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Teorema de Rouché - Frobenius (2) - Contenido educativo

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Subido el 16 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Sheffrovenius para discutir el sistema y en el caso de que sea compatible, resuélvelo. 00:00:00
Bien, discute y resuelve en caso de que sea compatible. 00:00:06
Vale, sistema de cuatro ecuaciones, cuatro incógnitas. 00:00:12
Matriz de coeficientes, la matriz A, 1, 2, 1, 3. 00:00:14
La segunda columna, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 5, menos 3, menos 8, menos 4, menos 11. 00:00:20
Y la matriz ampliada consiste en añadir a la matriz A la columna de términos independientes. 00:00:33
1, 3, 2, 5, menos 3, menos 8, menos 4, menos 11 00:00:44
y añadimos la columna 2, 4, 3, 8 00:00:51
vale, rango de esta, o sea, dimensión de esta matriz es una 4 por 4 00:00:55
luego como mucho puede ser rango 4 00:01:01
dimensión de esta matriz una 4 por 5 00:01:04
también como mucho dimensión 4 00:01:08
Veamos cuál es el determinante de A 00:01:11
Si el determinante de A nos da distinto de 0, el rango de A será 4 00:01:14
Y como ese determinante es un menor de orden 4 también de la matriz ampliada 00:01:18
Ya habremos encontrado un menor de orden 4 distinto de 0 00:01:24
Por lo tanto también el rango de la matriz ampliada también sería 4 00:01:27
Bueno, pues vamos a calcular el rango de la matriz A 00:01:31
1, 2, 1, menos 3, 2, 5, 3, menos 8, 1, 2, 2, menos 4, 3, 6, 5, menos 11 00:01:33
Vale, para hallar este determinante lo que voy a hacer es utilizar el método de Gauss 00:01:46
Es decir, voy a intentar hacer ceros en alguna fila o columna 00:01:54
Utilizando transformaciones de determinantes que hagan que el determinante permanezca invariante 00:01:58
para desarrollar ese determinante por esa fila o por columnas que tenga todos ceros menos un elemento. 00:02:03
Por ejemplo, voy a poder intentar hacer ceros por aquí, debajo del elemento A11. 00:02:10
Consiguiendo ceros, desarrollaría ese determinante por esa primera columna 00:02:15
y ya me quedaría que resolver un único determinante de orden 3. 00:02:19
Vale, entonces, para construir ceros, la primera fila la voy a dejar invariante. 00:02:25
Lo que la segunda fila la transformo 00:02:31
Como la segunda fila menos dos veces la primera 00:02:36
Fijaos, esta transformación hace que el determinante no varíe 00:02:40
Si yo a una fila le sumo o le resto una combinación lineal de las restantes 00:02:44
El determinante no varía 00:02:51
A la fila no la cambio ni la multiplico por ningún número 00:02:52
Ni le cambio el signo 00:02:57
Vale, entonces me quedaría 2 menos 2, 0, 5 menos 4, 1, 3 menos 2, 1, menos 8 más 6, menos 2. 00:02:59
Ahora si la tercera la voy a cambiar restando la tercera menos la primera. 00:03:12
También hace que esta transformación, también hace que el determinante no varíe. 00:03:18
luego 1 menos 1, 0, 2 menos 2, 0, 2 menos 1, 1, menos 4, menos menos 3, menos 1 00:03:21
y la fila 4 la cambio restando la fila 4 menos la fila 1, menos 3 veces la fila 1 00:03:29
3 menos 3, 0, 6 menos 6, 0, 5 menos 3, 2 y menos 11 más 6 00:03:37
menos 11 más 9, perdón, queda multiplicar por 3 00:03:47
menos 11 más 9, menos 2 00:03:52
vale 00:03:55
este determinante, si nos fijamos, esta fila es proporcional a esta de aquí 00:03:57
Luego por la propiedad de determinantes, este determinante es 0 00:04:05
Vale, pues entonces el rango de A como mucho sería 3 00:04:10
Vale, entonces vamos a ver un menor de orden 4 de la matriz ampliada 00:04:19
Vale, pues por ejemplo puede ser 1, 2, 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 5 00:04:30
Y en vez de la cuarta columna, la de términos independientes 00:04:40
Vale, igual que hemos hecho antes, vamos a desarrollar este determinante 00:04:45
Primero colgados, haciendo ceros por debajo de este primer elemento, de la 1, 1 00:04:52
Vale, para hacer ceros, la primera fila la dejo igual 00:04:58
La segunda fila la transformo como la segunda fila menos dos veces la primera 00:05:02
Esta transformación hace que el determinante sea invariante, o sea que no varía 00:05:08
Entonces me quedaría 2 menos 2, 0 00:05:13
5 menos 4, 1 00:05:17
3 menos 2, 1 00:05:19
4 menos 4, 0 00:05:21
La tercera fila la voy a transformar como la tercera fila menos la primera 00:05:23
1 menos 1, 0, 2 menos 2, 0, 2 menos 1, 1, 3 menos 2, 1 00:05:27
Y la cuarta fila la voy a transformar como la cuarta fila menos 3 veces la primera 00:05:33
3 menos 3, 0, 6 menos 6, 0, 5 menos 3, 2 y 8 menos 6, 2 también 00:05:39
Si me fijo, estas dos filas también son proporcionales 00:05:48
Por lo tanto, este determinante es 0 00:05:53
Vale, cualquier otro determinante de orden 4 de la matriz ampliada 00:05:57
Como ya hemos jugado con la columna de términos independientes 00:06:03
También va a ser 0 00:06:07
Por tanto, el rango de la matriz ampliada también va a ser menor o igual que 3 00:06:09
Ahora lo que se trataría es de coger un menor de orden 3 00:06:15
Tanto de A como de A ampliada 00:06:19
Y ver si es distinto de 0 00:06:21
Si fuese distinto de 0, por ejemplo, si considero ese menor de orden 3 00:06:23
si me sale que es distinto de 0, entonces diríamos que el rango de A es igual que el rango de la ampliada, 00:06:26
puesto que este menor también pertenece a la matriz ampliada, 00:06:31
y sería igual a 3 y menor que el número de incógnitas. 00:06:35
¿Vale? Venga, vamos a proceder a ello. 00:06:39
Bien, pues consideramos el menor de orden 3 de A, 00:06:44
menor de orden 3 de A, que serían 1, 2, 1, 2, 5, 3, 1, 2, 2. 00:06:47
Desarrollamos, por Sarrus nos queda 10 más 6 más 4 menos 5 menos 6 menos 8 00:06:58
Sumamos, nos queda 20 menos 19 que es igual a 1, distinto de 0 00:07:09
Hemos encontrado un menor de orden 3 de A y también es un menor de orden 3 de A de la ampliada, distinto de 0 00:07:14
Luego el rango de A es igual al rango de la matriz ampliada, es igual a 3 00:07:20
Por ser iguales los rangos, sistema compatible 00:07:27
Pero como es menor que 4, que es el número de incógnitas 00:07:30
Entonces decimos que es compatible indeterminado 00:07:35
Con 4 menos 3 igual a 1 grado de libertad 00:07:39
Es decir, la solución de este sistema va a depender de un parámetro 00:07:49
Vale, pues resolvemos 00:07:54
Para resolver hemos dicho que el sistema incompatible, compatible e indeterminado con un grado de libertad, 00:07:59
una de las variables va a ser un parámetro libre, por ejemplo la t, voy a decir que t es cualquier valor real. 00:08:06
Entonces lo que voy a hacer realmente es resolver un sistema de tres ecuaciones con las tres incógnitas, la x, la y y la z. 00:08:15
Porque cuando he visto que el rango es 3 he afirmado que hay tres filas que son linealmente independientes. 00:08:22
¿Qué tres ecuaciones elijo? Pues tengo que asegurarme con qué tres filas he dicho que eran linealmente independientes. 00:08:29
Pues con aquellas que me intervenían a la hora de hallar el rango. 00:08:37
Luego las tres primeras, x más 2y más zeta menos 3 lambda igual a 2. 00:08:41
2x más 5y más 3zeta menos 8 lambda igual a 4. 00:08:49
x más 2y más 2z menos 4 lambda igual a 3 00:08:54
vale, lambda para mí es un parámetro libre 00:09:00
luego lo puedo pasar al término independiente 00:09:02
que forme parte del término independiente 00:09:05
lo escribiríamos x más 2y más z igual a 2 más 3 lambda 00:09:06
2x más 5y más 3z igual a 4 más 8 lambda 00:09:13
x más 2y más 2z igual a 3 más 4 lambda 00:09:20
y ahora resolvemos, este sistema será compatible y determinado 00:09:26
es un sistema de Cramer, 3 ecuaciones, 3 incógnitas 00:09:30
el determinante de estos coeficientes será distinto de 0 00:09:33
que valía 1, recordamos que valía 1 00:09:36
vale, pues entonces por Cramer, x será el cociente 00:09:39
como denominador, el valor del determinante de los coeficientes 00:09:42
la matriz de coeficientes, 1 00:09:46
Y como numerador, el determinante en vez de los coeficientes de la X, el término independiente 00:09:48
2 más 3 lambda, 4 más 8 lambda, 3 más 4 lambda 00:09:54
Luego los coeficientes de Y, 2, 5, 2 00:09:59
Y los coeficientes de Z, 1, 3, 2 00:10:02
Desarrollamos por Cramer y nos queda 00:10:05
10 que multiplica a 2 más 3 lambda 00:10:08
Más 6 que multiplica a 3 más 4 lambda 00:10:12
más 2 que multiplica a 4 más 8 lambda 00:10:16
menos 5 que multiplica a 3 más 4 lambda 00:10:22
menos 6 que multiplica a 2 más 3 lambda 00:10:26
y menos 4 que multiplica a 4 más 8 lambda 00:10:30
vale, si nos fijamos, tengo este factor de aquí que es exactamente igual que este 00:10:34
luego 10 veces ese factor menos 6 veces ese factor 00:10:40
Esto es 4 veces el factor 2 más 3 lambda 00:10:44
Lo mismo con este factor 00:10:47
Este factor 3 más 4 lambda también se repite aquí 00:10:49
Luego 6 veces el factor menos 5 veces ese mismo 00:10:52
Nos queda más una vez el factor 3 más 4 lambda 00:10:56
Bueno, aquí no necesitaría paréntesis 00:10:59
Y por último el factor 4 más 8 lambda 00:11:01
2 veces menos 4 veces 00:11:05
Me quedaría menos 2 veces 4 más 8 lambda 00:11:08
Quitamos paréntesis y nos queda 8 más 12 lambda más 3 más 4 lambda menos 8 menos 16 lambda 00:11:11
Agrupando nos queda 8 más 3, 11 menos 8, 3 00:11:23
Y ahora 12 lambda más 4 lambda, 16 lambda menos 16 lambda, 0 00:11:30
Luego la x nos ha salido 3 00:11:37
vale, lo mismo para la Y 00:11:40
denominador 1 00:11:45
que era el determinante de los coeficientes 00:11:48
numerador, determinante, primera columna 00:11:50
coeficientes de la X, 1, 2, 1 00:11:52
ahora en lugar de los coeficientes de la Y 00:11:54
columna de términos independientes 00:11:56
2 más 3 lambda 00:11:58
4 más 8 lambda 00:11:59
y 3 más 4 lambda 00:12:01
y tercera columna 00:12:04
coeficientes para la Z 00:12:06
1, 3, 2 00:12:07
y desarrollamos el determinante 00:12:09
Por sacos, venga, me olvido ya del denominador, que es 1, luego 2 que multiplica a 4 más 8 lambda, más 3 que multiplica a 2 más 3 lambda, y más 2 que multiplica a 3 más 4 lambda, menos 1 que multiplica a 4 más 8 lambda, 00:12:12
menos 4 que multiplica 2 más 3 lambda 00:12:32
y menos 3 que multiplica 3 más 4 lambda 00:12:39
misma estrategia de antes 00:12:44
este factor está común con este 00:12:45
2 menos 1, 1 pues 4 más 8 lambda 00:12:48
este de aquí está común con este 00:12:51
3 menos 4 menos 1 pues menos 2 más 3 lambda 00:12:54
cuidado con el menos, necesito un paréntesis 00:12:57
y este está común con este 00:12:59
por lo tanto, 2 menos 3, menos 3 más 4 lambda, quito paréntesis, 4 más 8 lambda, menos 2 menos 3 lambda, menos 3 menos 4 lambda, 00:13:01
y agrupo, 4 menos 2, 2 menos 3, menos 1, 8 lambda, menos 3 lambda, 5 lambda, menos 4 lambda, pues más lambda, 00:13:13
Por tanto, la Y nos queda menos 1 más lambda. 00:13:23
Vale, y lo mismo para la Z. 00:13:31
Denominador 1, numerador, determinante 1, 2, 1, 00:13:33
coeficiente de la X, 2, 5, 2, coeficiente de la Y, 00:13:38
y ahora columna de términos independientes. 00:13:42
Más 8 lambda y 3 más 4 lambda. 00:13:45
Desarrollamos el determinante por sarros y me queda 5 por 3 más 4 lambda, 00:13:50
más 2 por 4 más 8 lambda 00:13:55
más 4 por 2 más 3 lambda 00:13:59
menos 5 por 2 más 3 lambda 00:14:02
menos 4 por 3 más 4 lambda 00:14:07
y menos 2 por 4 más 8 lambda 00:14:11
agrupamos factor común con este aquí 00:14:15
5 menos 4, 1, pues 3 más 4 lambda 00:14:19
4 más 8 lambda con este de aquí, 2 menos 2, 0, pues se me va 00:14:22
Y el último, 4 menos 5, menos 2 más 3 lambda 00:14:27
Quito paréntesis, 3 más 4 lambda, menos 2 menos 3 lambda, 1 más lambda 00:14:31
Luego la variable z, vale, 1 más lambda 00:14:38
Solución, x igual a 3, y igual a menos 1 más lambda 00:14:43
z igual a 1 más lambda 00:14:48
y t igual a lambda 00:14:51
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
108
Fecha:
16 de octubre de 2020 - 21:24
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
15′ 07″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.52

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