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Parcial 1 Trimestre 3 - Ejercicio 1 (2021-22) - Contenido educativo

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Subido el 17 de mayo de 2022 por Manuel D.

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Parcial 1 Trimestre 3 - Ejercicio 1 (2021-22)
Asignatura Matemáticas I
Cónicas y Continuidad

Bueno, pues aquí estamos con la corrección de este examen que es el primer parcial del tercer trimestre en el que hemos trabajado cuestiones de cónicas, con cónicas acabamos el segundo trimestre y comenzamos este tercero, y de continuidad, es decir, límites y continuidad de funciones, la primera parte del bloque de análisis. 00:00:00

Vamos con ello. Entonces, en el primer ejercicio, como veis, se nos pide lo siguiente. 00:00:19

Es un ejercicio de cónicas en el que tenemos que nos dan una elipse cuyo centro nos están diciendo el centro y nos están diciendo un vértice y un foco 00:00:25

y tenemos que calcular el resto de elementos. Es decir, tenemos que calcular la ecuación reducida y el resto de vértices y el otro foco. 00:00:33

Bueno, para ello vamos a empezar dibujando la situación. Lo primero en este tipo de situaciones siempre, siempre, siempre es hacer un dibujo. Entonces dibujamos los ejes, el eje X, el eje Y y vamos a ponernos a dibujar los focos y el vértice y el centro que me dan. 00:00:43

El centro es el centro de simetría de la elipse, que nos lo están diciendo que está ahí. Nos están diciendo que el punto 0,4 es un foco, este sería el foco 1 que han llamado, y el vértice sería el foco 5, perdón, el 0,5. 00:00:58

Entonces, como sabemos, por la simetría de la elipse, los otros elementos van a ser simétricos y hacia el otro lado, 00:01:14

es decir, el foco 2 será el 0 menos 4 y el vértice 1, el vértice 2, va a ser el 0 menos 5. 00:01:24

Ahí tenemos dos de los otros elementos y nos falta por calcular los vértices que están en el eje secundario. 00:01:34

Fijaos que como la elipse va a ir orientada, digamos, vertical, va a ir orientada en el sentido del eje y, vaya chapucilla de elipse, a ver si la hago un poco mejor. 00:01:42

Es mejor dibujar casi la elipse antes. Bueno, más o menos sería algo así, aunque está siendo más o menos bueno. 00:01:57

Entonces, esta va a ser nuestra elipse. Como sabéis, la ecuación reducida de la elipse es x cuadrado partido por a cuadrado más y cuadrado partido por b cuadrado igual a 1. 00:02:04

Y entonces tenemos que identificar quién es a, quién es b, quién es c. Para ello, vosotros conocéis el siguiente triángulo rectángulo. 00:02:17

En este triángulo rectángulo la semidistancia focal sería, es decir, la distancia de aquí a aquí, a esto normalmente le hemos llamado c. 00:02:25

Este valor se ha llamado a, siendo a el semieje mayor. En este caso, como el semieje mayor es el eje i, entonces tendríamos que cambiar el orden de las letras. 00:02:35

Es decir, o bien llamar a este b o cambiar la a, ponerla aquí y la b, ponerla aquí. Vamos a hacer esto último, si queréis. Es decir, vamos a quitar aquí la a y la b y les cambiamos el orden. 00:02:49

De manera que aquí sería b cuadrado y aquí sería a cuadrado. Ya digo que también podéis llamar a este b y entonces dejaríais esto otro como estaba antes. 00:03:00

Bueno, y entonces esto sería el valor b, que es el valor que yo busco. Entonces este triángulo es rectángulo y nada, pues es sustituir sus valores. 00:03:08

El C es la distancia entre el centro y el foco, que eso aún no nos están diciendo. 4. El B es la incógnita. ¿Y cuánto vale A? Pues vosotros sabéis que A es el semieje mayor. 00:03:19

En este caso es 5, nos están diciendo, porque el valor de A es la distancia del foco al centro. Es decir, en este caso es 5. 00:03:32

Con lo cual, de aquí se deduce por Pitágoras el valor de b, que a simple vista se ve que tiene que valer 3. 3 al cuadrado 9. De todas formas, se puede despejar como la raíz cuadrada de 25 menos 16, es decir, la raíz cuadrada de 9, es decir, 3. 00:03:44

Y una vez que yo ya tengo que b vale 3, la ecuación reducida quedaría como x cuadrado más 9 partido por i cuadrado más i cuadrado, quiero decir, partido por 16, igual a 1. 00:04:03

Esta sería la ecuación de la elipse. Y aquí los vértices serían los otros dos vértices, el v3 y el v4, que tienen de coordenadas como la b vale 3, pues 3, 0 y menos 3, 0. 00:04:17

Y ya estaría. Estos son los elementos que nos faltan. Creo que no me dejo nada, coordenadas del otro foco, de los otros vértices y de la ecuación reducida. 00:04:35

Y esto sería. Así que nada, vamos enseguida a por el siguiente ejercicio. 00:04:43