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Inversa de una matriz por determinantes - Contenido educativo

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Subido el 20 de julio de 2018 por Manuel D.

402 visualizaciones

Se explica cómo calcular la inversa de una matriz por determinantes.

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hola qué tal chicos bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas 2 de segundo de bachillerato 00:00:01
seguimos con la serie de vídeos dedicados a determinantes de matrices en esta ocasión vamos 00:00:12
a trabajar la noción de inversa de una matriz con determinantes en el tema anterior habíamos visto 00:00:18
cómo calcular la inversa de una matriz utilizando el método de cause jordan pero vimos que esto 00:00:25
requeriría de muchas cuentas. En esta ocasión veremos que es mucho más eficiente hacerlo 00:00:31
mediante el uso de determinantes. Para que os hagáis una idea, por ejemplo, para calcular 00:00:36
la inversa de una matriz de orden 3 harán falta calcular sólo 9 determinantes de orden 00:00:41
2 y un determinante de orden 3. Realmente son muchas menos cuentas que utilizar en general 00:00:47
el método de Gauss-Jordan. ¡Comencemos! 00:00:53
Bien, para calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden n general necesitamos la noción de matriz adjunta. 00:00:58
Para ello vamos a recordar que era el menor complementario y el adjunto complementario de un término. 00:01:08
Si tenemos una matriz de orden n por n, matriz cuadrada, y quitamos una fila y una columna, 00:01:14
el menor complementario del elemento A y J es el determinante de esa matriz de orden n-1 que nos ha quedado. 00:01:20
Si le añadimos el signo que se calcula mediante la expresión menos 1 elevado a i más j, 00:01:28
o alternando los signos más menos más menos en una matriz cuadrada hasta llegar al término ij, 00:01:35
lo que se obtiene es el adjunto de ese término. 00:01:42
Bien, la matriz adjunta es la matriz de orden n, la misma dimensión que la matriz de partida, 00:01:44
en la que cada término será sustituido por su adjunto complementario, es decir, por el menor complementario con el signo más o menos correspondiente. 00:01:50
Vamos a ver un ejemplo. Tenemos esa matriz 3x3, así que para calcular su matriz adjunta tenemos que calcular 3x3, 9 menores complementarios. 00:02:00
Y, bueno, pues los tenéis ahí. Vamos a ver, recordar cómo se calculaba uno de ellos. 00:02:10
Por ejemplo, el alfa sub 2 3 sería el determinante de la matriz 2 por 2 que sale de eliminar la fila 2 y columna 3. 00:02:15
1, 2, 5, 0. Bien, saldría menos 10. 00:02:23
Si añadimos los signos correspondientes, obtendríamos los adjuntos. 00:02:27
Ahí tenéis los que van con signo más y ahí los que van con signo menos. 00:02:33
Así que añadiendo ese signo, obtendríamos los adjuntos. 00:02:37
Por ejemplo, nuestro término alfa sub 2, 3 se tendría que cambiar de signo y el elemento A mayúscula sub 2, 3 sería 10. 00:02:41
Ahí los tenéis, la matriz adjunta. 00:02:50
Pues a partir de la matriz adjunta se puede calcular la matriz inversa de una manera relativamente sencilla. 00:02:53
¿Qué pasa? Vamos a comprobar si multiplico la matriz A por la traspuesta de la adjunta. 00:03:00
Ahí en ese ejemplo teníamos que la junta es la de la derecha, la matriz de partida es la de la izquierda y el determinante vale menos 3. 00:03:05
Bueno, pues si hacemos esa cuenta resulta que al multiplicar A por la junta de la traspuesta lo que queda es una matriz diagonal cuyos términos en la diagonal valen exactamente el determinante, menos 3. 00:03:12
¿Esto qué significa? Bueno, pues que A por la traspuesta de la adjunta coincide con el determinante multiplicado por la matriz identidad 00:03:26
y eso lo que significa es que la inversa se puede calcular mediante esa fórmula que tenéis aquí, 00:03:34
que es la fórmula para calcular la inversa por determinantes. 00:03:40
La adjunta de la traspuesta o la traspuesta de la adjunta, como queráis, da igual, dividido entre el determinante. 00:03:44
Pero esta expresión hay un momento en el que no puede calcularse y es cuando el determinante es 0. 00:03:51
Si el determinante es 0, la matriz no tiene inversa. 00:03:56
Para profundizar en esta noción vamos a resolver este ejercicio en el que nos piden calcular para qué valores del parámetro A la matriz no tiene inversa y cuando sí que tenga inversa, calcularla. 00:04:00
Hola, ¿qué tal? En este ejercicio nos piden calcular la inversa de esta matriz para aquellos valores para los que sea posible. 00:04:13
Y también nos piden ver para qué valores esto no es posible. 00:04:21
Entonces, es muy importante que sepamos que la inversa de una matriz existe cuando el determinante es distinto de cero. 00:04:25
Y que cuando esta inversa asiste, se puede calcular como la adjunta de la traspuesta dividida entre el determinante. 00:04:35
Es decir, y aquí podemos calcular la adjunta de la traspuesta o la traspuesta de la adjuntada lo mismo. 00:04:47
Bien, ¿qué es lo que tenemos que hacer? Lo primero, pues calcular este determinante. 00:04:58
¿Y qué valores de A hacen ese determinante cero? Pues muy fácil, resolvemos la ecuación. 00:05:11
Y esto es una ecuación de primer grado chupada. 00:05:20
Ya lo tenemos. Esto, lo que hemos obtenido de aquí es que la matriz inversa existe para los valores de A distintos de 5. 00:05:22
Bien, ahora vamos a calcular la inversa para cuando la A no vale 5. 00:05:35
Para ello vamos a calcular lo primero la adjunta. 00:05:40
La adjunta, recuerdo, que son la matriz formada por los adjuntos complementarios con el signo. Cuidado con el signo. Vamos a ello. 00:05:42
y ya está, estos son los 9 menores de orden 2 00:05:49
que tenemos que calcular de esta matriz 00:06:36
para calcular la adjunta importante 00:06:38
los signos menos van alternados 00:06:40
en los lugares cuyos subíndice suma impar 00:06:42
este, este, este y este 00:06:46
estos son los que van con signo menos 00:06:51
cuidado, cuidado con este signo menos 00:06:54
que es muy importante no hacerlo mal 00:06:57
y ahora ya casi lo tenemos 00:06:59
La matriz adjunta es la matriz formada por estos valores. 00:07:01
Y ahora lo que tenemos que calcular es la traspuesta de esta matriz y dividirla por el determinante y esa es la inversa. 00:07:14
Bien, y esto ha sido todo. 00:07:32
Esta es la matriz inversa que existe solo para los valores de A distintos de 5. 00:07:34
Para A igual a 5 esta matriz no existe, la matriz no tiene inversa. 00:07:40
Muy bien, espero que os haya resultado sencillo. 00:07:43
Seguid practicando. 00:07:44
Nos vemos en los siguientes vídeos. 00:07:45
Un saludo. 00:07:46
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
402
Fecha:
20 de julio de 2018 - 23:29
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
07′ 51″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
161.69 MBytes

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