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EvAU Matemáticas II 2017 Junio B 3 Geometría - Contenido educativo

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Subido el 13 de marzo de 2018 por Pablo Jesus T.

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Vamos a resolver hoy un ejercicio de la EBAU de Matemáticas 2 de Madrid del año 2017, convocatoria de junio, modelo B, ejercicio 3. 00:00:03
Es un ejercicio de geometría donde hay que determinar la distancia entre dos rectas que se cruzan, una en forma continua y otra en forma de corte de dos planos, 00:00:17
y que nos va a servir para explicar también la teoría de este ejercicio 00:00:26
lo primero que hago es en la recta en forma continua sacar un punto como puede ser el 0,0,0 00:00:33
y un vector director que sería el 1,1,1 00:00:40
entonces pinto la recta con ese punto y ese vector y ya la tengo aquí 00:00:43
Ahora voy a representar la otra recta que tiene dos planos que se cortan. 00:00:50
Pues lo que voy a hacer es sacar los vectores normales 1, 1, 0 y 1, 0, menos 1 00:00:59
y hacer su producto vectorial para conseguir el vector director de la segunda recta, de la recta azul. 00:01:06
Que sale menos 1, 1, menos 1. 00:01:16
Por supuesto, podría coger cualquier otro vector proporcional 00:01:18
Es decir, 1 menos 1 es 1 00:01:24
O 7 menos 7 es 7 00:01:26
Bueno, para hallar el punto 00:01:29
Pues lo que tenemos que hacer es coger uno de los infinitos puntos 00:01:32
Que es la intersección de los dos planos 00:01:35
Por ejemplo, tomo la x0 00:01:37
Y me queda este sistema, muy sencillito 00:01:39
De soluciones 1 y 1 00:01:44
he aprovechado que si daba un valor a la x 00:01:46
aquí solo quedaba y y aquí solo quedaba z 00:01:50
con lo cual era mucho más sencillo 00:01:52
así que el punto es el 0,1,1 00:01:55
pues con el 0,1,1 y con el menos 1,1, menos 1 00:01:57
que nos salió del producto vectorial 00:02:00
tenemos la recta roja 00:02:02
nos piden la distancia 00:02:03
yo se la he preguntado a GeoGebra 00:02:06
y ya me ha dicho que es 0,71 00:02:07
luego veremos si nos da lo mismo o no 00:02:10
esperemos que sí, ¿verdad? 00:02:13
si yo pongo las dos rectas en un punto de vista que parezcan paralelas 00:02:14
se entiende perfectamente cuál es la distancia entre ellas 00:02:20
o si la pongo que una de ellas parezca un punto 00:02:25
pues también puedo hacerla con la azul o puedo hacerla con la roja 00:02:28
la distancia sería en perpendicular al azul 00:02:33
la distancia que pase o que llegue hasta la recta roja 00:02:37
¿De acuerdo? ¿Cómo se calcula la distancia entre dos rectas que se cruzan? 00:02:42
Bueno, pues lo que vamos a hacer es utilizar la fórmula conocida de módulo del producto mixto de los vectores P, Q, U y V. 00:02:50
Ahora diremos P es el punto de R1 y U es su vector director, Q es el punto de R2 y V es su vector director, dividido por el módulo del producto vectorial de U por V. 00:03:02
Para eso lo que tenemos que hacer es primero el producto mixto, el vector PQ le vemos aquí claramente, 0, 1, 1, el vector U, el vector V, hacéis este determinante, sabéis hacerlo muy bien, y os dará 2. 00:03:14
Ahora vamos con el denominador, pues hacemos el producto vectorial de u por v, me queda menos 2i más 2k, es decir, menos 2, 0, 2, y haciéndolo por Pitágoras, el módulo de un vector, da raíz de 8 o 2 raíz de 2, que he dividido el numerador 2 entre el denominador 2 raíz de 2, pues queda 1 partido raíz de 2, 00:03:32
o en decimal 0,71, que recordáis todos que era lo que nos había dicho GeoGebra. 00:03:58
Muy bien, en general la gente se queda aquí, en la distancia entre los rectas que se cruzan, 00:04:06
esta fórmula, lo has puesto en el examen de la EBAU y ya tienes un punto. 00:04:11
Pero nosotros vamos a intentar entender esta fórmula. 00:04:17
El producto mixto en realidad lo que nos da es el volumen del paralel epípedo formado por las dos rectas 00:04:21
Mirar que la recta azul está sobre una de las aristas, la recta roja está sobre otra de las aristas 00:04:32
Y el vector PQ es la tercera arista 00:04:37
Vale, entonces tengo un paralelepípedo y aquí está un poco por debajo, pero bueno, se ve que esta es la base del paralelepípedo, que estaría formada por la recta roja y azul, las aristas de la recta roja y de la recta azul. 00:04:41
Entonces, lógicamente, si yo divido el volumen del paralelepípedo, módulo del producto mixto, entre el área de la base, módulo del producto vectorial, pues me va a quedar la altura del paralelepípedo. 00:05:00
Es como en el romboide, es el área entre la base me daría la altura siempre en perpendicular. Así que esta es la explicación de por qué esta es la fórmula de la distancia entre dos rectas que se cruzan. 00:05:15
¿De acuerdo? Un concepto simplemente para que lo recordéis. 00:05:29
Otra manera de hacerlo, y me va a servir este ejercicio para ello, es calcular la recta que es perpendicular a la roja y a la azul y las corta. 00:05:36
Entonces, teniendo los dos puntos de corte de esa recta perpendicular, podría calcular también la distancia entre la recta roja y la recta azul, ¿de acuerdo? 00:05:48
Para ello, por lo que vamos a hacer, aquí la tenéis, ahora explicamos cómo la hemos sacado, se ve perfectamente aquí que es perpendicular y que por tanto nos va a dar la altura del paraepípedo o en otras palabras la distancia entre las dos rectas. 00:06:00
¿De acuerdo? Vamos a ver cómo lo hemos calculado. Pues con nuestro cuadernito haríamos la ecuación de, la vamos a dar esa recta negra como corte de dos planos. 00:06:20
El primer plano va a ser un vector que tiene un punto que es el punto P, vamos a ver dónde está nuestra recta, el punto P, 0, 0, 0, por eso pongo X y Z, un plano, o sea, un vector director que es el 1, 1, 1, también de R1, 00:06:34
Y el segundo vector, vamos a llamarle W, es el resultado de hacer el producto vectorial de Y por V, pero que en este caso ya lo tenemos hecho. Aquí le tenemos, menos 2, 0, 2, con lo cual es el tercer vector o la tercera línea que tengo que poner en ese determinante. 00:06:55
determinante. Como todos sabéis de la ecuación de un plano en forma de determinante con un punto 00:07:16
y dos vectores, pues lo igualo a cero y me sale este plano. 2x menos 4y más 2z igual a cero, que 00:07:22
puedo simplificar, por supuesto, a x menos 2y más z igual a cero. Si ahora yo repito lo mismo, pero 00:07:29
con el punto Q, 0, 1, 1, el vector V, menos 1, 1, menos 1, y el vector W del que hemos 00:07:36
hablado antes, pues me sale esta matriz cuyo determinante igual a cero me da el plano X 00:07:47
más 2Y más Z menos 3 igual a cero, si ya simplifico. Entonces, si yo, vais a ver, pinto 00:07:55
esos dos planos, que son E y F, pues ahí está que la intersección de esos dos planos 00:08:03
que acabo de decir nos proporciona la recta que une perpendicularmente las dos rectas 00:08:14
azul y roja y por tanto nos servirá para calcular la distancia entre ellas. Vamos a 00:08:22
ver lo que voy a hacer ahora es los puntos de corte que son de y aquí lo veis todavía mejor 00:08:31
los puntos de corte de y de acuerdo y ahora si hago la distancia entre esos dos puntos de corte 00:08:38
pues me vuelve a dar 0 71 por cierto como hemos hecho los puntos de corte que esto también me 00:08:47
sirve para aprenderlo en papel. Bueno, pues lo que yo hago, primero, por cierto, he pasado 00:08:54
la recta negra paramétrica, cogiendo un punto, que sería el 0, 3 cuartos, 3 medios, y un 00:09:04
vector que sería el del producto vectorial de estos dos vectores de u y de vamos de los dos 00:09:16
planos que hemos hecho y eso pues me arroja la recta esta negra esto es lo que estábamos diciendo 00:09:29
nos perdáis perdonar 0 3 cuartos 3 medios que es el punto y el vector director es 1 0 menos 1 que 00:09:35
Y como os he dicho, sale de hacer el producto vectorial de las dos ecuaciones de los dos planos. 00:09:45
1 menos 2, 1, por 1, 2, 1. 00:09:53
Vale. Por supuesto, no hace falta que os diga que 1, 0, menos 1 es el vector W. 00:09:58
Lo único que le he dividido por menos 2. 00:10:05
Bueno, ya tengo la recta R3. ¿Cómo hallo los cortes? 00:10:08
Bueno, pues tendría que hacer el corte entre R1 y R3 00:10:12
¿Cómo se hace el corte entre R1 y R3? 00:10:15
Aunque aquí pone lambda, lambda y lambda 00:10:17
Para hacer el corte entre dos rectas en cualquier ejercicio en particular 00:10:20
Debéis coger lambda, mu y sigma 00:10:23
Es decir, tres parámetros diferentes 00:10:26
O abc o trs 00:10:28
Lo de menos son las letras, evidentemente 00:10:30
Entonces, para hacer el corte entre R1 y R3 00:10:33
Pues igualo la coordenada x, la coordenada y y la coordenada z 00:10:35
Eso lo he hecho aquí 00:10:39
he igualado la coordenada x de r1 y r3 00:10:41
de la coordenada y y la coordenada z 00:10:45
que me sale aquí 00:10:48
lo resuelvo y me dice que esto tiene solución 00:10:50
es decir, se cortan, solo faltaba 00:10:53
y para lambda tres cuartos 00:10:55
con lo cual, si ahora en lambda meto tres cuartos 00:10:58
me sale que el punto tres cuartos, tres cuartos, tres cuartos 00:11:00
es uno de los puntos de corte 00:11:03
si lo buscamos, qué casualidad 00:11:05
el d es tres cuartos, tres cuartos, tres cuartos 00:11:07
el punto d 00:11:10
Si ahora lo repito entre r2 y r3, igualo también la coordenada x de r2 de r3, la coordenada y de r2 de r3 y la coordenada z de r2 de r3, lo resuelvo, me sale mu menos un cuarto, que me llevaría, perdonad, a, este sería la mu, 0 menos 1, 0 menos un cuarto, menos un cuarto, 00:11:11
1 más 1 cuarto 00:11:40
que muera menos 1 cuarto 00:11:43
perdón, entonces sería 1 cuarto la x 00:11:45
1 menos 1 cuarto 00:11:47
3 cuartos 00:11:49
y 1 más 1 cuarto 00:11:50
5 cuartos 00:11:52
es decir, 1 cuarto 00:11:53
3 cuartos, 5 cuartos 00:11:56
vamos a ver si es verdad 00:11:58
y el punto es 1 cuarto, 3 cuartos, 5 cuartos 00:11:58
muy bien 00:12:02
si ahora hallo el segmento 00:12:03
y la distancia pues me da 00:12:06
como os decía el 0,71 00:12:07
hay uno que equivale con lo que me dijo geogebra y con lo que allí bueno simplemente para que veáis 00:12:09
otro tipo de ejercicio otra manera de hacerlo y sobre todo un ejercicio que cae también mucho en 00:12:17
la bau que es calcular la recta perpendicular a dos rectas que se cruzan vale bueno pues ya 00:12:22
hemos terminado el apartado 1 completamente para pasar al apartado 2 pues no tiene nada que ver 00:12:29
con el 1, nos dan una recta S, la vamos a pintar, esta es la recta S, la vamos a ver 00:12:37
aquí, 0, 2, 1, porque está en forma continua, cuidado porque aquí hay una trampa y el segundo 00:12:43
término de la forma continua de la recta tiene la coordenada i negativa, lo cual como 00:12:52
sabéis no puede ser, así que lo que hago es darle la vuelta, multiplicarlo por menos 00:12:58
1 sería y menos 2 partido por menos 1 eso me hace que ver que claramente el punto es el 0 2 1 y el 00:13:05
vector director el 1 menos 1 1 así que en realidad está la recta rosa cuidado con la trampa vale que 00:13:13
no es normal que nos la pongan pero aquí nos la han puesto ahora quiero un plano perpendicular 00:13:22
que pasa por el origen pues con 1 menos 1 1 yo sé que el plano tiene que ser x menos y más z 00:13:27
Lo vamos a pintar, este plano rosa es x menos y más z, aquí están mis planos, x menos y más z igual a 0, porque tiene que pasar por el 0, 0, 0. 00:13:34
Esto lo hemos podido construir con las coordenadas del vector director de la recta multiplicado por x menos un punto por el que pasara, 00:13:48
Como pasa por el 0, 0, 0, pues por X, Y, Z. 00:13:58
Y ya lo tengo, el plano perpendicular que me hablan aquí, que pasa por el origen y la recta. 00:14:02
¿Cómo se obtiene el punto de corte? 00:14:09
Bueno, pues ya sabéis que lo que hay que hacer para obtener el punto de corte es coger la recta en forma paramétrica y sustituirla por la X, la Y y la Z del plano. 00:14:11
esta recta en forma paramétrica 00:14:20
lambda, 2 menos lambda 00:14:22
1 más lambda 00:14:24
se mete en el plano 00:14:26
me queda esta ecuación 00:14:29
se resuelve, queda lambda a un tercio 00:14:32
y si ya en esta recta 00:14:37
meto lambda a un tercio 00:14:40
me queda 0 más un tercio 00:14:41
2 menos un tercio 00:14:44
5 tercios 00:14:46
y 1 más 1 tercio, 4 tercios 00:14:47
o sea que hemos dicho que es 1 tercio, 5 tercios, 4 tercios 00:14:51
el punto Z que buscamos 00:14:56
1 tercio, 5 tercios, 4 tercios 00:14:58
el punto Z que buscamos 00:15:01
y ya tenemos el otro punto del ejercicio de la EBAU 00:15:04
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
262
Fecha:
13 de marzo de 2018 - 21:05
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
15′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
55.12 MBytes

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