Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Teoremas de continuidad: Bolzano, Darboux, Weierstrass. - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 27 de enero de 2026 por Roberto A.

4 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Bueno, venga, 26 de enero del 26, día capicúo, eso significa que vais a probar todos historias, 00:00:00
¿vale? Venga, hay que empezar día con alegría. Bueno, vamos a ver, cosillas que es importante, 00:00:07
¿de acuerdo? Porque lo que viene ahora tenemos que ir a hierro, ¿vale? Ya sabemos el examen 00:00:15
el día 17, si no me equivoco, ¿no? Vaya por Dios. Bueno, entonces, chavales, aquí en 00:00:19
la unidad 9, ¿vale? 00:00:24
Y me he equivocado, sí. 00:00:27
Esto de aquí no va aquí, ¿vale? Ahora 00:00:29
lo corrijo. Entonces, esta 00:00:31
tabla de derivada que quiero que 00:00:33
repaséis. Esta tabla de derivada, 00:00:35
si os fijáis, siempre nos aparece 00:00:37
la simple y la 00:00:39
compuesta. Entonces, yo, si tenéis que 00:00:41
repasarlo, porque esto es del año pasado, 00:00:43
si repasáis, repasad 00:00:45
la compuesta, ¿vale? Porque luego 00:00:47
lo que me encuentro, ¿os recordáis 00:00:49
por lo menos suena el nombre de los de 00:00:51
la regla de la cadena, en las derivadas? Pues lo que me suelo encontrar es que la gente 00:00:53
de la regla de la cadena se olvida precisamente porque se estudia la parte de la izquierda, 00:00:58
la parte simple, ¿vale? Entonces, la que os tenéis que estudiar es la parte compuesta, 00:01:04
¿de acuerdo? Donde yo lo que tengo es la derivada de funciones, ¿vale? Derivada de 00:01:10
funciones. ¿Qué diferencia o qué es lo que hace que se utilice la de la izquierda 00:01:16
En vez de la derecha, pues cuando únicamente la f de x es igual a x, 00:01:23
entonces estamos en el caso de la izquierda. 00:01:29
Es decir, yo por ejemplo tengo aquí x elevado a n. 00:01:32
Esto fue lo que, bueno, de una constante siempre la derivada es cero, ¿verdad? 00:01:36
De una función polinómica, pues yo tengo x elevado a n, tiene chicle. 00:01:40
¿Alguien más tiene chicle? 00:01:47
Entonces, ¿x elevado a n qué es? 00:01:50
Pues el exponente pasa multiplicando y dejamos la x con un grado menos. 00:01:52
Pero yo no quiero que te aprendas eso, yo quiero que te aprendas la esta de aquí. 00:01:58
Es decir, yo tengo cualquier función, cualquier función elevado a n, 00:02:01
pues su derivada es n por la función elevado a menos 1 por la derivada de esa función. 00:02:06
¿Vale? Por la derivada de esa función. 00:02:14
Fijaros en una cosilla. 00:02:16
Si mi función f de x es x, ¿qué es lo que tengo? Pues precisamente esto de aquí, ¿verdad? 00:02:17
Tengo n por x elevado a n-1, ¿y cuánto es la derivada de x? 1, ¿de acuerdo? 00:02:24
Entonces, esto de aquí, que es la simple, dime, la simple es un caso específico, ¿vale? 00:02:31
Es un caso específico cuando f de x es igual a la x. 00:02:41
Entonces, ¿qué es lo que os recomiendo? 00:02:48
Que os estudiéis la parte de la derecha. 00:02:50
¿Vale? 00:02:54
La parte de la derecha. 00:02:54
Porque si no, luego os olvidáis precisamente de esta parte de aquí, 00:02:56
que es la derivada de la función. 00:03:00
¿Vale? 00:03:03
¿Sí? 00:03:04
Entonces, recordamos aquí varias cosillas. 00:03:05
Bueno, tenéis los logaritmos, tenéis las exponenciales, 00:03:08
Los senos, los cosenos, las tangentes. 00:03:11
Tenéis aquí todas las funciones. 00:03:14
Dime. 00:03:15
Sí, la verdad. 00:03:16
Mira, señor, por favor. 00:03:19
Son campanitas. 00:03:21
El ruido eres tú, Diego, pero te queremos, ¿vale? 00:03:22
Ahí va. 00:03:35
Bueno, chavales. 00:03:36
Sí, es verdad, es verdad, es verdad. 00:03:40
Bueno, chavales, aquí tenéis apuntes de derivadas y sobre todo, chavales, súper importante, quien no recuerde bien las derivadas, miraros estos vídeos de derivación, ¿vale? Van desde lo más pequeño a lo más grande. Entonces, como siempre, si tenéis alguna duda, preguntadme, pero estos vídeos están bastante, bastante bien, ¿vale? 00:03:43
Y entonces, aquí ya veremos teoría y ejercicios de derivada. Y bueno, esto de aquí, que no va en este tema, lo que quiero que veáis es una cosilla. Os he subido varios apuntes que son las funciones de valor absoluto, ¿vale? 00:04:04
Entonces, el otro día estuvimos haciendo funciones de valor absoluto, digamos, sencillas. 00:04:19
Yo tenía una función polinómica, ¿verdad? 00:04:24
Yo lo igualaba a cero, veía dónde cambiaba el signo. 00:04:27
Una de las características que tienen las funciones polinómicas es que son todas continuas. 00:04:30
Y cuando tienen una raíz, lo que hace es cambiar el signo. 00:04:34
Y entonces lo que hago es, donde sea negativo, le cambio todo de signo. 00:04:38
Y donde era positivo, lo dejo igual, ¿vale? 00:04:43
Entonces, chavales, pues aquí tenemos un ejemplito, que es lo que quiero ver con ustedes, un poquito más complicado, que tampoco es que sea muy complicado, ¿vale? 00:04:45
Pero el caso es que nosotros ahora lo que tenemos es dos valores absolutos, ¿de acuerdo? Dos valores absolutos. 00:04:55
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Nosotros, por un lado, tenemos que tener ahí resuelto, ¿vale? 00:05:04
De todas formas, lo que hacemos es siempre x más 1 lo igualamos a 0 donde x es igual a menos 1 y nada, 2x lo igualamos a 0 donde x es igual a 0. 00:05:09
¿Lo veis, chavales? ¿Sí o no? 00:05:20
Entonces, yo siempre represento mi resta real donde yo tengo aquí menos infinito, aquí tengo menos 1, aquí tengo el 0 y aquí tengo más infinito. 00:05:22
Con lo cual, ¿yo cuántos intervalos tengo, chavales? ¿Cuántos intervalos tengo? Tres. Huesca, Zaragoza y Teruel. Si tuviera dos, Cáceres y Badajoz. 00:05:32
Entonces, chavales, aquí lo que hago es, como no es una función polinómica como tal, porque lo que tengo es, digamos, no es el valor absoluto de una función polinómica, sino que es la resta de valores absolutos. 00:05:46
Yo aquí lo que hago es cojo valores de cada intervalo. Por ejemplo aquí, ¿cuál cogería? El menos 2, ¿vale? Pero puedo coger cualquiera. Por ejemplo, x igual a menos 2. Yo de aquí, ¿qué cogería? x igual a menos 1 medio. Y aquí, ¿cuál cogería? Pues x igual a 1. ¿Lo veis? Cojo un valor de cada intervalo. 00:06:00
Y entonces, ¿qué es lo que hago? Bueno, pues si x es igual a menos 2, pues ¿qué ocurre? 00:06:22
Que en x más 1, eso sería menos 2 más 1, ¿verdad? 00:06:28
Y esto que es menos 1, es menor que 0. ¿Lo veis? ¿Sí o no? 00:06:38
Pues ahí tengo que cambiar el signo. Tengo que poner realmente que es menos x menos 1. 00:06:43
¿Lo veis? 00:06:52
¿Sí o no? 00:06:53
Luego, si la x es igual a menos 2, 2 por menos 2 es, es decir, sustituyo en esta función. 00:06:54
Es menos 4, que es menor que 0, ¿verdad? 00:07:02
Pues nada, tengo que poner unas campanillas esas que cojones. 00:07:04
Amaste. 00:07:13
Entonces, chavales. 00:07:14
Oh, yeah. 00:07:16
Entonces, ¿qué tengo que hacer? 00:07:17
Como veis que en ese valores las dos son negativas, pues le cambio el signo a los dos. 00:07:18
¿Y ahora qué me quedaría? 00:07:25
Pues me quedaría menos x menos 1. 00:07:26
Este menos lo pongo aquí y ahora pongo el menos 2x. 00:07:29
¿Lo veis? 00:07:33
Menos 2x. 00:07:34
¿Y esto al final qué queda? 00:07:35
Pues menos x menos 1 más 2x. 00:07:37
Es decir, me queda x menos 1. 00:07:41
¿Entendéis lo que estoy haciendo? 00:07:43
Miro cada uno de los valores y lo igualo a cero. 00:07:45
Veo donde 00:07:48
¿Es la Carla o qué? 00:07:49
Entonces, chavales 00:07:59
Veo donde igual a cero 00:08:00
Veo los intervalos 00:08:02
Cojo un valor de cada uno 00:08:04
Y veo el signo de cada una de las cosas 00:08:05
Y cuando es negativo le cambio el signo 00:08:07
¿Vale? 00:08:09
Entonces 00:08:10
Si x es igual a menos un medio 00:08:10
¿Vale? 00:08:13
Tengo, chavales 00:08:14
Pues tengo 00:08:15
El x más 1, esto es una implicación, sería menos 1 medio. 00:08:17
Menos 1 medio más 1, esto es igual a 1 medio que es mayor que 0. 00:08:25
Pues nada, tengo que poner, lo dejo igual, ¿verdad? 00:08:30
¿Sí o no? x más 1. 00:08:34
¿Y aquí qué es lo que ocurre? 00:08:37
Pues aquí sería 2 por menos 1 medio. 00:08:38
Esto es menos 1 que es menor que 0. 00:08:42
pues ponemos menos 2x. 00:08:44
Si yo ahora hago la resta, que sería x más 1 menos menos 2x, 00:08:50
pues esto, chavales, es 3x más 1. 00:08:57
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? 00:09:00
Ahora, si x es igual a 1, ¿verdad? 00:09:03
Pues nada, esto que sería 1 más 1 es igual a 2, que es mayor que 0. 00:09:08
ponemos 00:09:14
x más 1 00:09:17
¿de acuerdo? 00:09:18
y 2 por 1 00:09:20
es igual a 2 que es mayor que 0 00:09:22
ponemos 00:09:24
si hacemos la recta 00:09:27
x más 1 menos 2x 00:09:29
esto es 1 menos x 00:09:31
¿lo veis chavales? 00:09:33
¿si o no? 00:09:35
es que siempre se hace igual 00:09:37
¿de acuerdo? 00:09:38
¿qué implica esto? 00:09:39
que 00:09:43
mi función definida a trozo 00:09:44
definida a trozo va a ser 00:09:46
x menos 1 00:09:48
si estoy entre menos infinito 00:09:50
y menos 1, va a ser 00:09:52
3x más 1 si estoy entre 00:09:54
menos 1 y 0, y va a ser 00:09:56
1 menos x si estoy 00:09:58
entre 0 y más infinito 00:10:00
¿vale? 00:10:02
¿sí? ¿sí o no? 00:10:04
entonces, lo que quiero que veáis es 00:10:06
una cosilla 00:10:08
he hecho varios ejercicios de valores 00:10:09
absolutos, por favor, hacedlo ustedes, aunque está en la solución. Lo suyo es que veáis 00:10:12
los enunciados, intentéis hacerlo ustedes y comparáis con la solución. Y si tenéis 00:10:18
dudas, pues me decís, ¿vale? Es decir, ¿yo cómo pondría esto de aquí? Me he copiado 00:10:25
esto, ¿verdad? Dictármelo. Entonces, si f de x, ¿cómo era f de x, chavales? Valor 00:10:32
absoluto de x más 1 menos valor absoluto de 2x? Bueno, pues eso al final es una función 00:10:37
a trozos, ¿vale? ¿Qué era? ¿Me decís el primero? x menos 1, ¿vale? Si x es menor 00:10:44
menos 1, ¿luego qué era? 00:10:53
Es x más 1. 00:10:56
Es x más 1 00:10:57
entre menos 1 00:11:00
x es 0, ¿y luego 00:11:03
qué era? 00:11:05
Aquí creo que 00:11:07
hay otra cosa distinta. 00:11:08
¿Ah, sí? ¿Esto está mal? 00:11:09
1 menos x, entonces sale menos x más 1. 00:11:14
1 menos x 00:11:20
si x es mayor 00:11:21
que 0. Y aquí ya vale 00:11:23
una cosita, los valores absolutos 00:11:25
y son polinomios, suele ser 00:11:27
continuo, pues entonces 00:11:29
yo elijo donde lo pongo, ¿vale? Entonces 00:11:31
sería tal que así. ¿Vale, chavales? 00:11:33
¿Sí? Esta sería 00:11:36
mi función atroz. 00:11:37
¿Vale? 00:11:41
¿Circing? 00:11:43
Sí, donde hay you want. 00:11:45
¿Vale? Entonces 00:11:47
estas funciones de aquí, esta 00:11:49
función va a ser continua seguramente 00:11:51
en todos los reales y no va a 00:11:53
ser derivable seguramente ni en 00:11:55
menos uno ni en cero. ¿Por qué? Porque vamos 00:11:57
a tener un piquito. ¿Vale? 00:11:59
Como el que le has dado antes. 00:12:01
¿Sabes qué bonito? 00:12:03
Qué bonito es el amor. 00:12:04
¿Vale, chavales? ¿Sí? 00:12:07
Entonces, lo único, 00:12:09
lo que quiero que 00:12:12
veáis... 00:12:13
¿Se me ha ido la olla? Vale. 00:12:14
Estos tres los voy 00:12:18
a pasar tema ocho, ¿vale? Pero aquí 00:12:19
en funciones de valor absoluto 00:12:21
pues tenéis hechas unas cuantas. 00:12:23
¿Vale? Tenéis ahí el Batman, 00:12:25
¿Vale? Aquí tenéis varios ejercicios, lo hacéis ustedes, será lo suyo, ¿vale? 00:12:27
Y cualquier duda me decís, ¿os parece? ¿Vale? Venga. 00:12:33
Y ahora, teoremas de continuidad. 00:12:37
Si os acordáis, el otro día lo que vimos fue Borzano, que tiene premio, Darbu, ¿vale? 00:12:39
Y no sé si vimos el Ballestras. ¿No vimos Ballestras? ¿No? 00:12:47
¿No? ¿No suena? Es que es alemán. Venga, entonces, vamos a ver. Los teoremas de continuidad. Teoremas, que es lo que nos quedamos el otro día, ¿verdad? De continuidad. Teoremas de continuidad. 00:12:52
Entonces, ¿estaba el teorema de mi amigo Borsano? 00:13:11
Sí, pero vamos a tope. 00:13:17
¿Y qué me dice mi amigo Borsanín? 00:13:20
Pues entonces, sea f de x una función continua, ¿vale? 00:13:23
Y súper importante, que sea una función continua en el intervalo a, b. 00:13:29
¡Olé! ¡Qué suspiro! 00:13:41
¿Vale? En el intervalo AB, entonces, 00:13:45
si el signo, chavales, que se escribe así, 00:13:51
el signo de F de A, es decir, yo sustituyo el valor de A, 00:13:54
¿vale? Uno de los extremos del intervalo lo sustituyo en la función, 00:14:00
y veo su signo. 00:14:03
Entonces, ¿qué me va a dar su signo? 00:14:05
Positivo o negativo, ¿verdad? 00:14:06
¿Sí o no? 00:14:08
¿Qué es distinto? El signo de F de B, es decir, hago lo propio con B, lo sustituyo y veo su signo. 00:14:08
Si los signos son distintos, ¿qué significa? Uno es positivo y el otro es negativo, o viceversa, ¿sí o no? 00:14:17
Pues entonces, de bolzano, sea, sea, es mal en inglés. 00:14:27
¿Vale? C, A, F, D, X, el Mediterráneo. 00:14:38
Entonces, ¿qué es lo que me dice mi amigo Borzanín? 00:14:45
Pues que existe un valor C que pertenece... 00:14:48
Esto no es difícil, ¿eh? 00:14:53
Lo que pasa es que esto está en lenguaje matemático, ¿vale? 00:14:54
Existe un valor C dentro del intervalo AB 00:14:58
donde tal que 00:15:02
el tal que 00:15:05
se escribe así, a veces también de la otra 00:15:06
tal que f de c 00:15:08
es igual a cero 00:15:11
esto no sé si recordáis 00:15:12
el pedazo de dibujo que yo hice 00:15:14
maravilloso 00:15:16
ese de signo 00:15:17
el signo 00:15:23
esto es signo 00:15:24
sí, porque 00:15:26
está en inglés 00:15:28
esto es signo 00:15:31
oh yeah 00:15:36
you're English perfect 00:15:37
you want me to speak in English 00:15:38
oh yeah 00:15:40
ya he aprendido todo mi inglés 00:15:42
entonces, si los signos son 00:15:46
distintos, de acuerdo, es que existe 00:15:47
ya vale 00:15:49
esto en que se traduce 00:15:52
si yo tengo mi función, ¿verdad? 00:15:55
yo tengo aquí 00:15:57
mi A 00:15:58
oh yeah 00:15:59
Yo tengo aquí mi A, tengo aquí mi B, ¿vale? Resulta que mi función, por ejemplo, es así, ¿de acuerdo? Es continua. Yo no levanto el lápiz, pero fijarse una cosita. Esto que es F de A, ¿verdad? Y esto que es F de B. 00:16:01
tienen signos distintos 00:16:23
tienen signos distintos 00:16:25
entonces por ser continua 00:16:27
si yo paso en este caso de negativo 00:16:29
a positivo, pero me da igual si yo paso 00:16:31
de positivo a negativo, ¿qué ocurre? 00:16:33
que no me queda más remedio 00:16:35
que 00:16:37
pasar por el cero 00:16:38
¿lo veis? 00:16:40
es decir, existe un valor 00:16:42
c que pertenece a ese 00:16:45
intervalo donde 00:16:47
lo diré 00:16:48
donde lo diré 00:16:50
da cero, gracias 00:16:53
estaba pensando en inglés 00:16:59
estaba traduciendo 00:17:01
del inglés al español, entonces claro 00:17:04
si yo tengo uno en negativo 00:17:06
otro positivo, otro positivo, otro negativo 00:17:08
al ser continua no me queda más remedio 00:17:10
que pasar por el cero, ¿vale? 00:17:13
entonces, es el teorema de 00:17:15
Barzano y entonces 00:17:16
¿cómo se utiliza la aplicación? 00:17:18
que os he subido bastante ejercicio de este 00:17:20
de este hombre? Pues que normalmente 00:17:22
a nosotros nos dicen 00:17:24
nos dan un polinomio, nos dan 00:17:26
una función cualquiera y me dice 00:17:28
¿tiene una 00:17:31
raíz 00:17:32
en el intervalo, yo que sé 00:17:34
4 o 5? ¿Vale? 00:17:37
No me pide, por ejemplo, que yo le dé 00:17:38
el valor exacto de esa raíz porque 00:17:40
además nosotros muchas veces no tenemos 00:17:42
las herramientas para decirnos 00:17:45
que esa función en el 4 o 5 00:17:46
tiene una raíz 00:17:49
por ejemplo en 4,87 00:17:50
no tenemos los medios 00:17:53
lo que nosotros si podemos decir 00:17:54
existe 00:17:56
y esto es importante 00:17:57
al menos 00:17:59
puede tener más raíces 00:18:04
puede tener 00:18:07
más raíces pero al menos 1 00:18:08
existe al menos un valor de c 00:18:10
que pertenece al intervalo 00:18:13
tal que c igual a 0 00:18:14
digo lo de existir al menos 1 00:18:16
porque yo por ejemplo puedo 00:18:19
tener mi función así, ¿verdad? 00:18:20
Y a lo mejor, por ejemplo, 00:18:25
pues hace 00:18:27
esto de aquí. 00:18:28
¡Guau! 00:18:31
Hace, por ejemplo, esto, ¿vale? 00:18:32
Una cosita así, ¿lo veis? 00:18:36
Esto es A, 00:18:39
esto es 00:18:42
F de A, esto es 00:18:43
B y esto es F de B. 00:18:48
Pues entonces, si este 00:18:51
al menos, este valor de aquí, 00:18:52
este valor de aquí y este valor de aquí 00:18:53
son cero. ¿Vale? 00:18:56
Puede existir uno, puede existir 00:18:58
dos, 00:19:01
pueden existir cualquier número, pero 00:19:02
al menos existe uno. ¿Vale? 00:19:04
Y esto es lo importante de que al menos existe uno. 00:19:06
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:19:09
¿Y os acordáis del Darbú? 00:19:10
No os 00:19:13
cae bien el teorema de Darbú. 00:19:14
El teorema de Darbú es lo que es 00:19:16
más genérico. ¿Vale? 00:19:18
Pero es exactamente 00:19:23
lo mismo 00:19:24
lo que me dice es igual 00:19:26
si f de x 00:19:30
una función continua 00:19:34
en a b 00:19:35
y f de a 00:19:41
es menor 00:19:47
o mayor, me da igual 00:19:48
que f de b 00:19:49
porque pueden valer las dos cosas 00:19:52
¿vale? bueno, a es menor 00:19:54
que b ¿verdad? 00:19:56
y entonces f de a es mayor 00:19:58
o igual, que F 00:20:00
de B 00:20:02
realmente que sea distinto, venga 00:20:03
se resume en eso 00:20:06
oh yeah, que quiero ir 00:20:08
rápido, realmente que sean 00:20:10
distintos, aunque también puede ser igual 00:20:12
lo que yo quiero que veáis 00:20:14
es lo que me dice el teorema de Alba 00:20:17
que es más genérico que el de 00:20:18
el de Borsano 00:20:20
entonces, existe al menos 00:20:22
un C que pertenece a B 00:20:24
¿vale? donde 00:20:26
F de F 00:20:28
¿Vale? 00:20:32
Pertenece 00:20:35
Pertenece al 00:20:35
Intervalo F de A 00:20:38
F de B 00:20:40
Es un valor pues eso 00:20:41
Intermedio, lo que me quiere decir, imaginaros 00:20:44
Aquí, en esta de aquí 00:20:46
Si yo cojo 00:20:48
Este valor 00:20:49
Y este valor, pues lo que me dice 00:20:52
Entre este y este 00:20:55
Lo que me dice, chavales 00:20:56
Es que va a existir un valor 00:20:58
aquí, que está entre las dos. 00:21:00
¿Vale? Es lo único que me 00:21:03
quiere decir esto. ¿Vale, 00:21:04
chavales? Y luego el de 00:21:06
Bayerstrass, lo que pasa es que está más relacionado 00:21:08
con el... 00:21:10
Este era un alemán. 00:21:13
Buena gente, el hombre. 00:21:15
Teorema de... 00:21:19
Ostras, me estoy inventando, ¿no? 00:21:29
A ver... 00:21:31
O sea, que yo estudié alemán. 00:21:34
Es en una 00:21:38
misión de hoy. 00:21:38
de hecho se pone 00:21:40
ah, ¿qué te llamas? 00:21:45
soy Seguro 00:21:47
Seguro, Seguro 00:21:48
¿y tú? 00:21:50
¿y tú? 00:21:54
¿qué te llamas? 00:21:55
soy Seguro 00:21:57
ah, Seguro 00:21:59
¿qué te llamas? 00:22:01
¿qué te llamas? 00:22:05
bueno, la verdad es que me lo acabo de inventar 00:22:06
Bueno, se conoce esta es la beta y también se pone, por ejemplo, strass, ¿no? 00:22:10
Se pone la SS. 00:22:22
Entonces, buy and strass está más relacionado con máximos y con mínimos, ¿vale? 00:22:24
Con máximos, buy and strass, oh yeah, y mínimos, ¿vale? 00:22:29
Eso está relacionado sobre todo con la monotonía que es el crecimiento. 00:22:36
monotonía, bulería, bulería. 00:22:40
Eso es el crecimiento de crecimiento. 00:22:43
¿Vale, Bachale? 00:22:47
Olé. 00:22:50
Esto es Bayerstrass. 00:22:52
Máximo y mínimo. 00:22:55
W-E-I-E-R-S-T-R-A 00:22:57
y esto es una beta. 00:23:01
Y la beta normalmente nosotros lo ponemos como doble S. 00:23:02
Entonces, lo podéis encontrar de las dos formas, me refiero. 00:23:09
Así un poco en general, pues que, a ver, f de x es continua en a, b, esto es muy resumido, ¿vale? 00:23:11
Entonces, si f de a es igual a f de b, ¿eso qué implica? 00:23:28
Pues que existe un C que pertenece en A, B, donde hay máximos y mínimos, esto es muy resumido, esto no es con mucho rigor, absolutos en ese intervalo. 00:23:35
¿Vale? Entonces, ¿cómo se ve mejor esto, chavales? Con ejercicio. ¿Vale? ¿Sí o no? Esto no es muy riguroso, ¿eh? No muy riguroso. 00:24:01
Venga, voy a ir un momentín pistolín a esto de aquí, ¿vale? 00:24:10
Lo que quiero que veamos aquí un poco. 00:24:18
¡Guau! 00:24:26
Entonces, chavales, ejercicio donde aplicamos los teoremas de continuidad. 00:24:38
Me dice que probemos la ecuación x al cubo menos 4x menos 2 00:24:43
tiene alguna raíz real, ¿vale? 00:24:49
Entonces, aproximando su valor hasta las décimas. 00:24:51
Entonces, a mí me dice que esto que hay aquí, esto que es una función polinómica, ¿verdad? 00:24:54
Eso es una función continua. 00:25:00
Y entonces lo que me dice es que existe algún valor donde x, algún valor de x que me hace 0 esto de aquí. 00:25:01
Es decir, que tenga una solución. 00:25:10
Es lo que me está diciendo aquí, ¿vale? 00:25:12
Entonces, ¿qué es lo que hago? 00:25:14
Pues yo sé que f de x es esta función, porque aquí es esta ecuación. 00:25:16
Pues yo lo que hago es, me invento una función auxiliar que es f de x, que precisamente es esta parte de aquí, ¿vale? Esto es muy común en matemática. Yo tengo una ecuación y lo que hago es, yo tengo la función real de variable real que es igual al polinomio este, ¿vale? 00:25:20
entonces ¿qué ocurre? que yo sé 00:25:41
una función polinómica que es continua 00:25:43
entonces continua en todo su dominio 00:25:45
el dominio de las funciones polinómicas es todo lo real 00:25:47
entonces chavales, si yo hago 00:25:50
el límite desde menos infinito 00:25:51
resulta que me sale 00:25:53
menos infinito, yo hago el límite 00:25:55
en el más infinito 00:25:57
y me sale más infinito 00:25:59
yo ya tengo dos valores con signos 00:26:01
diferentes ¿verdad? yo en el menos infinito 00:26:03
se va a menos infinito 00:26:06
en el más infinito se me va a más infinito 00:26:07
¿Eso qué significa? Que si yo tengo que dibujar la función, que no sé cómo es, y voy desde el menos infinito al más infinito, 00:26:09
tiene que haber por lo menos una única raíz, lo mismo hay más. 00:26:17
De hecho, debería de tener 3 porque es de grado 3, ¿de acuerdo? 00:26:22
Pero ¿qué ocurre? Que tiene que pasar por el 0, ¿lo veis? 00:26:27
Entonces, ¿qué ocurre? Pues yo siempre digo, como f es continuo en r, y los límites tienen signos diferentes, 00:26:30
El teorema de Bolzano, existe un c que pertenece entre menos infinito y más infinito, 00:26:37
donde f de c es igual a cero. 00:26:47
¿Lo entendéis? Estamos aplicando el teorema de Bolzano, ¿vale? 00:26:49
Es una línea, una función continua, va desde menos infinito a más infinito, 00:26:52
tiene que pasar menos una vez por el cero. ¿Eso lo veis o no? 00:26:58
¿Sí? Pues entonces yo ya sí demuestro que el menos tiene una raíz real. 00:27:02
¿Qué ocurre? ¿Dónde está la raíz real? No lo sé. 00:27:07
Puede tener, es que es lo que ocurre con las funciones de tercer grado, 00:27:11
que puede tener o tres raíces reales que gráficamente corta el eje en tres puntos, 00:27:14
o a lo mejor puede ocurrir que tenga una raíz real y las dos complejas. 00:27:19
Entonces, cuando tienen las dos raíces complejas, 00:27:25
eso gráficamente no es un corte con el eje de las X. 00:27:28
Entonces, ¿qué ocurre? Pues que esta función, yo ya he demostrado, 00:27:33
entre el menos infinito y el más infinito 00:27:36
al menos tiene una raíz real. ¿Dónde está? 00:27:39
I don't know, I'm not from here. 00:27:41
¿Vale? Pero está ahí. 00:27:43
Luego, ¿qué ocurre? Que yo la puedo acotar. 00:27:44
Yo la puedo acotar. Y esto 00:27:47
es un poco rollo porque aquí es prueba y error. 00:27:48
¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? 00:27:51
Pues que yo elijo, por ejemplo, el 2 y el 3. 00:27:53
¿Por qué elijo el 2 y el 3? 00:27:55
Porque he probado previamente y resulta 00:27:56
que cuando sustituyo el 2, 00:27:59
en el 2 me sale menos 2 en negativo. 00:28:01
¿Lo veis? Cuando sustituyo 00:28:03
el 3 en esta función de aquí, resulta que me sale positivo. ¿Tengo ya un valor donde 00:28:05
es negativo y el otro es positivo? Sí, ¿verdad? Pues entonces, como es continua en el intervalo 00:28:12
2, 3, como el signo de 2 es distinto que el signo de 3, existe por el teorema de Bolzano 00:28:18
un valor c que pertenece al intervalo 2, 3, al que f de c es 0. ¿Cuánto vale la raíz? 00:28:25
Pues hay dos novenos fronjillas 00:28:32
¿Vale, chavales? 00:28:34
De hecho, ahora que no está caro, voy a aprovechar 00:28:35
Un momentito 00:28:37
Es X al cubo, momentín, pistolín 00:28:39
X al cubo, menos 4X menos 2 00:28:42
¿No? Dime, hijo 00:28:44
Prueba y error 00:28:46
Monísimo esto de aquí 00:28:53
Prueba y error 00:28:56
No, me refiero, ahí he ido probando 00:28:56
Y como sé que hay... 00:29:00
A ver, ¿esto era x al cubo? 00:29:02
¿Os acordáis? 00:29:03
No, ¿no? 00:29:04
Menos 4x. 00:29:06
Menos 2, no me suena. 00:29:11
¿Menos 2? 00:29:13
Muy bien, muy bien. 00:29:15
¡Qué memoria, Rufo! 00:29:16
Vale, fijaros aquí. 00:29:17
Fijaros aquí. 00:29:18
Fijaros aquí. 00:29:21
x al cubo menos 4x menos 2, 00:29:22
si yo lo represento gráficamente, 00:29:25
pues tiene tres raíces, ¿lo veis? 00:29:27
En el menos infinito se va a menos infinito 00:29:29
y el más infinito se va al más infinito. 00:29:31
Entonces, he tenido que pasar al menos una vez por el 0. 00:29:34
En este caso, he pasado por los 3 veces por el 0. 00:29:38
¿De acuerdo? 00:29:52
Y de hecho, fijaros, las raíces son menos 1,68 menos 0,54 y 2,21. 00:29:53
Hombre, yo porque tengo GeoGebra, en el examen no tengo GeoGebra, ¿vale? 00:30:00
Pero, ¿qué ocurre? 00:30:03
Que yo aquí voy probando más o menos, pruebo el 1, pruebo el 2, pruebo el 3. 00:30:04
Y en el momento que van cambiando de signo, por ejemplo, si yo aquí, ¿qué sé? 00:30:08
Si yo hago F de menos 2, F de menos 2 me sale negativo, ¿lo veis? 00:30:12
Y si yo hago F de menos 1, me sale positivo, ¿verdad? 00:30:16
¡Qué miedo! 00:30:21
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:30:23
Pues tengo una raíz. 00:30:24
¡Yo, GeoGebra! ¡Yo, GeoGebra! 00:30:26
he aprovechado que no estaba aquí ya 00:30:28
entonces ¿qué ocurre? 00:30:31
es que en menos 1,68 00:30:33
hay una raíz 00:30:35
yo tengo que decir en el problema 00:30:36
que menos 1,68 es una raíz 00:30:40
no, yo puedo demostrar 00:30:42
que 00:30:44
hay un valor en el intervalo 00:30:45
menos 2 menos 1 00:30:48
que f de c 00:30:49
que pertenece a ese intervalo es 0 00:30:51
¿vale chavales? 00:30:53
igual pasa con esto, fijaros 00:30:55
fijaros, lo de prueba y error 00:30:57
si yo hago f de menos 1 00:30:59
fijaros, f de menos 1 es positivo 00:31:01
¿verdad? y f de 0 00:31:03
que es negativo ¿verdad? 00:31:05
f de 0 es negativo, pues entonces 00:31:07
yo puedo decir por el teorema de 00:31:09
Borsano que existe un valor 00:31:11
en el intervalo menos 1, 0 00:31:13
en este caso es menos 0, 54 00:31:15
que no me hace falta decir el valor 00:31:17
pero que 00:31:19
su solución 00:31:21
el valor de la función en ese punto es cero, ¿vale? 00:31:25
Y eso me sirve mucho para hacer aproximaciones de raíces, ¿vale? 00:31:29
Esto se utiliza mucho en física e incluso en análisis de datos, ¿vale, chavales? 00:31:35
Entonces, chavales, otro tipo de problema, las 10. 00:31:45
Dice, determinar si el polinomio x a la cuarta menos 4x cuadro menos g1 00:31:50
tiene alguna raíz negativa, ¿vale? 00:31:55
Pues entonces, igual, pues resulta que es una función polinómica, 00:31:58
yo tengo, es continua en todo R. 00:32:03
¿Qué es lo que ocurre aquí, chavales? 00:32:06
Yo aquí acotaría, por ejemplo, entre menos infinito y cero, ¿verdad? 00:32:08
De hecho, ¿cuánto vale el límite de esta función en el infinito, 00:32:13
en el menos infinito? 00:32:18
¿Cuánto vale? 00:32:20
¿Infinito positivo o negativo? 00:32:21
Positivo, ¿vale? 00:32:24
Y, por ejemplo, ¿cuánto vale f de 0? Menos 1. Yo ya ahí podría decir, existe un valor de c que pertenece entre menos infinito y 0, tal que f de ese valor es 0, ¿de acuerdo? Y ya demuestro que tiene una raíz real negativa. 00:32:25
Si yo quiero acotar un poco más, resulta que probando he llegado a que f de menos 3 me sale positivo, f de menos 2 me sale negativo. 00:32:46
Entonces, hay un cambio de signo. Pues yo, como sé que f es continua en todos los reales, también es continua en el intervalo menos 3 menos 2. 00:32:57
como el signo de F menos 3 00:33:08
es distinto que el signo de F menos 2 00:33:11
por el teorema de Bolzano 00:33:13
existe un valor de C 00:33:15
que pertenece a menos 3 menos 2 00:33:16
tal que F de C es 0 00:33:19
¿lo veis? 00:33:20
¿lo veis chavales o no? 00:33:22
dime 00:33:24
porque he ido probando 00:33:24
pero es que este de aquí 00:33:28
fijaros, mira 00:33:29
me lo voy a llevar aquí un momento 00:33:30
si a mí me dan este enunciado 00:33:32
si a mí me dan este enunciado 00:33:35
¿Vale? Me dice que tenga una raíz negativa. Una raíz negativa significa que x pertenece entre el menos infinito y cero, ¿verdad? 00:33:43
Y ahora, chavales, por favor, x a la cuarta menos 4x cuadrado menos 1 es una función polinómica. 00:33:53
su dominio de f de x son todos los reales y es continua en todo r, ¿vale? 00:34:01
Venga, chavales, por favor, es continua en todos los reales. 00:34:14
Entonces, como a mí lo que me piden es que tenga al menos una raíz negativa, 00:34:18
yo aquí, si yo hago el límite de f de x cuando x tiende a menos infinito 00:34:23
y ya de paso lo recordamos, es lo mismo que f de menos x cuando x tiende a más infinito, ¿verdad? 00:34:28
Como los exponentes son pares, yo esto lo dejo tal cual, no me cambia absolutamente nada. 00:34:35
Y si yo ahora hallo el de más infinito, resulta que esto es más infinito. 00:34:41
Esto es mayor que 0, ¿verdad? 00:34:46
Y ahora resulta que el f de 0, ¿qué ocurre en f de 0? 00:34:48
Que f de 0 es menos 1. 00:34:52
Esto es menor que 0, hay un cambio de signo. 00:34:55
Hay un cambio de signo. Entonces, ¿yo qué digo? Pues por el teorema de Borsano, al ser f de x continua en menos infinito cero, ¿verdad? 00:34:58
Si el signo del límite de f de x cuando x tiende a menos infinito es distinto al signo de f de 0, entonces existe un c que pertenece desde menos infinito a 0 tal que f de c es igual a 0. 00:35:19
¿Me interesa ese C? 00:35:45
No. 00:35:47
¿He demostrado que tiene al menos una raíz negativa? 00:35:48
Sí. 00:35:51
¿Lo veis? 00:35:53
Esos son muy de pago, ¿eh? 00:35:54
Pago dones. 00:35:58
O igual, yo aquí he tanteado, 00:35:59
resulta que tengo el menos 3 que me sale positivo, 00:36:02
el menos 2 es negativo, 00:36:05
pues nada, todo esto es completamente válido, ¿eh? 00:36:07
Pero como dice lo de raíz negativa... 00:36:10
Pues vete a dos valores negativos. 00:36:12
¿Vale? De hecho 00:36:14
Fijaros, hay un valor 00:36:17
Que está entre menos 3 y menos 2 00:36:19
Que es negativo 00:36:21
Que por el teorema de Bolzano me dice que es 0 00:36:22
¿Vale, chavales? 00:36:25
Por ejemplo, esta función 00:36:27
¿Vale? Esta función 00:36:29
Dice, sea esta función definida a trozos 00:36:30
Es continua, pues 00:36:33
Dice, prueba que existe 00:36:34
Un C que pertenece 00:36:37
A 0,3 tal que F de C 00:36:39
Es 0, contradice el teorema 00:36:41
de Bolzano, pues entonces 00:36:43
lo que tenemos que tener muy claro es una cosa 00:36:45
porque aquí hay mucha gente que se hace el vídeo 00:36:47
yo para aplicar el teorema 00:36:49
de Bolzano necesito 00:36:53
dos cosas, primero que la función sea 00:36:55
continua, ¿vale? y luego 00:36:57
que en los extremos 00:36:59
de esa 00:37:00
en los extremos de esos intervalos 00:37:02
el signo de la función 00:37:05
sea diferente, es decir, o 00:37:07
uno positivo y el otro negativo, es lo que 00:37:08
me interesa, entonces el teorema 00:37:11
de Bolzano me dice que la función es continua 00:37:13
y como los signos de los extremos 00:37:15
son distintos existe un valor 00:37:17
dentro de ese intervalo tal que 00:37:19
f de c sea cero 00:37:21
pero lo que quiero que veáis 00:37:22
es que aunque la 00:37:25
función no sea continua 00:37:27
que entonces no puedo aplicar el teorema del Bolzano 00:37:29
de Bolzani 00:37:31
pues entonces que ocurre 00:37:32
que aunque no sea negativa 00:37:34
aunque no sea continua puede existir 00:37:36
un valor de c 00:37:39
en ese intervalo 00:37:41
que sea 0, no sé si me estáis entendiendo, es decir, si es continua y los intervalos tienen signos distintos, 00:37:42
yo puedo decir que existe un valor, ¿vale? Que existe un valor de ese intervalo que f de c es 0. 00:37:50
Pero, si no puedo aplicar el teorema de Bolzano porque no es continua, puede existir o no ese valor en ese intervalo cuya imagen sea 0, ¿vale? 00:37:58
Entonces, estos típicos ejercicios 00:38:11
que lo pueden poner en la PAO y demás 00:38:14
me dan una función 00:38:16
precisamente que dice 00:38:17
que existe un valor 00:38:20
de c tal que cero 00:38:22
tres en el intervalo 00:38:24
cero tres tal que f de c 00:38:26
sea cero. Ahí es el tema del 00:38:28
bozano. ¿Y yo aquí qué veo? Pues que voy a 00:38:30
estudiar la continuidad, ¿no? En el dos. 00:38:32
¿Vale? Esto es una función 00:38:34
polinómica, una función polinómica, 00:38:35
es continuo en todo r y ahora ¿qué ocurre 00:38:38
en el 2. Yo hago los límites laterales 00:38:40
y resulta que 00:38:42
no existe el límite 00:38:44
en 2. ¿Por qué? Porque 00:38:45
aquí tengo una discontinuidad de salto finito. 00:38:47
¿Lo veis? Tengo una discontinuidad de salto 00:38:50
finito. Ya como no es 00:38:52
continua, puede que no exista 00:38:54
un valor ahí en ese 00:38:56
intervalo que sea 0. Pues no. 00:38:58
¿Pero qué es lo que ocurre? 00:39:00
Que si yo voy probando 00:39:02
valores, pues resulta 00:39:04
que si yo me voy al intervalo 00:39:06
0, 1,5, que está 00:39:08
dentro del intervalo 0,3 veo que f de 0 es positivo pero f de 1,5 es negativo. 00:39:09
Entonces, ¿qué ocurre? Aquí sí que puedo aplicar el teorema de Bolzano 00:39:16
porque en el intervalo 0, 1,5 la función es continua 00:39:20
y el signo de f de 0 es distinto que el signo de f de 1,5. 00:39:25
Entonces, aplicando el teorema de Bolzano, existe un c que pertenece a ese intervalo 00:39:31
entre 0 y 1,5 al que f de c es 0, ¿lo veis? 00:39:36
Entonces, yo por extensión, 00:39:40
si ese valor pertenece al intervalo 0,1,5, 00:39:42
¿pertenece también al intervalo 0,3? 00:39:46
Sí, ¿no? 00:39:49
Pues entonces existe un valor en el intervalo 0,3 00:39:51
que me hace en 0 la función. 00:39:55
¿He podido utilizar de primera hora el teorema de Borsan o no? 00:39:57
Porque la función no es continua en el 0,3. 00:40:00
Entonces me he ido a otro subintervalo del intervalo principal, donde ahí sí que es continua, veo que tiene valores diferentes y entonces ya puedo demostrar que existe un valor ahí. ¿Vale, chavales? Una consecuencia del teorema de Bolzano súper importante, que la vimos el otro día. 00:40:03
Yo tengo dos funciones, es decir, este ejercicio es muy importante, ¿vale? Este ejercicio de aquí. Yo tengo dos funciones, ¿vale? Yo tengo dos funciones. Esto es una consecuencia del teorema de Borsano. 00:40:25
entonces yo tengo aquí dos funciones que si os fijáis 00:40:41
consecuencia del teorema 00:40:45
vamos súper retrasado, de Borzano 00:40:53
que quería verlo pitar hoy y no me va a dar tiempo 00:40:56
fijaros las funciones que son 00:41:01
y por el seno de x y g de x logaritmo neperiano de x 00:41:03
entonces dice, justifica que existe 00:41:07
un punto del intervalo 1,2 donde ambas 00:41:10
funciones toman el mismo valor 00:41:13
Entonces, una consecuencia del problema de Borsano es que si yo tengo dos funciones continuas, dos funciones f de x y g de x continuas en el intervalo a, b, ¿vale? 00:41:14
A ver, si FDA es mayor que FDA o FDA es menor que FDA. Bueno, lo pongo en paréntesis para que veáis. A ver, FDA es mayor que FDA. 00:41:36
y f de b es menor que g de b, o f de a es menor que g de a, y f de b es mayor que g de b, 00:41:58
entonces existe un valor de c 00:42:14
que pertenece a este intervalo 00:42:19
donde f de c es igual a g de c 00:42:22
gráficamente, ¿qué me dice todo esto? 00:42:29
fíjense 00:42:32
yo tengo aquí mi eje de coordenada 00:42:33
y ahora voy a pintar 00:42:38
en vez de esperanza de real, bet y balón pie 00:42:39
esta función por ejemplo 00:42:42
que esta es f de x 00:42:44
y ahora voy a dibujar en morado 00:42:45
otra función 00:42:48
que sea así 00:42:50
que esto es g de x 00:42:53
¿lo veis? 00:42:54
esto es el punto A 00:42:56
y esto de aquí es el punto B 00:42:58
entonces, ¿qué me dice esta consecuencia del teorema de Borsano? 00:43:00
que aquí veis 00:43:03
que esto es f de A 00:43:04
¿verdad? esto es f de A 00:43:07
y esto que es g de A 00:43:08
¿lo veis? 00:43:11
y esto que es? esto es 00:43:12
F de, esto es G de B 00:43:14
esto es G de B 00:43:16
y esto que es, esto es F de B 00:43:19
entonces, si las dos 00:43:22
son continuas 00:43:26
F de A es mayor 00:43:27
que G de A, pero 00:43:30
G de B es mayor que 00:43:31
G de A 00:43:33
no me queda más remedio que se cruce 00:43:34
se pueden cruzar varias veces 00:43:38
¿vale? pero se tienen que 00:43:39
cruzar, entonces si se tienen que 00:43:42
cruzar se cruza en ese intervalo, ¿vale? 00:43:43
¿Entendéis la propuesta 00:43:47
esta o no? Es decir, 00:43:48
yo tengo dos funciones continuas y ahora 00:43:50
pasa, digamos, 00:43:52
una es mayor que otra 00:43:54
en el inicio y luego pasa a ser 00:43:55
más chica o al revés, pues no 00:43:58
me queda más remedio que al menos una vez 00:44:00
se cruce, ¿de acuerdo? 00:44:02
Entonces, basándonos en esto, 00:44:03
yo voy a hacer este ejercicio. 00:44:06
¿Cómo hago este ejercicio, chavales? 00:44:08
Pues nada. 00:44:09
¿Yo qué hago? F de 1 00:44:17
¿Cuánto vale? 1 por el seno de 1 00:44:19
No sé si tenéis calculadora 00:44:22
F de 2 00:44:24
¿Cuánto vale el logaritmo de 00:44:26
Perdón, sí 00:44:28
G de 2 00:44:29
G de 1, no doy ni una 00:44:32
Logaritmo neperiano de 1 00:44:34
Es 0, ¿verdad? 00:44:36
Y seno de 1 es mayor que 0 00:44:37
¿Seno de 1 cuánto da? 00:44:39
Seno de 1 00:44:44
¿Seno de 1? 00:44:44
¿Guau? 00:44:47
A ver, déjame la calculadora un momento 00:44:48
Tiene la D, ¿no? Vale, 0017 00:44:51
Si os fijáis, F de 1 00:44:57
es mayor que G de 1, ¿verdad? 00:45:01
Voy a hacer F de 2 00:45:04
F de 2 es 2 00:45:05
por el seno de 2, ¿verdad? 00:45:07
No sé cuánto da, a ver si me lo puedes decir 00:45:09
Y G de 2 es logaritmo 00:45:11
de 2, 2 por el seno de 2 00:45:13
0,697 00:45:15
¿y logaritmo de 2? 00:45:21
vale, vale, 0,0 00:45:25
¿y el logaritmo neperiano de 2? 00:45:26
0,69 00:45:36
chavales, por favor 00:45:38
f de 2 es más chico 00:45:40
que f de 2, ¿vale? 00:45:43
entonces 00:45:45
como consecuencia del teorema de Borzano 00:45:45
¿Vale? No he terminado. 00:45:49
Se llama respeto, ¿eh? 00:45:56
La educación es respeto, no es otra cosa. 00:45:58
Como consecuencia del teorema 00:46:02
de Borzano 00:46:04
de Borzano 00:46:07
¿Vale? Resulta 00:46:08
que existe un valor c 00:46:13
que pertenece a este intervalo 1, 2, ¿vale? 00:46:15
Al que f de c es igual a g de c. 00:46:18
Entonces, ¿qué estoy diciendo aquí? 00:46:24
Que existe un valor c que pertenece a este intervalo 1, 2, 00:46:26
donde x por el seno de x es igual al logaritmo neperiano de x. 00:46:33
¿Vale? 00:46:42
Y esto es otro ejercicio de Pau. 00:46:43
¿Vale? Entonces, chavales, he subido, he subido varios ejercicios de este tipo, creo que son 14, igual, echarle un vistazo, hay alguno que aplica Bayestra, entonces ese lo vamos a ver mejor cuando sepamos hacer derivadas y ver crecimiento de crecimiento. 00:46:46
Y luego, mañana, por favor, estudiaros bien las derivadas porque mañana lo que vamos a hacer es aplicar el teorema del hópital, mogollón, y vamos a ir ya a hierro con derivadas y aplicar el hópital y las aplicaciones de las derivadas. 00:47:07
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
27 de enero de 2026 - 12:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
47′ 37″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
108.35 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid