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T5 - ej 63 al 66.mp4: T5 - ej 63 al 66 - Contenido educativo

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Subido el 7 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a ver ahora este ejercicio 63. 00:00:00
Este es una función racional, la integral de una función racional, 00:00:04
en la que el denominador tiene mayor grado que el numerador. 00:00:08
Por lo tanto, lo que vamos a hacer es descomponerlo en fracciones simples. 00:00:11
Además, observamos, bueno, lo que necesitamos saber primero es que x cuadrado más x, 00:00:16
lo queremos descomponer, en este caso está claro, esto sería x por x más 1. 00:00:21
¿vale? Necesitamos siempre que tengan raíces reales. ¿Vale? Pues entonces, ¿qué es lo 00:00:27
que vamos a hacer? Pues lo que queremos es que nuestra fracción inicial, 5x más 2 partido 00:00:36
de x cuadrado más x, lo queremos escribir como una fracción que tenga por denominador 00:00:44
uno de sus factores de la descomposición y el otro el x más 1, ¿vale? Llamamos a y b a los numeradores. 00:00:50
Si nosotros operásemos eso para obtener una igualdad de fracciones, esto sería a por x más 1 más b por x 00:00:59
y el denominador sería justamente el denominador que tenemos, x por x más 1. 00:01:09
Dos fracciones son equivalentes o son iguales y tienen el mismo, bueno, en este caso como tienen el mismo denominador, 00:01:15
para que sean iguales tienen que tener el mismo numerador. 00:01:21
Es decir, que 5x más 2 tiene que ser igual a a por x más 1 más b por x. 00:01:24
¿Quién va a ser el a y el b? 00:01:37
Como os dije en clase, esto en el fondo es una recta que tiene infinitos valores. 00:01:38
Podríamos dar diferentes valores para obtener los valores de a y b. 00:01:42
¿Cuáles son los más sencillos? Dar los que hacen 0, ese denominador, ¿vale? Las raíces reales. 00:01:46
Si nosotros esto lo hubiéramos resuelto, lo hubiéramos igualado a 0, obtendríamos los dos valores, x igual 0 y x igual a menos 1. 00:01:53
Pues son los valores que vamos a dar 00:02:01
Si la x es 0 00:02:03
Lo que obtengo aquí es 00:02:06
5 por 0 es 0 00:02:09
2 es igual 00:02:10
a por 0 más 1 es 1 00:02:11
Es decir, a y b por 0 es 0 00:02:14
Luego ya tengo el primer valor de a 00:02:16
No es que tenga el primer valor de a 00:02:18
Mi dislexia 00:02:21
Tengo el valor de la primera incógnita 00:02:22
Es decir, de a 00:02:24
Y ahora si la x es menos 1 00:02:25
Hacemos lo mismo 00:02:27
5 por menos 1 es menos 5 00:02:29
Menos 5 más 2 es 3 00:02:30
el menos uno más uno es cero y ahora lo que me queda directamente que sería b por menos uno menos b 00:02:32
¿vale? y aquí me he comido un menos porque era menos cinco más dos es menos tres 00:02:40
y por lo tanto lo que obtenemos es que la b es tres ¿vale? 00:02:45
luego ya tenemos calculados tanto el valor de a como el valor de b 00:02:49
por lo tanto ¿a qué va a ser igual nuestra integral? 00:02:56
Pues nuestra integral, lo voy a ir poniendo aquí abajo para que se vea mejor, va a ser la integral de a, que hemos dicho que es 2, partido por x, más b, que es 3, partido por x más 1, diferencial de x. 00:02:59
Y veis, estos son los típicos logaritmos, son integrales inmediatas, esto es 2 por el logaritmo neperiano valor absoluto de x más 3 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 1, ¿vale? 00:03:17
No hay que dividirlo más k, no hay que dividir entre nada el logaritmo porque la derivada de tanto de x como de x más 1 es directamente 1, ¿vale? 00:03:31
este sería el ejercicio 63 00:03:44
venga, vamos a ver 00:03:46
que es que esta vez no he ido copiando 00:03:48
los otros, voy a pausar 00:03:50
para escribir el enunciado 00:03:52
venga, aquí lo mismo 00:03:54
solamente tenemos 00:03:56
una fracción en la que el cociente 00:03:59
está en el denominador 00:04:01
sabemos que 00:04:01
es una expresión notable, x cuadrado menos 9 00:04:03
es decir, las raíces son 00:04:07
son simples, x cuadrado menos 9 00:04:08
sabemos que es la diferencia de cuadrados 00:04:11
O deberíamos saberlo, esto es x más 3 por x menos 3, ¿vale? 00:04:13
Las soluciones son más y menos 3. 00:04:18
Pues hacemos lo mismo que hemos hecho antes. 00:04:22
Escribimos x cuadrado, bueno, a ver, esto sería, esperar un momentito porque lo he puesto muy arriba. 00:04:25
Vale, perdón. 00:04:35
Esto es 1 partido por x cuadrado menos 9, va a ser igual a a partido, pues por x menos 3 por ejemplo, más b partido por x más 3. 00:04:36
Esto va a ser a por x más 3, fijaos que es todo el tiempo hacer lo mismo, más b por x menos 3. 00:04:49
Y el denominador es el que teníamos, x más 3 por x menos 3. 00:05:00
Y de aquí se saca que 1 va a ser igual a a por x más 3, por lo mismo que os dije en la parte anterior. 00:05:06
Son dos fracciones con el mismo denominador, pues los numeradores tienen que ser también iguales. 00:05:14
¿Qué valores vamos a dar? Pues las soluciones. 00:05:20
Las raíces, si yo igualo esto a 0, lo que obtenemos es x igual a 3 y x igual a menos 3. 00:05:23
Por lo tanto, ponemos si x es igual a 3, lo que tenemos es que 1 es igual, 00:05:32
3 más 3 es 6, 6a 00:05:39
3 menos 3 es 0 00:05:42
fijaos que justamente ponemos los números que hacen 0 00:05:44
para que nos salga directamente las soluciones 00:05:48
y en el menos 3, ah bueno, no he resuelto, perdón 00:05:52
a será un sexto 00:05:54
¿vale? 00:05:57
y aquí será 1 igual 00:05:58
el primer sumando se me va 00:05:59
y me queda menos 3 menos 3 es menos 6b 00:06:02
luego entonces b es igual también a menos 00:06:04
Bueno, en este caso es con el menos un sexto, ¿vale? Bien, pues sustituimos, o sea, lo escribimos arriba, y esto sería la integral de quien a, a es un sexto, bueno, vamos a ponerlo así, un sexto partido por x menos 3, menos un sexto partido por x más 3, diferencial de x. 00:06:10
¿Y esto cuánto va a ser? Bueno, pues saco el 1 sexto fuera, que lo podría sacar factor común de todo, y me va a quedar logaritmo neperiano de x menos 3 entre valores absolutos menos 1 sexto del logaritmo neperiano de x más 3 entre valores absolutos más k, ¿vale? 00:06:38
Y aquí, si quisiéramos, bueno, podríamos sacar factor común, pero bueno, en el fondo no hace falta, lo podemos dejar así. 00:07:00
Vamos con el 65, lo mismo, lo primero es factorizar el denominador, x cuadrado menos 3x más 4, lo puedo igualar a 0, o si lo veo con lo de la suma y el producto, está claro que aquí las raíces son dos números cuyo producto sea 4 y su suma sea 3, ¿cuánto va a ser? 00:07:08
Pues 4 00:07:32
No, no, no 00:07:33
A ver, lo estoy poniendo bien 00:07:36
X4 menos 3X más 1 00:07:37
Sí, disculpad, disculpad 00:07:38
Sí, lo estaba diciendo bien 00:07:40
Son 4 y 1 00:07:41
No puede ser 00:07:45
No, lo estaba haciendo aquí el juego 00:07:47
Pero salen 00:07:50
X menos 4 menos 1 00:07:51
Bueno, lo igualamos a 0 00:07:55
Si no, porque ahora de repente 00:07:57
Tendría que ser 00:07:59
bueno, si es que es x cuadrado 00:08:03
ah, ya decía yo, perdonad 00:08:05
es que esto no tendría 00:08:06
perdonad, perdonad que la he copiado 00:08:08
mal 00:08:11
no es más 4, es menos 4 00:08:11
es que con esa 00:08:15
no saldría 00:08:16
a ver, veis 00:08:20
esto es lo que pasa a veces luego también en los exámenes 00:08:24
que copiamos mal el enunciado 00:08:27
ahora sí 00:08:29
es que estaba 00:08:29
cuando las he visto del libro he visto que es hacia 00:08:31
directa pero lo he copiado mal. Ahora sí, es menos 3x menos 4 y ahora sí que las dos 00:08:34
soluciones son la suma de dos números cuyo producto sea menos 4 y la suma sea 3, pues 00:08:42
está claro que son el 4 y el menos 1, ¿vale? Pero si no lo veis, que yo lo había visto 00:08:56
antes muy rápido, pero se me había ido la pinza porque lo había copiado mal. ¿Qué 00:09:03
no lo vemos? Pues que hacemos, lo igualamos a 0 y resolvemos la ecuación, ¿vale? x es 00:09:08
igual a menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado, que es 4, menos 4 por a por c, 00:09:14
es decir, más 16, partido entre 2a. Esto sería 3 más menos la raíz de 25, que es 00:09:21
5 entre 2, y sería 5 y 3, 8 entre 2, 4, 3 menos 5 menos 2 entre 2 menos 1, ¿vale? Lo que os haya comentado. 00:09:28
¿Ya? Como lo veáis, luego x partido de x cuadrado menos 3x menos 4 va a ser igual a la fracción a partido por x menos 4 más b partido por la fracción x más 1. 00:09:38
Y esto es a por x más 1 más b por x menos 4. 00:10:01
Y abajo el x menos 4 por el x más 1. 00:10:09
Como los anteriores, para que dos fracciones en este caso tienen el mismo denominador, para que sean iguales, 00:10:16
tienen que tener el mismo numerador. 00:10:22
Por lo tanto, x tiene que ser igual a cuánto a por x más 1 más b por x menos 4. 00:10:23
Sustituimos los valores, las raíces, es decir, x igual 4 y esto me queda 4 es igual a 4 más 5, más 1, perdón, 5a. 00:10:33
Y cuando la x es menos 1, menos 1 es igual, se me va el primero y me queda menos 1 menos 4 menos 5b. 00:10:42
Bien, que no he resuelto. 00:10:52
A es 4 quintos y b es 1 quinto. 00:10:54
¿Vale? Por lo tanto, vuelvo a la integral inicial y esto lo descomponiendo en fracciones simples, esto sería 4 quintos partido de x menos 4, son los dos positivos, ¿no? 00:11:01
sale fuera y lo que tengo es el logaritmo neperiano de x menos 4, os recuerdo que la 00:11:33
derivada de x menos 4 es 1, ¿vale? Por lo tanto no hay que dividir por nada, más un 00:11:40
quinto del logaritmo neperiano de x más 1, más mi constante k, ¿vale? Voy a escribir 00:11:46
el siguiente. Venga, pues el 66, lo mismo, otro de una función racional en la que el 00:11:56
denominador es más grande que el numerador, el grado me refiero, ¿vale? Pues factorizamos 00:12:02
x cuadrado menos 5x más 6, ay que no me escribe, menos 5x más 6, resolvemos la ecuación o 00:12:06
nos damos cuenta que sus soluciones son 5, menos 5x más 6, a ver si, 2 y 3, perdón, 00:12:15
2 por 3 es 6 y 2 más 3 es 5, ¿vale? Luego esto es x menos 2 por x menos 3, si no, resolvéis 00:12:23
directamente, ¿vale? Es decir, si igualamos a 0, si ya lo habíais resuelto al revés, 00:12:31
pues ya tendríamos que las soluciones son 2 y 3. Escribimos nuestra fracción 2x menos 00:12:38
5 entre x cuadrado menos 5x más 6, y esto va a ser una fracción a partido por x menos 00:12:44
2 más b partido por x menos 3. Es decir, a por x menos 3 más b por x menos 2 entre 00:12:52
x menos 2 por x menos 3. Sustituimos para calcular el a y el b en los raíces y x es 00:13:07
igual a 2, obtengo 2 por 2, 4, 4, ah bueno, no lo he puesto, perdón, de esto para la 00:13:18
igualdad tenemos que 2x menos 5 tiene que ser igual a a por x menos 3 más b por x menos 00:13:26
2, ¿vale? Para que sean iguales las dos fracciones. Si x es igual a 2 me queda 2 por 2, 4 menos 00:13:35
menos 5 es menos 1, igual a 2 menos 3 es menos 1, es decir, menos a. 00:13:41
Por lo tanto, la a vale 1. 00:13:46
Y si la x vale 3, me queda 2 por 3, 6 menos 5, 1, 00:13:50
igual a, la parte de la a se me va y me queda 3 menos 2, 1 por b, b. 00:14:00
Pues ya lo tenemos resuelto. 00:14:05
Subimos arriba nuestra integral, lo descomponemos en las fracciones simples obtenidas 00:14:06
y sería 1 partido por x menos 2 más, los dos son 1, más 1 partido por x menos 3, diferencial de x. 00:14:10
Luego esto va a ser logaritmo neperiano de x menos 2 en valor absoluto más logaritmo neperiano de x menos 3 en valor absoluto más k. 00:14:25
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
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Fecha:
7 de diciembre de 2025 - 10:36
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
14′ 41″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
33.40 MBytes

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