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Ejercicios PAU integrales definidas, áreas y volúmenes de revolución - Contenido educativo

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Subido el 8 de abril de 2026 por Roberto A.

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10, 25 y no, 25, 25 de marzo del 2026, ¿vale? Entonces nos dan esta función, esta función tiene valores absolutos, ¿de acuerdo? 00:00:00
Entonces, ¿qué ocurre? Tenemos que hallar el área delimitada, este es más complicado, ¿vale? Acotada por la resta igual a un medio, ¿vale? 00:00:13
Y la gráfica de f de x. 00:00:23
Entonces, ¿qué ocurre? 00:00:25
Que yo tengo que f de x es igual al valor absoluto de x partido de x cuadrado más 1. 00:00:27
¿Sí o no? 00:00:34
Y esto, ¿cómo lo descomponemos realmente, chavales? 00:00:35
¿Cómo era el valor absoluto? 00:00:38
Si yo hago valor absoluto de x es igual a 0, ¿no? 00:00:40
¿Qué es lo que tengo realmente? 00:00:45
Bueno, x valor absoluto de x igual a 0, no. 00:00:47
Sino que el valor absoluto, ¿qué es lo que ocurre? 00:00:49
Que yo tengo aquí menos x partido de x cuadrado más 1, ¿no? 00:00:52
Si x es negativo, ¿verdad? Para que sea positivo. 00:00:58
Y x partido x cuadrado más 1, si x es mayor o igual que 0, por ejemplo. 00:01:02
¿Vale, chavales? 00:01:10
Esta es mi función y aquí está el valor absoluto. 00:01:11
Pero realmente lo que hago sí es, para decir cuál es el valor este de aquí, 00:01:14
lo igualo a 0 00:01:19
y aquí que es lo que tenía 00:01:20
pues menos x si x es menor que 0 00:01:22
y x 00:01:25
si x es mayor que 0 00:01:26
¿vale chavales? 00:01:28
y le cambio el signo 00:01:29
entonces que ocurre, que yo aquí esto es 00:01:31
una gráfica 00:01:34
que bueno me piden otros 00:01:36
apartados ¿de acuerdo? 00:01:40
pero a mi lo que me piden es 00:01:42
como limita 00:01:44
esta gráfica con la resta 00:01:46
igual a un medio. ¿Alguien me sabe 00:01:48
decir cuál es la recta igual 00:01:51
a un medio? ¿Cómo es? 00:01:53
Es una horizontal, ¿vale? 00:01:59
Que pasa 00:02:02
por un medio. Si esto es un medio, 00:02:03
¿vale? Si esto 00:02:06
es un medio, esta es la 00:02:07
recta igual a un medio. 00:02:09
¿Vale? ¿Hasta ahí fácil? 00:02:12
Hasta ahí fácil, ¿no? 00:02:14
Entonces, 00:02:16
¿qué es lo que ocurre? Pues que yo tengo que 00:02:17
ver realmente 00:02:19
cómo es 00:02:20
la gráfica, cómo corta esta 00:02:24
gráfica con esto, porque esto es 00:02:26
un ejercicio típico, que cuál 00:02:28
es el área comprendida entre dos 00:02:30
entre dos funciones 00:02:32
¿vale? entonces, ¿qué es lo que 00:02:34
hago chavales? pues nada, yo lo que 00:02:36
hago es cada una de las partes 00:02:38
menos x partido 00:02:40
de x cuadrado más uno 00:02:42
yo lo igualo a un medio 00:02:44
¿vale? ¿para qué? para hallar los 00:02:46
puntos de corte entre ambas 00:02:48
funciones ¿vale? entonces 00:02:50
¿Esto qué es? Pues esto es menos 2x es igual a x cuadrado más 1, ¿verdad? 00:02:52
¿De dónde? Yo tengo aquí que esto es x cuadrado más 2x más 1. 00:02:58
¿Y alguien me sabe decir esto qué es lo que es? 00:03:03
Una identidad notable. ¿De qué tipo? 00:03:07
La suma al cuadrado. Esto es x más 1 al cuadrado, igual a 0. 00:03:11
Por lo tanto, ¿cuál sería la solución, chavales? 00:03:15
Entonces, x igual a menos 1. Es decir, aquí menos 1, estas dos funciones se cortan. ¿Lo entendéis? ¿Sí o no? ¿Sí? Vale. 00:03:18
Y ahora hago lo mismo con la otra función a trozos, también a un medio, ¿verdad? 00:03:32
Entonces, 2x es igual a x al cuadrado más 1, por lo tanto, x al cuadrado menos 2x más 1 igual a 0. 00:03:40
¿Y esto qué es, chavales? 00:03:50
Otra identidad notable. 00:03:53
¿Pero qué tipo? 00:03:55
x menos 1 al cuadrado de una recta. 00:03:59
¿Vale? ¿Eso qué significa? Pues que x es igual a 1. ¿Vale? Es decir, aquí en 1 observamos que se corta. ¿Qué es lo que ocurre con esta función de aquí, chavales? ¿Alguien me sabe decir esta función cómo es? En plan su paridad. 00:04:01
es par 00:04:20
¿vale? 00:04:24
esta función es par 00:04:25
¿vale? 00:04:27
entonces 00:04:29
¿qué es lo que ocurre? 00:04:29
que yo tengo lo mismo a izquierda 00:04:30
que a derecha 00:04:32
entonces 00:04:33
la integral que a mí 00:04:34
lo que me piden chavales 00:04:35
es realmente 00:04:36
el área 00:04:38
¿vale? 00:04:38
el área es realmente 00:04:40
digamos 00:04:41
si yo tengo 00:04:42
g de x 00:04:43
que es igual a un medio 00:04:44
yo siempre hago lo mismo 00:04:45
¿vale? 00:04:47
esto es 00:04:48
f de x menos g de x, ¿de acuerdo? 00:04:49
Esa es la integral que yo tengo que hacer. 00:04:54
Y siempre lo que se hace es, se pone el valor absoluto, ¿vale? 00:04:56
¿Y entre qué dos valores? ¿Cuáles son el a y el b, chavales? 00:05:01
¿Cuál es el a y el b? 00:05:05
Menos 1 y 1. 00:05:07
Es decir, yo tengo que integrar esta diferencia de funciones entre 1 y 1. 00:05:08
¿Por qué se pone valor absoluto? 00:05:13
Porque yo, si no tengo la representación gráfica, 00:05:15
lo que yo no sé es qué queda por encima y qué queda por debajo, ¿vale? 00:05:18
No sé la representación gráfica. 00:05:23
De hecho, si voy al programa favorito de Carol, ¿vale? 00:05:26
Yo tengo aquí, chavales, esto de aquí, ¿vale? 00:05:31
Es decir, si yo tengo, pasa que esto en el examen no lo tenemos, 00:05:35
pero lo que quiero que veáis es una cosita, ¿vale? 00:05:39
Si yo hago valor absoluto de x partido de x cuadrado, ¿verdad? 00:05:42
Más uno, ¿verdad? 00:05:48
Fijaros cómo es esta función. 00:05:50
¿Vale? Como si fuese un libro. 00:05:53
¿Vale? Un libro abierto, ¿lo veis? 00:05:54
¿Sí? 00:05:56
Y aquí lo que tengo es igual a un medio. 00:05:57
Vaya. 00:06:03
Perdona. 00:06:04
A un medio. 00:06:07
¿Vale? 00:06:08
Si yo esto lo hago más grande, 00:06:09
realmente, chavales, lo que me piden del área es esto de aquí. 00:06:12
¿Vale? Esto de aquí. 00:06:16
No recuerdo ahora los otros enunciados si realmente me pedían 00:06:18
los máximos, ¿vale? Y vemos que 00:06:21
los máximos están en el 1 00:06:24
a un medio y en el menos 1 00:06:26
a un medio, ¿vale? Entonces yo ahí 00:06:28
a lo mejor sí me podría hacer una composición 00:06:30
de lugar de que realmente 00:06:32
sería un medio menos lo otro 00:06:33
para que me saliese positivo. 00:06:36
¿Lo veis? No sé si me estoy explicando. 00:06:38
Es decir, si yo, por ejemplo, cojo 00:06:40
esta representación así, que 00:06:42
no la tengo por qué saber, ¿vale? 00:06:44
La tendría que llevar 00:06:46
al otro lado. 00:06:47
yo aquí lo que tengo chavales es 00:06:51
en la verde del beti bueno 00:06:54
yo tengo aquí mi f de x 00:06:57
wow, y no me escribe 00:06:58
f de x porque está como fondo 00:07:00
vale 00:07:03
y en negro yo tengo 00:07:03
la g de x la he nombrado 00:07:06
verdad, g de x igual a 00:07:09
un medio, vale, entonces cuando 00:07:11
yo lo que me piden realmente 00:07:12
es esto de aquí que ahora se va a borrar, vale 00:07:14
pero lo que me piden es esta zona 00:07:16
de aquí, este es el área que me piden 00:07:18
¿Vale, chavales? Que además pasa una cosa. No sé si habéis escuchado antes a Hernán que esta función es par, ¿verdad? Esta función es par. Entonces, yo puedo hacer, yo sé que es par y sé la función y demás, yo puedo hacer la integral desde menos 1 a 1 de f de x menos g de x o yo puedo hacer la integral desde 0 a 1, la multiplico por 2, ¿vale? 00:07:20
Porque esta zona de aquí es exactamente igual a esta zona de aquí, la multiplico por 2, ¿de acuerdo? 00:07:48
De f de x menos g de x. 00:07:56
¿Qué ocurre, chavales? Ahora que tenemos aquí la gráfica, ¿vale? 00:07:59
Porque yo muchas veces no tengo la gráfica delante. 00:08:02
Si yo hago f de x, que es la verde, menos g de x, como f de x está por debajo de g de x, ¿cómo me va a salir la integral? 00:08:06
Negativa. Muy bien, muy bien, Rodrigo, padre. 00:08:15
Pero si yo hago g de x menos f de x, 00:08:18
como el 1 medio siempre está por encima de la g de x, 00:08:21
por encima de la f de x, 00:08:25
si yo hago g de x menos f de x, me va a salir positivo. 00:08:27
¿Cómo solvento yo ese problema? 00:08:31
Haciendo el valor absoluto aquí y aquí, pa, y adiós, Gloria. 00:08:34
¿Vale, chavales? 00:08:38
Es tan fácil como eso. 00:08:39
No sé si me estoy explicando. 00:08:41
Porque lo que yo quiero ver es el área comprendida entre una y otra. 00:08:47
¿Vale? 00:08:51
realmente mira que los restos porque los restos aquí ya que tenemos la gráfica 00:08:51
vale si yo por ejemplo hago si esto es mi sede de nada vale yo hago el área de 00:08:57
gx que esto es un medio vamos a decir que esto es un medio vale esto es un 00:09:04
medio entre menos uno y uno. Este es, bueno, este aquí va a quedar fatal. A ver, voy a 00:09:09
hacerlo aquí, ¿vale? Esto vale un medio, ¿vale? Para hacerlo a escala. Entonces, esto 00:09:17
es menos uno y esto es un uno, ¿vale? Entonces, si yo hago el área de esto de aquí, que 00:09:31
sería la integral de g de x diferencial de x entre menos 1 y 1, ¿vale? Tú ves que es 00:09:38
todo esto de aquí, ¿verdad? ¿Vale? ¿Y esto cuánto me tiene que salir esto de aquí? 00:09:46
Pues si esto vale un medio y esto vale 2, pues me sale una unidad al cuadrado, ¿vale? 00:09:53
El área de un rectángulo, ¿vale? 00:10:01
¿Sí o no? 00:10:03
Pero ahora, ¿qué ocurre? 00:10:04
Yo, si yo hago aquí el libro, ¿vale? 00:10:06
Si yo hago aquí, lo voy a hacer aquí un poco un amago, ¿vale? 00:10:11
En azul. 00:10:14
Si yo hago aquí un libro, wow, esto de aquí, ¿vale? 00:10:15
Bueno, está fatal aquí yo. 00:10:23
Vaya mojón, luego dibujarnos lo mismo, ¿vale? 00:10:27
Entonces, ¿qué es lo que ocurre aquí ya? 00:10:30
Que si yo hallo el área de esto en azul, no sé cuánto me va a dar, lo puedo hacer sin problema, ¿vale? 00:10:32
Pero me dará esto que está en azul, ¿lo ves? 00:10:39
Entonces, si yo resto esto de aquí, que me da un 1, ¿de acuerdo? 00:10:42
Y lo resto al área de f de x, que no sé lo que es, ¿vale? 00:10:48
Pero es lo que está debajo de lo de azul, ¿lo ves? 00:10:53
¿Sí? 00:10:57
Si yo resto las dos cosas, ¿qué es lo que me queda? 00:10:57
Esto que está aquí encolorado, ¿verdad? 00:11:01
¿Sí o no? 00:11:04
Esto que está aquí encolorado. 00:11:05
Y eso es lo que realmente me están pidiendo. 00:11:06
¿Lo entendéis por qué se resta? 00:11:09
¿Lo entendéis por qué se resta? 00:11:12
Y además siempre se hace así. 00:11:13
¿Vale? 00:11:15
Esa es la razón de hacerlo de esta forma. 00:11:16
Y es lo que os digo. 00:11:20
Fíjate, Enoa. 00:11:21
Aquí es lo que te digo. 00:11:22
Si yo hago f de x menos g de x, f de x es la azul. 00:11:23
la g de x era toda la verde 00:11:27
el cuadrado, el rectángulo 00:11:30
si yo hago esta de azul 00:11:31
menos el rectángulo 00:11:34
que es en verde 00:11:36
me sale negativa 00:11:37
sin embargo si yo hago 00:11:38
el rectángulo menos 00:11:41
la zona azul que ya se me queda 00:11:43
la zona colorada 00:11:46
me va a salir positivo 00:11:47
y todas las áreas son positivas 00:11:49
yo aquí esto lo he hecho así 00:11:51
para explicaros por qué es el menos 00:11:54
y explicaros también que no siempre tenemos la gráfica delante, ¿de acuerdo? 00:11:56
Muchas veces a mí me dicen, si me piden representar la gráfica, sí, 00:12:03
pero si no lo tenemos, ¿qué es lo que ocurre? 00:12:05
Que yo cuando me piden hallar el área comprendida entre dos funciones, 00:12:07
yo tengo que hacer la recta, sí o sí, ¿vale? 00:12:12
Entonces, a ver, por favor, ¿vale? 00:12:15
Entonces, si yo tengo que hacer el área comprendida entre dos funciones, 00:12:20
yo siempre tengo que hacer la recta. 00:12:26
Si no tengo gráficamente cómo son, 00:12:28
yo lo que no puedo saber es si esta está por encima de esta 00:12:31
o al revés. 00:12:34
Entonces, yo siempre hago, por ejemplo, 00:12:35
F menos E o G menos F y me curo en salud 00:12:37
y le hago el valor absoluto, ¿vale? 00:12:40
Porque el área es siempre positiva, ¿de acuerdo? 00:12:42
Entonces, aquí lo que siempre tenemos que hacer, 00:12:46
one moment, please, 00:12:49
lo que tenemos que hacer aquí siempre es 00:12:50
la igualo las dos, 00:12:52
la igualo las dos para hallar los puntos 00:12:54
de corte y eso es súper importante 00:12:56
¿vale? porque los puntos de corte son los que 00:12:58
me limitan a mí los límites 00:13:00
de integración ¿vale? 00:13:02
y si hay varios, pues tengo que hacer 00:13:04
varias por varios, porque nada más que hay 00:13:06
dos, pero si hubiese tres 00:13:08
yo hago la integral entre el primero y el 00:13:10
segundo más la integral entre el segundo 00:13:12
y el tercer punto ¿vale? 00:13:14
¿y me lo tengo que hacer esto si me puede decir 00:13:17
que yo quiera presentarlo? 00:13:18
no, a eso voy 00:13:21
aquí porque he usado 00:13:22
el GeoGebra, pero si tú en el examen 00:13:24
no tienes GeoGebra 00:13:27
y entonces yo creo que me acuerdo de los apartados 00:13:28
anteriores, este es de pago 00:13:31
los apartados anteriores, yo creo que no te piden 00:13:32
la representación, entonces a eso 00:13:35
voy, como tú no sabes la representación 00:13:37
yo lo primero que hago siempre es 00:13:39
igualo, que es lo que he hecho aquí 00:13:40
igualo f de x con g de x 00:13:42
¿para qué? para hallar los puntos de corte 00:13:44
los puntos de corte son 00:13:47
x igual a menos 1 y la x 00:13:49
igual a 1. Entonces, esos son mis 00:13:51
límites de integración. Y luego 00:13:53
yo aquí no sabía 00:13:55
la función como es. Me tengo que ir a 00:13:57
GeoGebra para saberlo. Entonces 00:13:59
yo me curo en salud y siempre 00:14:01
hago f de x menos g de x. 00:14:03
Pero si yo hago f de x 00:14:05
menos g de x, me va a salir 00:14:07
negativa. Pues nada, le hago 00:14:09
mando absoluto y aquí pa' y adiós. 00:14:11
¿Vale? ¿Lo entendéis, chavales? 00:14:14
¿Sí? Pues venga, vamos al tema, ¿no? 00:14:15
¿Os parece? 00:14:18
igual, yo no sé 00:14:19
si es par o no es par, ¿verdad? 00:14:22
pues entonces nada, yo hago 00:14:24
esta función 00:14:25
de aquí y ya está, pero si yo sé que 00:14:27
soy par, esto de aquí 00:14:30
es lo mismo que esto de aquí 00:14:32
¿vale? ¿lo entendéis? 00:14:34
¿sí? pues venga, vamos 00:14:36
a Artema Fernanda, ¿no? 00:14:38
vamos a hacer la integral 00:14:40
entre menos uno 00:14:42
y uno 00:14:43
claro, aquí que es lo que ocurre 00:14:44
mi función realmente es valor absoluto de x cuadrado menos 1, ¿verdad?, que era f de x, ¿verdad?, menos 1 medio. 00:14:47
Pero como aquí esto yo lo tenía definido a trozos, ¿verdad?, como yo esto lo tenía definido a trozos, 00:14:58
pues ¿qué es lo que ocurre? Que no me queda más remedio que hacer desde menos 1 a 0, ¿vale?, 00:15:03
Desde menos 1 a 0 de menos x partido x cuadrado más 1 menos 1 medio, ¿vale, chavales? 00:15:09
¿Lo entendéis o no? 00:15:19
Más de 0 a 1 y aquí sería x partido de x cuadrado más 1 menos 1 medio. 00:15:21
Entonces, ¿yo qué es lo que os recomiendo, chavales? 00:15:28
Una cosilla. 00:15:31
como esto está definido a trozos 00:15:32
recordad lo que hace 00:15:34
entre menos uno y cero 00:15:35
y cero y uno 00:15:37
¿vale? entonces 00:15:39
yo lo hago y esto 00:15:42
me va a salir negativo 00:15:44
entonces cuando yo ya lo haga 00:15:45
y me salga negativo, me voy 00:15:48
para atrás y voy poniendo valores absolutos 00:15:50
en todos los lados 00:15:52
¿vale? para no tener que poner valores absolutos 00:15:53
todo el tiempo 00:15:56
Porque mi función realmente es así. 00:15:56
Cojo los valores en los cuales hay puntos de corte. 00:16:10
Las dos funciones. 00:16:15
Yo he igualado menos x partido de x cuadrado más 1. 00:16:16
Lo he igualado a un medio y me sale que la x vale menos 1. 00:16:20
¿Vale, Raúl? 00:16:24
Y aquí cojo la x partido de x cuadrado más 1. 00:16:25
lo igualo a un medio y me sale que la x vale 1 00:16:27
estos son mis límites de integración 00:16:30
límites de integración 00:16:32
¿vale? 00:16:36
¿y esto de aquí? 00:16:42
vale 00:16:44
lo de aquí lo único que yo me he tenido que ir 00:16:45
a GeoGebra para explicaros 00:16:48
porque yo aquí no sé cómo es la función 00:16:50
pero claro, si yo lo veo 00:16:51
es más fácil explicaros 00:16:53
por qué se hace la resta 00:16:55
¿vale? 00:16:57
porque yo aquí lo que hago es 00:16:58
realmente, como este es el punto de corte, perdona, ¿vale? Aquí es donde se cortan y aquí es donde se cortan, ¿de acuerdo? 00:17:01
Yo ahora tengo que hacer la integral desde menos 1 a 0, por un lado porque aquí la f de x vale menos x partido x cuadrado más 1 00:17:08
y luego tengo que hacer la integral desde 0 a 1 de f de x igual a x partido x cuadrado más 1, ¿vale? 00:17:18
Y yo lo tengo que restar siempre a un medio. 00:17:26
Aquí lo suyo es hacerlo al revés, 00:17:30
porque sé que es un medio siempre va a ser mayor que mi función. 00:17:32
Aquí para que me salga perfecto realmente sería un medio menos mi función. 00:17:36
Pero como yo no lo sé, 00:17:41
ahora sí porque tengo el chuletario esto, 00:17:43
pero yo en el examen no tengo geogélico. 00:17:45
¿De acuerdo? 00:17:47
¿Pero es una suma? 00:17:48
¿No debe haber una suma? 00:17:49
¿Hay que sacar una suma? 00:17:50
Sí. 00:17:52
Perdóname. 00:17:55
¿Vale? 00:17:56
Sí. 00:17:56
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:17:57
Pues que yo luego me voy a liar a poner valores absolutos por un tubo. 00:17:59
¿Lo entendéis, chavales? 00:18:03
¿Sí? 00:18:04
No es complicado, de verdad. 00:18:07
Aunque parezca que es complicado, no es complicado. 00:18:09
Me voy aquí, ¿vale? 00:18:14
¿Y ahora qué es? 00:18:16
¿Ahora qué hago, chavales? 00:18:18
¿Cuál es la derivada de x cuadrado más 1? 00:18:21
2x. 00:18:25
Por lo tanto, ¿yo qué necesito arriba? 00:18:26
Un 2, ¿no? 00:18:28
y aquí 00:18:29
un medio, ¿verdad? 00:18:31
¿Sí o no? 00:18:33
Este menos lo voy a sacar fuera. 00:18:34
Lo pongo aquí. 00:18:38
¿Vale? 00:18:39
Entonces yo aquí me quedo con el 2x 00:18:40
y aquí tengo x cuadrado 00:18:43
más 1. 00:18:45
¿Vale? 00:18:46
Dime. 00:18:48
Sí, sí, sí, es que no ha terminado. 00:18:51
¿Vale? 00:18:53
Diferencial de x. 00:18:56
¿Y esto qué sería? 00:18:57
menos un medio 00:18:58
por la integral de diferencial 00:19:00
de x, ¿vale? 00:19:03
Entre menos 1 y 0. 00:19:04
Más, aquí igual, ¿no? 00:19:07
Pongo aquí 00:19:10
un medio y aquí un 2. 00:19:11
¿Para qué? Para tener aquí 00:19:13
el 2x 00:19:15
partido de x cuadrado más 1. 00:19:17
¿Alguien se me ha perdido, chavales? 00:19:19
Lo único que estoy haciendo es 00:19:21
porque esto que es, esta es inmediata, ¿no? 00:19:22
¿Esta qué es? ¿Un qué? 00:19:25
un logaritmo neperiano 00:19:26
con premio 00:19:28
¿si o no? 00:19:31
entonces chavales, ¿qué tengo aquí? 00:19:33
menos un medio 00:19:35
por el logaritmo neperiano 00:19:37
de valor absoluto 00:19:39
bueno, ¿aquí haría falta poner el valor 00:19:41
absoluto? 00:19:43
¿haría falta poner aquí el valor absoluto? 00:19:45
¿por qué? 00:19:48
porque siempre es positivo 00:19:49
¿vale? 00:19:50
yo me curo en salud y siempre lo pongo, pero que no haría 00:19:53
falta vale no no haría falta pero lo puedo separar vale vale entonces esto sería menos 00:19:55
un medio vale aquí que pongo chavales entre menos 10 vale menos un medio de x entre menos 00:20:11
1 y 0 más un medio por el logaritmo neperiano de x cuadrado más 1, ¿verdad? ¿Entre cuánto? 00:20:23
Entre 0 y 1 y menos un medio de x entre 0 y 1, ¿vale? Entonces, ¿esto qué es? Esto 00:20:32
es menos un medio, ¿de qué? De logaritmo neperiano de 1, ¿verdad? Menos logaritmo 00:20:44
neperiano de 2, ¿lo veis? ¿Sí o no? Sustituyo, ¿vale? Menos 1 medio de 0 menos menos 1, ¿lo 00:20:52
veis todos? Más 1 medio por el logaritmo neperiano de 2 menos logaritmo neperiano de 00:21:08
uno. Chavales, ¿sí o pasáis 00:21:17
de mí? Las dos 00:21:21
cosas, ¿no? ¿Cuánto 00:21:24
vale, chavales, 00:21:26
logaritmo de uno? 00:21:29
¿Cero? 00:21:31
¿Vale? 00:21:32
¿Cero? Y entonces, ¿qué es 00:21:34
lo que me queda, chavales? 00:21:36
Me queda menos 00:21:38
por menos, es más, ¿verdad? 00:21:40
Logaritmo neperiano de 00:21:43
dos entre dos. 00:21:44
Esto es más, esto es menos 00:21:46
un medio, ¿verdad? 00:21:48
Esto es más logaritmo neperiano de 2 entre 2 y esto me queda menos un medio. 00:21:50
¿Sí o no? 00:21:59
Y entonces, ¿esto qué es? 00:22:00
Esto es logaritmo neperiano de 2 menos 1. 00:22:02
¿Vale? 00:22:07
Y el logaritmo neperiano de 2, ¿2 es más chico que el número E? 00:22:07
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:22:13
¿Esto qué es, mayor o menor que 1? 00:22:14
¿Hello? 00:22:18
Menor que 1 00:22:18
¿Vale? Menor que 1 00:22:20
Este logaritmo neperiano, si no lo hacéis con calculator 00:22:22
¿Vale? Logaritmo neperiano 00:22:25
De 2 es más chico que 1 00:22:27
Menos 1 me sale negativo 00:22:28
¿Veis como me sale negativo? Porque yo he hecho 00:22:29
F menos G 00:22:32
¿Vale? Entonces, ¿qué hago chavales? 00:22:33
Pues ni me lo pienso, vamos 00:22:37
Hago aquí valor absoluto 00:22:38
Valor absoluto 00:22:41
Valor absoluto 00:22:42
Valor absoluto 00:22:43
Valor absoluto 00:22:44
Valor absoluto. 00:22:46
O hago de todo esto ya su valor absoluto. 00:22:48
Valor absoluto. 00:22:51
Valor absoluto. 00:22:52
Valor absoluto. 00:22:54
Valor absoluto. 00:22:55
Absoluto. 00:22:57
Valor absoluto. 00:22:58
Valor absoluto. 00:22:59
Valor absoluto. 00:23:00
Valor absoluto. 00:23:01
¿Vale? 00:23:04
¿Y cuánto da el logaritmo neperiano de 2 menos 1? 00:23:04
¿Cuánto da? 00:23:07
Menos 0,36. 00:23:08
0,36. 00:23:11
0,36. 00:23:12
Pues ya está. 00:23:13
¿Sí? 00:23:14
Pues ya está. 00:23:16
Esto es 0, esto es logaritmo neperiano, esto es menos 0,37, pues esto, a 3,07. 00:23:17
Logaritmo neperiano de 2 menos 1, menos 3,07, no. 00:23:30
¿Cuánto es, Guillo? 00:23:38
Menos 0,307. 00:23:39
¿Y esto qué es? 0,7 unidades cuadradas, ¿vale? 00:23:45
o si no, esto lo pongo como 1 menos logaritmo neperiano de 2 00:23:52
y esto como Dios mejor. 00:23:56
¿Vale, chavales? 00:23:58
Sí. 00:23:59
Unidades cuadradas. 00:24:01
Easy, easy. 00:24:03
¿Lo veis todo lo que tenemos que hacer? 00:24:05
Siempre. 00:24:07
El área comprendida entre dos funciones, 00:24:08
el área comprendida entre dos funciones siempre se iguala. 00:24:11
Obtenemos los puntos de intersección de las dos funciones 00:24:26
y esos son nuestros límites de integración. 00:24:29
¿Vale? 00:24:32
y luego siempre hacemos 00:24:32
F menos G, que nos sale 00:24:34
negativo, pues sería G menos 00:24:36
F, pero yo me curo en salud, pongo 00:24:38
valor absoluto ahí a hierro, porque 00:24:40
siempre me tiene que salir positiva. 00:24:42
Porque logaritmo de 2 entre 00:24:48
M2, más logaritmo neperiano de 2 00:24:50
entre 2, un medio y un medio, 00:24:52
¿sí o no? 00:24:55
Dos mitades, 00:24:57
¿dos mitades qué? Una mol, 00:24:58
una mol, ¿vale? Es uno, 00:25:00
¿sí o no? 00:25:02
Vale, chavales 00:25:03
¿Puedo pasar? 00:25:04
¿La habéis entendido? 00:25:07
Of course 00:25:09
Chavales, esta de aquí, fijaros 00:25:10
1,25, a ver si cae esto 00:25:12
En el examen 00:25:15
¿Me hablan de área? 00:25:17
¿Me hablan de área? 00:25:18
No, ¿me hablan de volumen de revolución? 00:25:20
Natilla, ¿qué voy a aplicar aquí? 00:25:23
¿Eh? 00:25:26
Barrow, barrow 00:25:27
Barrow 00:25:29
Entonces, chavales, si queréis 00:25:30
Si me queréis irse, ¿vale? 00:25:33
f de x es la integral de x más 2 logaritmo neperiano de x, ¿vale? 00:25:36
Entonces, yo lo que voy a averiguar, chavales, es esta integral indefinida, ¿de acuerdo? 00:25:42
Esta integral definida. 00:25:47
Y luego lo que hago es, porque esto es, me refiero, si f de x es la integral de tal, 00:25:48
resulta que 1 sobre e de x más 2 logaritmo neperiano de x, 00:25:56
esto aquí es igual, ¿vale? 00:26:03
Si aplico barro, esto es f de e menos f de 1, ¿sí o no? 00:26:05
¿Vale? 00:26:12
Pues venga, voy a hallar primero la f de x. 00:26:12
¿Vale? 00:26:15
¿Cómo hago esta integral? 00:26:16
Por parte, ¿y qué elijo? 00:26:17
Alpes, l logaritmo. 00:26:26
¿Vale? Y la P es de polinomio. 00:26:31
Entonces, ¿qué ocurre? 00:26:34
Que la U es lo que me define esto de aquí, ¿vale? 00:26:35
Entonces, U es igual al logaritmo neperiano de X. 00:26:39
De DV, ¿qué es? 00:26:42
X más 2. 00:26:44
Sí. 00:26:46
¿En el momento de la U se mete el DX? 00:26:47
No. 00:26:49
Siempre se mete en el DV. 00:26:50
¿Vale? 00:26:53
Diferenciales con diferenciales. 00:26:54
Los chicos con los chicos, las chicas con las chicas. 00:26:55
Pues entonces, el diferencial de x siempre va con diferencial de v, ¿vale? 00:26:57
¿Sí? 00:27:03
Venga, entonces, ahora, fíjate ahora, copetín. 00:27:04
Yo ahora derivo u y entonces esto que es 1 partido de x por diferencial de x. 00:27:08
¿Lo ves? 00:27:14
¿Sí o no? 00:27:16
Y ahora, v que es, chavales, la integral de x más 2 diferencial de x. 00:27:17
Y esta es inmediata como ustedes, ¿no? 00:27:23
¿Cuánto es? 00:27:26
más 2x, ¿vale? 00:27:27
Y chavales, siempre es lo mismo, ¿eh? 00:27:32
Esta por esta menos esta por esta, ¿vale? 00:27:35
¿Sí o no? 00:27:39
Entonces, voy para aquí y ahora tengo 00:27:40
x cuadrado medio más 2x 00:27:43
por logaritmo neperiano de x 00:27:47
menos, y ahora la integral de 00:27:50
x cuadrado partido de 2 00:27:53
Más 2X 00:27:56
Partido de X, ¿verdad? 00:27:57
Diferencial de X 00:28:00
¿Sí o no? 00:28:01
Luna, ¿te has perdido o va bien la cosa? 00:28:04
Luna, uy, Luna 00:28:10
Venga 00:28:11
Bien, ¿pero eres feliz o no? 00:28:11
Ahora mismo no mucho 00:28:15
Entonces, chavales, voy a hacer un momentillo 00:28:16
Aquí la Y, ¿vale? 00:28:19
La Y 00:28:20
Si yo divido todo entre X 00:28:21
¿Afecta al numerador o al denominador? 00:28:24
Al numerador, ¿no? 00:28:29
Entonces esto es lo mismo que X medio más 2, ¿verdad? 00:28:31
¿Alguien lo ve o alguien se me ha ido? 00:28:35
Y si no, chavales, prefiero que me hagáis esto, ¿vale? 00:28:37
Aunque sea en sucio, antes de que metáis la pata. 00:28:46
¿Estáis de acuerdo conmigo o no? 00:28:50
¿Vale? 00:28:55
Y entonces esta también es inmediata, ¿verdad? 00:28:56
X cuadrado partido de 4, ¿no? 00:28:58
Más 2X. 00:29:02
Más C, pero aquí, ¿vale? 00:29:04
Sí o no, chavales. 00:29:06
Entonces, ¿qué ocurre? f de x como tal, ¿cómo es? f de x, ¿qué tenemos chavales? x cuadrado partido de 2 más 2x logaritmo neperiano de x menos x cuadrado partido de 4 menos 2x más la constante. 00:29:07
Esa es la integral definida 00:29:32
¿Lo veis todos? ¿Sí o no? 00:29:35
Entonces, ¿qué es lo que ocurre ahora? 00:29:37
A mí como me piden esto 00:29:41
¿Vale? Como a mí me piden esto 00:29:42
Pues entonces ¿qué ocurre? 00:29:45
Que la integral entre 1 y e 00:29:48
De x más 2 logaritmo neperiano de x 00:29:50
Aquí me falta diferencial de x 00:29:54
Un error muy grave 00:29:57
diferencial de x 00:29:58
es f de e 00:30:02
¿cuánto vale aquí la función n? 00:30:04
ya te lo voy a hacer 00:30:07
en otra hoja para que tengamos 00:30:08
más espacio ¿vale? 00:30:10
f mayúscula 00:30:12
¿ven? 00:30:15
para distinguirla de la 00:30:16
f chica que normalmente 00:30:18
f de x 00:30:25
es la integral 00:30:28
de f de t 00:30:30
diferencial de t ¿vale? 00:30:31
Esto es lo que se llama primitiva, a ver si nos toca algún día. ¿Vale? ¿Vale, chavales? ¿Sí o no? Entonces, esto de aquí. 00:30:33
Entonces, chavales, la integral, repito, la integral entre 1 y e de x más 2 logaritmo neperiano diferencial de x 00:30:46
es igual a f de e menos f de 1, ¿verdad? 00:31:11
Entonces, F de E, ¿qué es lo que hago? 00:31:16
Donde haya una X, F de E, ¿qué es? 00:31:18
El hierro, ¿no? 00:31:22
¿Cuánto vale el logaritmo neperiano de E? 00:31:27
El coño tu prima, así que infinito. 00:31:31
¿Cuánto es el logaritmo neperiano de E? 00:31:33
Uno. 00:31:35
Infinito. 00:31:38
Tu sabiduría sí que es infinita. 00:31:39
La madre que lo parió. 00:31:42
La madre que lo parió. 00:31:46
Ay, Omar, no cambies nunca. 00:31:48
Corrión 00:31:50
Nunca te queremos 00:31:51
Como eres 00:31:53
Con tus virtudes 00:31:55
Y tus defectos 00:31:56
Ahora 00:31:57
¿Cuánto vale 00:32:01
F de 1? 00:32:02
Donde haya una X 00:32:03
Que pongo 00:32:04
Chavales 00:32:04
Un 1 00:32:05
1 al cuadrado 00:32:06
Entre 2 00:32:08
Más 2 por 1 00:32:09
Logaritmo neperiano 00:32:11
De 1 00:32:12
El gurú 00:32:13
De los logaritmos 00:32:15
¿Cuánto vale 00:32:16
Logaritmo neperiano 00:32:17
De 1? 00:32:18
Él está 00:32:21
Otra cosa 00:32:21
Chavales 00:32:22
Esto es 00:32:23
terapio, ¿vale? 00:32:24
Venga, vámonos. 00:32:26
Menos uno al cuadrado 00:32:29
entre cuatro, menos dos 00:32:30
por uno, ¿vale? 00:32:32
Y entonces, chavales, ¿esto a qué es igual? 00:32:34
Esto es igual 00:32:37
a e al cuadrado en medios, 00:32:38
¿verdad? 00:32:41
Más dos e, menos e 00:32:42
al cuadrado cuarto, menos 00:32:44
dos e, oh, esto es 00:32:46
orgánico, ¿no? Porque se van. 00:32:48
Como tú. 00:32:51
Y entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:32:52
¿Qué es esto? ¿Cuánto da, chavales? 00:32:54
Más un cuarto, digamos, más dos. 00:32:57
Bueno, si te invitan. 00:33:04
Venga, ¿y esto cuánto es E al cuadrado medio? 00:33:07
Menos E al cuadrado cuarto, ¿cuánto es, chavales? 00:33:10
E al cuadrado cuarto más nueve cuartos, ¿no? 00:33:16
entonces esto es 00:33:21
cuadrado más nueve 00:33:22
cuartos 00:33:24
¿es un área? ¿me hablan de área? 00:33:25
no, ¿tengo que poner unidades cuadradas? 00:33:29
¿lo veis difícil? 00:33:32
¿sí? 00:33:36
¿verídico? 00:33:38
ostia el Hugo, luego de un sueño 00:33:39
Hugo, ¿qué te pasa criaturita? 00:33:41
¿no has dormido hasta no sé? 00:33:42
no, cuando tenéis el examen 00:33:43
de psicología este, de filosofía 00:33:45
¿y hoy de qué era? 00:33:47
y lo tenéis ahora a última hora 00:33:49
y bien o no 00:33:52
así está Lugo, ¿no? 00:33:56
pues de matemáticas 00:33:58
¿y qué te quejas? 00:34:04
¡porrión! 00:34:05
tiene whatsapp 00:34:07
entonces chavales, estos ejercicios 00:34:08
no son complicados 00:34:10
¿vale? entonces 00:34:12
lo único que al tener una 00:34:14
una integral definida 00:34:16
tenemos que hacer la integral 00:34:19
indefinida 00:34:21
luego lo que aplicamos es la regla de Barrow 00:34:22
¿vale? 00:34:25
lo que tenemos que hacer es sustituir 00:34:26
la X 00:34:29
primero por el límite, siempre es 00:34:30
el límite de arriba menos el límite de abajo 00:34:32
¿vale chavales? 00:34:35
¿sí? fácil, sencillo 00:34:36
ole 00:34:39
venga chavales 00:34:40
esta es la constanza 00:34:42
se acordó de todo su regla de Semana Santa 00:34:44
mira fijaros chavales 00:34:46
este ejercicio me interesa mucho porque 00:34:48
es muy completo 00:34:50
y este fue de Pau 00:34:51
hace dos años 00:34:53
no sé por qué 00:34:55
pone el 25 porque es un golosón 00:34:58
pero bueno 00:35:00
fijarse 00:35:01
la función 00:35:03
es una función 00:35:06
donde hay muchos pi 00:35:08
hicimos 00:35:10
un apartado 00:35:12
y luego tenemos 00:35:13
una cosilla que g de x 00:35:16
es f de menos x 00:35:18
¿vale? y entonces nos piden hallar 00:35:20
el área entre las dos 00:35:22
y aquí sí que me dicen 00:35:24
el intervalo entre 0 y pi 00:35:26
¿vale? entre 0 y pi, entonces 00:35:28
¿qué ocurre con mi f de x? 00:35:30
mi f de x es 00:35:32
fijarse que bueno, ustedes veis 00:35:34
un pi ahí, los acojonáis 00:35:36
pero es que es muy sencillo 00:35:38
muy sencillo 00:35:40
además pasa una cosilla chavales 00:35:41
¿qué ocurre siempre con el pi 00:35:44
y el de este? 00:35:47
que al final es 4 00:35:49
¿lo veis? los exponentes son 4 00:35:51
y me dicen 00:35:53
g de x es igual a 00:35:54
m, wow, eso me lo he inventado 00:35:57
es f de menos x 00:36:00
¿y qué ocurre 00:36:02
cuando tú tienes 00:36:03
una base negativa 00:36:04
con un exponente par 00:36:07
que se queda como si fuese la base 00:36:09
ole 00:36:11
¿cuánto sería? 00:36:12
sí, sí, sí, la Real Semana Santa 00:36:17
la estaba anunciando, venga, ¿o no? 00:36:19
una saquita 00:36:21
venga, ¿esto qué sería, chavales? 00:36:22
todo el mundo ve que g de x 00:36:26
es x a la cuarta 00:36:27
menos pi x 00:36:29
al cubo más 00:36:31
pi cuadrado x al cuadrado 00:36:33
menos pi al cubo 00:36:36
x más pi 00:36:38
a la cuarta, porque únicamente 00:36:39
me afecta a los exponentes impares 00:36:41
¿y ahora qué hago yo con esto? 00:36:43
¿y ahora qué hago yo con este hombre? 00:36:53
entonces chavales 00:36:55
si yo hago ahora 00:36:56
la integral entre 0 y pi 00:36:58
de f de x 00:37:01
menos g de x 00:37:03
yo sé realmente 00:37:04
quién queda por arriba o quién queda por abajo 00:37:06
I don't know, I know from here 00:37:09
entonces, ¿qué ocurre? 00:37:11
Que si yo lo bueno de esto, que si yo hago f de x menos g de x, fijaros, ¿qué me queda? 00:37:12
x a la cuarta se va, el x al cuadrado hasta luego, los pi a la cuarta, decimos, venga. 00:37:21
¿Vale? Entonces, ¿qué es lo que me queda realmente? 00:37:29
2 pi x al cubo más 2 pi cubo x. 00:37:31
¿Sí o no? 00:37:37
Y esto aquí es igual, chavales, a 2pi, 2pi, esto es x cuadrado más 1, ¿vale? 00:37:37
Pero vamos, aquí me interesa únicamente sacar factor común 2pi, ¿vale? 00:37:48
x al cubo más x, y esto es lo que voy a integrar, ¿vale? 00:37:54
Esto es lo que voy a integrar. 00:37:59
Dime, hija, dime, dime. 00:38:03
¡Onda! 00:38:09
Un mojón para mí, efectivamente, muy bien 00:38:13
Tened cuidado 00:38:15
Ahora, me voy luego 00:38:16
Yo ese me lo pondría, pero me voy luego, ¿vale? 00:38:24
Entonces 2pi, esto sería x al cubo 00:38:27
Y esto sería pi cuadrado x 00:38:29
Ahora sí, ¿no, guía? 00:38:33
Gracias, madre 00:38:35
Tened mucho cuidado porque es un fallo común 00:38:36
entonces yo hago aquí mi integral 00:38:40
entre 0 y pi 00:38:43
de 2pi que lo puedo sacar fuera 00:38:44
y x al cubo más 00:38:47
pi cuadrado x diferencial de x 00:38:49
¿verdad? ¿y qué es lo que ocurre 00:38:51
chavales? que esto es inmediato ¿no? 00:38:53
¿cuál es la integral de x 00:38:57
al cubo María? 00:38:59
venga 00:39:07
ella está en Canarias 00:39:07
ella está con una hora menos 00:39:10
venga ¿y qué más María? 00:39:11
la de x 00:39:13
La de X 00:39:14
Muy bien, muy bien 00:39:17
Estás mi chica 00:39:19
¿Vale, chavales? 00:39:20
¿Sí o no? 00:39:25
¿Y entonces qué es lo que ocurre, chavales? 00:39:27
Pues que yo aquí 00:39:30
Estoy haciendo mi barro 00:39:31
Y el cero aquí es orgánico 00:39:33
¿No? 00:39:45
¿Cuánto sale? 00:39:46
Un cero 00:39:48
¿Vale? 00:39:49
Entonces esto que es 2pi 00:39:51
Cuarto 00:39:53
Esto es 00:39:54
Pi cuarta a la cuarta 00:39:56
Más pi cuarta 00:39:59
A medio 00:40:01
¿Y esto cuánto es, chavales? 00:40:02
Un cuarto más un medio 00:40:08
¿Cuánto es? 00:40:09
Tres cuartos 00:40:13
Correón, tres cuartos 00:40:14
¡Oh, tía! 00:40:16
Dos pi quintas 00:40:20
Por tres entre cuatro 00:40:22
¿Y esto qué sería, chavales? 00:40:26
Esto sería 00:40:29
3 pi quinta medio, ¿no? 00:40:30
Unidades cuadradas. 00:40:35
¿Vale? 00:40:39
Chavales, aquí lo que no hemos mirado 00:40:59
es si se cortan. 00:41:01
Pero se cortan justo en cero y en pi. 00:41:04
Se cortan justo en cero y en pi. 00:41:08
¿Lo veis? 00:41:11
Es que es falso el tío. 00:41:12
Chavales, si yo 00:41:14
los igualo, 00:41:16
Esta aquí se me ha ido un poco la olla, pero es que justo se cortan en cero y en pi. Si yo los igualo, f de x lo igualo a g de x, precisamente, chavales, lo que me queda es esto, ¿lo veis? Lo que me queda es que 2pi por x al cubo más pi cuadrado x es igual a cero, ¿vale? 00:41:18
si yo saco aquí factor común 00:41:41
la x más, sería aquí x cuadrado 00:41:43
más pi al cuadrado 00:41:46
igual a cero 00:41:48
entonces me sale 00:41:50
esto es un más, si no 00:41:51
se me va el otro, se me va 00:41:53
se me va 00:41:58
y se me va 00:41:59
ese amor que está amasando 00:42:01
con mis manos se me van 00:42:05
ole 00:42:09
chavales, aquí hay algo mal 00:42:09
¿no? 00:42:13
y se me va 00:42:14
vale, vámonos 00:42:21
aquí me sale, pero es que aquí no me sale 00:42:24
ningún punto de corte más, ¿no? 00:42:26
bueno, el único punto de corte es x igual a 0 00:42:29
¿vale? y como me dicen entre 0 y pi 00:42:32
pues no tengo que hacer más nada 00:42:34
¿vale? 00:42:36
dime 00:42:37
porque x cuadrado más pi al cuadrado 00:42:37
nunca es 0 00:42:42
un número al cuadrado, si yo le sumo 00:42:42
otro número al cuadrado 00:42:46
¿Otro número? ¿Me vas a hacer alguna vez? 00:42:47
Never 00:42:51
Dime 00:42:51
Sí, porque X a la cuarta 00:42:52
Por pi 00:43:00
Ah, tres quintos 00:43:00
Sí, sí, sí 00:43:06
¿Vale? 00:43:07
Sí, sí, sí 00:43:17
Aquí yo creo que he hecho al revés. 00:43:19
Era un 2 abajo, ¿no? 00:43:21
Lo he hecho al revés. 00:43:22
La dislexia, la dislexia. 00:43:23
Esto es 3 pi quinto medio, ¿vale? 00:43:26
No he dado ni una, ¿eh? 00:43:30
3 pi quinto medio, ¿vale? 00:43:32
Que se me ha ido la olla. 00:43:34
¿Vale? 00:43:36
Venga. 00:43:37
Venga, chicos. 00:43:39
Silencio. 00:43:40
Volumen de revolución. 00:43:40
¿Acordáis de la fórmula? 00:43:41
¿Volumen de revolución o no? 00:43:44
No. 00:43:46
Pues pi por la integral de la función al cuadrado, ¿vale? 00:43:46
Aquí no hace falta valor absoluto. 00:43:54
¿Por qué no hace falta valor absoluto? 00:43:56
Porque está cuadrado. 00:43:58
Mar gimnasio. 00:44:01
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:44:03
Yo tengo esta función de aquí, ¿vale? 00:44:05
Y me dicen en el eje o x, ¿cuáles son mis límites de integración? 00:44:08
Esto es una fórmula, ¿eh? 00:44:14
Esta hay que saberse. 00:44:15
Fórmula. Definición. Definición de volumen de revolución. ¿Vale? Entonces, chavales, ¿cómo creéis si me piden el volumen de revolución de esta gráfica sobre el eje OX? 00:44:16
como hallo yo los límites de integración, ¿vale? 00:44:38
Igualando a 0, ¿vale? 00:44:42
Entonces, ¿qué hago? 00:44:44
f de x es 9 menos x al cuadrado. 00:44:46
Yo lo igualo a 0. 00:44:49
¿Y qué me sale? 00:44:51
Que x es igual a 3 y x es igual a menos 3, ¿verdad? 00:44:52
Pues entonces el volumen es igual a pi, ¿de acuerdo? 00:44:57
Entre menos 3 y 3 de 9 menos x al cuadrado. 00:45:02
¿Vale? 00:45:08
Pero esta función es par, ¿verdad? 00:45:11
Esta función es par. 00:45:14
¿Sí? 00:45:16
Porque me lo dicen aquí. 00:45:18
Sí, es verdad. 00:45:22
Esto tienes que elevar al cuadrado. 00:45:25
¿Qué? 00:45:27
Es que el volumen de revolución que veis ustedes es, 00:45:30
si tú lo que haces es esta función, le das la vuelta sobre el eje X. 00:45:33
Porque también nos pueden pedir sobre el eje OI, pero eso ya es de carrera, ¿vale? 00:45:36
Y estos chavales serían 2pi entre 0 y 3 de 9 menos x cuadrado al cuadrado. 00:45:41
Y entonces, ¿cómo se hace esta integral, chavales? 00:45:50
¿Cómo se hace esta integral? 00:45:53
Esta de aquí. 00:45:55
¿Cambio de variable o qué haría yo aquí? 00:45:58
Mucho más fácil. 00:46:01
¿Qué más fácil aquí? 00:46:06
Identidad notable, ¿vale? 00:46:09
Esto es 81, esto es menos 18x cuadrado, ¿no? 00:46:13
Más x a la cuarta, si no me he equivocado, ¿vale? 00:46:20
Y entonces esto ya es inmediata. 00:46:25
Chavales, con esto terminamos. 00:46:28
Me hubiera gustado hacer más ejercicio. 00:46:30
Voy a subir esto. 00:46:32
Me gustaría... 00:46:33
No, ahora voy, ahora voy. 00:46:34
Que estos dos de aquí lo hicierais ustedes, ¿vale? 00:46:35
Gracias. 00:46:39
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Idioma/s:
es
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es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
8 de abril de 2026 - 9:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
46′ 48″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
84.27 MBytes

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