Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.
AL2. 1 Introducción - Contenido educativo
Ajuste de pantallaEl ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
00:00:18
de la unidad AL2 dedicada a los determinantes. En la videoclase de hoy estudiaremos el cálculo
00:00:23
de determinantes. En esta videoclase vamos a estudiar cómo calcular el determinante de una
00:00:34
matriz. En primer lugar, como vemos aquí, esa matriz debe ser cuadrada, puesto que si no lo
00:00:51
fuera el determinante no estaría definido. El determinante de una matriz A se va a denotar
00:00:55
det de A entre paréntesis o bien la matriz A entre líneas verticales, no entre paréntesis
00:01:01
sino entre barras verticales. Va a ser un escalar, es un número, dependiendo de cómo sean los números
00:01:07
que hay adentro así será el escalar y dependiendo de cuál sea el orden de esa matriz cuadrada hay
00:01:14
reglas distintas para cómo calcular. Vamos a comenzar por el caso más sencillo que es lo que
00:01:20
pasa si queremos calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 1 con un único elemento
00:01:25
en la única fila y única columna A11 como vemos aquí. Y se trata de un determinante porque vemos
00:01:30
unas barras verticales en lugar de unos paréntesis. Bueno, pues la regla para cómo calcular el
00:01:36
determinante de una matriz de orden 1 es bien sencilla. El determinante coincide con el valor
00:01:41
numérico del elemento que hay dentro de la matriz. Fácil, cómodo, sencillo. En el caso en el que
00:01:46
tengamos una matriz de orden 2, como esta, la regla ya no es tan sencilla, pero tampoco es muy
00:01:52
complicada. Fijaos, tenemos un determinante, viene entre barras verticales, de una matriz cuadrada de
00:01:57
orden 2, a 1, 1, a 1, 2 en la primera fila, a 2, 1, a 2, 2 en la segunda fila. Bueno, pues vemos que
00:02:03
tenemos un sumando y un restando. Con signo positivo, que no está escrito, tenemos el producto de los
00:02:09
elementos en la diagonal principal. Fijaos, a 1, 1 por a 2, 2, aquí estaría. Y restando, aquí tenemos
00:02:15
este signo negativo, el producto de los elementos en la diagonal contraria, a12 por a21. Y aquí
00:02:21
tenemos a12 por a21. También es fácil, cómodo y sencillo. En el caso de una matriz cuadrada de
00:02:27
orden 3, la regla para el cálculo de un determinante tiene nombre, se llama regla de
00:02:35
Sarrus, y guarda relación con cómo se calcula el determinante de una matriz de orden 2.
00:02:39
Vemos que en este caso no tenemos 1 sino 3 sumandos con signo positivo y 3 restandos con signo negativo.
00:02:47
En el caso de una matriz de orden 2, el sumando era el producto de los elementos en la diagonal principal.
00:02:55
Y en este caso el primer sumando que nos vamos a encontrar es precisamente ese, el producto de los elementos en la diagonal principal.
00:03:01
A1, 1 por A2, 2 por A3, 3 y lo tenemos aquí.
00:03:07
Los otros dos sumandos se van a calcular también multiplicando tres elementos de la matriz
00:03:11
y lo que vamos a hacer es buscar paralelas a esta diagonal principal.
00:03:18
Si buscamos cuál es la paralela a la diagonal principal por encima,
00:03:23
tenemos el producto de estos dos elementos A1, 2 por A2, 3.
00:03:27
Y el tercer elemento va a ser el que se encuentra en el extremo opuesto, en esta esquina inferior izquierda.
00:03:32
Así que teníamos, primer sumando diagonal principal a 1, 1, a 2, 2 por a 3, 3.
00:03:38
Segundo sumando, me voy a la paralela por encima a la diagonal principal a 1, 2 por a 2, 3 y busco el elemento opuesto por a 3, 1 que estaría aquí.
00:03:44
El tercer sumando y último será buscar la paralela por debajo a la diagonal principal.
00:03:54
en este caso tengo estos dos elementos, a21 por a32, y buscar como tercero el elemento que se encuentra en el extremo opuesto,
00:04:00
en esta esquina superior derecha, este a13. Y así pues lo que tendré es el producto de a13 por a21 por a32 que tenemos aquí.
00:04:07
¿Cuáles van a ser los restandos, los tres restandos? Bueno, recordemos, en el determinante de la matriz de orden 2
00:04:17
era el producto de los elementos en la diagonal opuesta a la diagonal principal.
00:04:23
Aquí va a ser, para empezar, lo mismo.
00:04:28
Vamos a multiplicar estos tres elementos en la diagonal opuesta a la matriz principal,
00:04:31
a1, 3, por a2, 2, por a3, 1, que en este caso tenemos aquí, en esta tercera posición,
00:04:35
a1, 3, por a2, 2, por a3, 1.
00:04:40
Necesitamos otros dos restandos.
00:04:44
Bueno, pues lo que vamos a hacer es algo análogo a lo que hacíamos con los sumandos.
00:04:46
Vamos a comenzar buscando cuál es la paralela a esta diagonal, pero por encima.
00:04:49
Y tenemos estos dos elementos, a1, 2, por a2, 1.
00:04:55
Y como tercero vamos a buscarnos el elemento que se encuentra en la posición opuesta, en esta esquina inferior izquierda, este elemento A3,3.
00:04:58
Será el producto A1,2 por A2,1 por A3,3. Y lo tenemos aquí en esta segunda posición.
00:05:05
Así que hemos tomado los elementos, el producto de los elementos en esta diagonal opuesta a la principal, la paralela por encima con este elemento opuesto.
00:05:13
lo que nos quedaría será el producto de los elementos en esta paralela por debajo a la diagonal principal,
00:05:21
A2, 3 por A3, 2, y completar con el tercer elemento, el que se encuentra en la posición opuesta,
00:05:29
en esta esquina superior derecha, A1, 1.
00:05:34
Así que tendríamos el producto de A1, 1 por A2, 3 por A3, 2.
00:05:37
Y aquí lo tenemos en esta posición.
00:05:42
Con carácter general, si tenéis curiosidad en ver cómo sería el cálculo del determinante
00:05:46
en una matriz cuadrada de orden 4, 5, etcétera, lo que podemos hacer es comprobar que en cada uno de estos sumandos o restandos
00:05:52
lo que tenemos son todas las posibles combinaciones de elementos de la matriz tomando sólo uno de cada fila o columna.
00:06:01
Afectados por un signo, a veces tendremos un signo positivo, a veces tendremos un signo negativo, dependiendo de cómo sean estas combinaciones.
00:06:10
Como corolario anterior, si tenemos que calcular el determinante de una matriz que sea triangular, ya sea superior o inferior, o bien diagonal,
00:06:19
el determinante se va a calcular directamente como el producto de los elementos en su diagonal principal,
00:06:29
puesto que cualquier otra combinación va a tener dentro de ella, cualquier otra combinación para sumando o para restando,
00:06:36
va a tener dentro de ella algún elemento que va a ser cero, bien porque esté en el tramo debajo o encima de la diagonal principal,
00:06:43
que va a ser cero, bien cualquiera de los dos en el caso de una diagonal principal.
00:06:51
Como propiedades de los determinantes, el determinante de una matriz va a coincidir con el determinante de la matriz traspuesta.
00:06:56
Hay una regla para el caso del determinante del producto de dos matrices, va a coincidir con el producto de los determinantes.
00:07:04
Si una matriz cuadrada es regular, esto es, es invertible, tiene inversa, el determinante de la matriz inversa se va a poder calcular como 1 partido por el determinante de la matriz, es el inverso respecto del producto del determinante de la matriz.
00:07:11
Y como propiedades interesantes para la simplificación o el desarrollo de determinantes, tenemos las siguientes.
00:07:27
Entonces, si dentro de un determinante una fila o columna, da igual, vamos a en este caso pensar como ejemplo en una fila, pudiera expresarse como una suma de igual número de términos y aquí vemos por ejemplo que en la fila iésima de esta determinante todos los elementos se pueden expresar como la suma de un elemento a y un elemento b.
00:07:35
Aquí tenemos a y 1 más b y 1, a y 2 más b y 2, y en la emésima columna a y m más b y m.
00:07:58
En ese caso, podemos descomponer el determinante como la suma de igual número de determinantes.
00:08:05
Aquí teníamos dos sumandos, vamos a descomponer el determinante como la suma de dos determinantes.
00:08:12
Si aquí hubiéramos tenido la suma de tres elementos, habríamos puesto la suma de tres determinantes.
00:08:17
Lo que vamos a hacer es copiar idénticamente el determinante anterior y lo que vamos a hacer es descomponer esta fila como en primer lugar AI1, AI2, así hasta en la emésima columna AIM, más y lo que tendremos es otro determinante con los segundos términos, ya no las AES sino las BES.
00:08:22
Y aquí en la fila iésima lo que tendremos será bi1, bi2 y en la columna mésima, bim, como veis aquí.
00:08:42
Esto nos permite descomponer un determinante como la suma de dos más sencillos.
00:08:51
En un momento dado podremos tener interés en hacerlo operacional en sentido contrario y expresar la suma de dos determinantes como uno único, aunque sea más complejo.
00:08:56
Si nosotros intercambiáramos dos filas o columnas adyacentes en una matriz, permutamos
00:09:05
el orden de dos filas o dos columnas consecutivas, el determinante va a cambiar de signo, va
00:09:12
a tener el mismo valor absoluto pero el signo va a ser el opuesto.
00:09:17
Si en una matriz, o queremos calcular el determinante de una matriz que tiene una fila o una columna
00:09:22
de ceros, o bien una fila o columna igual a otra, o bien que sea múltiplo de otra,
00:09:29
proporcional a otra, veis aquí, o bien que sea igual a una combinación lineal de otras, su determinante
00:09:34
va a ser cero. Si en un determinante multiplicamos todos los elementos de una fila o columna por un
00:09:39
determinado número, o bien dividimos entre un determinado número que sea distinto de cero, por
00:09:48
supuesto, el resultado del determinante va a ser igual al de la original, pero multiplicado por
00:09:52
dicho número, si es que hemos multiplicado, o dividido, si es que hemos dividido. Y por último,
00:09:57
si sustituimos una fila o columna de una matriz por esta más una combinación lineal de las otras,
00:10:03
el determinante no va a variar. Estas últimas propiedades van a ser interesantes en el caso
00:10:10
en el que nosotros queramos bien desarrollar un determinante con expresiones complejas o bien
00:10:16
queramos simplificarlo. Con lo que hemos visto anteriormente, con las definiciones que habíamos
00:10:22
visto inmediatamente antes, vamos a poder calcular estos determinantes. Aquí tenemos un determinante
00:10:28
de orden 2 y un determinante de orden 3. Lo resolveremos en clase y lo resolveremos también
00:10:34
en alguna videoclase posterior. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos
00:10:40
y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis
00:10:49
centrar vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
00:10:56
Un saludo y hasta pronto.
00:11:01
- Idioma/s:
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
- Licencia:
- Reconocimiento - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 11
- Fecha:
- 22 de agosto de 2024 - 16:02
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
- Duración:
- 11′ 29″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1280x720 píxeles
- Tamaño:
- 28.25 MBytes