueno, y voy a hacer el d, el d, después de todo lo que hemos hecho, 00:08:57
nos va a resultar muchísimo más sencillo. 00:09:02
Esto vale un medio de 1 más i por 1 más i a la menos 4. 00:09:03
Bueno, ¿qué hago? 00:09:13
Pues lo primero voy a poner esto de forma un poquito más limpia para que nos quede suficientemente mono. 00:09:18
Y a la menos 4 lo que tengo que hacer es que paso aquí el i a la 4. 00:09:26
Bueno, me voy a mis potencias 00:09:31
Y a la 4 vale 1 00:09:34
Pues entonces este 1 entre 1 me va a valer 1 00:09:35
1 más 1, 2 00:09:39
Vamos a ver cómo esto mejora todo un montón 00:09:40
1 medio de y más 1 00:09:44
Y 1 más 1 entre y a la cuarta, que es 1 00:09:46
Es decir, me queda 1 medio de y más 1 por 2 00:09:52
Y este 2 y este 2 se me van 00:10:00
por tanto me queda al final del todo 1 más i 00:10:02
perdonadme, luego hago un inciso sobre este ejercicio 00:10:05
1 más i, ¿qué tengo que hacer ahora? 00:10:12
módulo y argumento 00:10:15
pues módulo de 1 más i, módulo de z 00:10:17
a que es igual, es la raíz cuadrada de la parte real al cuadrado 00:10:20
más la parte real al cuadrado 00:10:24
más la parte imaginaria al cuadrado 00:10:27
1 al cuadrado más 1 al cuadrado 00:10:28
esto es raíz de 2 00:10:30
¿y el argumento cuánto vale? 00:10:32
Arco tangente de 1. 00:10:37
Bien, arco tangente de 1 es 45 grados. 00:10:40
¿Pero en qué cuadrante estoy? 00:10:44
¿Es positivo en el primero o en el tercero? 00:10:46
Pues si esto es positivo y esto es positivo, estoy en el primer cuadrante. 00:10:49
Esto vale 45. 00:10:53
Por lo tanto, esto vale raíz de 2 y su angulito 45. 00:10:55
Y expresado en forma trigonométrica, raíz de 2 por coseno de 45. 00:11:00
Más y seno de 40. 00:11:08
Bien. 00:11:13
Pues ya está hecho. 00:11:15
Recordad, la forma binómica en este caso sería esta. 00:11:18
Esta sería la forma polar. 00:11:22
Y esta sería la forma trigonométrica. 00:11:25
Y un pequeño inciso. 00:11:28
El número cero. 00:11:30
El número cero no hace falta que lo exprese ni de forma polar ni de forma binómica. 00:11:31
Porque no le puedo asociar ningún ángulo. 00:11:35
Porque el cero que está aquí podría asociarle a cualquier otro ángulo. 00:11:42
Si no lo habéis entendido, simplemente recordad que el número cero no tiene ni forma polar ni forma trigonométrica. 00:11:47
Porque si esto fuera cero, el módulo, y le pusiera el coseno de cualquier ángulo e i por el seno de cualquier ángulo, siempre me daría cero. 00:11:55
Esto es lo que se llama una aberración. 00:12:04
Es decir, es el punto en el que yo puedo tener una variable definida y la otra la tengo completamente indefinida, porque puedo poner cualquier punto. 00:12:05
Pero, simplemente deciros que el número 0 no tiene ni forma polar ni forma trigonométrica, exclusivamente tiene forma binómica. 00:12:16
Voy a hacer el ejercicio número 2. El ejercicio número 2, que ya lo hemos hecho en clase, z sub 1 es igual a 260. 00:12:26
z sub 2 es igual a, menos 1 más i, z sub 3 es igual a 2 coseno de 210, más i seno de 210. 00:12:35
Bueno, y entonces ahora lo que me piden son varias cuentas. 00:12:55
Me piden z sub 1 por z sub 2 por z sub 3, multiplicar conjugados y demás. 00:13:00
Bueno, pues vamos a poner todos los números, porque no estamos sumando ningún número en lo que me piden. 00:13:06
Voy a poner el enunciado aquí. 00:13:11
El enunciado me pide z sub 1 por z sub 2 por z sub 3, z sub 1 por el conjugado de z sub 2 dividido entre z sub 3, 00:13:14
z sub 3 a la cuarta y z sub 2 a la menos 2. 00:13:21
Bueno, pues lo que vamos a hacer es pasar todo a forma polar. 00:13:24
El z sub 1 ya está en forma polar, vamos a ver, z sub 2 es igual a, módulo de z es la parte real al cuadrado, es decir, menos 1 al cuadrado, más la parte imaginaria al cuadrado, que es 1 al cuadrado, y todo ello raíz, raíz de 2. 00:13:29
Alfa sub 2 es el arco tangente de la parte imaginaria que es 1 dividido entre la parte real que es menos 1 00:13:49
Arco tangente, bien, le doy a calculadora y me va a dar menos 45, menos 45 está en el cuarto cuadrante 00:14:01
¿En qué cuadrante estoy? Si tengo la x negativa, que sería esta zona de aquí, y la y positiva, que es esta zona de aquí, pues estoy en el segundo cuadrante 00:14:13
Por tanto, este ángulo de menos 45 se me transforma en este, que es de 90 más 45, que son 135. 00:14:22
Si cogéis la calculadora, tangente de 135, veréis cómo nos sale menos 1 también. 00:14:32
Entonces sale raíz de 2, 135. 00:14:43
Y este es z sub 2. 00:14:47
Y vamos a poner z sub 3 de forma polar también. 00:14:51
Sería el módulo 2. 00:14:55
Y luego, coseno más y seno, ya tengo el ángulo. 00:14:57
Recordad que la forma trigonométrica es el módulo, el módulo, 00:15:02
y el coseno del ángulo más y por el seno del ángulo, como este ángulo y este ángulo son iguales, 00:15:06
significa que ya está expresado en forma trigonométrica. 00:15:10
Por tanto, tengo estos tres números con los que voy a hacer algunas cuentas. 00:15:14
Bien, pues voy por el apartado a z sub 1 por z sub 2 por z sub 3. 00:15:19
El enunciado no me pide que lo deje en forma dinámica. 00:15:25
Por tanto, podría dejarlo en forma polar y sería correcto. 00:15:29
No obstante, lo que vamos a hacer es discutir un poco sobre los posibles valores y las implicaciones que tiene. 00:15:31
Pues z sub 1, 260. 00:15:37
Z sub 2, raíz de 2, 135. 00:15:40
Z sub 3, 2, 210. 00:15:46
2 por 2, 4 por raíz de 2, 4 raíz de 2. 00:15:51
el producto de números en forma polar, multiplico los módulos 00:15:55
y sumo los argumentos. Los argumentos los voy a sumar 00:15:59
o podría sumar de memoria, pero como estoy un poco torpe hoy 00:16:02
más 60 y esto me sale 405 00:16:06
vamos a transformar 60 00:16:12
405 más 60, vale. Esto 00:16:18
vamos a transformarlo en un número 00:16:22
vale, vamos a transformar el ángulo alfa, 405 00:16:26
vamos a hacer el número de vueltas 00:16:35
vamos a transformarlo en un ángulo de entre 1 y 360 00:16:37
pues mirad, dividiendo con la calculadora 00:16:42
yo todo esto os lo explico porque creo que son trucos 00:16:47
que os pueden ayudar, ya sabéis que el examen lo podemos hacer con calculadora 00:16:51
405 es igual a 360 más 45 00:16:54
¿Por qué lo sé? Porque 405 entre 360 es igual a 1, es igual a una vuelta, voy a quitar esto, no es muy correcto. 00:16:59
405 es igual a 5 es igual a una vuelta más el resto. 00:17:15
405 es igual a 1 por 360 más 45, que es el resto. 00:17:20
1 por 360, que es este de aquí, más 45. 00:17:28
Si yo tuviera otro número, sería el cociente multiplicado por el divisor más el resto, que es lo que tengo aquí. 00:17:31
Es decir, este ángulo es equivalente al de 45 grados. 00:17:38
Entonces tengo 4 raíz de 2 por 40. 00:17:43
Bien. ¿Cuál sería la forma polar? Esta. 00:17:48
¿Cuál sería la forma trigonométrica? 4 raíz de 2. 00:17:52
Lo voy a hacer en el primer caso nada más. 00:17:56
4 raíz de 2, 45, es igual a 4 raíz de 2 coseno de 45 más y seno de 45. 00:17:57
¿Y cuál sería la forma binómica? 00:18:09
Sustituyo los valores. 00:18:13
4 raíz de 2 por raíz de 2 partido por 2 más y raíz de 2 partido por 2. 00:18:15
Y esto lo voy a hacer de cabeza. 00:18:23
4 raíz de 2 por raíz de 2 son 8, entre 2 son 4. 00:18:24
más lo mismo, 4 raíz de 2 por raíz de 2 son, raíz de 2 por raíz de 2 son 2, 00:18:27
2 por 4, 8, entre 2 son 4, por i. 00:18:33
Y ahora voy a hacer el resto de ejercicios. 00:18:36
Un poquito más ligero. 00:18:39
Lo que pasa es que ya tengo la primera piedra en el camino. 00:18:42
Vamos a ver, z sub 2 conjugado. 00:18:46
Partido por, bien, tengo mis tres números en forma polar. 00:18:49
¿Cómo expreso un número? 00:18:59
¿En forma polar? Perdón, ¿cómo es el conjugado de un número en forma polar? 00:19:01
Bien, recordad, z sub 2 conjugado es igual a a menos bi, y z sub 2 es a más bi. 00:19:06
Bueno, ¿cuánto vale el módulo de z sub 2? Pues vale el mismo que el de z sub 2. 00:19:16
Fijaos, parte real al cuadrado más parte imaginaria al cuadrado, y todo ello raíz cuadrada. 00:19:25
Como esto es un menos, menos por menos más, esto es igual a la raíz de a cuadrado más b cuadrado, 00:19:32
esto es igual a la raíz de a cuadrado más b cuadrado, que aquí sí que no tengo que explicar mucho más, 00:19:39
y por tanto el módulo de z sub 2 es el módulo de z sub 2 conjugado, tienen el mismo módulo. 00:19:44
Vamos a ver el argumento. 00:19:53
Alfa sub 2, vamos a llamarle prima, sería el arco tangente de menos b partido por a. 00:19:54
Alfa sub 2, que sería este de aquí, arco tangente de b entre a. 00:20:05
Bien. 00:20:13
Si este es el valor alfa sub 2, si yo cambio la tangente de signo, ¿qué es lo que me da? 00:20:14
Pues me da el mismo ángulo pero cambiado de signo. Es decir, me sale menos alfa sub 2. 00:20:25
Entonces, alfa sub 2. Imaginaos que alfa sub 2 me da 45. 00:20:33
Pues ¿cuál es menos alfa sub 2? Es menos 45. 00:20:37
Pero ¿qué es lo que hago? Yo siempre quiero expresar mis ángulos en números positivos, no negativos. 00:20:42
¿Por qué? Porque me da menos posibilidades de error. 00:20:47
Entonces, lo que tendré que hacer es decir que alfa' sub 2 es igual a 360 grados menos alfa sub 2. 00:20:51
Dicho esto, vamos a expresar z sub 2 conjugado. 00:21:04
¿Cuál sería? En forma polar. 00:21:11
Raíz de 2 y 360 menos 135. 00:21:16
360 menos 135. 00:21:31
225, 225, z sub 1 por z sub 2 dividido entre z sub 3, ahora me voy arriba, z sub 1, 260, z sub 2 raíz de 2, 135, perdón, 225, he escrito el valor sin conjugar, 00:21:33
Divido entre z sub 3, y z sub 3 es 2, 210. 00:21:58
¿Qué hago? Multiplico los módulos, y los que multiplico sumo los argumentos, y los que divido resto los argumentos. 00:22:11
2 entre 2 es 1, raíz de 2, y ¿qué cuenta me queda? 00:22:18
Me queda 60 más 225 menos 210, que es raíz de 2 por, y el ángulo es 75. 00:22:25
Bueno, ¿vamos a expresarlo en forma trigonométrica? Pues este número, y perdonadme el desorden, sería raíz de 2 por coseno de 75 más y seno de 75, ¿bien? 00:22:39
Y este, como no es un ángulo conocido, si lo quiero expresar en forma binómica, pues tendré que morir al palo y hacerme la cuenta. 00:23:03
perdón, esta x por afuera 00:23:08
coseno de 75 00:23:13
0,36 00:23:15
raíz de 2 por coseno de 75 00:23:17
0,36 00:23:19
más 00:23:20
seno de 75, 1,36 00:23:23
bueno 00:23:31
y ahora voy a hacer 00:23:38
los dos que me faltan 00:23:40
que es 00:23:44
z3 a la cuarta 00:23:46
z3, 2,2,1 00:23:49
bien, recordad que el módulo 00:23:51
de cualquier número que está multiplicado por otro es el producto de los módulos. 00:24:09
Si lo que tengo es la potencia, si esto lo llamo Z, ¿vale? 00:24:13
¿El módulo de Z cuál va a ser? Va a ser el módulo de Z3 elevado a la cuarta. 00:24:19
¿El módulo de Z3 cuál es? Es 2. 00:24:23
Pues 2. 2 por 2, 4. Por 2, 8. Por 2, 16. 00:24:27
¿Y el argumento cuál es? Pues el nuevo argumento es 4 por alfa. 00:24:34
4 veces los 210, que son 4, 840. 00:24:39
transformo 840, ¿cuántas vueltas son? 00:24:43
Pues a ver, si no me equivoco, son 2, que son 710, 00:24:48
2 por 0 es 0, al 0, 2 por 6, 12, 00:24:51
al 14 me llevo 1, y 2 por 3, 6, 7, 00:24:56
al 8, 1, resto 120. 00:25:01
Es decir, 840 es igual a 2 por 360 más 120, 00:25:03
me quedo con este número. 00:25:11
Entonces, ¿cuál es mi cuenta? Z3 elevado a la cuarta es igual a 16 y de argumento tengo 120. 00:25:13
Este es mi número Z. Por tanto, Z es igual a 16 coseno de 120 más y seno de 120. 00:25:25
Y ahora, ¿cuánto vale el coseno de 120? Si estos son 60, y estos también son 60, este segmento y este segmento son iguales. 00:25:41
¿Y este ángulo cuánto vale? Este que he dibujado aquí. Pues este ángulo vale 180 menos 60, que son 120. 00:26:07
Por tanto, las razones trigonométricas de 120 son las de 60, solo que teniendo en cuenta los signos en el segundo cuadrante. 00:26:16
El seno es positivo, este va a ser positivo, y el coseno va a ser negativo, este va a ser negativo. 00:26:23
Bien, 16 por coseno de 60. ¿Cuánto vale el coseno de 60? 00:26:31
Pues el coseno de 60, si no me he equivocado, vale un medio. 00:26:37
Como digo que yo estoy un poco espeso, pues mira, vamos, y el seno es raíz de 3 partido por 2 por i. 00:26:40
Pero aquí hay un error. 00:26:51
Hemos dicho que el coseno tiene que ser negativo 00:26:54
Entonces me queda 00:26:59
Menos 8 00:27:02
Más 8 raíz de 3 00:27:03
Y este es mi número z 00:27:06
Y aquí está expresado en forma trigonométrica 00:27:09
Y aquí está expresado en forma polar 00:27:13
Lo estoy haciendo completo 00:27:14
Para que veáis que se puede pasar de uno a otro 00:27:16
Con muchísima facilidad 00:27:18
Pero lo que me interesa sobre todo 00:27:19
Es que sepáis 00:27:21
Que si no os dicen nada 00:27:22
cualquiera de estas expresiones es correcta 00:27:24
lo único que sí, yo todo esto lo desarrollo 00:27:26
seguramente pueda detectar 00:27:29
si me he equivocado o no me he equivocado 00:27:31
y el apartado D 00:27:35
el apartado D es 00:27:36
Z2 a la menos 2 00:27:38
bien, Z2 00:27:39
a ver si lo tengo por aquí 00:27:42
es raíz de 2, 135 00:27:48
Subido por:
Pablo De A.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
79
Fecha:
15 de noviembre de 2018 - 20:27
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
28′ 02″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.76

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