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Subido el 30 de noviembre de 2013 por Joan A.

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Bueno, buenos días. En este ejercicio número 5 tenemos que resolver un problema de probabilidad condicionada, con lo cual ya avanzó que utilizaremos el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. 00:00:00
Este problema nos dice lo siguiente. En una empresa se producen dos tipos de bombillas. Alógenas y de bajo consumo. 00:00:23
Bombillas alógenas y bombillas de bajo consumo. 00:00:36
Dos tipos de bombillas. Alógenas y de bajo consumo. 00:00:45
Bien, en proporción 3 a 4, 3 sobre un total de 7, a 4 sobre un total de 7. 00:00:49
La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es de 1 partido por 50. 00:01:00
Esta es la probabilidad de que sea defectuosa una halógena. 00:01:10
Probabilidad de que sea defectuosa. 00:01:16
Y la probabilidad de que una bombilla de bajo consumo sea defectuosa es de 9 partido por 100. 00:01:19
Se escoge una bombilla al azar y se piden dos cosas. 00:01:30
Primero, la probabilidad que esa bombilla sea defectuosa. 00:01:34
Y segundo, la probabilidad que siendo esa bombilla halógena, sabiendo que es defectuosa, esto es una información conocida, nos piden la probabilidad de que sea halógena, sabiendo que es defectuosa. 00:01:40
Bueno, leemos bien el enunciado, intentamos comprenderlo perfectamente, los datos que nos dan, 00:02:13
y vamos a la pantalla siguiente porque nos ponemos a resolverlo. 00:02:20
Bien. 00:02:27
Podemos hacerlo de varias maneras, todas ellas convergentes a lo mismo. 00:02:30
En el fondo hay que aplicar siempre en este tipo de problemas el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes, 00:02:37
Y voy a dibujar aquí el espacio muestral, que diseño de tal manera que los dos sucesos elementales en que puedo pensar son que una bombilla sea halógena o bien que sea de bajo consumo. 00:02:44
Voy a denotar por H la bombilla halógena, el suceso asociado a escoger una bombilla halógena. 00:03:03
Y denotaré por B escoger una bombilla de bajo consumo. 00:03:17
D, bajo consumo. Evidentemente, si sacamos una bombilla del conjunto de bombillas, sólo puede ser de dos tipos, halógena o de bajo consumo. 00:03:24
De ahí viene la configuración del espacio muestral que vemos aquí. 00:03:39
Bien, ahora, denotamos también por D el suceso escoger una bombilla defectuosa. 00:03:44
Este suceso ya no es un suceso elemental, es un suceso compuesto. 00:03:50
Por eso, como veis, puede involucrar a uno u otro de los sucesos elementales. 00:04:04
Bien, queda claro que, apartado A, la probabilidad de que sea defectuosa puede ser debido a que la bombilla que hemos sacado sea halógena, con lo cual tenemos, por la probabilidad condicionada, el producto de estas dos probabilidades. 00:04:11
Es probabilidad que sea halógena por la probabilidad que sabiendo que es halógena sea defectuosa más la probabilidad que en el supuesto de que sea de bajo consumo también sea defectuosa. 00:04:36
Lo que hay que multiplicar por la probabilidad de que la bombilla sea de bajo consumo. 00:04:50
Vamos a escribir aquí ahora a la derecha los coeficientes de probabilidad. 00:04:58
Probabilidad. La probabilidad de que sea halógena, como están en proporción 3 a 4, el total es 7, y como hay 3 proporciones de 3 a 4, la probabilidad de que sea halógena será 3 séptimos. 00:05:03
La probabilidad de que sea de bajo consumo será 4 séptimos, ya que lo que le falta 3 séptimos para llegar a 1, que es la probabilidad total, es 4 séptimos. 00:05:22
Bien, vamos ahora a escribir aquí la probabilidad, las probabilidades condicionadas que nos dan. La probabilidad que, dado que sea halógena, sea defectuosa, recordemos, vamos a mirar los enunciados, es de 1 partido por 50. 00:05:37
1 partido por 50 00:05:55
Y la probabilidad que siendo de bajo consumo resulte ser defectuosa 00:05:58
Es de 9 partido por 100 00:06:05
Pues ahora poniendo esto aquí 00:06:09
1 partido por 50 00:06:13
Por 3 séptimos 00:06:16
Más 9 partido por 100 00:06:19
Y por 4 séptimos 00:06:22
Nos da ya la probabilidad pedida en el apartado A, que es igual a 3 partido por 50. 00:06:24
Sería interesante expresar eso también en forma de tantos porcientos. 00:06:36
Estoy calculando ahora esto con la calculadora, el tanto por 1, y luego multiplicaré por 100 para ver el tanto por ciento. 00:06:42
Es un 6%. 00:06:50
Bueno, pasamos a la página siguiente para resolver el apartado B. 00:06:51
En el apartado B, fijaros, por cierto, voy atrás un momento, esto es el teorema de la probabilidad total, ¿eh? 00:07:03
Teorema de la probabilidad total, ya que los dos términos del segundo miembro reúnen toda la probabilidad. 00:07:11
Vamos a la página siguiente. 00:07:28
Apartado B. Se nos pide la probabilidad que, dado que sabemos que la bombilla que hemos sacado es defectuosa, la probabilidad que sea también halógena. Es una probabilidad condicionada. 00:07:30
Bien, por el teorema de Bayes, sabemos que esto es el cociente entre la probabilidad total de que la bombilla sea defectuosa y en el numerador tenemos que poner la probabilidad, una parte de la probabilidad total, 00:07:44
que es la probabilidad que, dado que la bombilla sea halógena, que también sea defectuosa. 00:08:11
Todo esto ya lo tenemos, o sea, tenemos este coeficiente, conocemos este otro y conocemos este otro. 00:08:20
Esto será igual, pues, a... Esto es el teorema de Bayes, ¿eh? 00:08:27
La probabilidad de que siendo halógena sea defectuosa es de 1 partido por 50, la probabilidad de que sea halógena es 3 partido por 7 y la probabilidad de que sea defectuosa, lo acabamos de calcular, 00:08:32
Demos un vistazo a lo que hemos obtenido. Es 3 partido por 50. 3 partido por 50. Bueno, pues haciendo el cálculo vemos que esto es igual a un séptimo después de simplificar. 00:08:52
Voy a coger la calculadora también para expresarlo en tanto por ciento, calculo el tanto por uno, es 0,1428, pues bien, ya podemos decir que esto es aproximadamente, o representa aproximadamente el 14%. 00:09:07
12%. Bueno, pues aquí acabaríamos el problema. Fijaros, vuelvo atrás un momento. Fijaros en el diagrama que he hecho. Esto también lo podríamos hacer, ahora ya haré unas cuantas observaciones, utilizando un diagrama de árbol. 00:09:23
Si hacemos un diagrama de árbol, podemos dibujar un árbol binario en que imaginemos que escogemos primero al azar la bombilla. 00:09:46
La bombilla puede ser halógena o puede ser de bajo consumo. 00:10:12
Si es halógena, la probabilidad es 3 séptimos. Si es de bajo consumo, la probabilidad es de 4 séptimos. 00:10:17
En el supuesto de que sea halógena, esta bombilla puede ser defectuosa o no. Vamos a poner una barrita que es el suceso contrario, encima de la D, que es el suceso contrario a que sea defectuosa. 00:10:22
Lo mismo en el caso de que haya salido una bombilla de bajo consumo. Esta puede ser defectuosa o puede que no lo sea. 00:10:37
Bien, utilizando la información que nos da el enunciado, tenemos que esto es 1 partido por 50 y esto es 9 partido por 100. 00:10:47
Los sucesos que nos interesan son estos dos. 00:10:58
Esperad que voy a poner estos dos. 00:11:03
La probabilidad que sea halógena y defectuosa y la probabilidad que sea de bajo consumo y defectuosa. 00:11:07
Es decir, estas dos ramas. 00:11:20
Las otras dos son las complementarias y no nos vamos a fijar en ellas. 00:11:29
Bueno, pues, utilizando otra vez la definición de probabilidad condicionada, esto será igual a la probabilidad que, dado que la bombilla sea halógena, sea también defectuosa, por la probabilidad de que sea halógena. 00:11:35
Y esto será igual a la probabilidad de que, dado que sea de bajo consumo, la bombilla sea también defectuosa, por la probabilidad de que sea defectuosa. 00:12:04
Claro, estas dos aportaciones a la probabilidad total habrá que sumarlas por el principio de adición. 00:12:17
¿Qué es lo que tenemos aquí? 00:12:27
Y ya lo habíamos escrito antes, 1 partido por 7 por 3 partido por 7 por 1 partido por 50, 00:12:28
y aquí teníamos que esto es 4 partido por 7, la probabilidad, aquí hay una b, me he equivocado, 00:12:48
perdón porque me he equivocado aquí al escribir 00:12:57
esta probabilidad es probabilidad de B 00:13:01
claro, 4 partido por 7 por 9 partido por 100 00:13:04
eso es, cuando sumemos estas dos 00:13:09
cuando sumemos estas dos nos dará la probabilidad total 00:13:12
es decir, la probabilidad que sea defectuosa es la probabilidad 00:13:18
si lo expresamos en el lenguaje simbólico 00:13:22
Es decir, que sea halógena y defectuosa o bien que sea halógena, que sea de bajo consumo y defectuosa. 00:13:25
Como estos dos sucesos son incompatibles, es la probabilidad de que sea halógena y defectuosa más la probabilidad de que sea halógena y de bajo consumo. 00:13:47
Ahora bien, este primer término es lo que hemos calculado aquí, es esto, y este segundo término es lo que hemos calculado aquí. 00:13:58
Haciendo el cálculo, naturalmente, convergemos en lo mismo que hemos encontrado antes y nos da 3 partido por 50. 00:14:12
Haciendo la suma, las operaciones que hemos hecho antes, 3 partido por 50. 00:14:21
Y en cuanto a la segunda parte, aplicamos el teorema de Bayes tal como lo hemos aplicado utilizando el diagrama de Venn cuando he empezado a hacer el problema. 00:14:26
Pues eso es todo, ya hemos terminado el problemilla este 00:14:48
Espero que lo hayáis entendido, es un problema que suele aparecer muchas veces en los exámenes de la SPAU 00:14:53
Ese tipo de problemas, conviene que no es complicado, como veis 00:15:00
Y siempre tenemos en escena el teorema de la probabilidad total 00:15:04
El teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes 00:15:11
Estos dos 00:15:18
Eso es todo 00:15:20
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Idioma/s:
es
Etiquetas:
EducaMadrid
Autor/es:
Joan Aranes Clua
Subido por:
Joan A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
38
Fecha:
30 de noviembre de 2013 - 13:26
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DELIBES
Descripción ampliada:
Probabilidad. Teorema de la Probabilidad Total. Teorema de Bayes.
Duración:
15′ 22″
Relación de aspecto:
1.35:1
Resolución:
970x720 píxeles
Tamaño:
28.19 MBytes

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