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3º ESO - Factorización de polinomios - Contenido educativo

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Subido el 25 de noviembre de 2022 por Jesús G.

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Hola chicos, en el presente vídeo vamos a aprender a factorizar polinomios. Vamos a 00:00:00
ver en qué consiste factorizar un polinomio, herramientas con las que contamos para poder 00:00:19
factorizar un polinomio y también sabremos pues cuál es el objetivo final de la factorización 00:00:25
de polinomios. ¿Para qué aprendemos esto? Bien, ¿qué es factorizar un polinomio? Factorizar 00:00:31
un polinomio consiste en expresarlo como producto de otros polinomios de grados más pequeños. Por 00:00:36
ejemplo, fijaos en el polinomio x al cubo menos x. Yo este polinomio lo puedo expresar como el 00:00:43
producto de x por x más 1 y por x menos 1, que son polinomios de grados más pequeños. Si 00:00:49
multiplicáis x por x más 1 por x menos 1 veréis que obtenéis x al cubo menos x. En este otro 00:00:57
ejemplo, x al cuadrado menos 6x más 9 yo lo puedo expresar como el producto de x menos 3 y por x 00:01:03
menos 3. Si hacéis ese producto comprobaréis que obtenéis x al cuadrado menos 6x más 9. Pues bien, 00:01:11
expresado un polinomio como producto de otros polinomios de grados más pequeños. ¿Para qué 00:01:18
queremos aprender a factorizar polinomios? Pues bien, el uso principal de la factorización de 00:01:25
polinomios es, por un lado, la simplificación de expresiones donde nos aparezcan polinomios, 00:01:31
principalmente expresiones con fracciones y polinomios, y por otro lado, otra utilidad es 00:01:38
la resolución de ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2, grado 3, grado 4. Veremos que el 00:01:45
proceso básico es la factorización de polinomios. Muy bien, pues vamos a aprender ahora cómo se 00:01:53
factoriza un polinomio. Para aprender cómo se factoriza un polinomio vamos a ver en primer 00:02:00
lugar las herramientas con las que contamos para realizar esta esta labor. Pues contamos con cuatro 00:02:07
herramientas. La primera herramienta será intentar sacar factor común x en el polinomio. Luego vamos 00:02:13
a ver todas las herramientas con un par de ejemplos. La segunda herramienta será uso de 00:02:20
identidades notables. ¿Cuáles son las identidades notables? Cuadrado de una suma, de una resta y la 00:02:25
suma por diferencia. Nosotros intentaremos buscar en el polinomio una de estas tres expresiones y 00:02:33
expresar el polinomio de una de estas tres formas. Será así como usemos las identidades notables. Por 00:02:43
otro lado, la tercera herramienta, ecuación de segundo grado. Cuando nosotros tengamos un polinomio 00:02:52
de segundo grado, una de las herramientas casi siempre que usaremos será la ecuación de segundo 00:02:58
grado. Luego lo veremos. Y por último tenemos también la regla de Ruffini. Será nuestra cuarta herramienta 00:03:04
para factorizar un polinomio. Bueno, vamos a verlas a través del primer ejemplo. Tenemos aquí 00:03:10
factorizar el polinomio p de x donde p de x es igual a x al cubo menos x al cuadrado menos 8x más 12. 00:03:18
Pues bien, me piden factorizar este polinomio. Pues yo me voy a mi tabla de herramientas y digo 00:03:25
¿puedo sacar factor común la x? ¿Qué significa sacar factor común la x en un polinomio? Pues 00:03:32
fijaos. Este término de aquí tiene x. Este término de aquí tiene x. Este también, pero este no. Por 00:03:39
lo tanto, yo aquí no puedo sacar factor común x. Un ejemplo en el que sí hubiera podido sacar factor 00:03:50
común x, pues si hubiese tenido el polinomio q de x igual a x al cubo menos x al cuadrado menos 8x 00:03:56
sin el 12. Pues si hubiese tenido esto, sí que podría haber sacado factor común la x y podría 00:04:05
haber expresado el polinomio como x por x al cuadrado menos x menos 8. ¿De acuerdo? A esto 00:04:10
le llamamos sacar factor común x. Pero como en nuestro ejemplo, pues el 12 no lleva x, no podemos 00:04:17
usar la primera herramienta. Vamos a ver si podemos usar la segunda herramienta. ¿Qué dice la segunda 00:04:24
herramienta? La segunda herramienta dice identidades notables. ¿Se parece nuestro polinomio a una de 00:04:30
estas tres expresiones de la derecha de las identidades notables? Pues no. Fijaos que ahí 00:04:37
aparecen cuadrados, no aparecen cubos y en nuestro polinomio aparece un cubo. Luego no podemos utilizar 00:04:44
la segunda herramienta de identidades notables. Tercera herramienta, ecuación de segundo grado. 00:04:50
Pues una ecuación de segundo grado es aquella en la que tenemos un polinomio de segundo grado. Aquí 00:04:57
no hay ningún polinomio de segundo grado, el de grado 3, nada. Cuarta herramienta, regla de Ruffini. 00:05:04
Pues vamos a ver si podemos usar la herramienta regla de Ruffini. Pues vamos a ver en qué consiste. 00:05:10
Escribo yo a continuación. Voy a utilizar la herramienta cuarta, que es la regla de Ruffini, 00:05:18
y lo escribo así en el ejercicio. Bien, la regla de Ruffini. La regla de Ruffini era una regla que 00:05:28
nos servía para dividir polinomios, ¿no? Pues bueno, otra de las utilidades que tiene es como herramienta 00:05:38
factorización. Escribimos, no voy a repasar la regla de Ruffini porque la conocéis, pero bueno, 00:05:43
escribimos los coeficientes del polinomio tal como lo hacíamos para aplicar la regla de Ruffini. 1 00:05:50
menos 1 menos 8 y 12. A continuación, ¿qué hacíamos? Una rayita así, otra rayita así. 00:05:57
¿Y qué poníamos en esta esquina? ¿Qué poníamos en esta esquina? Pues cuando estábamos haciendo la 00:06:07
división, poníamos lo que llamábamos la A, ¿no? De Ruffini. Pues vamos a ver ahora. En la herramienta 00:06:12
regla de Ruffini para factorizar un polinomio, vamos a buscar aquí un número, no sé todavía 00:06:23
cuál, tal que yo al hacer Ruffini aquí obtenga un cero en el resto. ¿Vale? Vamos a ver, vamos a verlo 00:06:29
poco a poco. Pues bien, ¿con qué pruebo? ¿Pruebo con el 1, con el 2, con el 5? No sé con cuál probar. 00:06:38
Pues nosotros, cuando utilizamos esta herramienta, yo a los chicos les digo siempre, a ver chicos, 00:06:45
lo primero que usamos, que tenemos que escribir para usar esta herramienta, son los candidatos 00:06:53
a Ruffini. 00:07:01
Y los candidatos a Ruffini serán los divisores del término independiente de nuestro polinomio. 00:07:02
¿Cuáles son los divisores del término independiente? De 12. Pues son 1 menos 1, 2 menos 2, 3 menos 3, 00:07:18
4 menos 4, 6 menos 6, 12 menos 12. Pues bien, voy a empezar por el primero de estos candidatos y voy 00:07:29
a probar con él a ver si al hacer Ruffini obtengo un cero. El 1 se pone así, 1 por 1 es 1 menos 1, 00:07:43
1 por 0 es 0, y 0 menos 8 es menos 8. 1 por menos 8 es menos 8, 12 menos 8 es 4. ¿Obtengo cero? No. 00:07:50
Pues entonces no me vale el 1 como candidato. O sea, como candidato sí, pero no me sirve, 00:08:01
no he obtenido cero en el resto. Pues voy a probar con el siguiente candidato, que es el menos 1. 00:08:08
Pues voy a hacer Ruffini con el menos 1. Bajo el 1, menos 1 por 1, menos 1, menos 1 menos 1, 00:08:17
menos 2, menos por menos más, 1 por 2, 2, 2 menos 8, menos 6, menos 1 por menos 6, 6 y 12 y 6, 18. 00:08:26
Repasamos, 1 es 1 menos 2, 2 menos 8 es menos 6, 6. Luego, no hemos obtenido cero. Luego tampoco, 00:08:41
tampoco nos vale el menos 1. Siguiente número con el que vamos a probar Ruffini. Aquí atachamos 00:08:51
el 1 que no nos ha valido. Lo he cargado, lo voy a escribir. El menos 1 tampoco nos ha servido. 00:09:02
Vamos a probar ahora con el 2. Pues escribimos el 2 y hacemos Ruffini. 2 por 1 es 2, 2 menos 1, 1. 00:09:13
2 por 1 es 2, menos 8, menos 6. Y 2 por menos 6, menos 12 y 12, 0. Obtenemos un 0. Luego, es lo que yo estaba 00:09:21
buscando. Pues bien, una vez que hemos obtenido un 0 en el resto al hacer Ruffini con uno de 00:09:33
nuestros candidatos, pues vamos a escribir lo siguiente. Flechita, y decimos que x al cubo 00:09:40
menos x al cuadrado menos 8x más 12 es igual. Y ahora decimos, vamos a poner x menos este 00:09:49
numerito que nos ha dado aquí, que era la a de Ruffini, x menos 2, multiplicado por estos 00:10:03
numeritos que eran el cociente de Ruffini, convertido a polinomio. x al cuadrado más x 00:10:11
menos 6. Fijaos que esto no es otra cosa que la prueba de la división de polinomios. Divisor 00:10:18
por cociente más resto, que en este caso el resto es 0, igual al dividendo. Bueno, pues ya hemos 00:10:25
conseguido factorizar el polinomio original usando la regla de Ruffini. Ahora decimos lo 00:10:35
siguiente. ¿Qué grado tiene este polinomio de aquí? Grado 1. Pues todo aquel polinomio de grado 1 00:10:42
no se puede factorizar más. Ya está suficientemente partido o simplificado. No podemos hacer nada más 00:10:49
con él. Grado de este polinomio de aquí, grado 2. Pues como el grado no es 1, tenemos que intentar 00:10:58
factorizar ese polinomio de ahí. Pues decimos a continuación en el ejercicio. Factorizamos 00:11:05
el polinomio x al cuadrado más x menos 6. 00:11:16
Pues bien, vamos a intentar a ver si podemos partirlo. No siempre va a ser posible, ya os lo 00:11:23
adelanto. Pues vamos a ver qué herramientas podemos usar. Volvemos a nuestra tablita de 00:11:32
herramientas. ¿Podemos sacar factor común x? Pues no, porque x al cuadrado más x menos 6, 00:11:38
el menos 6 no lleva x. Segunda herramienta, identidades notables. ¿Se parece nuestra 00:11:45
expresión a alguna de estas expresiones de la derecha? Pues aparece x al cuadrado pero el menos 00:11:50
6 ya nos despista y no es una identidad notable. Tercera herramienta, ecuación de segundo grado. 00:11:57
Polinomio de segundo grado sí que se puede convertir a ecuación de segundo grado. Pues 00:12:03
decimos vamos a utilizar la herramienta 3, ecuación de segundo grado. Y ahora lo que 00:12:08
hacemos es convertir este polinomio a ecuación de segundo grado, igualándolo a cero. La resolvemos. 00:12:19
x es igual a menos b menos 1 más menos raíz cuadrada de b al cuadrado 1 menos 4 por a por c, 00:12:26
eso va a ser más 24 partido por 2 por a. Esto va a ser igual a menos 1 más menos 5 partido por 2. 00:12:38
Y esto va a ser igual, un caminito para el más, un caminito para el menos, 5 menos 1, 4 entre 2, 2. 00:12:53
Y menos 6 entre 2, menos 3. Luego en la ecuación de segundo grado nos ha dado soluciones. 2 y menos 3. 00:12:59
¿De acuerdo? Pues bien, ¿cómo factorizamos, cómo partimos el polinomio de segundo grado, este de aquí, 00:13:09
con esta herramienta que hemos usado? Pues de la siguiente forma. Flechita y decimos que x al 00:13:18
cuadrado más x menos 6 será igual. Nos fijamos en el coeficiente principal del polinomio, el que 00:13:25
acompaña al término de grado 2, que es un 1. Aquí es como si tuviéramos un 1. Pues ponemos 1 por, 00:13:33
a continuación, x menos, esto siempre se pone así, una de las soluciones, 2. Pues ponemos aquí un 2 por 00:13:42
x menos la otra de las soluciones, menos 3, menos 3. ¿De acuerdo? Esto lo podemos expresar de una 00:13:51
forma un poco más bonita, así. 1 por x menos 2 por x menos menos 3 es x más 3. Luego fijaos que ya he 00:14:01
conseguido expresar el polinomio x al cuadrado más x menos 6 como el producto de 1 por x menos 2 y por 00:14:13
x más 3. ¿Qué grado tiene este polinomio de aquí? Grado 1. No se puede simplificar más. ¿Qué grado 00:14:22
tiene este polinomio de aquí? Grado 1. No se puede simplificar más. Ya hemos acabado. Ya no tenemos más 00:14:30
trocitos, más polinomios que simplificar, porque ya todos nos han quedado de grado 1. ¿Qué escribimos 00:14:36
a continuación? Como yo he usado varias herramientas, si os habéis dado cuenta, yo siempre pongo al final 00:14:41
una conclusión. En la conclusión recopilo todo lo que he usado en el ejercicio. Pues, a ver, yo partía 00:14:48
del siguiente polinomio x al cubo menos x al cuadrado menos 8x más 12. x al cubo menos x al 00:14:56
cuadrado menos 8x más 12. Era el polinomio del que yo partía. Ese polinomio, al yo usar la herramienta 00:15:05
4, regla de Ruffini, llegué a la conclusión de que era x menos 2 por x al cuadrado más x menos 6. 00:15:15
x menos 2. Voy a poner aquí x menos 2 por. Y luego tenía este otro polinomio x al cuadrado más x menos 6. 00:15:23
¿Pero qué pasó con este polinomio? Que yo conseguí factorizarlo aquí abajo 00:15:35
y pude expresarlo de esta manera. x al cuadrado más x menos 6 igual a 1 por x menos 2 por x más 3. 00:15:44
Pues, en vez de poner x al cuadrado más x menos 6, pongo x menos 2 por x más 3. Fijaos que he quitado el 1. 00:15:52
¿Por qué he quitado el 1? Porque 1 por algo pues no hace falta poner el 1. ¿Qué he conseguido? Pues 00:16:01
expresar mi polinomio original como producto de tres polinomios de grados más pequeños que él. 00:16:07
Es decir, lo que pretendía. Pues una factorización de polinomios. Perfecto. 00:16:15
Bueno chicos, vamos con este segundo ejemplo de factorización de polinomios. Nos piden factorizar 00:16:24
el polinomio p de x donde p de x es x al cubo menos 5x al cuadrado más 3x menos 9. Pues veamos. 00:16:30
A ver qué herramienta podemos usar. ¿Podemos sacar factor común x? Pues fijaos que no porque el 00:16:37
menos 9 no lleva x. Luego no podemos. ¿Podemos usar identidades notables? Pues fijaos que las 00:16:44
identidades notables, la parte de la derecha, tenemos que intentar partir de la derecha hacia 00:16:51
la izquierda, desde aquí hasta aquí. Fijaos que la parte de la derecha no tenemos cubos por ningún 00:16:57
sitio, solo hay cuadrados. Luego no podemos. ¿Ecuación de segundo grado? Pues no porque es un polinomio de 00:17:03
grado 3. Luego directamente regla de Ruffini. Pues escribimos. Cuarta herramienta que aplicamos. Ruffini. 00:17:11
Ya hemos dicho que para esta herramienta escribimos dos candidatos a Ruffini. Es decir, 00:17:24
candidatos a la A de Ruffini para que el resto no salga cero. ¿Cuáles son los candidatos a Ruffini? 00:17:29
Pues los divisores del término independiente. Tenemos que buscar los divisores de menos 9 00:17:36
o de 9. En este caso el término independiente es menos 9, pero bueno, los divisores de 9. ¿Cuáles 00:17:43
son los divisores de 9? Pues el 1 menos 1, el 3 y el menos 3, el 9 y el menos 9. Esos son nuestros 00:17:49
candidatos a Ruffini. Pues vamos a probar con el primero. Vamos a probar con el primero, que será 00:18:01
el 1. Ya hemos dicho que vamos a intentar hacerlo por orden. Primero por el 1, luego por el menos 1, 00:18:09
así hasta que obtengamos un resto cero. Escribimos los coeficientes para hacer Ruffini. 1, 5, 3 y menos 9. 00:18:15
Tallita, tallita y aquí estamos buscando un número tal que al hacer Ruffini yo obtenga de resto cero. 00:18:27
Pues vamos a ver cuáles. Voy a probar con el 1. Ya hemos dicho, 00:18:46
pruebo con el primero de los candidatos. Pongo aquí un 1. 00:18:51
1. Y hago Ruffini. 1 por 1 es 1. 5 y 1 es 6. 1 por 6 es 6. Y 3 es 9. Y 1 por 9 es 9. Y menos 9 es 0. 00:18:58
Pues he tenido suerte y he obtenido un 0 en la primera Ruffini que he hecho. Luego justo lo que 00:19:11
buscaba. x al cubo más 5x al cuadrado más 3x menos 9. ¿Se puede expresar cómo? Pues se puede expresar 00:19:18
como x menos la A de Ruffini, un 1, multiplicado por el cociente de Ruffini. x al cuadrado más 6x y más 9. 00:19:30
Este polinomio de aquí ¿qué grado tiene? Grado 1. No se puede simplificar más. Este 00:19:47
polinomio de aquí ¿qué grado tiene? Grado 2. Tenemos que intentar factorizarlo. Pues escribimos 00:19:53
a continuación. Factorizamos x al cuadrado más 6x y más 9. Pues vamos a ver qué herramientas 00:19:59
podemos usar con él. ¿Saca el factor común x? Pues fijaos que el 9 no lleva x. No. Identidades 00:20:15
notables. Vamos a ver. ¿Se parece esta expresión de aquí a alguna de estas expresiones de la 00:20:22
derecha de aquí? Pues fijaos. Un más más más. Pues parece que tiene pinta de que se parece a 00:20:28
esta ¿verdad? Pues yo creo que sí. Vamos a ver si se puede expresar como el cuadrado de una suma. 00:20:37
x al cuadrado más 6x más 9 se puede expresar como x más 3 al cuadrado. Si desarrollamos esta 00:20:44
identidad notable fijaos. x al cuadrado más el cuadrado del segundo más el doble del primero 00:20:55
por el segundo. Y esto de aquí pues efectivamente es esto de aquí ¿no? Luego sí que lo hemos podido 00:21:02
expresar como una identidad notable. Y x más 3 al cuadrado me diréis ahí es una potencia. Sí, 00:21:09
pero es que x más 3 al cuadrado es x más 3 multiplicado por x más 3. ¿De qué grado es este 00:21:16
polinomio? Grado 1. No se puede simplificar más. Grado 1. Este otro. No se puede simplificar más. 00:21:24
Luego hemos acabado. Como hemos usado varias herramientas yo pongo al final conclusión 00:21:29
conclusión y pongo x al cuadrado. Bueno x al cuadrado no. La que tenía al principio. x al 00:21:33
cubo más 5x al cuadrado. x al cubo más 5x al cuadrado más 3x menos 9 más 3x menos 9 que era 00:21:46
nuestro polinomio del principio. Nosotros en una, cuando utilizamos, se utilizó la herramienta 00:21:58
dofini aquí obtuve esto ¿no? 1x menos 1 por y luego también era esto ¿no? x al cuadrado más 6x más 9 00:22:05
pero esa factorización, fijaos, me ha dado esto ¿no? Me ha dado esto de aquí. Me ha dado esta 00:22:18
factorización de aquí. Luego en vez de poner x al cuadrado más 6x más 9 pues pongo x más 3 por 00:22:28
x más 3. Esto de aquí. Y esta será nuestra factorización del polinomio. ¿De acuerdo? 00:22:35
Pues perfecto. Pues muchas gracias chicos y así que me despido. 00:22:48
Autor/es:
Jesús Gómez Terrel
Subido por:
Jesús G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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185
Fecha:
25 de noviembre de 2022 - 22:32
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LUIS DE GONGORA
Duración:
23′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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