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T6 - Ej 33 - Contenido educativo

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Subido el 6 de enero de 2026 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a hacer el ejercicio 33. 00:00:00
Siempre lo primero, leer bien el enunciado para sacar la idea. 00:00:03
Me están diciendo la recta de ecuación igual a menos 4x más 2 representa la trayectoria de un móvil A. 00:00:08
Otro móvil B se desplaza según la trayectoria dada por la curva de ecuación igual a g de x, 00:00:14
donde g es la función definida por g de x igual a menos x cuadrado más 2x más c. 00:00:20
¿Vale? Es decir, me están hablando de dos móviles, uno sigue una trayectoria que es una recta, que es el móvil A, y el otro sigue una trayectoria que es una función cuadrática, una parábola, que es el móvil B. 00:00:27
¿Vale? Eso es lo primero que me están dando. Me piden dos apartados. En el apartado A me dicen que calculemos el valor de c, que es un parámetro desconocido en la función g de x, 00:00:39
sabiendo que ambas trayectorias coinciden en el punto en el que la función g de x tiene un máximo local. 00:00:49
Es decir, lo que me están diciendo es que la función, o sea, la trayectoria del móvil A y la trayectoria del móvil B se encuentran en un punto 00:00:56
y justamente en el punto en el que se encuentran es el punto donde la función G, la trayectoria del móvil B, tiene un máximo. 00:01:02
Eso es lo que vamos a utilizar para calcular el parámetro C. 00:01:11
Y luego el apartado B, que lo haremos después, me preguntan si además de en ese punto coinciden en algún otro punto 00:01:16
y en el caso de que coincidan, coincidan que calculemos el área de la región limitada por esas dos trayectorias, ¿vale? 00:01:22
Y aparte que lo dibujemos. 00:01:29
Entonces, lo que hemos dicho, para calcular el valor de c, lo que vamos a calcular es el punto justamente donde coinciden las dos trayectorias. 00:01:31
Como me están diciendo que es donde la función g tiene un máximo local, pues, ¿qué significa que tenga un máximo local? 00:01:40
Que la derivada primera de esa función tiene que ser cero, ¿vale? 00:01:46
Por lo tanto, lo primero que hacemos es calcular g' de x, g' de x es menos 2x más 2, la igualamos a 0 y de aquí sacamos que la x es menos 2 entre menos 2, es decir, x es 1. 00:01:50
Esta es la coordenada x del punto, vamos, donde hay un máximo, donde es un posible máximo. 00:02:11
Como lo normal es que sea un máximo, pero vamos a confirmarlo, ¿vale? 00:02:18
¿Cómo se confirmaba? Con la derivada segunda, derivada segunda de g de x es menos 2, 00:02:22
por lo tanto la derivada segunda en el punto 1 va a ser también menos 2, que es menor que 0, 00:02:29
lo que significa que x igual 1 efectivamente es un máximo local, ¿vale? 00:02:36
Siempre lo comprobamos para verificar que el enunciado no sea incorrecto. 00:02:43
¿Vale? ¿Y qué me están diciendo? Ese es el punto donde las dos funciones coinciden. Por lo tanto, lo que voy a calcular es la coordenada I de la recta, ¿vale? Para calcular la coordenada de los dos puntos, es decir, lo que yo sé aquí es que el punto este de intersección es el punto 1 y aquí no sé cuánto vale. 00:02:48
La coordenada I no la conozco, ¿vale? Pues esta coordenada I la vamos a calcular como sustituyendo en la primera trayectoria, ¿vale? En la trayectoria del móvil A. 00:03:09
Por lo tanto, lo que yo sé es que la I va a ser menos 4 por 1 más 2, ¿vale? Es decir, menos 4 más 2, menos 2. 00:03:21
Por lo tanto, el punto en el que coinciden las dos, ¿vale? El punto en el que coinciden las trayectorias A y B, ¿cuál va a ser? Pues el punto 1 menos 2, ¿vale? 00:03:34
¿Y para qué necesitamos esto? Pues porque ahora esto lo que nos quiere decir es que mi función g en el punto 1 es exactamente menos 2, ¿vale? 00:03:53
Eso es lo que significa que el punto pertenezca a las dos funciones. Bueno, pues sustituimos. g de 1, ¿cuánto es? 00:04:04
Entonces, pues g de 1 es sustituir en la función g el valor 1 y esto sería menos 1, ojo, el menos, ¿vale? No está en el cuadrado, no es menos 1 al cuadrado, sino menos 1 al cuadrado, que es 1, más 2, más c, y esto queremos que sea menos 2. 00:04:11
Por lo tanto, la c será igual a menos 2 más 2 que es 0, paso el menos 1, no, menos 2 menos 2 es menos 4, más 1 menos 3 00:04:37
Vale, perdón, que lo estaba haciendo de cabeza y lo he visto mal 00:04:47
Vale, pues ya tenemos calculado cuánto vale el valor c, ¿vale? 00:04:50
Luego c es menos 3 y por lo tanto la función g de la trayectoria del móvil b viene dada por la función menos x cuadrado más 2x en los 3, ¿vale? 00:04:54
Y con esto estaría el apartado a. 00:05:11
Ahora vamos con el apartado b. 00:05:14
Voy a subir un poquito el enunciado para tener más espacio. 00:05:17
Entonces ahora para el apartado b me piden ver si las trayectorias coinciden en algún otro punto 00:05:20
La primera recta, la y, la voy a llamar f de x, ¿vale? 00:05:26
Como la primera función, la función f de x, que es la recta, es menos 4x más 2 00:05:30
Y la trayectoria de la función del móvil b, la g de x, acabamos de obtener que es menos x cuadrado más 2x menos 3, ¿vale? 00:05:37
Venga, ahora ya sí que subo todo y ahora seguimos aquí. 00:05:50
Lo que queremos es ver si hay algún otro punto en el que coincidan, es decir, lo que queremos es resolver este sistema de ecuaciones. 00:05:55
Fijaos que en ambos casos sería y igual, y igual, ¿vale? Siempre la función la llamamos y. 00:06:02
Es decir, hacemos igualación y lo que obtenemos es que menos 4x más 2, queremos ver si esto puede ser menos x cuadrado más 2x menos 3. 00:06:07
Lo pasamos todo, por ejemplo, al miembro de la izquierda y me queda aquí x cuadrado menos 4x menos 2x más 2 más 3 igual a 0. 00:06:20
Luego la ecuación es x cuadrado menos 6x más 5 igual a 0. 00:06:34
Resolvemos la ecuación bien por la fórmula, por Ruffini, por Cardano-Vieta. 00:06:41
se ve que dos valores cuyo producto es 5 y cuya suma es 6 son 1 y 2, ¿vale? 00:06:46
Luego las soluciones son 1 y 1 y 2, he dicho 1 y 5, perdón, 1 y 5. 00:06:52
1 es el valor que teníamos antes y 5 es el valor nuevo. 00:06:59
Efectivamente sí que hay otro punto. 00:07:03
¿Cómo calculamos el valor de i? 00:07:06
Simplemente porque ya que me están pidiendo que se coinciden en algún otro punto, 00:07:08
pues ya sabemos que este es el punto que sabíamos, que era el punto 1 menos 3 y este es el otro punto que será el punto 5 00:07:14
y para calcular la Y me da igual sustituirla en la F o en la G, es más fácil sustituirla en la F y sería menos 4 por 5 es menos 20, 00:07:22
menos 20 más 2 menos 18, ¿vale? Luego este sería mi otro punto, entonces ahora me están diciendo en tal caso dibuja la región limitada 00:07:32
por ambas trayectorias, vale, pues a ver, vamos a hacerlo, son una recta y una parábola, 00:07:42
la verdad es que no, vamos a poner este más arriba, esta es mi X, esta es mi Y, vale, 00:07:53
tenemos 1, 2, 3, 4, 5, y aquí voy a ir haciendo de 3 en 3, vale, para que me quede, porque 00:08:04
si no tendría que hacer 18 rayitas hacia abajo, entonces vamos a poner como que esto 00:08:15
fuera menos 3, ¿vale? Lo voy a poner diferente, aquí vamos a ponerlo 1, 2, 3, 4, 5, diferente 00:08:20
escala y aquí le voy a poner como si esto fuera menos 3, menos 6, menos 9, menos 12, 00:08:28
menos 15 y menos 18, ¿vale? Entonces, a ver, lo voy a hacer, a ojo, bueno, la primera la 00:08:35
podemos hacer porque es una recta, es decir, la recta pasa por el punto 1 menos 3, por 00:08:43
este punto, y por el 5 menos 18. Sé que estoy poniendo diferente escala, bueno, pero más 00:08:49
o menos para que nos hagamos un poquito una idea. A ver, bueno, ya sabéis que lo mío 00:08:57
no es el dibujo. A ver cómo consigo hacer la recta. Es que es complicado. Esto sería 00:09:05
más o menos la recta. Ya sé que diréis, si tienes la opción de hacer una recta, bien, 00:09:22
pero soy así. Venga, y el otro vamos a ponerle con otro color, con el verde mismo. La otra 00:09:27
es una parábola, ¿vale? Una parábola que tiene el coeficiente de mayor grado negativo, 00:09:33
por lo tanto es convexa. Y sabemos que pasa en los dos mismos puntos, por este punto y 00:09:41
por este punto. Y además, ¿qué es lo que sabemos? Que justamente en el 1 tiene un máximo, 00:09:48
¿vale? Luego su eje de simetría es justamente este punto, el x igual 1. Es decir, que esto 00:09:55
aquí sería, no consigo nunca que me salgan bien en la primera, esta sería la parábola 00:10:02
así, y vendría más o menos por aquí, y la otra sería, es decir, si tuviéramos aquí 00:10:10
en el menos 5, si aquí estuviera el menos 5, suponiendo que hubiéramos hecho, no, el 00:10:17
menos 5 no sería el menos 4, ¿vale? Porque tiene, del 1 al 5 van 4, luego del 1 tendría 00:10:27
que ir, no, tendría que ir, ¿cuántas van? Al menos 3, perdón. Esto sería como una 00:10:35
cosa así, ¿vale? De verdad. Bueno, ya sabéis que mis dibujos son muy malos. Esto aquí 00:10:41
para arriba, aquí tendría que ser al menos 3. Tiene que haber lo mismo, del 1 al 5 van 00:10:51
cuatro y del uno al menos tres van cuatro. ¿Pero qué es la parte que a nosotros nos 00:10:55
interesa? A nosotros lo que nos están pidiendo calcular es el área comprendida entre la 00:10:59
recta y la parábola, es decir, este sería el trocito que nos están pidiendo calcular 00:11:06
y es lo que nos han pedido que dibujáramos. Entonces, ¿cuál va a ser este área? Pues 00:11:12
el área, es la integral definida entre 1 y 5, ¿de quién? De una función menos la 00:11:19
otra. Según este dibujo la función que está arriba es la g, ¿verdad? Es decir, sería 00:11:27
de g de x menos f de x diferencial de x. Teóricamente no me debería dar negativa, bueno, sí me 00:11:32
va a dar negativa porque está arriba, está abajo, pero bueno, daría lo mismo, que es 00:11:42
lo que hemos dicho siempre, ponemos valores absolutos, ¿vale? No los voy a poner, voy 00:11:46
a esperar hasta el final y luego ya los colocamos. Venga, pues esto sería la integral entre 00:11:51
1 y 5, de quien g de x es menos x cuadrado más 2x menos 3 y ahora el resto, el f de 00:11:57
x es menos, luego cambio todo de signo, luego sería más 4x menos 2 diferencial de x, ¿vale? 00:12:08
Sigo por aquí abajo y esto va a ser la integral entre 1 y 5 de operamos y me queda menos x cuadrado 00:12:17
2x más 4x es 6x más 6x menos 3 menos 2 menos 5 diferencial de x 00:12:28
calculamos una primitiva que sería menos x cubo partido de 3 00:12:37
más 3x cuadrado menos 5x 00:12:42
y esto lo tenemos que evaluar entre 1 y 5 00:12:48
igual a, aplicamos la regla de barro 1 00:12:53
es lo que hemos estado haciendo para calcular la integral definida 00:12:58
calculamos el valor en el 5 00:13:01
Y esto sería, en el 5, menos 125 partido de 3 más 5 al cuadrado es 25 por 3, 75, menos 25. 00:13:03
Esto es evaluarlo en el 5 y ahora menos, lo evaluamos en el 1 y sería menos un tercio, más 3, menos 5. 00:13:20
¿Vale? Igual a, operamos, menos 125, bueno, voy a hacerlo con calculadora y pongo el resultado, ¿vale? 00:13:33
Pausa un momentito. 00:13:46
Vale, haciéndolo todo nos da 32 tercios, ¿vale? 00:13:47
A ver, espera que no estoy en rojo. 00:13:51
Nos da 32 tercios unidades al cuadrado, ¿vale? 00:13:54
no hace falta poner valores absolutos 00:13:59
porque en el fondo ya hemos puesto 00:14:02
la que está, hemos empezado por la g de x 00:14:04
que es la que está arriba 00:14:06
por eso nos sale en positivo 00:14:07
bueno, pues este sería el ejercicio 00:14:09
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
6 de enero de 2026 - 14:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
14′ 12″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
25.18 MBytes

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