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Intersección Recta-Parábola - Contenido educativo

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Subido el 10 de febrero de 2021 por Patricia De La M.

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Intersección Recta-Parábola

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Hola chicos, aquí tenemos delante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 00:00:00
que tiene la peculiaridad de que, primero, que no son ecuaciones lineales. 00:00:06
Bueno, la de abajo sí que lo es, es una ecuación lineal, le representa una recta. 00:00:17
Y la de arriba no es lineal, es una ecuación cuadrática, ¿verdad? 00:00:21
Porque tenemos x al cuadrado y entonces ya no podemos llamarla lineal. 00:00:25
Además tiene la peculiaridad de que tenemos despejada la y en función de x en las dos ecuaciones 00:00:29
Eso significa que lo estamos viendo desde el punto de vista de funciones 00:00:34
Por eso lo estamos viendo en el tema de funciones 00:00:39
Porque vamos a ver la intersección entre rectas y parábolas 00:00:41
Como este ejemplo en el que tenemos arriba una ecuación con la x y la y 00:00:45
Pero la y está despejada en función de x y abajo lo mismo 00:00:50
siendo una parábola, como ya he dicho, una función cuadrática, un polinomio de grado 2 arriba y un polinomio de grado 1 abajo. 00:00:53
Y como ya sabéis, pues estas dos funciones son respectivamente una parábola y una recta, ¿verdad? 00:01:02
Bueno, pues vamos a resolver el sistema analíticamente. 00:01:08
Inicialmente lo vamos a resolver, pues lo podemos resolver por el método de sustitución. 00:01:16
Pero, como por defecto en general los sistemas no lineales, como es este, pues normalmente se resuelven por defecto, por método de sustitución. 00:01:23
Lo cierto es que aquí, como las i están despejadas, tanto arriba como abajo, pues podemos hacer el método de igualación sin ningún problema. 00:01:35
E incluso el método de reducción también se podría hacer, aunque en principio el método de reducción no es el que se aplica en general para sistemas no lineales. 00:01:41
Depende un poco de cómo esté configurado. 00:01:50
Para resolverlo lo que hacemos es igualar las dos expresiones que tenemos ahí. 00:01:58
La expresión de 2x más 2 la igualamos a la expresión de menos x cuadrado más 3x más 4. 00:02:04
Entonces, con esto, lo que estamos buscando son los puntos, ¿verdad?, que las x, ¿verdad?, que hacen que las y de las dos funciones sean iguales, ¿vale? 00:02:18
Entonces, bueno, pues avanzamos aquí y lo que tenemos, pasando todo al lado izquierdo, es x cuadrado, las x con las x, ¿verdad?, y nos quedaría aquí un menos x y luego el 2 menos 4, pues tendríamos un menos 2 y esto igual a cero. 00:02:29
Ya tenemos aquí una ecuación general de segundo grado a la que vamos a aplicar la fórmula, ¿verdad? 00:02:45
Que ya todos conocemos, así que menos b sería 1, menos menos 1, ¿verdad? 00:02:54
Más menos la raíz cuadrada de 1 al cuadrado menos 4 por a por c. 00:03:00
1 al cuadrado sería 1 menos 4 por a por c, como c es negativo, pues al final va a ser positivo, 00:03:04
y 4 por a, que es 1, y por c, que es menos 2, pues lo que os digo, le saldría más 8. 00:03:11
Por tanto, lo voy a 2 por 1 abajo, y tenemos 1 más menos la raíz cuadrada de 9, que es 3, partido por 2. 00:03:18
Con el más tenemos 4 medios, que es un 2, y con el menos tendríamos menos 2 partido por 2, que es menos 1. 00:03:29
Por tanto, esta es la primera solución para la X y esta sería la segunda solución para la X. Vamos a tener dos soluciones. 00:03:35
Fijaros que una recta y una parábola, si pensamos en la gráfica que luego vamos a hacer, pues una recta puede cortar a una parábola en dos sitios. 00:03:44
Es fácil de imaginar. También podría cortarlo solo en un punto cuando la recta sea justo tangente a la parábola 00:03:55
o puede incluso no cortarse con ella porque esté por fuera, exterior a ella, a la parábola y entonces no tener solución en el sistema. 00:04:00
Para cada x tenemos la y que corresponde, por eso lo hemos llamado sub 1 y sub 2, con esos subíndices, para simplemente controlar qué x va con qué y. 00:04:09
entonces para la primera x que es la x sub 1 igual a 2 00:04:21
vamos a sustituir en una de las dos ecuaciones 00:04:25
o la de arriba o la de abajo daría exactamente lo mismo 00:04:28
puesto que las hemos igualado y hemos obligado a que la x haga que valgan lo mismo 00:04:31
entonces lo suyo es sustituir abajo que es más fácil 00:04:35
y lo vamos a llamar x sub 1 también puesto que es la primera x 00:04:39
sustituyendo donde está la x el 2 00:04:42
este 2 pues lo sustituimos en la x de la ecuación 00:04:46
más 2, nos saldría 4 más 2, 6 00:04:51
por tanto el primer punto, solución, el primer par x y sería 2, 6 00:04:56
bueno, el primero nos ha salido, ¿verdad? 00:05:03
bien, vamos ahora entonces con la segunda y, la segunda x, perdón 00:05:05
bueno, para hallar la segunda y, la y, 2 00:05:11
viene dada a partir de x igual a menos 1. 00:05:15
Así que y sub 2 va a ser sustituyendo también a la de abajo porque no tenemos ningún problema. 00:05:23
Y recordad que siempre sustituimos las x cuando son negativas con paréntesis, muy importante, 00:05:29
pues nos quedaría menos 2 más 2, que se anula, y nos queda un 0. 00:05:34
Por tanto, el punto de intersección o el segundo par solución sería menos uno de x y cero de y. 00:05:39
Así que ya tenemos aquí delante las dos soluciones posibles del sistema. 00:05:52
Es decir, cuando la x vale dos, la y tiene que valer seis para que se cumplan las dos ecuaciones a la vez. 00:06:00
Y cuando la x vale menos 1, la y debe valer 0 para que se cumplan también las dos ecuaciones a la vez. 00:06:07
Bueno, ¿eso gráficamente qué significa? Pues significa que estos son los dos puntos en los que las dos gráficas intersectan, ¿no? 00:06:14
Es decir, que tienen en común esos dos puntos. 00:06:23
Por tanto, nos va a servir, por ejemplo, si los dibujamos directamente, pues nos van a servir para hacer ya la recta, por ejemplo, 00:06:28
porque dados dos puntos, ¿verdad?, ya tenemos fijada la recta. 00:06:35
Entonces, bueno, pues para hacer la recta podemos... 00:06:39
Voy a utilizar este espacio que tenemos aquí 00:06:43
para hacer la tabla de valores para la recta 00:06:45
y podemos empezar a dibujar la recta directamente. 00:06:49
La recta que es, como ya tenemos ahí arriba, 2x más 2. 00:06:52
La x y la y, pues pueden ser, por ejemplo, 00:06:58
el 0,2 que es el punto de corte con el eje Y 00:07:03
el 0,2 00:07:08
y otro punto puede ser uno de los dos que hemos calculado ahí 00:07:10
o otro diferente, por ejemplo podemos sustituir el punto 00:07:16
la X igual a menos 3 y nos quedaría 00:07:19
2 por menos 3 más 2 que sería menos 6 más 2 00:07:24
sería menos 4 00:07:31
Y tenemos aquí otro punto de intersección que es el , bueno, pues estos dos puntos ya nos saldrían, pero también los puntos que hemos hallado antes en la resolución analítica. 00:07:34
Vamos a dibujarlo, sería , estamos aquí, y el punto , que estaría aquí. 00:07:49
Vale, uniendo estos dos puntos pues ya nos saldría la recta que tenemos 00:07:59
Esto de un lado, vamos por aquí y esto es el otro 00:08:05
Vale, pues ya tenemos ahí la recta dibujada 00:08:25
Vale, para hacer la parábola pues tenemos que hacer los apartados importantes de la parábola 00:08:27
Que son, pues ya sabéis, la orientación, el vértice, los puntos de corte con los ejes 00:08:36
Y bueno, pues algún otro valor si lo necesitamos, ¿verdad? 00:08:40
Entonces, voy a borrar esta parte de aquí para poder hacer todo lo que necesitamos de la parábola. 00:08:45
Vale, pues para dibujar la parábola, vamos a hacerlo en azul, por ejemplo, o en verde, pues vamos a bajar aquí la parábola y la parábola que tenemos es esta, 00:08:58
en la cual tenemos que a es igual a menos 1 00:09:09
y como es menor que 0 la orientación es negativa 00:09:17
es decir, hacia abajo, las ramas son hacia abajo 00:09:22
y esto ya nos da una pista para dibujarla 00:09:26
después también tenemos la x del vértice 00:09:29
que ya la vemos todos, que es menos b partido 2a 00:09:31
la primera parte de la fórmula de la ecuación de segundo grado 00:09:34
y menos b pues sería menos 3 partido 2 por menos 1, así que sería menos 3 partido menos 2, 3 medios, que si ya sabéis que es 1,5 para dibujarlo de forma sencilla, pues 1,5. 00:09:39
Vale, la y del vértice corresponderá a f de la x del vértice, es decir, f de tres medios. 00:09:59
Vale, entonces ahora tenemos que hacer cuentas con fracciones, porque en la parábola debemos sustituir el tres medios en la x. 00:10:08
Entonces, menos paréntesis tres medios al cuadrado, donde está la x ponemos tres medios, 00:10:18
y ya daros cuenta que el menos está por fuera del cuadrado, no le afecta el cuadrado al menos de la fórmula, 00:10:24
y luego más 3 por 3 medios más 4. 00:10:31
Vale, entonces aquí tenemos menos 9 cuartos más 9 medios y más 4. 00:10:41
Bueno, pues reduciendo a común denominador, nos quedaría, ¿verdad? A ver, voy a apartar aquí. Nos quedaría menos 9 cuartos más 18 cuartos y más 16 cuartos. 00:10:55
Bueno, pues haciendo aquí las cuentas al final nos va a quedar un 25 cuartos positivo y eso pues haciendo también la división para ver por dónde anda pues nos daría un 6,25. 00:11:20
Así que el vértice es el punto 3 medios 25 cuartos. Este sería el vértice que también es importante para dibujarlo. 00:11:33
Bueno, si queréis lo podemos ir dibujando, y eso estaría, ya hemos dicho que es 1,5, 6,25, entonces 1,5 pues que estaría como por aquí, y 6,25 estaría como por aquí. 00:11:55
Esa sería la X del vértice, que además sabemos que es un máximo, puesto que la parábola mira para abajo, ¿verdad? 00:12:17
Bueno, los puntos de corte con los ejes, voy a borrar también para que podamos seguir, pues ya sabéis que lo que hacemos es la ecuación de segundo grado, cuando queremos el corte con el eje X, hacemos Y igual a cero, y entonces donde está la Y, ¿verdad?, pongo cero. 00:12:24
y luego hacemos la ecuación de segundo grado 00:12:52
que nos queda al poner la y igual a cero 00:12:55
este sería el punto de corte con el eje x 00:12:59
entonces tenemos x es igual a 00:13:06
menos b más menos raíz cuadrada 00:13:09
de 3 al cuadrado menos 4 por a por c 00:13:15
que también va a salir más 00:13:22
16 aquí partido 2 por menos 1 que es menos 2 00:13:23
vale, tenemos un 00:13:29
más menos 3 raíz cuadrada de 25 00:13:31
que es un 5 partido por menos 2 00:13:37
vale, cuando usamos el más 00:13:41
pues tenemos menos 3 más 5 que serían 00:13:45
menos más 2 perdón y con el menos 2 de abajo pues sería 00:13:48
un menos 1 y luego con el menos tendríamos menos 3 menos 5 menos 8 partido menos 2 más 4 00:13:52
o sea que los puntos de corte van a ser el menos 10 y el 40 también algo importante para dibujar 00:14:00
la parábola. Podemos ya también irlo dibujando y tenemos en el menos uno cero, que además 00:14:15
es el punto de corte, uno de los puntos de corte con la recta, y luego el cuatro cero 00:14:24
que estaría como por aquí. Muy bien. Vale, puntos de corte con el eje y, que lo que hacemos 00:14:29
es x igual a cero, es decir, vamos a hallar la y que corresponde a x igual a cero en nuestra 00:14:37
parábola, ¿verdad? Entonces sustituimos aquí el 0, aquí y aquí, ¿verdad? Con lo cual nos quedaría 00:14:44
directamente un 4. Este punto de corte es directamente el 04 con el eje Y. Otro punto 00:14:54
interesante e importante para dibujar. Y este estaría como por, a ver, 04A. Bueno, pues ya nos 00:15:04
podemos ir haciendo una idea de cómo es la parábola si este es el vértice, ¿verdad? 00:15:14
Así que ya nos disponemos a dibujarla. Recordad que el vértice siempre es un punto, digamos, 00:15:19
suave, no es un pico, y luego pues tenemos que ir dibujando. Bueno, la verdad es que 00:15:28
aquí me es bastante más complicado, pero quedaría una cosa como esta. Y bueno, pues 00:15:38
Podemos observar que los puntos de corte con los ejes han sido exactamente los que habíamos hallado antes, tanto este, ¿verdad?, como este. 00:15:47
Este sería el 2, perdón, el menos 1, 0, ¿verdad?, el menos 1, 0, que es el que teníamos hallado analíticamente, y este sería el, si os fijáis, el 2, 6, que también teníamos hallado analíticamente. 00:15:59
Tanto este como este, con lo cual ya está hecho gráficamente y analíticamente. 00:16:13
Idioma/s:
es
Autor/es:
PATRICIA DE LA MORENA GONZALEZ
Subido por:
Patricia De La M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
73
Fecha:
10 de febrero de 2021 - 22:21
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DE CERVANTES
Duración:
16′ 24″
Relación de aspecto:
1.75:1
Resolución:
1024x584 píxeles
Tamaño:
32.61 MBytes

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