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Estudio energético de la rotación - Contenido educativo

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Subido el 21 de mayo de 2026 por Pedro N.

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Hola chicos, voy a recordar un poco el problema que hemos hecho hoy de la esfera que rueda por un plano inclinado 00:00:00
para introducir los conceptos de energía en este estudio de la rotación, ¿vale? 00:00:09
Entonces, aquí, como veis, tengo pintado el plano inclinado, ¿vale? y la pelotita encima. 00:00:21
Tenemos aquí, si queréis verlo, el diagrama de fuerzas y como veis aquí en la ecuación 1, la recuadro así, esto es simplemente la aplicación de la ecuación de la dinámica de rotación pero ya introduciendo el valor del momento de inercia para una pelota, para una esfera maciza. 00:00:29
Luego, como veis, lo mezcla con la ecuación 2 y utiliza la ligadura esta de rodar sin deslizar, ¿vale? 00:00:59
Que lo llama que solo rueda. 00:01:15
Bueno, pues despeja y al final, si veis, le queda esta fórmula de aquí, 00:01:18
Esta fórmula de aquí, que es la que hemos llegado nosotros en clase, que esta fórmula, si nos quitamos la mg y la mg y pasamos el coseno a la izquierda, pues nos queda 2 séptimos tangente de z igual a mu. 00:01:28
Entonces, esta fórmula es muy importante porque de aquí bien podemos extraer lo que nos pedían en el problema de clase, que era que calculáramos el coeficiente de rozamiento mínimo para que la esfera rodara sin deslizar en función de un ángulo dado, 00:01:50
pero de forma equivalente, también podemos usar esta ecuación, para la situación en que el coeficiente de rozamiento es fijo, 00:02:12
pues calcular la inclinación que tiene que tener un plano inclinado para que un objeto ruede sin deslizar, ¿vale? 00:02:25
Es decir, si yo aquí despejo, yo aquí hago tangente de z igual a 7 medios de mu, pues podría poner que el ángulo crítico a partir del cual, dado un coeficiente de rozamiento fijo, un objeto va a dejar de rodar sin deslizar y va a pasar a deslizar exclusivamente, 00:02:37
Porque si no hay rozamiento suficiente, la pelotita lo que ocurre es que desliza exclusivamente. Pues ese ángulo crítico sería este, ¿vale? Y esto, pues no tiene misterio. Esto es así, ¿vale? 00:03:04
Bien, bueno, pues dicho esto, vamos a ver el estudio energético de esta historia. 00:03:22
Cuando hablo de estudio energético, ¿a qué me refiero? Pues mirad, cuando un objeto rueda y se desliza, ¿vale? Perdón, rueda sin deslizar, su energía cinética, 00:03:36
bueno, de primera, si un objeto solo se traslada, su energía cinética es esta 00:03:51
ya la conocemos, tiene una velocidad v 00:03:57
la pelotita, pues esta es su energía cinética 00:03:59
si además rota, esta energía cinética se transforma en esto 00:04:04
en un medio de mv cuadrado 00:04:09
y aquí hay que introducir la energía de rotación 00:04:12
que normalmente la forma más común de verla es así 00:04:16
¿Vale? Donde i es el momento de inercia. En este caso, para la esfera, y de la esfera, si yo pongo una esfera, pues esto sería dos quintos de mr cuadrado. ¿Vale? 00:04:20
Bueno, entonces, ¿cómo se usa esta fórmula? Bueno, muchas veces si rueda sin deslizar, recordar que podemos simplificar esta fórmula introduciendo que v es igual a omega r, ¿vale? 00:04:33
Entonces, esto nos permite mezclar estos dos términos, ¿vale? Porque puedo poner, por ejemplo, la v en función de omega o la omega en función de v y sumar los dos, ¿vale? Llegado el caso. 00:04:58
Pero bueno, yo lo que quería plantear es la siguiente pregunta. Imaginaros que me preguntaran, ¿vale?, que calculara la variación de energía mecánica que tiene lugar cuando la pelotita ha bajado por la pendiente. 00:05:16
Es decir, imaginaos que yo tengo esto y tengo una situación inicial en la que la pelotita está aquí, que no se está moviendo ni está girando, pero luego llega aquí y aquí lleva una velocidad v y a la vez está girando para acá, como ya hemos visto. 00:05:43
¿Vale? Entonces esta es mi situación inicial y esta es mi situación final. ¿Vale? En general, la conservación de la energía mecánica tiene la siguiente forma, que es que los trabajos de fuerzas externas al sistema, ¿vale? Esto lo que hace es que varíe la energía mecánica. 00:06:08
Recuerdo que la energía mecánica era la suma de energía cinética más energía potencial 00:06:37
En este caso el único que puede hacer trabajo es la fuerza de rozamiento 00:06:44
Entonces la fuerza de rozamiento, la voy a poner aquí, recuerdo que la fuerza de rozamiento era esta, era FR 00:06:51
¿Vale? Tener en cuenta que aquí hay un desplazamiento entre esta situación inicial y entre esta situación final, la esferita se ha desplazado una distancia S, ¿vale? Voy a recordar que el ángulo este de aquí era Z, ¿vale? 00:07:01
y vamos a llamar a esta altura inicial del plano H, ¿vale? 00:07:21
Esto no va a ser ahora útil. 00:07:28
Bueno, pues sobre el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento. 00:07:29
Las únicas fuerzas externas que hay es el trabajo de la fuerza de rozamiento 00:07:32
y este de aquí, como el desplazamiento es hacia abajo 00:07:37
y la fuerza de rozamiento va en sentido contrario, este trabajo sería negativo 00:07:41
y sería igual a la fuerza de rozamiento por el desplazamiento S, 00:07:45
que he pintado ahí. Entonces a priori esto sería así. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué pasa si la ruedita rueda sin deslizar? 00:07:50
La pregunta es, ¿podemos conocer, por ejemplo, el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento? Pues sí que podríamos. 00:08:12
¿Vale? ¿Cómo podríamos hacer esto? Pues utilizamos nuestra conservación de la energía, decimos el trabajo de rozamiento, ¿vale? Es la variación de la energía mecánica. 00:08:23
donde esto es energía mecánica en la situación final 00:08:37
menos energía mecánica en la situación inicial. 00:08:43
¿Vale? 00:08:49
Vamos a empezar por la energía mecánica en la situación inicial. 00:08:50
Así. 00:08:59
Al principio, la pelotita no se está ni moviendo ni está rotando, 00:09:00
pero sí es verdad que está a una altura h sobre el suelo. 00:09:05
Es decir, que al principio esto, que sería energía cinética más energía potencial, pues la energía potencial esta es cero. 00:09:08
Vamos a ponerlo en verde. Así. ¿Vale? 00:09:18
¿Y cuál es la energía potencial? La energía potencial es la masa de la ruedita por g por la altura respecto al suelo. ¿Vale? 00:09:21
Bueno, pues ya tenemos esto. 00:09:31
Ahora, ¿cuál es la energía mecánica en la situación final? En la situación final estoy en el suelo, luego la energía potencial va a ser cero y la energía cinética no va a ser cero, la energía cinética esto se está moviendo y está rotando, ¿vale? 00:09:33
Entonces tenemos un medio de mv cuadrado más un medio de i omega cuadrado, ¿vale? Donde i es la de la esfera en este caso, ¿de acuerdo? 00:09:56
Entonces, como ruede y desliza, aquí yo podría introducir la ligadura esta y aquí podríamos poner esto, un medio de mv cuadrado más un medio de i y aquí v cuadrado partido por r al cuadrado, ¿vale? 00:10:07
Podemos ponerlo así. Bueno, pues si queréis, este tío de aquí, podemos poner que la energía mecánica final es, vamos a sacar factor común, entonces me queda un medio de v cuadrado por m más ir cuadrado, ¿vale? 00:10:33
Si queréis ya vamos a simplificar esto introduciendo el momento de inercia de una esfera, que es dos quintos de m r cuadrado, es decir, esto me va a quedar más m y esto es arriba dos quintos de m r cuadrado y abajo r cuadrado. 00:10:56
Bueno, pues si simplifico, la energía mecánica final es, se me piran las R al cuadrado, esta con esta, y me queda M más 2 quintos de M, esto es como si fuera, esta de aquí, la primera M, es como si fuera 5 quintos, pues esto me queda 7 quintos, ¿verdad? 00:11:16
Esto me queda un medio de v cuadrado multiplicado por 7 quintos de m, ¿vale? Esto tiene buena pinta porque tiene unidades de energía, ¿vale? m por v cuadrado. 00:11:42
Bueno, entonces, esto lo que estamos haciendo es intentar calcular el trabajo de rozamiento, ¿vale? En base a la variación de energía mecánica. Entonces, ¿qué nos falta conocer de aquí? Pues mirad, la energía mecánica inicial yo la conozco porque vamos a asumir que la altura es conocida, la altura inicial, G es conocida y M es conocida, ¿vale? 00:12:00
Y el problema que tenemos aquí es que la velocidad final en el plano, cuando llega abajo, ¿vale? Esta velocidad nosotros no la conocemos, ¿vale? Nosotros la velocidad esta no la conocemos. Bueno, pues vamos a intentar calcularla. 00:12:27
Y para eso vamos a utilizar la conservación de la energía, la ecuación de cinemática, ¿vale? Para un movimiento uniforme y bastante acelerado, ¿vale? 00:12:46
Y esto, ¿por qué podemos usarlo? Pues la aceleración de la esfera de subcentro de masa, ¿vale? Esto lo hemos calculado hoy en clase, entre todas las ecuaciones que hemos visto, y es esta de aquí, es esta. 00:12:56
5 séptimos de g seno de z 00:13:17
pues lo meto aquí 00:13:21
a es igual a 5 séptimos de g seno de z 00:13:23
entonces, como es constante 00:13:28
implica que la pelotita sigue un MRUA 00:13:32
y de las ecuaciones del MRUA hay una muy importante 00:13:38
que era la siguiente 00:13:42
que es que la velocidad final al cuadrado menos la velocidad inicial al cuadrado 00:13:44
es 2 por la aceleración 00:13:49
por el espacio recorrido 00:13:51
donde S, que es el espacio recorrido 00:13:53
es esto que yo he llamado aquí en rojo 00:13:55
ese es el espacio que recorre 00:13:58
la pelotita 00:14:01
entonces, esta fórmula de cinemática nos permite 00:14:02
conocer la velocidad 00:14:05
cuando llega abajo 00:14:07
inicialmente no se está moviendo 00:14:08
la A 00:14:10
la tenemos aquí 00:14:13
esto es A 00:14:15
Y lo que nos falta es conocer S. Y S nosotros lo podemos poner en función de la altura. 00:14:16
Mirad, si esta es la altura, ¿vale? Yo cómo puedo poner, y la altura lo supongo conocida, 00:14:24
¿cómo puedo poner la S en función de la altura? Pues con trigonometría. 00:14:30
Fijaros que esto es un triángulo rectángulo y entonces yo tengo que h, ¿vale? Tiene que ser s, que es la hipotenusa, por el seno de z. Entonces, de aquí lo que extraemos es que s es h partido el seno de z. 00:14:35
Bueno, pues nos vamos a nuestra formulita aquí y introducimos. Y decimos, venga, esto es 2 por la aceleración 5 séptimos de g seno de z. 00:14:55
Y ahora introduzco el h seno de z, ¿vale? Entonces esto se me pira así y de aquí me va a quedar 10 séptimos g h. Esto es la velocidad final, ¿vale? Que tiene este cacharro, ¿de acuerdo? 00:15:11
Bueno, pues vamos a ver, me vuelvo a mi fórmula de la energía mecánica, que era esta, así, nubecita, y me vengo por aquí, pim, pam, pim, pam, pim, pam, ¿vale? 00:15:35
Y esta energía mecánica final, pues es un medio de la velocidad, esta al cuadrado, es directamente el resultado, esto es 10, ahí va, perdón, uy, uy, uy, se ha ido, perdón. 00:15:48
Entonces esto sería 10 séptimos de GH y esto serían 7 quintos de M, ¿vale? Y aquí si simplifico esto un poquito, pues esta tía se me pira, el 10 se me va con el 2 y el 5, ¿vale? 00:16:09
Y esto al final me queda, bueno, la m yo la había llamado antes m grande, ¿vale? Pues si esto hago toda la cuenta me queda mgh. Y resulta que esto coincide con la energía mecánica inicial. Voy a verlo, fijaros. 00:16:30
La energía mecánica inicial que la habíamos calculado inicialmente era esta de aquí, era esta. Entonces, ¿cuánto vale la variación de energía mecánica? La variación de energía mecánica que es energía mecánica final menos energía mecánica inicial, ¿vale? 00:16:48
Esto de aquí, la final es mgh y la inicial es mgh. Bueno, pues esto es idénticamente cero, ¿vale? ¿Qué quiere decir esto? Pues que el trabajo de rozamiento, cuando una pelotita rueda y desliza, es cero. 00:17:10
Entonces, ¿esto a qué se debe? Pues VFR es cero porque si no desliza, si no, perdonad, si no desliza, FR no realiza desplazamiento. 00:17:29
Es decir, la fuerza de rozamiento no está haciendo que la pelotita se mueva. Lo que está haciendo que la pelotita se mueva es exclusivamente el peso. De ahí que tenga sentido este resultado. 00:18:02
¿De acuerdo? Ahora, la gracia de este ejercicio es que, en el caso, ¿qué pasa si, por ejemplo, en el caso este de que yo tenga un coeficiente de rozamiento fijo, 00:18:20
y lo que me pidan sea estudiar el movimiento de la pelotita en situaciones en las que estoy con un ángulo para el cual la pelotita rueda o desliza 00:18:46
o un ángulo lo suficientemente elevado para que la pelotita eso desliza. 00:18:58
Es decir, nosotros habíamos calculado aquí arribota esto, esto de aquí, ¿vale? Es el ángulo a partir del cual la pelota ya no ruede y desliza. Es como si la superficie a partir de ese ángulo crítico fuera de hielo. Si la superficie es de hielo, la pelotita va a deslizar. No tiene suficiente adherencia con la superficie para ponerla a girar. 00:19:01
Entonces, ¿qué pasa si el ángulo del plano es mayor que el ángulo este? ¿Vale? En el caso anterior, mientras z sea menor que el ángulo crítico, ¿vale? 00:19:30
Entonces, ¿qué pasa en esta situación? Por si acaso no me estáis entendiendo, uno de estos es los ángulos críticos, o sea, estamos considerando una situación, si el plano es así, que este ángulo Z es menor que el ángulo crítico, 00:19:55
Entonces aquí la pelotita va a rodar sin deslizar, es decir, va a caer para acá y por ejemplo cuando esté por aquí va a tener una velocidad v y una velocidad angular omega y se cumple que v es igual a omega por r. 00:20:13
El punto este de abajo está en reposo relativo respecto de la superficie. 00:20:31
¿Qué pasa si para una adherencia fija hacemos este plano con un ángulo muy grande, es decir, con z mayor que zc? 00:20:37
Pues entonces lo que ocurre es que la pelotita, esta, cuando vaya por ejemplo por aquí, no va a girar. 00:20:47
Aquí lo único que lleva es una velocidad hacia abajo. 00:20:54
No gira. No gira porque no tiene suficiente adherencia con la superficie para que le haga girar. Lo único que hace es que es como si fuera de hielo la superficie. Esto pues cae hacia abajo por efecto del peso. ¿De acuerdo? 00:20:57
¿no? Entonces, ¿podemos hacer un estudio energético para calcular cuánto valdría VFR en este caso? Pues sí, ¿vale? Entonces, en este caso, ¿vale? Lo primero es tener en cuenta que el trabajo de rozamiento, nosotros lo conocemos, es FR por ese signo menos porque se opone, ¿vale? 00:21:15
Y aquí recordar que el rozamiento máximo que ofrece una superficie viene dado por la fórmula del rozamiento estático, que es menos mu, por la normal, 00:21:45
que la normal, si os acordáis del problema de clase, viene dado por esto, por S. 00:21:55
¿Vale? Este resultado lo tenemos. ¿De acuerdo? 00:22:03
Entonces, imaginaros que yo ahora quiero calcular la energía cinética con la que llega la pelotita abajo. 00:22:08
Puede ser una cosa que me pregunten, porque en realidad con esto yo tengo suficientes datos aquí, ¿vale? Si me dan la mu, la m, la g y la s, y si no me lo dan, pues lo puedo dejar en función de lo que no sepa, eso no pasa nada. 00:22:14
Pues, como yo tengo datos suficientes, ahora sería interesante, a partir de esta fórmula de aquí, calcular, por ejemplo, la energía cinética en la situación final, porque recordad que en la situación inicial lo que tenemos es sólo energía potencial y en la situación final lo único que tenemos es energía cinética. 00:22:29
Entonces, me puede interesar conocer la energía cinética al final, mediante este estudio energético. Es decir, vamos a coger esta ecuación y vamos a sustituir. Vamos a decir, venga, menos mu mg coseno de z, s. Esto tiene que ser igual a la energía cinética final, que por ejemplo con esto lo puedo calcular, menos la energía potencial inicial. 00:22:54
Entonces, recuerdo que la energía potencial era mgh. Bueno, pues yo, por ejemplo, puedo calcular la energía cinética final y de ahí extraer, por ejemplo, la velocidad que lleva la pelotita solo mediante procedimientos energéticos, ¿vale? 00:23:21
Que esto nos simplifica mucho la vida, ¿vale? Entonces, ¿esto qué sería? Pues esto sería menos mu m g coseno de z s más m g h, ¿vale? 00:23:41
Y entonces, de esta forma, si yo aquí os diera numeritos, ¿vale? Pues podríamos calcular la energía cinética final. Para esto, ¿vale? Es muy interesante recordar que la S yo la puedo poner, por ejemplo, relacionar la H con la S o la S con la H. 00:23:56
Recordar que, lo hemos visto antes, que H, ¿vale? Vamos a ponerlo así grandote, H era S por el seno de Z, ¿vale? 00:24:18
Entonces, a ver, si hacemos así, ¿vale? Que lo tengamos como lo teníamos. 00:24:34
Aquí yo ahora puedo poner menos mu 00:24:41
Espera, lo pongo aquí abajo 00:24:45
Voy a poner el igual aquí abajo para que quede bien clarito 00:24:47
Esto es menos mu mg coseno de z por s más mg 00:24:51
Y donde pone h yo puedo poner s seno de z 00:25:00
Y aquí yo podría sacar factor común a un montón de gente, ¿vale? 00:25:05
Esto me quedaría, por ejemplo, mg, s, de hecho, s, seno de z, menos mu coseno de z, ¿vale? 00:25:13
Y esto, pues, nos podría dar un valor numérico o dejarlo en función de m, si no lo conocemos, etcétera, ¿vale? 00:25:29
Bueno, pues esto es un estudio energético de este problema en el que hemos visto que si rueda sin deslizar la pelotita, eso nos permite, por ejemplo, calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento y hemos visto que es cero y tenía que ser cero, lo hemos razonado, ¿vale? 00:25:38
Y luego, si el ángulo es muy elevado, este caso de aquí, ¿vale? Pues entonces la pelotita solo va a deslizar. Y si solo desliza, ¿vale? Pues el trabajo este de rozamiento, que sabemos cuál es, porque es el máximo que puede ofrecer el plano, el rozamiento, el rozamiento estático, el mu por la normal, pues hemos visto que, conocido eso, la conservación de energía nos permite conocer, por ejemplo, la energía cinética final. 00:26:00
Y podemos dar un valor numérico. Bueno, pues yo en el examen os voy a preguntar muy posiblemente estos desarrollos simplemente poniendo numeritos y discutiendo en función de un ángulo. ¿Vale? Entonces, no tiene mucho más. 00:26:27
Pues sí que insisto en que el desarrollo este inicial, ¿vale? Este desarrollo inicial sería muy interesante. Vamos, no sería muy interesante, no. Yo os esfuerzo. Tenéis que llegar vosotros a esta ecuación de aquí. No me vale con que me la pongáis. Tenéis vosotros que llegar a esta ecuación de aquí, ¿vale? Si no, no me vale. Bueno, pues cualquier duda me preguntáis. Un saludo. 00:26:43
Materias:
Física
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
Subido por:
Pedro N.
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Todos los derechos reservados
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Fecha:
21 de mayo de 2026 - 20:29
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DELIBES
Duración:
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