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¿Cómo hacer un ejercicio de geometría EvAU con Geogebra? (1/4) - Contenido educativo

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Subido el 14 de enero de 2018 por Pablo Jesus T.

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Hoy vamos a grabar un vídeo para enseñar cómo plantear, preparar, antes de enseñar a los chicos, un ejercicio de geometría de la BAU con GeoGebra. 00:00:00
Sería como un making of de este ejercicio. 00:00:13
Entonces, lo primero, voy a la página web de GeoGebra y arranco el GeoGebra clásico que es con el que voy a trabajar. 00:00:19
La versión online, lo que me permite es que la utilice donde la utilice, siempre va a estar y siempre va a funcionar. 00:00:28
Vamos a señalar algunas diferencias con la versión 5 que nos pueden facilitar el trabajo. 00:00:36
Lo primero que voy a hacer es añadir dos ventanas, que son la vista CAS y la vista gráfica 3D. 00:00:42
como habéis visto a mí me las coloca ya porque antes ya lo he hecho en una determinada posición 00:00:51
en general vosotros a lo mejor las tenéis en columna, las cuatro 00:00:58
entonces mientras se está viendo vista tenemos que las ventanas tienen este icono 00:01:03
que es como una cruz y que haciendo clic y arrastrar, voy a hacer clic y arrastrar por ejemplo 00:01:11
Voy a poner esta aquí, habéis visto a qué ha cambiado, la voy a volver a hacer clic y a arrastrar y a volverla a poner debajo, para colocarlas en esta posición. 00:01:17
La vista gráfica la voy a utilizar siempre para poner textos que no quiero que me estorben con los dibujos. 00:01:29
La vista gráfica 3D voy a trabajar, los cálculos los voy a hacer en la vista CAS y me van a ir saliendo los objetos en la vista algebraica. 00:01:36
algebraica. Como veis en la vista gráfica, en propiedades podemos tener los ejes, que 00:01:44
no les vamos a querer, ni la cuadrícula, porque realmente lo vamos a utilizar como 00:01:54
una pizarra blanca, simplemente la vista gráfica. Así que ahora ya puedo modificar los tamaños 00:02:00
aquí. Voy a insertar el texto. Esta barra de herramientas es sensible a la ventana en 00:02:07
la que estoy así que primero hago clic en la vista gráfica veis que ha cambiado y ahora aquí me voy a 00:02:14
insertar imagen me sale un buscador tengo mi imagen preparada que la he recortado con recortes 00:02:21
valga la redundancia o con el cortador de que trae max 9 como he hecho yo y la inserto como 00:02:29
veis cuando yo la inserto me salen dos puntitos a y b que me permiten moverla 00:02:39
cambiarla de tamaño girarla lo que quiera ya estáis acostumbrados supongo a 00:02:46
instalar esto 00:02:52
en mi caso prefiero modificar con jim o con cualquier otro programa el tamaño de 00:02:56
la imagen porque fijaros lo que voy a hacer en propiedades 00:03:02
le voy a dar a fijar a la pantalla esto lo deja el fichero exactamente en el tamaño de la imagen 00:03:07
original así que podría ser que no nos cumpliera que fuera imprescindible tener los puntos a y b 00:03:16
en ese caso yo ya lo había preparado para que a mí no me pase pero en ese caso de tener que utilizar 00:03:22
los puntos a y b incluso así es podéis ocultar los puntos a y b simplemente pinchando en el círculo 00:03:28
por supuesto dejan de verse en mi caso ya no les necesito pero repito tener mucho cuidado de no 00:03:39
borrarlo si les vais a necesitar un pequeño truco también puede ser en la configuración de la imagen 00:03:46
que me salga lo siguiente 00:03:53
esta es la configuración y si me voy a posición 00:03:59
cuando quito posición absoluta en pantalla 00:04:02
puedo poner 00:04:06
donde va a poner las esquinas 00:04:07
entonces simplemente por ejemplo 00:04:12
si yo pincho en la vista algebraica 00:04:14
le doy control c y me vengo 00:04:17
en la imagen 00:04:20
Si me abren estas ventanas que me estorban, ¿verdad? 00:04:22
Posición y donde ponía A, le doy control V, ya tendría las coordenadas de manera absoluta y tampoco necesitaría el punto A, con lo cual les podría borrar. 00:04:25
Lo mismo podría hacer con la esquina 2 para el tamaño y la esquina 4 realmente solo se utiliza para, digamos que, cambiar el dibujo de tal manera que no mantenga la X y la Y, ¿vale? 00:04:37
Como yo he puesto posición absoluta en pantalla, me desaparecen esas entradas y la imagen adquiere el tamaño, repito, natural, que podría haber cambiado con GIMP o con otro programa. 00:04:50
Además, si le doy objeto sujetado, me permitirá que si el alumno o yo mismo toco en la rueda del ratón o hago clic aquí en esta ventana y muevo, esto no se va a mover bajo ningún concepto, que era lo que queríamos. 00:05:02
así que ahora repito ya puedo en mi caso borrar el punto B y el punto A 00:05:18
en cualquier caso si alguna vez borráis y os pasa cualquier cosa y no era lo que queríais 00:05:25
pues siempre podemos dar este botón para volver atrás 00:05:29
vamos a añadir una ventana más que se me había olvidado deciros 00:05:33
volvemos a vista y vamos a añadir la ventana barra de entrada 00:05:37
que en esta versión de GeoGebra siempre se me pone aquí abajo 00:05:41
pero la prefiero para que siempre se vean las instrucciones mejor y pueda escribir todo. 00:05:45
En cualquier caso, como al final la voy a quitar, pues aunque me esté tapando un trocito de la imagen, no pasa nada. 00:05:56
¿De acuerdo? Pues vamos ya a meter nuestra primera recta R1. 00:06:04
Para eso lo primero que hago es escribir aquí en la entrada la ecuación del primer plano 00:06:09
6x menos y menos z igual a 1 00:06:17
Como veis nos ha dibujado un plano, nos lo ha puesto también en la vista algebraica 00:06:25
Vamos con el otro, que sería 2X menos Y más Z igual a 1. 00:06:30
Doy Enter, ya sabéis que ahora GeoGebra trae una previsualización y ya tenemos nuestras dos rectas, nuestros dos planos, perdón. 00:06:42
La recta que buscamos ya sabéis que es la intersección. 00:06:50
siempre que nosotros hayamos movido la vista gráfica 00:06:52
que es bastante habitual 00:06:55
y queramos volver a la vista original 00:06:56
aunque hay más maneras de hacerlo 00:07:00
esta es la más sencilla 00:07:01
pinchamos en este puntito 00:07:02
y ya vuelve a la vista original 00:07:04
si nos quedamos un poquito en blanco 00:07:06
ahora para hacer la recta 00:07:10
pues la voy a llamar R1 00:07:12
como dice el ejercicio 00:07:15
igual 00:07:17
y vamos a utilizar la orden interseca 00:07:18
Ya veis que en cuanto escribo tres letras, pues sabemos ya que GeoGebra lanza todos los comandos u órdenes que empiezan por int. 00:07:21
Por no tener que bajar hasta la interseca, pues puedo seguir escribiendo y habrá un momento en que ya se me quedará incluso la primera, como ahora. 00:07:33
Doy enter, objeto me sale en azul, no necesito borrar. 00:07:43
Ahora en cuanto escriba algo, lo va a borrar él. 00:07:47
Entonces doy a la tecla A, coma, se pone el otro objeto en azul, B, no necesito estar borrando. 00:07:50
Bueno, cuando le doy Enter, pues vemos que tenemos la primera recta R1 ya aquí, con su ecuación, con su punto y su vector. 00:07:58
Este vector no está bien simplificado, ¿verdad? Y el punto es raro. 00:08:09
Luego esto no nos preocupemos, que ya veremos cómo, cuando queramos explicárselo a los chicos, se lo podemos hacer de otra manera. 00:08:13
Mientras voy a abrir la configuración y lo voy a poner en azul 00:08:18
¿De acuerdo? Porque la primera recta la voy a poner en azul 00:08:24
La segunda en rojo 00:08:26
Ya no quiero que se me muestren los dos planos 00:08:29
Así que les voy a quitar 00:08:31
En la parte final del ejercicio enseñaremos cómo hacer que esto vaya pasando paso por paso 00:08:33
Porque este ejercicio más que para esto es para enseñar a utilizar el protocolo de la construcción 00:08:43
Veréis que queda muy bonito. De igual manera vamos a pintar ya la otra recta. 3x menos 5y menos 2z igual a 3, nos pone el otro plano, y 3x más y más 4z igual a 3, que nos pone el otro plano. 00:08:48
Y la intersección R2, pues va a ser lógicamente lo mismo, interseca, ahora C, D. 00:09:23
Bueno, pues ya tengo mi segunda recta, la voy a poner en rojo, como he dicho antes, 00:09:36
y digamos, voy a ocultar C y D, digamos que tenemos ya nuestras dos rectas. 00:09:45
A la pregunta, estudiar la posición relativa de R1 y R2 teniendo las dibujadas, pues es tan sencillo como hacer esto, que veis que ahora ya no se ve la recta R2 y está claro que se cruzan, ¿de acuerdo? 00:09:52
Si así no se ve muy bien, pues en cuanto me muevo se ve, se puede poner de muchas maneras para ver que se cruzan. 00:10:08
Así que digamos que la respuesta al primer apartado ya estaría hecha, pero lógicamente no vale así, ¿verdad?, para los chicos. 00:10:16
Entonces lo vamos a hacer utilizando matrices, ¿de acuerdo? 00:10:26
Y para eso vamos a utilizar la vista CAS. 00:10:33
En mi caso, bueno, lo que habría que hacer, la primera sí que la voy a escribir, abro llaves, porque esto se hace con llaves, 00:10:37
Abro otra llave para la primera fila de la matriz y voy a escribir 6, menos 1, menos 1,1. 00:10:44
Como veis estos son los coeficientes del primer plano. 00:10:56
Me voy uno a la derecha, coma, llave, 2, menos 1, coma, 1, coma, 1, coma, abro otra llave, 3, menos 5, coma, menos 2, coma, 3. 00:11:02
Y por último, la última fila, 3,1,4,3 00:11:28
Vale, ya tengo nuestra matriz de 4x4 00:11:35
En la versión 5, por suerte, yo puedo hacer clic aquí 00:11:39
Copiar y pegar con CTRL-C y CTRL-V 00:11:43
Y puedo eliminar una columna 00:11:46
En la versión 6, lo siento, nos han eliminado esa posibilidad 00:11:48
De hecho, como veis, ahora incluso si hago clic o algo 00:11:53
empieza esto a liarse, voy a dar deshacer 00:11:56
y rehacer, muy bien, porque 00:12:00
antes de volver a tocar en el CAS, os recomiendo 00:12:03
no tengo una explicación lógica, que hagáis siempre clic en una de las 00:12:07
ventanas gráficas antes de seguir, porque si no, cuando empiezo a hacer 00:12:13
cosas aquí, como que se va pegando, bueno, la orden 00:12:16
que voy a utilizar en la línea 2 es rango matriz 00:12:20
así que le voy a decir que me haga la matriz de la fila 1 00:12:24
si quiero que sea dinámico, es decir, que después cambiando un valor de esta fila 00:12:28
se actualizara la línea 2, escribiría $1 como yo he hecho 00:12:34
si quiero que fuera estático, es decir, que simplemente hiciera una copia 00:12:39
de los números que hay aquí escritos, pondría almohadilla 1 en vez de $1 00:12:43
voy a dar enter, me dice que el rango es 4 00:12:48
En este caso, ni siquiera necesitaría quitar la cuarta columna y hacer el rango, ya que como saldría esta de rango 4, son linealmente independientes y eso implica que las dos rectas se cruzan. 00:12:52
pero esto para los chicos también implicaría aprender a hacer un determinante de orden 4 00:13:10
que o bien es muy largo porque tiene 24 términos 00:13:15
o bien implicaría primero reducir el determinante a uno de 3 por 3 00:13:19
con lo cual se podría complicar 00:13:23
en realidad nosotros nunca explicaríamos a los chicos hacer este ejercicio así 00:13:25
aunque está bien que lo sepan también 00:13:29
sino calculando un punto y un vector de cada una de las dos rectas 00:13:32
Para ello voy a coger primero la recta R1 y la voy a poner en la línea 3 de mi CAS simplemente entre llaves. 00:13:39
Abro llave y escribo la primera ecuación. 6x menos y menos z igual a 1, 2x menos y más z igual a 1. 00:13:52
Entonces ya tengo nuestro sistema metido aquí con lo cual voy a poder hacer cálculos con él. 00:14:15
En concreto, si yo me doy un poquito cuenta, veo que realmente el punto 0, menos 1, 0 sería un punto, 00:14:20
con lo cual esto me lo podría haber ahorrado, pero esto para que lo vean los chicos es complicado también a veces, 00:14:27
aunque debemos enseñárselo, sino lo que voy a hacer es, como son dos ecuaciones y tres incógnitas, 00:14:33
es obligatoriamente compatible e indeterminado, vamos a dar un valor a x, para eso vamos a utilizar esta funcionalidad 00:14:39
que tiene el cas, pincho aquí, sustituye y voy a decir que la x me la sustituya por 0, ¿de acuerdo? 00:14:46
Entonces le doy a este botoncillo y me ha sustituido la x por 0, pero no ha hecho nada más. 00:14:55
Ahora que ya es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en el que he fijado que la x valga 0, 00:15:02
voy a utilizar esta instrucción para que resuelva el sistema en y y en z, lógicamente. 00:15:07
Hago clic y me sale menos 1, 0 00:15:12
De tal manera que ya tengo el punto 0, que me lo inventé yo para la X 00:15:17
Menos 1, 0, como un punto que cumple estas dos ecuaciones 00:15:21
Y por tanto es un punto de la recta 00:15:26
Y eso lo voy a escribir en la entrada 00:15:28
Entonces pongo, por ejemplo, P igual 0, menos 1, 0 00:15:30
Voy a Enter y ya me ha pintado el punto P aquí, no sé si lo veis en azul 00:15:40
Puedo acercar para que lo veáis 00:15:46
Y también me lo ha puesto en la vista algebraica 00:15:49
Tiene el color azul ya, pero si yo quisiera, bueno, mejor luego lo explicamos cuando hagamos el rojo 00:15:52
O el vector 00:15:59
Bien, ahora voy a pintar un vector que saliendo de ahí, pues represente a la recta R1 00:16:01
Para ello lo que vamos a hacer es simplemente hacer el producto vectorial 00:16:08
Con lo cual voy a escribir una matriz 00:16:14
Abro llave, vuelvo a abrir llave y escribo i, j, k, otra llave 00:16:17
La segunda fila va a tener 6, menos 1, menos 1 00:16:27
6, menos 1, menos 1 00:16:31
Derecha, coma, llave 00:16:36
Y 2, menos 1, 1 00:16:40
2, menos 1, coma, 1 00:16:43
Cuando doy Enter me sale ya la matriz 00:16:48
Y ahora lo único que tengo que hacer en la línea 7 00:16:53
Es escribir DETER 00:16:56
Determinante de la matriz 00:16:58
Dólar 6 00:17:00
De la fila 6 00:17:02
y cuando doy enter me sale el vector que yo quería 00:17:05
que por supuesto coincide menos 2 menos 8 menos 4 00:17:09
con el que él se inventó para la recta 00:17:13
vamos, inventó o escribió 00:17:15
yo lo que pasa es que prefiero decirle ahora 00:17:17
el dólar 7, la línea 7 00:17:20
me la vas a dividir por menos 2 00:17:24
parece más elegante 00:17:26
le doy enter y ya me sale el vector 1, 4, 2 00:17:28
que voy a escribir de la siguiente manera 00:17:32
pongo ya en la ventana de entrada algebraica 00:17:35
vector, punto inicial, punto final 00:17:40
la segunda línea 00:17:43
punto inicial pongo P 00:17:44
esto es un pequeño truco para que el vector no le ponga en el origen 00:17:47
sino que le ponga siempre saliendo del punto que queremos 00:17:50
en este caso P 00:17:53
coma, y ahora tengo que volver a escribir 00:17:54
P más 00:17:56
abro paréntesis 00:17:58
1,4,2 00:18:00
como veis ya no lo ha pintado 00:18:04
es un pequeño truco 00:18:07
para que el vector le pinte siempre saliendo de P 00:18:08
como veis el vector 1,4,2 00:18:11
le tengo aquí, está en gris 00:18:13
voy a de paso a enseñaros 00:18:15
cómo copiar 00:18:16
la configuración visual 00:18:18
entonces doy copiar estilo visual 00:18:23
pincho aquí en la parte cuadradita 00:18:25
que es la manera de seleccionar 00:18:27
Objetos algebraicos 00:18:30
En GeoGebra Classic 00:18:33
Versión 6 00:18:37
También podría intentar pinchar en el punto 00:18:37
Pero se me va a dar peor 00:18:40
Y luego en el vector U 00:18:41
Y como veis me ha copiado el vector U 00:18:43
En azul 00:18:46
Para evitar problemas os recomiendo que siempre 00:18:47
Que después de que hagáis esto 00:18:49
Vayáis a elige y mueve 00:18:51
Y volváis a quitar ese botón de ahí 00:18:52
Porque si no a veces veréis cosas raras 00:18:55
De que os cambie eso 00:18:57
y es porque está haciendo lo que tiene que hacer, no es que funcione mal, es que está haciendo lo que le pedimos realmente. 00:18:58
Bueno, pues ya tenemos el punto P y el vector U, podemos alejar un poco, centrar, ¿de acuerdo? 00:19:05
Y ya hemos hecho esto para la primera recta. 00:19:14
No lo voy a poner en el vídeo porque sería exactamente igual, 00:19:19
pero ahora deberíais tratar de vosotros hacer lo mismo con la recta R2. 00:19:23
Podéis rebobinar el vídeo o lo vuelvo a escribir, o lo vuelvo a decir, perdón. 00:19:29
Escribimos en una línea del CAS las dos ecuaciones de R2, 00:19:35
damos por ejemplo, en este caso, para que veáis fácil que es el 1, 0, 0, 00:19:39
por ejemplo a Y o a Z valor 0 00:19:45
y hacéis que resuelva en X y en Y 00:19:51
o dais a X valor 1 y hacéis que resuelva en Y y en Z 00:19:54
que os dará 0 00:19:57
y luego para allá del vector 00:19:58
pues podemos hacer otro producto vectorial 00:20:01
ahora con 3 menos 5 menos 2 00:20:04
y luego lo que os quede que os va a salir 00:20:06
menos 18 menos 18, 18 00:20:08
pues dividirlo por menos 18 00:20:10
uno puede pasar de esto directamente 00:20:12
y coger el punto Q, 1, 0, 0, y el vector V, 1, 1, menos 1, ¿de acuerdo? 00:20:14
Bueno, pues ya lo he hecho yo, tenemos aquí el punto Q y el vector V, 00:20:25
que además les he copiado el estilo visual a rojo, 00:20:30
y en la vista CAS, pues todos los pasos que he ido haciendo, 00:20:32
meter las ecuaciones y todo igual. 00:20:34
Así que ya tengo también dibujado aquí, se ve el vector, ¿verdad? 00:20:38
V y el punto Q 00:20:43
Este punto que es un poquito más grueso que estos 00:20:45
Así que ahora como nosotros les explicaríamos 00:20:49
Si realmente la recta se cruza 00:20:55
Es haciendo el siguiente determinante 00:20:59
Aquí pondríamos una matriz de 3x3 00:21:04
En la primera fila pondríamos las coordenadas de P, Q, es decir, 1, 1, 0. 00:21:09
Repito, las coordenadas de Q menos las coordenadas de P, es decir, las coordenadas del vector P, Q. 00:21:21
En la segunda línea pondríamos las coordenadas del vector U, 1, 4, 2. 00:21:26
Y en la tercera línea las coordenadas del vector V, 1, 1, menos 1. 00:21:35
¿Vale? Ahora estudiaríamos el rango o el determinante 00:21:41
El determinante de la matriz, en este caso $15 00:21:48
Me sale menos 3 00:21:54
Bueno, pues este menos 3 implica que esos tres vectores son linealmente independientes 00:21:57
Que las dos rectas se cruzan 00:22:02
Y además es el producto mixto 00:22:04
Con lo cual me va a proporcionar ya el volumen del paralelepípedo que forman 00:22:06
que utilizaré para el apartado B 00:22:11
y así que queda clarísimo que hemos 00:22:14
terminado el apartado A, la posición relativa 00:22:18
de las rectas R1 y R2 es que se cruzan 00:22:21
hubiera valido también 00:22:24
repito una vez más haber hecho este determinante 00:22:26
pero lo lógico es que los chicos en la EBAU 00:22:29
lo hubieran hecho así 00:22:32
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
337
Fecha:
14 de enero de 2018 - 19:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
22′ 36″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
63.55 MBytes

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