Base de un espacio vectorial de dimensión 2 (II)

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Como habíamos visto en el vídeo anterior, cualquier vector se podía escribir como combinación lineal de los vectores U10 y V01. 00:00:00

Y también habíamos dicho que estos dos vectores, el 1,0 y el 0,1, constituían una base de mi espacio vectorial de vectores en el plano. 00:00:15

¿Por qué? Porque cualquier par de vectores o cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de ellos. 00:00:27

También habíamos acabado diciendo que una base B es base de un espacio vectorial o base del espacio vectorial en el que nos estemos moviendo. 00:00:34

Cuando hablé de espacio vectorial siempre me refería al del plano en este caso. 00:00:54

¿Vale? B es base del espacio vectorial si B está formada por dos vectores u y v donde u y v no son proporcionales. 00:00:58

Claro, dependiendo de qué base esté considerando, los vectores van a tener unas coordenadas u otras. 00:01:16

Aquí, en esta base, que es la que se llama base canónica, en esta base es muy sencillo. 00:01:23

cualquier vector que me den, me dicen, ¿cuáles son las coordenadas de 3 menos 5 en la base canónica? 00:01:28

Pues 3 menos 5, es muy sencillo, pero si me dan otro, otra base, calcular las coordenadas, pues ya se me complica un poco. 00:01:34

Bueno, ¿cuántas bases hay? Infinitas, hay infinitas bases, tantas como parejas de vectores no proporcionales yo pueda pensar. 00:01:40

Vamos a considerar B' y vamos a considerar los vectores U de coordenadas 2, menos 3 y V de coordenadas 5, menos 1 o 5, 1, por ejemplo. 00:01:50

Claramente estos vectores no son proporcionales. Uno no se obtiene de multiplicar el otro por una cantidad. 00:02:07

Luego ya directamente esto es una base. ¿Cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de estos dos? Pues sí. 00:02:12

Si yo escribo o busco expresar el vector 7 menos 3 como combinación lineal de estos dos, pues lo que quiero es encontrar estos valores. 00:02:24

¿Vale? Cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base 00:02:45

¿Cuánto va a valer alfa y cuánto va a valer beta? Pues ahora lo vamos a calcular 00:02:50

Para una vez que lo calculemos, alfa y beta serán las coordenadas de ese vector en esa base 00:02:54

Por ejemplo, 7, pues coordenada a coordenada, 7 va a ser 2 alfa más 5 beta 00:03:00

¿Menos 3? Pues menos 3 va a ser menos 3 alfa más beta 00:03:09

Bueno, pues voy a resolver este sistema 00:03:16

Si por ejemplo abajo multiplico por menos 5 00:03:18

Me encuentro con que 7 es 2 alfa más 5 beta 00:03:20

Y abajo multiplicando por menos 5 00:03:25

15 es menos 15 alfa menos 5 beta 00:03:27

Aquí se me irían las betas y me quedaría 00:03:33

22 igual a 17. Luego alfa será 22 partido por 17. Ya tengo la primera coordenada de 00:03:35

este vector en esta base, en la base B'. En el caso de menos 3, pues despejando por ejemplo 00:03:50

Por ejemplo, aquí, menos 3 es igual a menos 3 por 22 diecisieteavos más beta, luego beta, va a ser menos 3 más 66 diecisieteavos. 00:03:57

Haciendo el mínimo con un múltiplo, son 7 por 3, 21, menos 51 más 66, si no me he equivocado en las cuentas, esto da 15 diecisieteavos. 00:04:12

Esta sería la segunda coordenada del vector en esa base. 00:04:28

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