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Bolzano y los agujeros de la recta

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Subido el 11 de abril de 2020 por Manuel D.

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Demostramos el teorema de Bolzano usando el axioma de intervalos encajados de Cantor y nos damos un paseo previo por la recta real

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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a mi canal. En esta ocasión os presento un resultado 00:00:01
crucial en la teoría del análisis de funciones. Se trata del teorema de Bolzano. Este teorema, 00:00:11
este resultado afirma lo siguiente. Si yo tengo una función continua en un intervalo 00:00:18
cerrado AB y el valor de la función en los extremos toma distintos signos, entonces necesariamente 00:00:21
la función alcanzará al menos una raíz dentro de ese intervalo abierto. 00:00:28
Este resultado de forma intuitiva asegura que si yo tengo que atravesar, pasar por el eje uniendo con un lápiz 00:00:34
un punto que está a un lado del eje con otro que está al otro lado del eje, al menos tendré que atravesar el eje alguna vez. 00:00:41
Claro, parece obvio, ¿no? Si yo quiero cruzar un río me tendré que mojar los pies. 00:00:47
Pero ojo, no es tan sencillo. Para poder demostrarlo necesitamos asegurar que en la recta real, en el eje, no hay agujeros, porque esto llevaría al traste todo. 00:00:51
Vamos a centrar nuestra atención en cómo demostrar, cómo asegurar, cómo conseguir que en la recta real no haya agujeros. Vamos con ella. 00:01:03
El primer tipo de números que aprendiste fue el de los números naturales 00:01:13
Se pueden representar, como sabes, en la recta y los has usado un montón 00:01:18
Básicamente para contar y para ordenar 00:01:22
Con estos números podemos sumar, multiplicar, pero para restar necesitamos los números negativos 00:01:26
Todos ellos, naturales, negativos y el cero, se denominan números enteros 00:01:34
Y con ellos ya sí podemos restar sin problemas 00:01:40
La dificultad aparece cuando queremos dividir. Para realizar divisiones no exactas necesitamos otro tipo de números, los racionales. 00:01:42
Un número racional sirve para representar la división entre dos enteros. 00:01:53
Podemos usarlos también para representar una parte del total. 00:01:57
Y por último sirven para representar medidas. 00:02:03
Los racionales expresan la relación entre dos segmentos A y B conmensurables. 00:02:05
Esto es, que se pueden medir mediante un segmento común C. 00:02:10
En nuestro ejemplo, el segmento C cabe exactamente 5 veces en el segmento A y 8 en el segmento B. 00:02:15
Por ello decimos que el segmento largo B mide 8 quintos tomando como unidad de medida el segmento corto A. 00:02:24
Los números racionales se pueden representar también en la recta real. 00:02:30
Esto es posible gracias a una aplicación sencilla del teorema de Tales que seguro te ha contado algún profe de mates o de dibujo técnico alguna vez. 00:02:35
En la imagen se ha representado nuestra fracción 8 quintos que, como ves, está comprendida entre el 1 y el 2. 00:02:44
Las fracciones verifican una propiedad muy interesante. 00:02:51
Para cada pareja de fracciones, la media aritmética es una fracción que está justo en medio, la mitad. 00:02:54
Con lo cual, si cogemos dos fracciones por cerca que estén, podemos encontrar una, otra, otra, otra, infinitas fracciones. 00:02:59
Decimos que las fracciones son un conjunto denso en la recta real. 00:03:05
Pero resulta que hay longitudes que no se pueden escribir como fracción. 00:03:09
Ya se dieron cuenta los griegos hace unos 2.500 años que la diagonal del cuadrado no podía escribirse como cociente de dos enteros. 00:03:13
Y desde entonces hay otros muchos ejemplos que se han encontrado a lo largo de la historia. 00:03:20
De hecho, para cada pareja de fracciones hay también infinitos números irracionales en medio. 00:03:24
Pero entonces, ¿cómo trabajar, cómo definir los números reales? 00:03:30
No es suficiente con decir que los números reales son los que son racionales y los que no son racionales. 00:03:34
Es decir, los racionales y los irracionales. Eso en matemáticas es una forma muy poco rigurosa de trabajar. 00:03:41
A lo largo del siglo XIX, matemáticos de la talla de Dedeckin, Cantor o Ballestras lograron establecer una base formal precisa para el conjunto de números reales, estableciendo determinados conjuntos que verificaban unas propiedades aritméticas parecidas a los números racionales, en cuanto a que podía sumarse, restar, multiplicar y dividirse algo por cero. 00:03:46
es decir, que son cuerpos, que además son totalmente ordenados, es decir, que si tú coges dos elementos siempre hay uno que es más pequeño que otro, 00:04:09
y que además son conjuntos completos, que quiere decir básicamente que al disponerlos en la recta real no dejan agujeros. 00:04:16
Vamos a presentar a continuación varios ejemplos de axiomas que utilizaron para definir la completitud, pero adaptándolos a lo que conocemos como recta real. 00:04:24
Y vamos a centrarnos especialmente en el axioma de Cantor, que es el que utilizaremos después para demostrar el teorema de Bolzano. 00:04:34
Primero axioma que nos sirve para determinar la completitud de la recta. 00:04:42
Si dividimos la recta en dos semirrectas, el punto de corte es un número real. 00:04:46
Esto se le llaman cortaduras de Dedequín. 00:04:50
Segundo ejemplo, el axioma del supremo. 00:04:52
Todo conjunto superiormente acotado tiene supremo. 00:04:55
Esto es, dentro de todas las cotas superiores del conjunto existe una única que es la menor de todas. 00:04:58
Tercer ejemplo de axioma, toda sucesión convergente tiene por límite un número real 00:05:04
Y cuarto ejemplo es el axioma de Cantor, que lo vamos a ver con mayor detenimiento 00:05:10
Imagina que tienes una sucesión infinita de intervalos que verifican 00:05:16
Que son cerrados, que están encajados, esto es, cada uno está dentro de los anteriores 00:05:20
Que las amplitudes de estos intervalos tienden a cero 00:05:28
En esta situación se verifica que la intersección de todos ellos es un único punto que pertenece a todos los intervalos a la vez. 00:05:32
Bien, pues veamos ahora cómo demostrar el teorema de Bolzano si en la recta real se verifica el axioma de Cantor. 00:05:39
Para ello, tomemos una función continua en un intervalo cerrado AB y supongamos, por ejemplo, que f de A es positivo y f de B negativo, pues el otro caso es simétrico. 00:05:46
Tomemos el punto medio del intervalo AB. 00:05:55
si en ese punto medio la función es 0 00:05:57
ya hemos acabado, pues hemos encontrado la raíz 00:06:00
si no, en uno de los dos subintervalos 00:06:02
en los que queda dividida este intervalo grande 00:06:04
f tomará valores de distinto signo 00:06:07
o en el de la izquierda o en el de la derecha 00:06:10
y repetimos este razonamiento para este subintervalo 00:06:12
lo dividimos en 2 y nos quedamos con la mitad 00:06:16
en la que se verifica la hipótesis de nuestro teorema 00:06:19
y nos volvemos a quedar con ese intervalo 00:06:22
y volvemos a dividir en 2 y en 2 y en 2 00:06:24
y así sucesivamente. De esa forma hemos construido una sucesión de intervalos que verifican que son 00:06:26
cerrados por definición, que son encajados, pues cada uno está dentro de los anteriores, que la 00:06:32
amplitud de estos intervalos tiende a cero, pues la amplitud será p menos a partido por 2 elevado a n. 00:06:38
Por el postulado de Cantor podemos asegurar que existe un único punto c que está en la intersección 00:06:44
de todos estos intervalos. Ahora solo nos hace falta ver, probar que el valor de la 00:06:51
función en C es necesariamente 0. ¿Por qué? Porque si fuese, por ejemplo, positivo, como 00:06:57
F es continua, F mantendría el signo, es decir, sería también positiva en todo un 00:07:03
intervalo alrededor de C. Es decir, que existiría algún intervalo del tipo A sub K, B sub K 00:07:10
para el que la función sería totalmente positiva 00:07:18
pero hemos creado que en todos estos intervalos encajados 00:07:23
la función cambia de signo, luego eso es imposible 00:07:27
hemos demostrado que C es una raíz de la función 00:07:29
Bueno, como has podido comprobar, cuando un matemático se pone riguroso, riguroso es para echarse a temblar 00:07:34
pero es cierto que sin la precisión y el formalismo de las matemáticas 00:07:39
muchos de los edificios de las ciencias se tambalearían 00:07:43
las primeras aplicaciones del teorema de bolzano que verás son para demostrar la 00:07:45
existencia de raíces de ecuaciones y para aproximar estas de momento por aquí 00:07:51
ha sido suficiente espero que este vídeo os haya gustado y nos vemos en 00:07:55
futuros hasta luego 00:07:59
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
294
Fecha:
11 de abril de 2020 - 0:51
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
08′ 07″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
89.40 MBytes

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