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Ejercicios Geometría en el espacio - Contenido educativo

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Subido el 12 de diciembre de 2025 por Roberto A.

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Pues empezamos, ¿vale? Hoy es 12 del 12 del 2025, ¿vale? 00:00:00
Entonces, os dije que este ejercicio lo íbamos a hacer hoy, ¿vale? 00:00:09
Entonces, primero es comprobar que las rectas R y S se cruzan, que eso al principio es fácil, 00:00:15
no es solo que tenemos que ver, nos dan las rectas, estas rectas están en continua y estas están en paramétrica, 00:00:21
cogemos el d su r, p su r, d su s y p su s 00:00:27
y lo que hacemos es el determinante formado por d su r, d su s 00:00:31
y por el vector que une el punto p su r, p su s. 00:00:36
Hacemos el determinante, nos da 9, como es distinto de 0, 00:00:40
pues entonces se cruzan las restas. 00:00:44
¿De acuerdo? 00:00:47
Luego, lo que nos dicen, chavales, 00:00:48
es que hallemos la ecuación de los planos totales, los a r y a s, 00:00:50
y que dictan raíz de 14 unidades de S. 00:00:55
Entonces, ¿qué es lo que ocurre aquí? 00:01:00
Realmente, dos rectas que se cruzan no están en el mismo plano, ¿vale? 00:01:08
Es decir, dos rectas que se cruzan no están en el mismo plano. 00:01:12
Pero, ¿qué ocurre? 00:01:16
Que ¿cuántos planos pasan por una recta? 00:01:17
O una recta... 00:01:20
¿Se pide permiso, no, Copetín? 00:01:22
No, no. 00:01:23
Ciérrame la puerta, que la he encontrado cerrada. 00:01:24
Entonces, chavales, ¿cuántos planos pasan por una recta? 00:01:27
Infinitos, ¿vale? 00:01:34
Entonces, ¿qué ocurre? 00:01:35
Nosotros tenemos dos rectas que se cruzan. 00:01:36
Dos rectas que se cruzan. 00:01:39
Y lo que nos dicen es que hallemos la ecuación de los planos paralelos tanto a R como a S. 00:01:40
Entonces, ¿aquí qué ocurre? 00:01:46
Yo siempre me imagino lo mismo. 00:01:48
Yo tengo una recta R que va por el suelo y otra recta S que va por el techo. 00:01:50
Entonces, evidentemente, esas rectas no están en el mismo plano, por lo tanto, se van a cruzar. 00:01:55
No se van a cortar nunca, tampoco son paralelas, porque una puede ser, por ejemplo, la diagonal, 00:02:07
la otra va por este lado de aquí. 00:02:11
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:02:15
Pues lo que ocurre es que podemos encontrar un plano que contenga R y otro plano que contenga S 00:02:17
y que entre ellos sean paralelos. 00:02:26
Y entonces nosotros lo que vamos a encontrar ahora realmente son planos que están a media altura 00:02:28
entre el suelo y el techo, que estén a una distancia de raíz 14 de S. 00:02:34
Entonces, ¿qué es lo que hacemos nosotros? 00:02:40
Bueno, pues si os fijáis, yo tengo un d sub r y un d sub s, ese plano que estamos buscando va a ser perpendicular tanto a la r como a la s, ¿vale? 00:02:43
Precisamente porque, digo, el vector normal, el vector normal va a ser perpendicular tanto a dr como a ds para que sean planos paralelos. 00:02:57
Entonces, lo que hacemos es el producto vectorial de d sub r y d sub s, y aquí lo que tenemos es un haz de planos paralelos. 00:03:05
¿Vale? Que era una app de planos paralelos. 00:03:13
Son todos aquellos planos que tienen el mismo vector normal, 00:03:15
pero que se diferencian en el término independiente. 00:03:18
¿Vale? 00:03:21
¿Y qué ocurre? 00:03:22
Que nosotros ahora lo que estamos haciendo es, 00:03:22
vamos a hallar la distancia que hay entre S y el plano pi. 00:03:26
La recta S y el plano pi. 00:03:33
¿Por qué la recta S? 00:03:35
Porque me dicen que distan raíz de 14 de S. 00:03:37
¿De acuerdo? 00:03:40
¿Vale? Entonces, ¿cómo hallamos la distancia entre una recta y un plano paralelo? Pues precisamente la distancia es de un punto cualquiera de ese al plano. Aplico la fórmula y lo único, como yo tengo una de planos paralelos, voy a ver de cuáles de todos los planes paralelos, los planos paralelos son aquellos a los que está a raíz de 14. 00:03:40
¿Vale? Entonces la distancia la igualo a raíz de 14 y nada, que tengo aquí valor absoluto de D más 7 es igual a raíz de 14 al cuadrado que es 14 y ahora aquí una cosa súper importante, como yo tengo el valor absoluto de D más 7 igual a 14, el valor absoluto ¿qué ocurre? 00:04:09
que su contenido puede ser positivo o negativo. Entonces, lo igualo a 14 y lo igualo a menos 00:04:34
14. Y estos dos son, estos dos planos son los únicos planos que son paralelos tanto 00:04:39
a R como a S. ¿Por qué? Porque su vector normal es perpendicular tanto a DR como a 00:04:49
S y además que están a una distancia raíz de 14 de S. ¿Vale? Esto no es complicado. Si no os ha visto nunca puede parecer más difícil, pero fijaros lo que hacemos. Lo que hacemos es el vector normal del plano es precisamente perpendicular tanto a DR y a DS. 00:04:54
hacemos la distancia 00:05:18
de un punto cualquiera 00:05:21
en este caso de S al plano 00:05:23
y la forzamos que sea raíz de 14 00:05:24
¿de acuerdo? 00:05:27
y lo único que al tener aquí arriba un valor absoluto 00:05:28
porque siempre las distancias son positivas 00:05:31
pues entonces esto será 00:05:33
o igual a 14 o igual a menos 14 00:05:34
y ya tenemos los dos planos 00:05:37
que son paralelos a R y a S 00:05:39
y que distan 00:05:41
raíz de 14 00:05:42
a la recta 00:05:46
¿vale? 00:05:48
¿sí o no? 00:05:50
¿sí? venga 00:05:52
otro 00:05:53
ejercicio que creo que hemos hecho 00:05:56
también una cosa parecida 00:05:58
pues nos dicen 00:06:00
que hallemos un punto de la 00:06:02
recta ¿vale? de esta recta R 00:06:04
creo que diste 00:06:06
5 partidos a raíz de 00:06:08
14 del plan 00:06:10
es decir, yo no puedo 00:06:12
me refiero, hay muchos puntos 00:06:14
hay muchos puntos que están 00:06:16
a 5 partidos 00:06:19
raíz de 14 unidades del 00:06:21
plano beta, pero 00:06:23
ya eso 00:06:24
comprime digamos un poco, hay una 00:06:27
restricción de que todos esos puntos 00:06:30
además tienen que pertenecer a esta 00:06:33
recta R, ¿me acuerdo? ¿entendéis el 00:06:34
problema? Vale 00:06:36
pues entonces, súper importante, lo primero 00:06:38
es pasar a paramétrica 00:06:40
esa recta, ¿vale? 00:06:42
La pasamos a paramétrica, que es fácil porque nos la dan en vectorial, ¿de acuerdo? 00:06:44
Y lo que hacemos es hallar la distancia de un punto genérico de esa recta, 00:06:50
que precisamente un punto genérico es la coordenada x, z, es la de los parámetros, ¿vale? 00:06:57
Y hallamos su distancia al plano pi, al plano beta, que aquí me he equivocado, ¿vale? 00:07:05
Este es beta. 00:07:11
¿De acuerdo? Beta me lo dan. 00:07:15
Y aquí también sé que este es el vector normal de beta, que es 1, menos 2, 3. 00:07:20
¿De acuerdo? 00:07:26
Entonces, ¿cómo hallo la distancia de cualquier punto de esta recta, cualquier punto de esta recta, al plano? 00:07:27
Pues nada, yo acojo el punto genérico, ¿de acuerdo? 00:07:35
Que viene de aquí, de aquí y de aquí. 00:07:38
Lo sustituyo en la ecuación del plano, ¿lo veis? 00:07:41
Por eso esto sería un 1 por la x, menos 2 por la componente y, más 3 por la componente z, más 12. 00:07:44
Y todo ello valor absoluto. 00:07:53
¿Lo veis? 00:07:55
Y luego partido por el módulo del vector normal del plano, ¿vale? 00:07:56
Que es 1 al cuadrado más menos 2 al cuadrado más 3 al cuadrado. 00:08:01
Beta, beta. 00:08:05
La p es un punto genérico de r, ¿vale? 00:08:07
Eso es. 00:08:12
entonces lo que hago es, hallo la distancia 00:08:13
del punto porque dice 00:08:16
haya un punto de esta recta 00:08:18
que diste 5 partido raíz de 14 00:08:20
del plano, entonces 00:08:22
como es un punto de esa recta 00:08:23
yo no sé que punto es 00:08:26
entonces tengo que coger siempre el punto genérico 00:08:27
de esa recta, hallo la distancia 00:08:30
del punto genérico 00:08:32
a la recta y yo lo único que voy 00:08:34
a forzar es que esa distancia 00:08:36
sea 5 partido de raíz 00:08:38
de 14 00:08:40
¿lo veis? ¿si o no? 00:08:41
Pues nada, lo que hago es, pongo en la ecuación del plano la componente x, y, z, y todo ello, valor absoluto, es partido de raíz de 14. 00:08:43
Como esto es igual a 5 partido de raíz de 14, lo bueno es que la raíz de 14, pues, se va, ¿vale? 00:08:59
Entonces, todo esto chaco de aquí tiene que ser igual a 5. 00:09:06
abrupo las lambda con las lambda 00:09:10
los términos independientes con los términos independientes 00:09:12
y me sale menos 14 00:09:14
lambda más 19 igual a 5 00:09:16
volvemos a lo mismo, como esto es un valor 00:09:18
absoluto, pues tengo dos posibilidades 00:09:20
que sea igual a 5 00:09:22
o que sea igual a menos 5 00:09:24
¿lo veis? cuando 00:09:26
vale igual a 5 00:09:28
resulta que lambda es igual a 1 00:09:29
¿cuál es el punto de la 00:09:32
recta R que dicta 5 00:09:34
partidos de raíz de 14? pues 00:09:36
sustituyo la lambda por 1 00:09:38
¿Lo veis? Sustituyo la lambda por 1 y me sale que es el punto menos 1, 0 y menos 2. 00:09:40
Y yo aquí, ¿qué os recomendaría? Pues que, efectivamente, yo hiciera la comprobación. 00:09:47
Porque si yo hago la distancia desde este punto a beta y me sale 5 partido de raíz de 14, pues ya lo tengo bien el ejercicio. 00:09:54
¿Es el único punto? Pues no, no es el único punto. 00:10:05
El único punto es, si nos saliera un único punto, ¿qué ocurriría? 00:10:10
Que fuese, efectivamente, que es el ortogonal, ¿vale? 00:10:18
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo ahora hago menos 14 lambda más 19 igual a menos 5, 00:10:24
me sale que es 12 séptimo, igual, sustituyo en mis ecuaciones paramétricas la lambda por 12 séptimo. 00:10:31
Me sale aquí, si os fijáis, menos 12 séptimos, luego la i me sale 10 séptimos y la z me sale menos 29 séptimos. 00:10:38
Y entonces igual, lo compruebo, lo compruebo porque aquí la probabilidad de equivocarme es alta. 00:10:49
Entonces compruebo si la distancia desde ese punto al plano, que es la fórmula, es igual a 5 partido de raíz de 14, veo que sí, 00:10:55
y es 2.5 para la saca, o 2 puntos, o lo que sea. 00:11:03
Porque esto seguramente sea parte de un ejercicio, o sea, los dos y medio. 00:11:08
Dime, Gallito. 00:11:12
Yo entiendo por 10, el valor absoluto. 00:11:13
Sí. 00:11:15
¿Por qué te da igual? 00:11:15
Te da igual, realmente, a ver, no es que te dé, te da igual. 00:11:19
Claro, si tú cambias los dos a la vez, entonces estás otra vez en el mismo caso, ¿vale? 00:11:23
Pero date cuenta que el valor absoluto de lo de dentro es igual a 5, ¿no? 00:11:28
Entonces, ¿qué significa? Que lo de dentro, si tú tienes el valor absoluto de algo, es igual a 5, eso que puede ocurrir. Que lo de dentro sea igual a 5, cuyo valor absoluto es 5, o que lo de dentro sea igual a menos 5, cuyo valor absoluto de menos 5 es 5. 00:11:34
¿lo entiendes o no? 00:11:53
Matillas 00:11:55
lo que yo creo que tú veas es que 00:11:56
lo que hay dentro del valor 00:11:59
absoluto, para que me 00:12:01
dé 5, puede ocurrir dos cosas 00:12:03
que lo de dentro sea 00:12:05
5 o que lo de dentro 00:12:07
sea menos 5 00:12:09
porque claro, si yo lo de dentro tengo que es menos 00:12:10
5 y hago su valor absoluto 00:12:13
¿cuánto es el valor absoluto de menos 5? 00:12:15
5, ¿lo ves? 00:12:17
¿Puedo plantear un signo a lo que está bien? 00:12:19
y el 5 dejando 00:12:22
¿Te sale lo mismo, Copetín? 00:12:22
Claro, si tú le... 00:12:25
Lo que pasa es que realmente no estás aplicando bien la definición. 00:12:26
Realmente no estás... 00:12:31
A ver, es que en el fondo, como estás multiplicando por menos uno, 00:12:31
tanto por un lado como por otro, 00:12:35
al final llegas a lo mismo. 00:12:37
Lo que yo creo que tú veas. 00:12:39
Esto de aquí lo igualo a cinco. 00:12:40
Esto de aquí lo igualo a menos cinco. 00:12:43
Estoy aplicando la definición de valor absoluto. 00:12:45
¿Por qué? 00:12:49
Porque yo lo que hago es, todo lo que hay aquí, la única posibilidad que tengo de lo de dentro, para que su valor absoluto sea 5, es que lo de dentro valga o 5 o menos 5. 00:12:49
¿Estás de acuerdo en eso? Esa es la definición. 00:13:03
Bueno, entonces lo hago así. 00:13:06
¿Y tú lo que quieres es hacer que 14 lambda menos 19 sea igual a 5? 00:13:09
Estás en lo mismo. 00:13:18
Esto es lo mismo porque aquí 14 lambda es igual a 24, ¿no? 00:13:19
Y entonces lambda es igual a 24 catorceavos y esto es igual a 12 séptimos. 00:13:27
Me sale lo mismo. ¿Pero por qué me sale lo mismo? 00:13:34
Porque realmente estoy haciéndole a esto multiplicando por menos 1 a ambos lados. 00:13:35
Y cuando tú una ecuación la multiplicas por el mismo número, no salta la ecuación. 00:13:43
¿vale? pero que la definición 00:13:49
realmente es eso, yo sé que el valor 00:13:53
absoluto de algo es igual a 00:13:55
5, pues ese algo es 00:13:57
o 5 o menos 5 00:13:59
¿vale? 00:14:00
donde yo prefiero este lado 00:14:03
de aquí no por nada, porque hay gente 00:14:05
que a lo mejor luego se vuelve loca 00:14:06
y entonces ahora me hace esto de aquí 00:14:08
perdona, lo que tú me has 00:14:11
hecho, pero igual a menos 5 00:14:13
y eso ya está mal 00:14:14
¿vale? 00:14:15
Sí, dime hija 00:14:17
¿Cómo estás madre? 00:14:19
Más mala que un perro 00:14:20
¿Dónde está la tía? 00:14:24
Si sale cero 00:14:30
Tan solo hay uno 00:14:32
¿Y qué ocurre si la distancia 00:14:33
Del plano a la recta es cero? 00:14:36
Que está 00:14:40
Que está contenida 00:14:41
O que ese cante 00:14:43
Justo ese punto es cero 00:14:45
Pero vamos 00:14:46
que está contenida. 00:14:48
¿Vale, chavales? 00:14:51
¿Ya no? 00:14:52
¿Jóvenes? 00:14:55
Sí. 00:14:56
Este ejercicio es súper típico. 00:14:57
¿Vale? 00:15:00
El ejercicio anterior también. 00:15:00
¿Vale? 00:15:02
¿Hasta ahora todo bien aquí? 00:15:04
Yes, of course. 00:15:07
Entonces, chavales, 00:15:09
he cogido ya problemas de la PAU, ¿vale? 00:15:11
donde a mí por ejemplo 00:15:16
sí que me gustaría 00:15:20
sí que me gustaría 00:15:21
que aquí había una opción 00:15:23
y no me acuerdo 00:15:25
la duda ofende 00:15:26
sí, sí, sí 00:15:29
de hecho estoy grabando también la clase 00:15:31
y demás, ¿vale? 00:15:35
a mí me gustaría 00:15:36
que ustedes le metieran mano 00:15:37
a todo esto 00:15:40
y aquí yo tengo 00:15:42
mira, orgánico 00:15:44
Vale. Me gustaría que empezarais ustedes a hacer un poquito de esto, ¿vale? 00:15:46
Claro. Sí, por fin. 00:15:58
¿Vale? Venga. 00:16:03
Tenemos dos planos, ¿vale? 00:16:06
Tenemos dos planos, piso 1 y piso 2, ¿de acuerdo? 00:16:10
Y tenemos una recta. 00:16:14
Equivalente. 00:16:20
de hecho en las rectas 00:16:23
normalmente cuando se pone en paramétrica 00:16:25
o inclusive en vectorial 00:16:27
en vez de ponerse un igual 00:16:29
se pone los tres 00:16:31
rayitos, venga hay sueño ¿no madre? 00:16:32
¿dormiste bien anoche o no? 00:16:36
¿y eres feliz? 00:16:41
a tarde para hacer algo 00:16:43
entonces chavales, tenemos dos 00:16:44
planos y una recta 00:16:47
y lo que me dicen, fijaros la restricción 00:16:48
fijaros la restricción, me dice 00:16:51
allá en los puntos de la 00:16:53
recta R, entonces ahí 00:16:55
sé que tengo que coger 00:16:59
¿qué? un punto 00:17:01
¿eh? 00:17:02
genérico de la recta 00:17:06
R, ¿vale? y entonces 00:17:07
allá en los puntos de la recta 00:17:09
R que equidistan 00:17:11
de pi sub 1 y pi sub 2 00:17:13
eso sería 00:17:15
eso sería 00:17:20
sin la restricción 00:17:22
claro, ahí sería un punto 00:17:25
X y Z 00:17:29
X y Z que equidiste de X1 00:17:30
y X2, pero aquí tenemos la restricción 00:17:33
de que sea la resta, dime 00:17:35
wow 00:17:36
así 00:17:39
la máscara que me ha gustado 00:17:45
la máscara es esto de aquí 00:17:51
de cara 00:17:56
claro, lo suyo siempre es comprobarlo 00:17:57
pero aquí a hierro 00:18:07
si te piden eso, hombre, sería 00:18:08
la molinu está acojonada en este momento 00:18:16
molinu 00:18:25
mi auquito 00:18:30
mis flowers 00:18:31
eso se te da muy bien 00:18:34
Jesús 00:18:40
¿Cómo estamos todos? 00:18:44
Andrés, ¿cómo estás padre? 00:18:47
Entonces 00:18:55
Chavales, si me dicen 00:18:56
Que tengo que hallar los puntos 00:18:58
De la recta R que equidistan 00:19:00
De piso 1 y piso 2 00:19:02
Ahí que me están hablando 00:19:04
¿Eh? 00:19:05
Claro 00:19:10
Ahí claro, yo tengo que hallar 00:19:11
La distancia del punto genérico 00:19:14
De R a piso 1 00:19:16
hallo la distancia del punto genérico 00:19:17
a pi sub 2 00:19:20
y entonces 00:19:21
las tengo que igualar 00:19:23
¿de dónde viene equidistar? 00:19:25
¿qué significa la equi? 00:19:28
cuando una palabra lleva a equi delante 00:19:29
¿qué significa? 00:19:34
I don't know enough from here 00:19:36
equivalente, equipolente 00:19:37
claro 00:19:40
¿tú has hecho una guiniela alguna vez? 00:19:42
¿no has hecho una guiniela nunca? 00:19:45
y ¿sabes cuándo empatan dos partidos 00:19:46
que se pone en la quiniela? 00:19:48
Una X, pero viene de eso 00:19:50
de que son iguales, han marcado los mismos goles. 00:19:52
X distante. 00:19:56
X, ¿qué es lo que es X? 00:19:57
Y distante. 00:20:00
¿Qué es el olvido? 00:20:02
Entonces, ¿qué tiene la misma distancia? 00:20:03
Martín, dime. 00:20:06
Sorry. 00:20:07
Tú tienes que hallar. 00:20:10
Tienes que hallar. 00:20:12
La distancia de un punto genérico 00:20:13
de R al plano piso 1. 00:20:15
¿Tienes un punto? 00:20:20
No, no, tú no. 00:20:22
No, no. 00:20:23
Tú tienes dos planos y tienes una recta. 00:20:24
¿Vale? Y entonces te dice, hallar 00:20:26
los puntos de la recta R. 00:20:28
Con lo cual, Martín, 00:20:31
no es 00:20:34
el plano 00:20:34
mediador, ni el plano 00:20:35
bisector, porque 00:20:38
la restricción que tengo 00:20:40
es que pertenecen a una recta. 00:20:42
¿Vale? Pertenecen a una recta. 00:20:45
No es el lugar geométrico de los puntos que equidizan de pi sub 1, pi sub 2. 00:20:49
¿Vale? ¿Entienden la diferencia, no? 00:20:54
Aquí lo que me dice es que esos puntos que vamos buscando, 00:20:57
un momentillo, son de la recta R. 00:21:01
¿Vale? Entonces, de todos los puntos, ¿cuántos puntos tiene la recta R? 00:21:04
Infinito, una jarta. 00:21:10
Entonces, ¿cuáles son aquellos puntos que están a la misma distancia de un plano y de otro? 00:21:11
¿Vale? 00:21:19
Entonces, ¿qué ocurre? 00:21:20
Pues yo que tengo que hallar la distancia de un punto genérico de R a piso 1, 00:21:21
que hay una formulita, ¿no? 00:21:28
Y hallo la distancia de un punto genérico de R a piso 2. 00:21:30
Y como equidistan, ¿cómo van a ser esas dos distancias? 00:21:35
¿Sí o no? 00:21:40
Pues ya está. 00:21:41
No, chocho, de la recta, como antes. 00:21:44
¿Un punto genérico de la recta cuál es? 00:21:47
No, ese es un punto específico. 00:21:52
Comentillo Martín, va a ver en antes. 00:21:55
Ese es un punto específico. 00:21:57
Es su hijo. 00:21:59
El 1 menos 1, 1. 00:22:00
El 1 menos 1, 1 es un punto específico. 00:22:02
¿Un punto genérico de la recta cuál sería? 00:22:05
¿Cuánto vale la X de la recta? 00:22:11
Efectivamente. 00:22:15
y la I y la Z 00:22:15
pues entonces tu punto 00:22:17
genérico es 1 menos 00:22:19
en el plano 00:22:22
como antes, Elena dime 00:22:25
hija 00:22:27
hay varias formas 00:22:28
ay que me ha pasado, perdóname Elena 00:22:46
una de las formas 00:22:48
hay varias formas 00:22:58
de rectas paralelas 00:22:58
también 00:23:02
es que al ser paralelas 00:23:04
o se cruzan 00:23:15
no están en el mismo plano 00:23:16
y entonces tú puedes hacer 00:23:18
un paralele piper 00:23:20
vale 00:23:22
un momentillo, Martín 00:23:23
en realidad si hiciera 00:23:25
el plano de circulación en dos planos 00:23:27
y justo así haces el punto de intersección 00:23:30
entre un plano y la recta 00:23:32
ahora también 00:23:33
ahora sí 00:23:36
en principio sí, pero es más complicado 00:23:37
en principio sí 00:23:39
inténtalo, yo te diría que sí 00:23:42
ahora ya me salgo 00:23:44
dime Noa 00:23:46
el punto genérico 00:23:49
es la fórmula 00:23:53
igual que aquí 00:23:55
chavales 00:23:58
igual que aquí 00:23:58
Rufo 00:24:01
Lucas here 00:24:03
yo aquí lo que hago es eso, ¿cuál es el punto genérico 00:24:05
de mi recta? 00:24:08
menos lambda, menos 2 más 2 lambda 00:24:09
1 menos 3 lambda 00:24:12
¿cuál es mi plano? este de aquí 00:24:13
entonces ¿qué hago? la x 00:24:15
con 2 menos lambda 00:24:17
luego, menos 2 por I 00:24:18
la I ¿cuánto vale? 00:24:20
menos 2 más 2 lambda, ¿lo ves? 00:24:22
y luego 00:24:24
¿eh? 00:24:25
¿eh? ah, claro 00:24:26
si es lo que hay que hacer 00:24:27
¿ya lo tienes? 00:24:28
no, puedes poner 00:24:29
ah, hay que hacerlo con los dos planos 00:24:29
hay que hacerlo con los dos planos, ¿vale? 00:24:31
pero, ¿qué es lo que hay que hacer? 00:24:34
la fórmula de esa 00:24:36
¿dime, dime? 00:24:37
no, no, dime, dime 00:24:40
la fórmula de esa 00:24:40
para calcular la distancia 00:24:41
¿cuál es? 00:24:43
lo de arriba 00:24:44
los palitos 00:24:45
¿cuál es? 00:24:46
valor absoluto 00:24:47
al final 00:24:48
a ver, ¿cuándo es módulo? 00:24:53
en un vector es un módulo 00:24:55
¿vale? que lo que estás hallando 00:24:57
es lo que mide 00:24:59
y luego en una distancia tiene que ser 00:25:00
valor absoluto sí o sí porque las distancias 00:25:03
siempre son positivas 00:25:05
¿vale? 00:25:06
noa 00:25:10
lo tienes que hacer de los dos 00:25:11
porque te dicen los puntos de la resta 00:25:13
Piso 1 y piso 2 00:25:16
no me acuerdo que yo 00:25:56
ahora lo vemos 00:26:02
¿te la has hecho? 00:26:03
¿te la has hecho? 00:26:04
¿te la has hecho uno? 00:26:10
¿te la has hecho uno? 00:26:11
claro, el filista 00:26:12
¿vale? 00:26:14
a ver, ¿cómo va? 00:26:18
¡Gracias! 00:26:26
¿Vale? Y entonces, ¿qué ocurre? Para que todos los puntos sean iguales, o los dos 00:26:56
puntos son iguales, o uno es igual, me lo cambia de círculo. ¿Vale? Se comenta la 00:27:02
pieza equidista. Efectivamente. ¿Vale? Bajaré. ¡Ajú! ¿Pero tú sabes la fórmula de una 00:27:12
distancia de un botón plano 00:27:21
a ver, lo que te dicen a ellos 00:27:23
tienen dos grados 00:27:29
lo que te piden son 00:27:31
los puntos que dan 00:27:33
con lo cual uno va a dejar 00:27:35
el punto en que dijiste 00:27:37
tiene que ser un punto de esa 00:27:39
¿cuál es un punto de esa? 00:27:41
¿cuánto vale la A? 00:27:45
¿cuánto vale la A? 00:27:47
lo que hemos hecho 00:27:49
ahora voy contigo 00:28:17
fíjate lo que he hecho aquí 00:28:19
para hallar la distancia 00:28:25
de un punto a un plano 00:28:28
que en este caso es también 00:28:29
un punto genérico de R 00:28:32
sustituyo 00:28:34
en mi plano 00:28:36
en mi plano 00:28:39
la X 00:28:40
por su componente X de la recta 00:28:41
donde haya una Y en el plano 00:28:45
sustituyo la componente Y de la resta, ¿vale? 00:28:48
Donde haya una Z sustituyo la componente Z de la resta, ¿vale? 00:28:52
Y luego tengo que seguir con el más 12, 00:28:57
es decir, yo tengo ahí el valor absoluto 00:28:59
de sustituir las coordenadas X, Y, Z de mi punto genérico en el plano, ¿vale? 00:29:02
Y luego lo tengo que dividir por el módulo del vector normal del plano. 00:29:09
el vector normal del plano es 00:29:16
el coeficiente que multiplica la x 00:29:19
en este caso es 1 00:29:22
el coeficiente que multiplica la y 00:29:23
que es menos 2 00:29:26
y el que multiplica la z que es 3 00:29:27
¿vale? 00:29:29
¿cómo hallo el módulo? 00:29:31
1 al cuadrado más 00:29:33
menos 2 al cuadrado más 00:29:35
3 al cuadrado y hago la raíz 00:29:37
¿lo veis? 00:29:39
y entonces me sale raíz de 14 00:29:40
pero tú tienes que hacer eso 00:29:42
con el punto genérico 00:29:44
con piso 1 00:29:46
y el punto genérico 00:29:48
con piso 2 00:29:50
y lo iguala porque equidista 00:29:51
¿vale? 00:29:54
¡Gracias! 00:30:14
Yo tengo dos planos 00:30:46
Yo tengo dos planos 00:31:00
Y tengo una recta 00:31:02
Entonces hay una serie de puntos 00:31:04
Hay una serie de puntos 00:31:06
De la recta 00:31:08
Que están a la misma distancia 00:31:10
De uno, segundo y de otro 00:31:12
¿Vale? 00:31:13
Elena, ¿tú me querías preguntar algo o no? 00:31:14
Sí 00:31:17
¿Qué es el don? 00:31:17
Me da muy raro 00:31:20
¿Te da muy raro? 00:31:21
Venga 00:31:22
¡Gracias! 00:31:47
¿Qué es lo que sale? 00:32:17
¿Qué es lo que sale? 00:32:19
¿Qué es lo que sale? 00:32:21
¿Qué es lo que sale? 00:32:23
¿Qué es lo que sale? 00:32:25
¿Qué es lo que sale? 00:32:27
¿Qué es lo que sale? 00:32:29
¿Qué es lo que sale? 00:32:31
¿Qué es lo que sale? 00:32:33
¿Qué es lo que sale? 00:32:35
¿Qué es lo que sale? 00:32:37
¿Qué es lo que sale? 00:32:39
y ahora es, uno lo deja aquí fuera y el otro lo deja aquí en el barrión 00:32:41
claro, claro, claro, venga, bien 00:32:49
claro, se puede averiguar a hacer 00:32:55
averiguar a hacer 00:33:02
No, no, no, no, no, no, no, no, no. 00:33:06
Chavales, vamos 00:33:36
Venga 00:33:38
Chavales, lo que os comentaba 00:33:42
Hola 00:33:47
Lo que os comentaba 00:33:51
Yo tengo mi punto genérico de la resta, ¿vale? 00:33:53
Mi punto genérico de la resta es 00:33:55
Como está en paramétrica 00:33:58
Hola 00:34:00
Como estamos en paramétrica 00:34:00
Tengo 1 menos 2, 3 00:34:02
Menos 1 más 3 00:34:03
Y 1 más 3 00:34:04
Y lo que me dice que son los puntos de esa recta que equidistan de P1 y de P2. 00:34:05
Entonces, yo lo que hago es que la distancia de ese punto genérico a Pi1 es igual a la distancia del punto genérico de R a Pi2. 00:34:13
Entonces, yo lo que hago es, en el plano Pi1, esta es la fórmula, ¿no, Elia? 00:34:22
La fórmula lo que me dice es, yo sustituyo en mi ecuación del plano, que es hasta el igual, ¿vale? 00:34:33
Que es hasta el igual, yo sustituyo mi x y z y lo sustituyo por la genérica, ¿vale? 00:34:41
A mí me dice, ¿cuál es la distancia del punto 8, 4, 2? 00:34:49
8, 4, 2 a este plano, pues yo aquí pongo un 8, aquí un 4 y aquí un 2, ¿vale? 00:34:53
Pero como me dice la distancia de un punto que pertenece a la recta a ese plano, 00:34:59
pues yo tengo que coger el punto genérico. 00:35:04
Cojo el punto genérico, sustituyo. 00:35:07
Aquí hay una x, pues pongo 1 menos 2t. 00:35:09
Aquí hay una y, pues le pongo menos 1 más t. 00:35:12
Aquí más 2t, t vale 1 más t, y el menos 1. 00:35:15
¿De acuerdo? 00:35:19
Entonces, ¿qué es lo que hago? 00:35:20
Eso tiene que ser igual a la distancia del punto genérico al plano P2. 00:35:22
el plano P2 es 2 por X 00:35:28
pues 2 por la componente X 00:35:31
del punto genérico 00:35:33
menos Y menos la componente 00:35:34
genérica de la 00:35:36
componente Y del punto genérico 00:35:39
más 3Z pues 00:35:40
la componente Z del punto genérico 00:35:42
menos 2 00:35:45
y luego, ayo, y ten mucho 00:35:46
cuidado, vale, es obvia 00:35:49
tengo que coger 00:35:51
el vector normal de los planos 00:35:52
ya, ya, ya 00:35:55
Ah, ya, por eso, que eso, me refiero, es habitual, tened mucho cuidado con eso, ¿vale? 00:35:56
Se pone aquí el vector normal del plano, el módulo del vector normal del plano, ¿vale? 00:36:02
Que en este caso es 3, 1, 2, pues 3 al cuadrado más 1 al cuadrado más 2 al cuadrado, su raíz. 00:36:07
Y en el otro es 2 menos 1, 3, 2 al cuadrado más menos 1 al cuadrado más 3 al cuadrado. 00:36:12
Y entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:36:19
Que yo ahora quito los paréntesis, ¿vale? 00:36:21
Y agrupo. 00:36:26
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:36:27
Y aquí me ha sorprendido mucho la gente. 00:36:29
Yo aquí tengo dos fracciones que son iguales. 00:36:33
Dos fracciones que son iguales. 00:36:37
Que además resulta que tienen el mismo denominador. 00:36:39
Entonces, si dos fracciones son iguales y tienen el mismo denominador, 00:36:45
¿Cómo tienen que ser sus numeradores? 00:36:48
¿Sorry? 00:36:53
Ah, vale, es que me habéis dejado acojonado. 00:36:54
Tienen que ser iguales, ¿vale? 00:36:58
Tienen que ser iguales entre... 00:36:59
Un segundillo. 00:37:02
Subí, ¿qué es esto? 00:37:04
Entonces, chavales, ¿qué es lo que ocurre? 00:37:06
Que los numeradores tienen que ser iguales. 00:37:09
Y aquí, por favor, tened mucho cuidado porque es valor absoluto. 00:37:12
¿Vale? Es valor absoluto. 00:37:16
Hasta aquí habéis llegado muchos de ustedes, ¿vale? 00:37:18
Aquí habéis llegado muchos de ustedes. 00:37:21
Entonces, el valor absoluto de menos 3T más 3 00:37:23
es igual al valor absoluto de menos 2T más 5. 00:37:27
Entonces, ¿qué ocurre? 00:37:31
Si yo tengo dos valores cuyo valor absoluto son iguales, 00:37:32
tengo dos posibilidades. 00:37:39
El contenido del primero es igual al contenido del segundo 00:37:43
o el contenido del primero 00:37:47
es igual al contenido del segundo 00:37:50
cambiado de signo. 00:37:52
No hay más tutía. 00:37:55
Claro, si tú cambias el signo 00:37:57
de este y de este, 00:37:59
vuelves a la primera posibilidad. 00:38:01
¿Vale? 00:38:04
Entonces, coges los argumentos de los dos 00:38:04
y los igualamos 00:38:07
y coges el argumento de uno 00:38:08
y le cambias el signo al argumento del otro. 00:38:10
El que tú quieras. 00:38:13
Yo he decidido mantener este 00:38:13
Y cambiarle el signo al segundo 00:38:16
Que lo quiere hacer al revés 00:38:18
Pero exactamente igual 00:38:19
Entonces, ¿qué ocurre? 00:38:20
Que yo ahora tengo este mojón de ecuación 00:38:22
Y me sale que la t vale 2 00:38:26
¿Cuál es el punto de la recta 00:38:28
Quequidista del plano piso 1 y piso 2? 00:38:33
Pues me voy a mi recta de aquí 00:38:37
Que es esta 00:38:39
¿Vale? A ese punto genérico que tengo aquí 00:38:41
aquí y sustituyo la t 00:38:44
por 2, ¿lo veis? 00:38:46
sustituyo la t por 2 00:38:48
y si sustituyo la t por 2 00:38:49
me da el punto 5 menos 3 00:38:51
menos 1, ¿os ha salido 00:38:53
a ustedes eso? 5 menos 3 00:38:56
menos 1, y luego abajo 00:38:57
que lo que hago es, cojo el argumento 00:38:59
de 1 y lo igualo al argumento 00:39:01
del otro, cambiado de signo, me 00:39:03
sale que la t es 8 quintos 00:39:05
¿vale? me sale 00:39:08
que la t vale 8 quintos, sustituyo 00:39:09
en mi punto genérico 00:39:12
la t por 8 quintos 00:39:13
y que me sale 00:39:15
menos 11 quintos 00:39:16
3 quintos y 13 quintos 00:39:18
hasta ahí bien 00:39:22
y estos son 00:39:23
dos puntos que pertenecen 00:39:25
¿por qué sé que estos dos puntos pertenecen 00:39:27
a la recta, chavales? 00:39:29
¿por qué sé que son estos dos puntos 00:39:31
pertenecen a la recta? 00:39:33
¿por qué? 00:39:35
porque lo he sustituido en el punto 00:39:37
genérico de la recta 00:39:39
¿vale? ¿cuál es el punto 00:39:41
que tú me dijiste, ¿cuál es el punto 00:39:43
rufo específico de esta 00:39:46
recta? A ver, más fácil de hallar un punto 00:39:47
de esta recta, súper fácil. ¿Cuál es? 00:39:49
1 menos 00:39:53
1, 1. ¿Y realmente qué estás 00:39:54
haciendo para hallar el 1 menos 1, 00:39:55
1? Efectivamente, en este 00:39:58
caso es T, ¿vale? 00:40:01
Yo le doy a la T 0 00:40:03
y esto es un 1, esto es 00:40:05
menos 1 y esto es un 1. ¿Qué es lo que 00:40:07
estamos haciendo ahora? Estamos dándole 00:40:09
aquí la T 00:40:11
en un lado vale menos 2 00:40:13
y en el otro creo que era 8 quintos 00:40:14
8 quintos 00:40:16
y entonces yo tengo dos puntos 00:40:18
de esa recta R 00:40:20
que están además a la misma distancia 00:40:22
de un plano y de otro 00:40:25
dime, ¿cuál es esa distancia? 00:40:26
¿la puedo calcular? 00:40:28
pues sí 00:40:31
de hecho, ¿cuál sería la distancia? 00:40:31
ya vale 00:40:35
pero ¿cuál sería en este caso? 00:40:35
¿cuál es la distancia de esos puntos a los planos? 00:40:40
¿Cómo lo hallo? 00:40:43
¿En dónde? 00:40:45
Pero ya lo tenéis aquí, ¿no? 00:40:49
Yo pongo aquí un 2, 00:40:56
¿no era un menos 2, no? 00:40:58
¿Y esto cuánto es? 00:41:00
9 partido de raíz de 14. 00:41:01
En la distancia, ¿no? 00:41:03
¿Lo veis? 00:41:06
Mi distancia, 00:41:10
mi distancia es esto, ¿verdad? 00:41:12
aquí lo que pasa es que me ha ahorrado un espacio 00:41:14
y esto tendría que ser raíz de 14 partido de raíz de 14 00:41:17
lo voy a poner también, ¿vale? 00:41:20
esto sería raíz de 14 00:41:24
¿verdad? 00:41:28
partido de raíz de 14, entonces 00:41:30
si yo tengo esto, ¿vale? 00:41:32
si yo tengo esto, ocurre que los numeradores 00:41:35
tienen que ser iguales, ¿vale? lo voy a poner aquí en colorado 00:41:38
que no sé si me va a caber, menos 3 00:41:41
T más 3 tiene que ser igual a menos 2T más 5, ¿vale? 00:41:44
Pero la distancia es esta, ¿la ves? 00:41:50
La distancia es esta. 00:41:54
Entonces, yo sustituyo la T por 2, no, la T por 8 quintos, 00:41:56
perdona, la T por menos 2, la T por 8 quintos, 00:42:00
y me sale en ambos casos 9 partido de raíz de 14, ¿vale? 00:42:02
Que eso hay que racionalizarlo. 00:42:08
Dime, Molina. 00:42:10
Pero la distancia no es igual a eso, ¿no? 00:42:11
Mira, aquí te vale menos 2 00:42:13
Mira, aquí te vale menos 2, ¿vale? 00:42:25
¿Sí o no? 00:42:27
Menos 2 por menos 3 es 6 00:42:28
6 más 3 es 9 00:42:30
9 partido de raíz de 14 00:42:31
Y si me voy aquí 00:42:33
Menos 2 por menos 2 00:42:34
4 más 5 00:42:36
9, 9 raíz de 14 00:42:39
Claro, claro. 00:42:41
¿Vale? 00:42:44
¿Sí? 00:42:45
¿Todo el mundo? 00:42:47
¿Sí? 00:42:48
Para ver la distancia, sí. 00:42:52
Si los quiere comprobar que te sale igual, ¿vale? 00:42:57
Como tenéis calculadora, yo lo haría los dos en los dos. 00:43:00
Yo haría los cuatro distancias para comprobar que realmente está bien. 00:43:03
Y ahora el B dice, 00:43:08
hallar el área del triángulo que forma 00:43:09
el punto con la 00:43:11
intersección de R con piso 1 00:43:13
y piso 2. Entonces, ¿qué tengo que hallar? 00:43:15
Hallo el 00:43:18
punto A en la intersección 00:43:19
de R con piso 1. 00:43:21
Entonces, lo que hago es 00:43:23
el punto genérico 00:43:25
de la recta 00:43:26
lo sustituyo en el plano. 00:43:29
Piso 1, ¿lo ves? 3 por el 00:43:31
punto genérico, más 3, que esto 00:43:33
ya lo teníamos resuelto, que era menos 3 más 00:43:35
3, ¿lo ves? Ya no, la parte de 00:43:37
arriba del numerador, sin valor absoluto, ¿eh? Sin valor absoluto. ¿Y qué ocurre? Que lo igualo a cero, ¿vale? 00:43:39
Es decir, sustituyo, no es que lo igualo a cero, es que sustituyo el punto genérico en el plano piso 1. 00:43:47
Me sale que t vale 1. ¿Cuál es el punto intersección de la recta r con piso 1? Este de aquí. 00:43:53
Hago lo mismo con el piso 2, es decir, cojo mi punto genérico, lo sustituyo, 00:44:01
que es lo que había hecho aquí precisamente, y me sale menos 2T más 5, ¿lo ves? 00:44:07
Menos 2T más 5, ¿vale? 00:44:13
Ah, yo la T y la T vale 5 medios. 00:44:16
Bueno, pues el punto B es sustituir en la recta la T por 5 medios. 00:44:18
Ya tengo el punto B, ¿de acuerdo? 00:44:24
Si no, la intersección de un punto de una recta y un plano 00:44:27
es sustituir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano. 00:44:32
No, no he hecho otra cosa, que precisamente eso es el numerador de la distancia, ¿vale? 00:44:37
Entonces, me refiero a que lo he hecho aquí para que lo veáis, 00:44:46
pero realmente ya lo tengo hecho del apartado A, ¿vale? 00:44:50
Entonces, hay el punto A, hay el punto B, y si te das cuenta, A, B y mi punto P, 00:44:55
que es el menos 2, 3, 2, me forman un triángulo, ¿sí o no? 00:45:00
Pero es que ese triángulo es la mitad del paralelogramo que forma A con B y A con P, ¿vale? Entonces, esto también lo pedí yo en el examen, si no recuerdo mal. Era el área del triángulo que era el semiparalelogramo que formaban tres puntos, creo que era, no recuerdo mal, no recuerdo bien exacto. 00:45:05
entonces yo tengo A con B y A con P 00:45:30
hallo su producto vectorial 00:45:33
porque el producto vectorial de A, B y A, P 00:45:35
que es el área del paralelogramo 00:45:39
que forman A, B y A, P 00:45:44
y como es un triángulo 00:45:46
lo tengo que dividir entre dos 00:45:47
hago su producto vectorial 00:45:49
me sale de aquí una serie de coordenadas 00:45:52
y es por un medio 00:45:56
¿qué ocurre? ¿cuánto es el área? 00:45:58
El área es un medio por el módulo de este vector. 00:46:00
Fallo el módulo de este vector y me sale esto de aquí. 00:46:06
Dime. 00:46:09
Pero con este problema son dos planos y una recta que corta uno. 00:46:10
Sí. 00:46:14
Entonces no podemos calcular la distancia, ¿no? 00:46:15
No te estoy pidiendo la distancia de la recta a los planos 00:46:18
porque la distancia de la recta al plano es cero, porque la corta. 00:46:22
Te estoy hallando. 00:46:25
puntos de la recta 00:46:26
puntos de la recta 00:46:29
¿vale? 00:46:30
aquí lo que he hecho 00:46:42
aquí en apartado B 00:46:43
en el A 00:46:45
lo que estoy hallando es 00:46:47
forzando 00:46:48
yo aquí en el B lo que esfuerzo 00:46:50
es que la distancia 00:46:53
de la recta al plano 00:46:55
1 sea igual 00:46:57
que la distancia de la recta al plano 00:46:59
es lo que estoy haciendo, lo esfuerzo 00:47:01
porque equidista 00:47:05
entonces si la distancia de la 00:47:06
recta al plano 1 y la distancia 00:47:09
del plano 00:47:10
al punto 2 equidistan 00:47:13
tan solo hay 00:47:15
dos puntos que están a la misma 00:47:17
distancia uno de otro 00:47:19
son los que hemos obtenido aquí 00:47:20
¿vale? 00:47:23
chavales, una cosilla 00:47:24
hay un ejercicio 00:47:26
que está bastante bien 00:47:29
que es 00:47:30
intentármelo hacer, chavales 00:47:32
que al final 00:47:34
copiarme esto 00:47:37
dados los puntos 00:47:39
A y B 00:47:41
haya el punto, o los puntos de la 00:47:43
recta R que existen de A y de B 00:47:46
¿vale? 00:47:48
¿vale? 00:47:50
¿vale? 00:47:51
y luego otro ejercicio típico 00:47:52
al final no tenía que haber dejado tanto tiempo 00:47:57
esto de aquí, dados los puntos 00:47:59
A y B, haya el punto 00:48:03
los puntos de la recta R que existen 00:48:04
de A y de B 00:48:06
¿vale? 00:48:08
y ahora otra cosilla, este ejercicio 00:48:10
de aquí, si, si, si, esto lo voy a subir 00:48:13
de todas formas, ¿vale? 00:48:14
y dada, a ver si lo copio bien 00:48:16
la ecuación de la superficie esférica 00:48:18
haya su centro y su radio, 00:48:20
calcula el radio de la circunferencia 00:48:23
que resulta de cortar el plano pi a la esfera 00:48:26
y calcula la ecuación del plano tangente 00:48:29
a la superficie esférica dada 00:48:32
en el punto A523. 00:48:34
¿Vale? 00:48:38
Estos son de Pau. 00:48:40
La Pau. 00:48:42
Aquí tenemos cuatro Paus. 00:48:43
La Pau al marcha, la Pau UD. 00:48:45
Un plano tangente, ¿qué es algo tangente? Algo que corta. 00:48:50
Entonces, yo tengo una esfera, y si la esfera, si me la corta un plano, me forma una circunferencia. 00:48:54
Y si yo tengo una esfera y hay un plano que la corta por un punto, yo la corto, la toco. 00:49:02
La toco. 00:49:07
¿Vale? 00:49:09
¿Sí o no? 00:49:10
Entonces, ¿cuántos planos tangentes a una esfera tenemos? Infinitos. 00:49:11
Pero que pase por un punto, uno. 00:49:15
Al principio no. A mí me hubiera gustado ver todo esto hoy. 00:49:20
A mí también me hubiera gustado. 00:49:24
Voy a parar. 00:49:26
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Idioma/s:
es
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es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
12 de diciembre de 2025 - 10:48
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
49′ 31″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
65.67 MBytes

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