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Modelo PAU Madrid 2425 - Analisis 2-1 - Contenido educativo

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Subido el 17 de octubre de 2024 por Pedro L.

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Hola, soy Pedro Lomas y voy a resolver el primero de los dos problemas que aparecen en el bloque de análisis 00:00:01
en el modelo de la prueba de acceso a la Universidad de la Comunidad de Madrid en el curso 24-25. 00:00:07
En primer lugar nos piden estudiar la continuidad de una función definida a trozos. 00:00:13
Esta función, antes del 2, es un polinomio, es una función cuadrática con lo cual siempre es continua. 00:00:19
Después del 2 es una raíz y la raíz podría no estar definida cuando lo de dentro de la raíz es negativo, es menor que 0 00:00:26
Pero cuando lo de dentro de la raíz es menor que 0, cuando 5x es menor que 1, es decir, cuando la x es más pequeño que un quinto 00:00:35
O 0,2 si lo preferís en decimales 00:00:43
Como esta semirrecta está fuera del dominio de definición de la función porque la raíz es a partir del 2 00:00:48
la función siempre va a ser continua hasta el 2 y después del 2 00:00:54
por lo tanto tenemos que estudiar la continuidad en el punto x igual a 2 00:00:58
sabemos por teoría que una función es continua cuando en primer lugar existe el límite de la función 00:01:04
cuando la x se acerca al 2 00:01:13
en segundo lugar tiene que existir también imagen en el 2 00:01:16
Y por último, el límite que hemos quedado que existe en el 2 tiene que coincidir con la imagen de la función. 00:01:22
Para calcular el límite, vamos a ver el límite por la izquierda, es decir, esta función cuánto vale cuando me acerco al 2 por la izquierda, 1,99 o algo parecido. 00:01:31
este límite sería 2 al cuadrado 00:01:42
podemos tomar valores aunque no sea exactamente 00:01:45
en el punto 2 donde vamos a calcular 00:01:48
pero si estamos muy cerquita del 2 00:01:51
este valor va a ser 00:01:52
4 menos 12 más 11 00:01:56
que son 3 00:02:00
el límite por la derecha 00:02:02
tenemos que coger la otra parte 00:02:05
de la función definida de trozos 00:02:09
Y en este caso sería la raíz de 5 por 2 menos 1, que es raíz de 9, que es 3. 00:02:10
Estas dos cosas nos permiten afirmar que existe el límite. 00:02:22
Como además la imagen está definida abajo y la f de 2 es la raíz de 5 por 2 menos 1, que también es 3, 00:02:26
tenemos que existe el límite 00:02:36
el límite por la izquierda es 3 y por la derecha es 3 00:02:38
con lo cual el límite es 3 y la imagen es 3 00:02:42
con lo cual podemos asegurar que f de x es continua 00:02:45
en x igual a 2 00:02:49
con lo cual f de x es continua 00:02:53
en los reales 00:02:57
que es todo su dominio 00:03:01
en el apartado b nos piden estudiar 00:03:02
los extremos relativos de la función en el intervalo 1, 3. 00:03:05
Para estudiar los extremos relativos en el 1, 3 00:03:11
deberíamos derivar la función. 00:03:13
Una función a trozos, para derivarla tenemos que tener la precaución 00:03:17
de no poner la igualdad en ninguno de los dos sitios 00:03:21
por si no fuera derivable en el 2. 00:03:23
La derivada de un polinomio es muy sencilla, 00:03:26
2x menos 6 cuando la x es menor que 2. 00:03:29
Y la derivada de una raíz, 00:03:32
yo cuando me plantean una raíz 5x menos 1 00:03:34
la transformo en una potencia 00:03:38
porque yo creo que es más sencillo derivar una potencia 00:03:40
la derivada de esta potencia es 1 medio por 5x menos 1 00:03:44
elevado a menos 1 medio 00:03:49
por la derivada de lo de dentro, que no se me olvida 00:03:52
y es 5 cuando la x es mayor que 2 00:03:54
y esto de aquí lo podemos poner de una forma más sencilla 00:03:57
escribiéndolo como 5 dividido entre 2 por la raíz de 5x menos 1 00:04:02
pues vamos a ver qué ocurre con el signo de las derivadas 00:04:12
bien, vemos que la derivada no se anula arriba, se anularía cuando la x es 3 00:04:16
pero el 3 está fuera de esta semirrecta y esta derivada de abajo no se va a anular nunca 00:04:20
pero sí que podemos apreciar, como nos dice que estudiamos la función en el intervalo entre el 1 y el 3 00:04:26
Vemos que tenemos que hacer el estudio en dos partes. En 1, 2 y en 2, 3. En 1, 2 la derivada es 2x menos 6. 00:04:32
como la x está entre 1 y 2 00:04:51
la derivada siempre es negativa 00:04:53
porque 2 por 1 menos 6 es negativo 00:04:57
2 por 2 menos 6 también es negativo 00:05:00
con lo cual f de x decrece en el intervalo 1, 2 00:05:02
con lo cual habrá un máximo local en el x igual a 1 00:05:11
un máximo local porque lo que estamos estudiando 00:05:17
los extremos relativos en el 1, 3 00:05:21
en el 2, 3 la derivada vemos que el denominador vale entre raíz de 9 00:05:23
5 por 2 es 10 menos 1 es 9 y raíz de 14 00:05:31
con lo cual siempre es positivo 00:05:34
positivo entre positivo nos da negativo 00:05:37
entonces f' de x que es 5 dividido entre 2 por la raíz de 5x menos 1 00:05:39
siempre es mayor que 0 00:05:47
Eso quiere decir que f de x crece en el intervalo 2, 3, con lo cual vamos a tener otro máximo en x igual a 3. 00:05:50
Y si mi función decrece hasta el 2 y crece a partir del 2, claramente hay un mínimo cuando la x vale 2, otro mínimo relativo. 00:06:02
Y por último nos piden calcular el área encerrada entre el 1 y el 3. 00:06:12
Para hacer el apartado 3, lo que vamos a tener que hacer también es trabajar en dos intervalos, 00:06:19
porque el área será la integral entre el 1 y el 2 de x cuadrado menos 6x más 11, 00:06:27
diferencial de x, y a partir del 2, entre el 2 y el 3, la definición de la función cambia, 00:06:40
y la que tenemos que hacer es 5x menos 1 diferencial de x. 00:06:47
Le ponemos nombre a las primitivas, vamos a calcular una primitiva del polinomio, 00:06:54
del primer tramo de la función que llamaremos f y esto será f de 2 menos f de 1 00:07:00
más y vamos a llamar g a la primitiva de la otra parte de la función y será g de 3 menos g de 2. 00:07:05
El área es esto y para ello tenemos que integrar ambas funciones 00:07:14
La integral del polinomio es sencilla 00:07:20
La primitiva sería integral indefinida x cuadrado menos 6x más 11 00:07:22
Diferencial de x sería x al cubo tercios menos 6x cuadrado medios más 11x 00:07:30
que para simplificar nuestras cuentas va a ser 00:07:44
x cubo tercios menos 3x cuadrado más 11 00:07:46
por tanto f de 2 será el valor de la función en 2 00:07:52
que es 38 tercios 00:07:58
y f de 1 sustituimos en esta expresión el 1 00:08:00
y f de 1 es 25 tercios 00:08:05
igualmente hacemos ahora la primitiva de la parte de la raíz 00:08:08
y para hacer la primitiva de la raíz otra vez 00:08:21
tenemos 5x menos 1 elevado a un medio diferencial de x 00:08:25
este integral se puede hacer con un cambio de variable 00:08:30
pero no es necesario porque lo único que necesitamos para tener 00:08:34
tenemos una función elevada a algo y me falta su derivada 00:08:37
como su derivada es un 5, podemos arreglar poniendo un quinto delante 00:08:41
y un 5 después, y ahora ya sí que tenemos aquí 00:08:45
un quinto por mi función elevada a un grado más, 5x-1 00:08:48
elevado a un medio más uno, que son tres medios, y todo ello 00:08:53
dividido entre tres medios, colocamos la raya de fracción 00:08:57
lo dejamos un poco más bonito 00:09:01
y nos queda 2 partido por 15 00:09:03
podemos quitar aquí esta fracción 00:09:13
por la raíz cuadrada 00:09:16
de 5x menos 1 00:09:19
elevado todo al cubo 00:09:24
y de aquí sacamos que en el punto 3 00:09:25
este valor va a ser 2 quintos 00:09:29
raíz de 14 al cubo 00:09:35
podemos sacar el 14 fuera 00:09:38
y en el punto 2 esto va a ser 00:09:40
2 quintos, no he dicho antes, 2 quinceavos 00:09:44
por la raíz cuadrada de 9 al cubo que son 27 00:09:46
con todo esto de aquí 00:09:56
las operaciones que necesitábamos 00:09:59
las resolvemos aquí abajo 00:10:03
hacemos aquí un asterisco 00:10:09
y tenemos que este asterisco 00:10:12
la solución final es 38 tercios 00:10:22
menos 25 tercios 00:10:26
más 00:10:29
2 quinceavos 00:10:32
de raíz de 14 00:10:34
elevado al cubo 00:10:36
menos 2 quinceavos 00:10:37
por 27 00:10:40
el resultado final 00:10:42
es el que de esta operación 00:10:44
Subido por:
Pedro L.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
29
Fecha:
17 de octubre de 2024 - 18:46
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ATENEA
Duración:
10′ 49″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
36.54 MBytes

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