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18-3-BT1 - Contenido educativo

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Subido el 18 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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Os digo, si alguien tiene algún inconveniente en que se haga esta grabación, me lo decís y yo lo retiro la grabación, ¿vale? 00:00:00
Bueno, dicho eso, el otro día os puse una derivada que a mí siempre me gusta hacer, las derivadas sucesivas. 00:00:14
la di en una clase 00:00:21
no sé si la del lunes o la del miércoles 00:00:25
pero como a mí me parece muy importante 00:00:27
bueno, de todas formas quiero repetirla 00:00:29
porque creo que tiene la suficiente importancia 00:00:33
como para que os salga bien 00:00:36
por las reglas de derivación 00:00:39
como se simplifica este tipo de derivada 00:00:42
a ver, acordaos que la derivada del cociente 00:00:45
es la derivada del numerador por el denominador sin derivar 00:00:50
menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador 00:00:56
partido por el denominador al cuadrado. 00:01:00
Entonces, si yo hago la derivada, 00:01:03
si quiero calcular la derivada de esta función 00:01:06
que es racional a un cociente de polinomios, 00:01:09
derivo el numerador. 00:01:12
La derivada del numerador es 2x. 00:01:14
Ahora, por el denominador sin derivar, 00:01:16
que es 2x más 1 menos 00:01:19
ahora el numerador 00:01:21
lo dejo sin derivar 00:01:25
y lo multiplico por la derivada del denominador 00:01:26
que es 2. Acordaos que se pone 00:01:31
el denominador sin derivar al cuadrado 00:01:37
y aquí se hacen las operaciones. Esta parte 00:01:40
generalmente no tenéis problemas 00:01:43
pero aún así lo que tenéis que recuperar es la primera evaluación 00:01:46
Esto es un buen repaso. 2x por más 1 es 2x. 00:01:49
Y ahora, con cuidado estos signos. Si queréis hacerlo aquí encima, porque aquí os equivoquéis mucho con los signos. 00:01:54
Esto sería menos 2x cuadrado menos 2, pero con el menos delante. 00:02:01
De tal forma que queda menos 2x cuadrado más 4. 00:02:07
y bueno, denominador ya os dije 00:02:13
que dejarlo así, que está factorizado 00:02:16
y está mucho mejor así 00:02:18
luego simplificáis 00:02:21
los términos de x cuadrado 00:02:23
y lo demás no se puede simplificar 00:02:25
entonces esta derivada 00:02:28
más o menos 00:02:31
y esta es la que me gusta 00:02:32
que penséis 00:02:36
porque para 00:02:37
si sabéis esto, sabéis prácticamente 00:02:39
todas las rondas de derivación 00:02:41
A ver, vuelvo a hacer la derivada del numerador. 00:02:43
La derivada del numerador es, bajo el 2, ¿no? 00:02:47
4, y si hubiera x cuadrado, ahora es x elevado a 1. 00:02:51
Más la derivada de 2x, que es 2. 00:02:55
Más la derivada de un número, que es 0. 00:02:59
Ahora, por el denominador sin derivar. 00:03:03
Menos el numerador, lo dejo sin derivar. 00:03:09
y ahora tengo que derivar esto 00:03:13
y para derivar esto 00:03:19
tengo que utilizar la regla de la cadena 00:03:21
¿por qué? 00:03:23
porque esto está elevado al cuadrado 00:03:33
¿cuál es la derivada de elevado al cuadrado? 00:03:35
se baja el 2 00:03:40
y lo de dentro 00:03:41
queda en vez de elevado a 2 00:03:43
elevado a 1 00:03:45
por 00:03:46
la derivada de lo de dentro 00:03:48
la derivada de lo de dentro es 00:03:52
es 2 00:03:54
Y aquí abajo queda 2x más 1 elevado a, como está elevado, hay que elevar al cuadrado, una cosa que está elevada al cuadrado queda elevado a 4. 00:03:55
Entonces, llegados aquí, hay gente que dice, de aquí qué he hecho, 2x más 1 dos veces y de aquí una, entonces 2 y 1, 3, pues lo tacho con esto y me queda 1. 00:04:08
Eso no se puede hacer, porque como os dije el otro día, para simplificar factores en una fracción tienen que ser factores comunes. 00:04:23
Entonces, si yo quito de aquí 1 y quito de aquí 1 2x menos 1, que es como si me hubiera sacado factor común, solo quito 1 de abajo, porque arriba solo he podido sacar factor común a un factor 2x más 1. 00:04:35
Y después de esto tenéis unas cuentas que tienen que salir bien. La parte de abajo afortunadamente no hay que trabajarla y aquí sería 4x por 2x que es 8x cuadrado, 4x por más 1 que es más 4x, 2 por 2 que sería 4x, 2 por 1, 2. 00:04:51
todas estas cuentas que salgan bien 00:05:15
y ahora aquí, si os fijáis, tengo 00:05:19
2 por 2, 4 00:05:22
y aquí hay un menos, ¿no? 00:05:25
Si no lo hacéis con seguridad, haced como aquí. 00:05:29
Yo sé que tengo que multiplicar todo por menos 4. 00:05:34
Menos 4 por 2x cuadrado, menos 8x cuadrado. 00:05:36
Menos 4 por 2x, menos 8x. 00:05:41
Y menos 4 por 4, menos 16. Entonces, aquí puedo tachar 8x cuadrado con menos 8x cuadrado. Este 4 más 4, que es 8x, se me va con esto, ¿no? Y me queda solo menos 14x. 00:05:44
¿Daba esto el otro día? 00:06:05
Yo sé que sale el número, pero no me suena que sea el 14 00:06:09
Pero vamos, están bien en cuenta 00:06:13
Bueno, entonces, que sepáis que para mí este ejercicio tiene mucho valor 00:06:16
Porque indica que sepáis hacer, que sabéis utilizar las reglas de derivación 00:06:25
Luego el otro tema es que os sepáis la tabla de derivadas. Que la tabla de derivadas, los de ciencias, la tenéis bastante completa. 00:06:32
Bueno, y dicho esto, vamos a la parte más agradable que es la de aplicaciones. Yo en este curso os voy a pedir monotonía prácticamente y a partir de la monotonía que es crecimiento y decrecimiento y fundamentalmente, sobre todo, la aplicación a las gráficas. 00:06:42
De esto hablamos el otro día. Os voy a poner el ejemplo otra vez. No era exactamente este, el del otro día. Pero quiero que veáis esta función. Y quiero que recordéis que la derivada era la pendiente de la recta tangente. 00:07:04
Aquí, ¿la derivada es positiva o negativa? Aquí es positiva porque la recta tangente es creciente. Aquí es positiva o negativa. 00:07:23
¿Esto sube o baja? 00:07:36
Si es horizontal, tiene pendiente cero. 00:07:39
O sea que no es ni positiva ni negativa. 00:07:42
Aquí, como veis, también es cero. 00:07:44
Aquí también, ¿no? 00:07:47
Estos puntos van a ser importantes, los puntos en los que la derivada es cero, 00:07:48
porque nos van a separar los trozos donde la pendiente es positiva o negativa. 00:07:54
Bueno, yo este trozo de función, como no sé cómo va, lo voy a dejar un poquito así. 00:08:01
Bueno, aquí habría un punto también que la derivada es... lo voy a llamar c, ¿no? Bueno, entonces, si os fijáis, la función es creciente desde aquí a aquí, ¿no? No, aquí es decreciente, ¿no? 00:08:06
Este trozo de gráfica lo voy a ignorar. 00:08:26
¿En este intervalo cómo es la función? 00:08:30
¿Creciente o decreciente? 00:08:34
Decreciente. 00:08:36
¿Creciente, no? 00:08:37
¿Sí? 00:08:39
¿Y en este trozo? 00:08:40
Decreciente, ¿no? 00:08:43
¿Sí? 00:08:44
Bueno, pues yo sé que f es creciente. 00:08:45
Esto se mira en la x, entre x3 y x5. 00:08:51
En el intervalo x3, x5. 00:08:54
F es, no, es decreciente, perdón. ¿Entre X5 y X6 cómo es? Creciente. Entre X5 y X6. ¿Y qué pasa entre X6 y C? O sea, unión X6-C. 00:08:59
¿No? ¿Sí? Bueno, pues aquí la derivada va a ser negativa. Aquí la derivada va a ser positiva. 00:09:26
Y ahora, ¿qué pasa si la derivada es cero? Pueden pasar tres cosas. Voy a decir en un punto, ¿sí? 00:09:39
Aquí, ¿qué pasa? Que tengo una cima, ¿no? Bueno, pues a una cima se le llama máximo. Máximo en, ¿no? Bueno, aquí puede haber un máximo. ¿Qué pasa aquí? Que hay un mínimo. Puede que la función sea creciente o decreciente. 00:09:53
Os voy a poner un ejemplo. Esto es lo que se llama un punto de inflexión, pero bueno, esto no lo doy en este curso. Si yo tengo una función así, esta función no para de crecer, ¿verdad? Pero aquí la tangente es cero, ¿no? ¿Sí? Entonces, puede ser creciente o decreciente. 00:10:27
No sé si alguien quiere preguntar algo. Bueno, entonces, esto es lo básico. El estudio de la monotonía va a ser el estudio del signo de la derivada. Y esto es para que veáis esa cuenta tan rara que para algunos la visteis por primera vez el otro día, pues ¿para qué sirve? 00:10:51
Y es muy importante saber si tenéis una empresa, si los beneficios crecen o no decrecen, o si los gastos suben o bajan, ¿no? O cómo conseguir los gastos mínimos o los beneficios máximos, ¿no? Bueno, esto es el resumen de lo que os he dicho ahora, ¿vale? 00:11:14
Entonces, vamos a ver cómo se aplica esto. Bueno, el del polinomio debería resultar sencillo y luego una función racional y prácticamente esto es la clase de hoy. 00:11:33
Bueno, vamos a ver. Estudio de la monotonía. Esta función. Esta función es polinómica. Estos los tenéis que hacer perfectos, con un polinomio. A ver, monotonía quiere decir decidir dónde es creciente, dónde es decreciente y calcular si tiene máximos o mínimos. 00:11:49
Los máximos y mínimos pueden ser, esto por ejemplo, este es un máximo absoluto y este es un máximo relativo. 00:12:16
Este es relativo. Supongo que lo veis, ¿no? El absoluto es que es el más alto de todos. El Everest es el más alto, ¿no? Pero si tenéis el Anapurna, pues este es un máximo en una región, pero tiene al lado el Everest, donde la altura es más alta. 00:12:35
Entonces, ¿cómo se hace esto? 00:12:54
¿Cómo se hace? Pues importante, primero se estudia el dominio, se estudia el dominio, 00:13:01
Luego, se iguala a cero la derivada y luego se decide el signo de la derivada en cada intervalo. 00:13:14
Entonces, primera parte. ¿De qué tipo es esta función? Polinómica. ¿Y si es polinómica? ¿Cuál es el dominio? Son todos los números reales, ¿no? Se puede sustituir en cualquier punto. 00:13:45
Segundo, segunda parte 00:14:15
¿Cuál es la derivada de esta función? 00:14:18
Bajo el 3, ¿no? 00:14:25
3x cuadrado menos 00:14:27
menos 27, ¿no? 00:14:29
¿Sí? 00:14:32
Igualo a cero 00:14:34
¿Entendéis por qué igualo a cero? 00:14:35
Porque, ¿os acordáis del esquema que os he hecho en la otra figura? 00:14:39
Que había localizado los puntos donde la derivada es cero 00:14:43
Porque ahí es donde puede cambiar de creciente a decreciente o al revés. 00:14:46
Bueno, pues queda 3x cuadrado menos 27 igual a 0. 00:14:52
¿Cómo resuelvo esto? 00:14:57
3x cuadrado igual a 27. 00:15:00
Entonces, x cuadrado es 27 entre 3, que es 9, ¿no? 00:15:05
Y ahora, pensadlo antes de decirlo. 00:15:12
¿Cuánto vale? 00:15:16
Ahí estamos. 3 o menos 3. No os olvidéis de la solución negativa. 00:15:17
¿Sí? La tercera parte es tomar un segmento. 00:15:32
A ver, ¿dónde puedo hacer esto? 00:15:43
Aquí. Tomo la recta. Señalo el 3. 00:15:45
Y el menos 3. 00:15:56
Elijo un punto aquí, por ejemplo, el menos 4, ¿está bien? 00:16:00
Vale, pues hago 3 por menos 4 al cuadrado menos 27. 00:16:09
Esto lo hago con la calculadora y me sale 21. 00:16:17
¿Es positivo? 00:16:25
Esto es positivo. 00:16:27
¿Qué quiere decir? ¿La función aquí es creciente o decreciente? 00:16:29
Crece. 00:16:33
Elijo un punto entre menos 3 y 3. 00:16:36
Por ejemplo, tú eliges el 2, pero yo elijo el 0 porque es más cómodo. 00:16:39
3 por 0 al cuadrado, menos 27. 00:16:46
Sale menos 27, menor que 0. 00:16:50
Entonces, aquí digo que la función es decreciente. 00:16:53
hay gente que le gusta poner la flecha así 00:16:57
la flecha así 00:17:01
bueno, esto es un esquema cada uno que lo haga como quiera 00:17:04
y aquí por ejemplo tomo el 4 00:17:07
pues sale 3 por 4 al cuadrado 00:17:11
menos 27 00:17:14
que sale 21 00:17:17
o sea que aquí la función crece 00:17:18
y ahora que no se os olvide 00:17:22
después de haber hecho esta cuenta la compro 00:17:25
¿Dónde empieza este intervalo? En menos infinito. Bueno, f es creciente desde menos infinito hasta menos 3. 00:17:27
¿Y algún otro trozo donde es creciente? Entre 3 e infinito. Ahora, ¿dónde es decreciente? A ver, ¿de menos 3 a dónde? 00:17:51
A ver, de aquí a aquí, ¿no? O sea, de menos 3 a 3, ¿no? 00:18:13
Lo siguiente lo voy a hacer por lógica. Si aquí es creciente y aquí es decreciente, aquí queda un máximo o un mínimo o nada. Aquí hay un máximo. 00:18:24
Y si aquí decrece y luego crece, habrá un mínimo. Efectivamente. Pues tiene un máximo en x igual a 3. Muchas veces me interesa saber cuál es ese máximo. 00:18:36
O sea, yo puedo decir, ah no, es en x igual a menos 3, ¿no? 00:19:02
Y yo quiero dibujar ese punto donde tengo que sustituir en la derivada o en la función. 00:19:09
En la función, efectivamente. 00:19:18
Y de menos 3 es menos 3 al cubo menos 27 por menos 3. 00:19:21
Y esto, si lo hacéis, sale 54. 00:19:30
Pues entonces, de aquí saco que el máximo es el menos 3, 54. 00:19:36
Y ahora, hay un mínimo en x igual a 3. 00:19:47
Y de 3 es 3 al cubo menos 27 por 3. 00:19:54
Que yo sé que esto es menos 54. 00:20:02
pues hay un mínimo 00:20:05
en menos 3 00:20:07
perdón, en 3 00:20:10
3 menos 50 00:20:11
¿vale? 00:20:16
entonces, esto es estudiar la monotonía 00:20:18
de una función 00:20:20
primero, que no se os olvide 00:20:21
siempre pedirle el DNI 00:20:24
a la función, que es su dominio 00:20:26
y luego estudiar el signo de la derivada 00:20:29
y, por último, sacar las conclusiones correspondientes. 00:20:36
Bueno, como siempre os digo, nos metemos en el ceocebra, en la calculadora gráfica, 00:20:40
y la función que era, a ver, x cubo menos 27x, ¿no? 00:20:53
Bueno, pues si ponéis aquí x elevado a 3 menos 27x, os sale esta función. 00:21:04
No sé si veis que este es el máximo, menos 354. 00:21:20
Lo voy a poner aquí. Voy a poner máximo de F entre 5 y 5. Aquí te piden valor. Ahí va, porque sale menos 3,9998. 00:21:24
Sí, no, no, es que aquí no lo pone exactamente. Es una cosa curiosísima. Ah, ya, ya, ya. A ver, es entre menos 5 y menos 1. Creo que es por esto. 00:22:07
no sé por qué 00:22:21
está dando aquí un valor que no es exactamente 00:22:26
menos 3, porque el valor exacto es menos 3 00:22:29
no sé por qué 00:22:31
entonces voy a quitarlo de aquí 00:22:33
para que la gráfica sea bien, no sé por qué 00:22:34
esto nunca me 00:22:37
deja, pero 00:22:38
vamos que hay algo 00:22:42
por ahí en la programación de esto 00:22:44
que 00:22:46
que fascina un poquito 00:22:47
bueno, entonces 00:22:50
esto lo pongo como 00:22:52
carácter y vamos al siguiente. Este siguiente, este es el que os dice ya si el tema de derivadas 00:22:54
y la parte de función, porque es una función racional. Entonces, vamos a estudiar la monotonía 00:23:01
de esta función. Esta función ya hemos dicho que es racional. El mismo esquema de antes, 00:23:10
punto uno, dominio. Bueno, la función ya os he dicho que es racional. ¿Qué quiere 00:23:20
decir que es racional. ¿Cuál es su dominio? Excepto los valores que anulan el denominador. 00:23:28
Esto, acordaos, esto es del primer día que empezamos funciones. Los dominios, incluso 00:23:48
creo que han caído en algún ejercicio de examen, son fundamentales, por lo menos, de 00:23:56
funciones polinómicas, que son todos los números reales, 00:24:02
eso lo sabíais, las racionales, las que tienen radical 00:24:06
y las logarítmicas, ¿no? 00:24:09
Bueno, ahora, segunda parte. Ah, bueno, 00:24:14
no he terminado. ¿En qué valores 00:24:20
el denominador es cero? En x igual a cero. 00:24:24
Bueno, segunda parte. Derivo 00:24:34
la función. ¿Cómo se deriva esta función? Derivada del numerador, que es 1, por denominador 00:24:37
sin derivar, menos numerador sin derivar por derivada del denominador. Y aquí partido 00:24:50
por el denominador al cuadrado. 00:25:00
Hacemos las cuentas. 00:25:02
X menos X menos 1 00:25:04
partido por X cuadrado. 00:25:06
O sea, queda menos 1 00:25:09
partido por X cuadrado. 00:25:10
¿Sí? 00:25:12
¿Qué hago con esa derivada? 00:25:13
La tengo que igualar a 00:25:18
a cero. 00:25:19
Esto que os parece tan difícil 00:25:21
es muy sencillo porque lo que está 00:25:23
dividiendo pasa 00:25:25
multiplicando. 00:25:26
Menos 1. ¿Y cuánto es X cuadrado por cero? 00:25:29
Esto no tiene solución, ¿no? Pues ahora me diréis, a ver, el apartado 3 consiste en dibujar la recta y señalar los puntos donde la derivada es 0. ¿Qué puntos tengo que señalar? Ninguno. 00:25:32
entonces uno podría decir 00:25:56
si no hay ningún punto es siempre creciente 00:25:58
o siempre decreciente 00:26:01
pero aquí 00:26:02
hay que tener en cuenta 00:26:05
que hay un punto 00:26:07
que no es del dominio 00:26:14
y si hay un punto que no es 00:26:16
del dominio 00:26:18
hay que señalarlo como un punto hueco 00:26:19
porque si aquí 00:26:22
la función no es continua 00:26:24
puede que en un trozo la derivada 00:26:26
tenga un signo y en el otro tenga otro 00:26:28
Entonces, ya tengo dos trozos. Por ejemplo, elijo un número aquí. El, pues el menos uno, por ejemplo, ¿no? 00:26:31
Un número más pequeño que el cero, o sea, que sería menos uno partido por menos uno al cuadrado. Esto vale menos uno, que es negativo, ¿no? 00:26:45
¿Cómo es la función aquí? 00:26:54
¿Creciente o decreciente? 00:26:59
decreciente 00:27:01
o sea que va para abajo 00:27:03
y ahora si calculo la derivada 00:27:07
en el 1 00:27:10
me sale menos 1 partido por 1 al cuadrado 00:27:11
también sale menos 1 00:27:14
negativo, entonces aquí es 00:27:15
decreciente 00:27:18
y aquí en el 0 00:27:20
¿qué hay? ¿máximo o mínimo? 00:27:25
no hay nada 00:27:27
por dos motivos 00:27:28
primero porque si crece y sigue 00:27:30
si decrece y sigue bajando 00:27:32
no puede haber un mínimo 00:27:34
¿no? pero 00:27:36
ese no es el verdadero motivo 00:27:37
el verdadero motivo es que como no está 00:27:40
definida la función no puede haber 00:27:42
nada, entonces 00:27:44
pasamos a la conclusión 00:27:46
¿cuál sería la conclusión? 00:27:48
que f es 00:27:53
decreciente ¿dónde? 00:27:53
de aquí a aquí ¿no? 00:28:03
de menos infinito 00:28:06
a cero 00:28:07
en el cero no existe con lo cual 00:28:08
el intervalo es abierto 00:28:11
y lo de cero infinito. 00:28:13
Aquí, en este caso, el estudio de la monotonía parece más corto. 00:28:20
Si queréis dibujar la función de un geogebra, pues la podéis dibujar 00:28:26
y ya veréis que es una función que siempre es decreciente. 00:28:29
Bueno, entonces, vamos ya a lo último de hoy, que no es poco, 00:28:37
porque estas cosas hay que practicarlas, 00:28:41
que es la representación gráfica de funciones. 00:28:43
A ver, en el libro os habla de varias cosas. Os habla de si la función es par o impar. Yo no os lo voy a pedir. Yo solo os voy a pedir el dominio que ya lo hemos estudiado. 00:28:46
Los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas, que es bastante sencillo. 00:28:59
Y el cálculo de las asíntotas, que ya lo hemos visto, y el estudio de la monotonía y los puntos críticos. 00:29:07
Los puntos críticos, que sepáis que son los máximos o mínimos. 00:29:15
Bueno, entonces, este ejercicio, que a mí me parece sorprendente, este ejercicio es de Bau y es un ejercicio de primero. 00:29:20
Aquí os tengo que decir que no voy a hacer los cortes con los ejes porque no salen exactos. 00:29:30
Y, de hecho, el ejercicio no lo pide. 00:29:36
Pero vamos, entonces, estrategia aquí. 00:29:38
El dominio. Como es una función polinómica, el dominio es todos los números reales. 00:29:42
Puntos de corte no los pide, no los voy a hacer porque no saben exactos. 00:29:52
Asíntotas. ¿Qué asíntotas tienen polinomio? 00:29:57
Acordaos, un polinomio no tiene asíntotas. 00:30:00
Y por último, monotonía. 00:30:04
Pues la monotonía es lo que le vamos a dar más importancia aquí. 00:30:08
¿Vale? Entonces, vamos a ver cómo se representa esta función. Primero, uno, el dominio. ¿Cuál es el dominio? Todos los números del control. ¿Sí? Bueno, cortes no los piden. Luego, en el otro sí que lo haremos, ¿no? No los piden. Hay veces que no piden todo. 00:30:11
Y asíntotas no tiene porque es un polinomio. 00:30:39
Porque es polinómica. 00:30:47
Porque es polinómica. 00:30:51
Bueno, pues nos vamos directamente a lo que hemos hecho antes. 00:30:58
¿Qué tengo que hacer ahora? 00:31:01
La derivada, ¿no? 00:31:04
La derivada de esta función es 3. 00:31:05
La 0. 00:31:13
Tomo la derivada y la igualo a 0. ¿Qué me sale? 3x cuadrado igual a más 3. x cuadrado es 3 partido por 3, que es 1. ¿Y cuánto vale x? Vale la raíz de 1, pero que puede ser o más o menos. 00:31:14
acordaos que hay dos posibilidades 00:31:47
menos uno, menos uno 00:31:49
y ahora, tercera parte 00:31:51
me voy a la recta 00:31:54
que está 00:31:56
y señalo el 00:31:58
menos uno 00:32:00
y el uno 00:32:02
como el dominio es todo R, no tengo que poner 00:32:03
puntos huecos, y ahora por ejemplo 00:32:05
aquí, ¿qué diríamos? 00:32:07
y' en 00:32:10
menos dos, por ejemplo 00:32:11
¿cuánto sale? 00:32:14
3 por menos 2 al cuadrado 00:32:15
menos 3 00:32:20
bueno, mano calculadora 00:32:21
3 por 4, 12 menos 3 es 9 00:32:23
conclusión aquí 00:32:26
flecha para arriba o para abajo 00:32:27
para arriba 00:32:29
por ejemplo aquí 00:32:33
en el 0 00:32:36
saldrá la derivada 00:32:37
menos 3 00:32:40
¿no? porque es 0 menos 3 00:32:42
menos 3, ¿qué pongo? 00:32:44
decreciente 00:32:47
y por ejemplo en el 2 00:32:49
calculo 3 00:32:51
por 2 al cuadrado menos 3 00:32:54
y sale 9 00:32:56
y pongo 00:32:57
creciente, que sepáis que no siempre 00:32:57
es arriba, abajo, arriba, abajo 00:33:01
por ejemplo en la anterior era abajo, abajo 00:33:03
bueno, entonces 00:33:05
conclusión 00:33:07
f es creciente, ¿dónde? 00:33:08
en este trozo 00:33:19
¿y este trozo cuál es? 00:33:28
de menos infinito 00:33:30
¿hay algún otro trozo en que sea creciente? 00:33:32
¿desde dónde? 00:33:39
¿dónde empieza a subir? 00:33:44
desde 1 hasta el infinito 00:33:49
¿ahora dónde es decreciente la función? 00:33:51
en el intervalo menos 1, 1 00:33:57
¿y ahora qué pasa aquí? 00:34:01
Sí sube y baja. Aquí hay máximo. ¿Y aquí? Pues todo eso lo pongo. X igual a menos 1, hay un máximo, ¿no? ¿Cómo calculo la Y? Sustituyendo aquí, ¿no? 00:34:04
menos 1 elevado al cubo 00:34:34
menos 3 por menos 1 00:34:38
más 1 00:34:40
y esto sale 00:34:41
menos 1 00:34:42
sale 3, ¿no? 00:34:48
Entonces, al máximo 00:34:53
lo llamo m matriz. 00:34:55
La x vale menos 1 00:34:58
y la y vale 3. 00:34:59
Y en x igual a 1 00:35:01
hay un mínimo, ¿no? 00:35:03
Si la x vale 1 00:35:06
la y vale 00:35:08
1 al cubo 00:35:09
menos 3 por 1 00:35:11
más 1. 00:35:14
Y esto sale 00:35:17
menos 1, ¿no? 00:35:18
O sea, que el mínimo es 00:35:21
menos 1. 00:35:24
¿Sí? 00:35:26
Bueno, pues ahora, ¿cómo uso esta función? 00:35:27
Porque la última parte 00:35:33
es representar la función. 00:35:34
Lo voy a hacer en otra 00:35:36
de esta porque si no es un fobio. 00:35:38
Vale. 00:35:47
Bueno, máximo en 00:35:49
uno menos uno. 00:35:50
Bueno, pues con estos 00:35:53
datos se puede hacer un esbozo 00:35:55
de la función. 00:35:56
¿De qué forma? Dibujo los ejes 00:35:58
y hemos 00:36:01
dicho que había un mínimo 00:36:05
en uno menos uno. 00:36:07
Es este punto. 00:36:09
Como es mínimo, se lo pongo 00:36:11
la m pequeña de base. 00:36:13
¿Y el máximo estaba en qué punto? 00:36:15
No, era más grande. A ver, ¿era el? 00:36:21
Menos 1, 3. 00:36:26
Menos 1, 3. 00:36:29
Como es un máximo, le pongo una M mayúscula y se la pongo arriba. 00:36:32
Entonces, ¿qué sé yo de esta función? 00:36:37
Que aquí hay un máximo, que aquí hay un mínimo, y luego lo uno como pueda. 00:36:39
Pues, ¿cómo uniría esto con esto? Pues más o menos así, de la forma más suave posible, y aquí remonta hacia arriba y esto hacia abajo. 00:36:46
Los puntos de corte en este caso son difíciles de calcular, por eso no os lo pide este ejercicio. 00:36:57
De todas formas, en el siguiente sí voy a hacerlo para que veáis. 00:37:04
Tenéis un montón de actividades propuestas. Algunas están resueltas también en el libro para que tengáis una referencia. Yo insisto, os voy a pedir dominio, puntos de corte, asíntotas y monotonía, que es lo que más he dado. 00:37:09
las simetrías y no sé si la periodicidad 00:37:28
pues no 00:37:31
os la voy a preguntar. Si queréis leerosla, pues siempre es interesante. 00:37:33
Bueno, y aquí voy a intentar hacer 00:37:38
el estudio completo de la función. Me quedan 00:37:40
15 minutos, con lo cual se me da tiempo. 00:37:43
Y además, bueno, al menos está 00:37:46
vale. Vamos a ver. 00:37:48
Tenemos esta función real de variables 00:37:56
reales, de esos números reales 00:37:59
definida por 00:38:02
esta función aquí. Entonces vamos a hacer 00:38:03
primero el dominio, 00:38:07
luego los cortes 00:38:13
con los ejes, 00:38:14
luego las asíntotas 00:38:18
y luego por último la monocamera. 00:38:19
¿Cómo empiezo con el dominio? 00:38:30
¿De qué tipo es esa función? 00:38:39
Polinómica, racional, 00:38:41
radical, 00:38:43
logarítmica. 00:38:44
Es racional, ¿no? 00:38:47
O sea que son todos los números 00:38:48
reales excepto los valores que anulan el denominador pues hago el cálculo aquí 00:38:50
hay que hacer la ecuación de segundo grado completa 00:39:09
esto si no me equivoco si recordáis de la primera evaluación os recomendaba que 00:39:11
esto lo hicierais con la calculadora sale 16 la raíz de 16 es 4 lo dividís 00:39:28
entre 2 y hay dos posibilidades 00:39:33
Menos 2 más 4 entre 2, que es 2 entre 2, que es 1 00:39:35
Y menos 2 menos 4 entre 2, que sale menos 3 00:39:42
O sea que el dominio de la función son todos los números reales excepto el menos 3 y el 1 00:39:47
Esto no es un intervalo, son dos puntos sueltos, el menos 3 y el 1 00:39:55
Bien, la segunda parte de cortes con los ejes es sencilla, pero tenéis que acordaros. 00:40:00
Los cortes con los ejes se producen o bien cuando x es igual a 0. 00:40:11
Si x es igual a 0, tengo que calcular la y, que es f de 0, que es 10 partido por 0 al cuadrado más 2 por 0 menos 3. 00:40:17
Y esto, si no me equivoco, sale menos 10 tercios. 00:40:28
O sea que el primer punto de corte es aquel en el que la X vale 0 y la Y vale menos 10 tercios. 00:40:33
Hay otros cortes que son con el eje de la X, que es cuando la Y vale 0. 00:40:51
¿Cuándo la i vale cero? Pues cuando la función vale cero. 00:40:59
Y como siempre aquí, veis esto, parece que es una cosa complicadísima, pero lo que estamos dividiendo pasa multiplicando. 00:41:06
Entonces cero es igual a diez. ¿Y qué significa cero igual a diez? 00:41:20
Eso es imposible, ¿no? Efectivamente no tiene solución. 00:41:26
Entonces, solo hay un punto de corte y es cuando x igual a cero. 00:41:32
Cuando x igual a cero, pues desgraciadamente o afortunadamente no hay punto de corte. 00:41:37
Seguimos con las asíntotas. Esto, como veis, es un repaso de este tema y del anterior. 00:41:43
Asíntotas. A ver, ¿puede tener asíntotas verticales? 00:41:50
¿Dónde se buscan las asíntotas verticales? 00:41:59
en los puntos que no son del dominio, ¿no? 00:42:02
Candidatos, pues por una parte, en x igual a menos 3, ¿no? 00:42:08
Tengo que hacer el límite cuando x tiende a menos 3 de la función 00:42:19
y esto sale 10 partido por 0. 00:42:24
¿Qué pasa si sale 10 partido por 0? 00:42:39
Que el límite es o más o menos infinito. 00:42:43
Pues aquí hay asíntota vertical. 00:42:48
Asíntota vertical. 00:42:51
No sé si va hacia un lado o hacia otro, pero ya veréis cómo lo vamos a sacar. 00:42:53
Pues la asíntota vertical es x igual a menos 3. 00:42:58
¿Cuál es el otro candidato? 00:43:04
x igual a 1, ¿no? 00:43:08
x igual a 1. 00:43:21
Pues vamos a ver, el límite cuando x tiende a 1 de la función, bueno, esto lo he escrito mal, lo voy a dejar así, lo correcto es ponerlo así. 00:43:23
Esto sale 10 y aquí hago 1 más 2, 3 menos 3, 0. 00:43:41
O sea que de nuevo hay otra asíntota vertical. 00:43:47
Hay una asíntota vertical en x igual a menos 3 y una asíntota vertical en x igual a. 00:43:52
Y lo último. 00:43:59
¿Hay asíntota horizontal, oblicua o ninguna? 00:44:02
hay asíntota 00:44:06
horizontal, yo lo sé 00:44:11
porque el grado del numerador es más pequeño 00:44:13
o igual que el del denominador 00:44:15
pero 00:44:17
si no lo sé 00:44:18
tengo que hacer el límite 00:44:21
cuando x tiende a infinito 00:44:23
de 10 partido por 00:44:24
x cuadrado más 2x 00:44:27
menos 3 00:44:30
acordaros, se toma el término 00:44:30
de mayor grado del numerador y del denominador 00:44:33
y cuántos 00:44:36
10 partido por infinito? 00:44:38
Si yo divido 00:44:40
10 euros entre infinitas personas, 00:44:42
¿a cuánto toca? A cero, 00:44:44
¿no? Pues 00:44:46
entonces hay una asíntota 00:44:47
horizontal en 00:44:50
i igual a cero. 00:44:51
Como es racional, sé que va a ser 00:44:53
por la izquierda y por la derecha. 00:44:55
En infinito y en más infinito. 00:44:57
Bueno, pues entonces 00:45:00
ya tengo ahí un montón de cosas. 00:45:01
Tengo dos asíntotas 00:45:03
y tengo 00:45:04
Y tengo un punto de corte, ¿no? Vale. Entonces, voy a coger la función de nuevo, que no se me olvide. 00:45:06
que sea hasta ahora 00:45:31
pues que tengo 00:45:40
una función 00:45:43
que tiene una asíntota 00:45:44
vertical 00:45:49
en x igual a 1 00:45:50
tiene una asíntota vertical 00:45:53
en x igual a menos 3 00:46:00
era el otro 00:46:02
y además tiene dos asíntotas vertical 00:46:03
asíntota vertical 00:46:10
y tiene una asíntota 00:46:12
horizontal 00:46:14
que os dije que en una función racional 00:46:15
si está por la izquierda, también vale por la derecha. 00:46:18
Si me vale por la derecha, vale por la izquierda. 00:46:22
Que había un punto de corte que era el 0 menos 10 tercios. 00:46:24
Menos 10 tercios sabéis que es 3, algo, ¿no? 00:46:28
Bueno, pues este es el único punto de corte que hay. 00:46:32
¿Sí? 00:46:37
Bueno, yo si quisiera dibujar esta función, yo sé cómo va. 00:46:39
Yo sé que esta función va así. 00:46:43
Lo que no sé es dónde está el máximo o el mínimo. 00:46:45
¿Sabéis por qué? 00:46:47
Porque no tiene más puntos de corte. 00:46:49
Entonces, si va hacia arriba, tiene que cortar a este S. 00:46:52
Yo sé que va a ir así. 00:46:57
Luego lo vamos a ver. 00:46:58
Y por aquí no tengo ni idea de cómo va a ir. 00:47:00
Pero lo voy a saber porque me falta estudiar la anatomía. 00:47:03
Derivo la función. 00:47:08
¿Cuál es la derivada de esta función? 00:47:14
La derivada del numerador, que es cero. 00:47:15
por el denominador sin derivar, menos 10 por 2x más 2, y aquí partido por el denominador al cuadrado. 00:47:19
Que no cunda el pánico, porque esto queda muy fácil, queda menos 20x menos 20, 00:47:38
partido por 00:47:44
lo de abajo no se opera, ¿verdad? 00:47:51
Entonces, si tomo la derivada 00:47:58
y la igualo a cero, 00:48:00
¿cómo se desarrolla esto? 00:48:12
Esto que está dividiendo, multiplicando, ¿no? 00:48:15
Menos 20x menos 20 00:48:18
igual a cero. Con lo cual 00:48:21
menos 20x es igual a 20 00:48:24
como cual 00:48:27
x es 20 dividido entre menos 20 00:48:29
que es menos 1 00:48:32
entonces 00:48:33
dibujo la recta 00:48:35
esto es lo que llevamos haciendo toda la clase 00:48:37
dibujo la recta 00:48:39
¿qué punto tengo que señalar? 00:48:42
el 1 ¿no? 00:48:47
ah, menos 1 00:48:49
perdón, menos 1 00:48:50
menos 1 00:48:51
pero es que el 1 había 00:48:53
¿os acordáis del dominio? que el 1 no estaba en el dominio 00:48:55
Y el menos 3 tampoco estaba en el dominio. Pues tengo 4 trocitos en los cuales tengo que sustituir la derivada. 00:48:58
Pues por ejemplo, en menos 4, y prima en menos 4 es menos 20 por menos 4 menos 20 partido por no sé qué elevado al cuadrado. 00:49:08
Bueno, yo sé que esto es positivo. ¿Sabéis por qué? 00:49:21
Porque el denominador va a ser positivo, ¿no? 00:49:27
Y el numerador es 20 por 4, que es 80, menos 20, 60, ¿no? 00:49:30
O sea, bueno, esto lo hacéis con calma si tenéis alguna duda. 00:49:35
Aquí hacéis la derivada y prima. ¿En dónde? 00:49:39
En menos 2, por ejemplo, ¿no? 00:49:44
bueno, si lo hacéis en menos 2 00:49:45
os va a salir también positiva 00:49:48
y si lo hacéis en el 0, ¿qué sale? 00:49:51
aquí sale 0, aquí sale menos 20 00:50:00
y lo de abajo es positivo, pues aquí va a salir negativa 00:50:02
y por último, en el 2 00:50:05
¿qué sale? menos 40, menos 20 00:50:10
menos 60, como el denominador es positivo 00:50:15
menos entre más, menos 00:50:17
entonces, conclusión 00:50:18
¿Conclusión? ¿F dónde es creciente? De menos infinito a menos 3. Y el menos 3 no existe, sino podría empalmar unión menos 3 menos 1. ¿Dónde es decreciente? 00:50:23
De menos 1 a 1, en el 1 no existe, no está en el dominio, unión 1 infinito. 00:50:48
¿Y aquí qué hay? ¿Máximo o mínimo? 00:51:03
Nada, porque el punto es huevo. 00:51:07
Aquí sí hay un máximo, ¿no? 00:51:09
Y aquí no hay nada. 00:51:14
Bueno, hay un máximo en x igual a menos 1, ¿no? 00:51:16
Si x es igual a menos 1, tengo que calcular y. 00:51:20
¿Cuánto vale y de menos 1? 00:51:23
Pues 10 dividido entre 00:51:27
menos 1 al cuadrado 00:51:29
más 2 por menos 1 00:51:30
menos 3 00:51:33
¿Y esto cuánto sale? 00:51:34
menos 00:51:37
partido por menos 4 00:51:41
¿No? 00:51:45
O sea, menos 2,5 00:51:46
¿No? 00:51:48
Pues hay un máximo 00:51:49
es el punto menos uno 00:51:51
menos dos coma cinco. 00:51:54
Hay un máximo que es menos uno 00:51:59
menos dos coma cinco. Más o menos por aquí. 00:52:01
¿Sabéis pintar la función? 00:52:07
Yo sé que aquí hay un máximo. 00:52:11
Que tengo que unirlo con esto. 00:52:14
Que por aquí la función es decreciente 00:52:17
con lo cual se tiene que ir hacia abajo en la asíntota. 00:52:19
Por aquí es creciente 00:52:23
decreciente, con lo cual tiene que venir de menos infinito. ¿Y cómo la pinto aquí? A ver, 00:52:25
aquí podría ser de dos formas, o así o así. ¿Cómo es? Pues entonces es así. ¿Y del otro lado? 00:52:34
Decreciente. Pues eso, tengo la asíntota vertical, la tengo aquí decreciente y sale así de bonita 00:52:51
Esto para vacaciones es un... Bueno, que las tenga, claro. Es que sí puedo decirlo para vacaciones, pero claro, cada uno tiene sus circunstancias. 00:52:57
A ver, todo esto son ejercicios súper completos que deberíais mirar. Aquí hay un montón de actividades propuestas, sabéis que están en el solucionario y, vamos, con estas gráficas, con estos cuatro tutoriales, yo creo que ya tenéis bastante referencia para tirar con esto. 00:53:13
Pero que sepáis, esto hay que trabajarlo bastante. Lo único que os tengo que decir es que el último tema es muy sencillo. Es una parte de estadística que a ver si os lo puedo abrir para que podáis hacer los cálculos con calculadora porque como cada uno tiene una, tiene que aprender a hacerlo con la suya. 00:53:34
Bueno, pues nada, que tengáis unos días lo más agradable posible y hasta pronto. El tiempo de repito la clase, por cierto. 00:53:59
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Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento
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Fecha:
18 de marzo de 2024 - 19:12
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Centro:
IES LOPE DE VEGA
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