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CLASE CCFF 17 DE MARZO - Contenido educativo

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Subido el 17 de marzo de 2026 por M.jose S.

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Bueno, seguimos haciendo los ejercicios sobre rectas y vamos a hacer el ejercicio número 6 00:00:00
en que nos dan una recta en forma continua y nos dicen dos cosas. 00:00:05
Una, que la expresemos en todas las formas posibles, es decir, hay que sacar un punto de esa recta 00:00:29
y su vector-director y ponerla en todas las formas posibles y luego que hayamos un punto cuya coordenada sea menos 4. 00:00:42
¿De acuerdo? 00:00:51
¿Cómo era ayer? 00:00:53
Ayer nos obligaban, ayer tuvimos dos casos, uno, que nos obligaban a que una determinada coordenada tuviese un valor 00:00:55
y la otra es que la suma de las coordenadas fuese en 2. 00:01:01
Al ponerlo ya a la suma de las coordenadas tuvimos que hacer un sistema de tres ecuaciones, 00:01:04
Pero si solamente te piden que una de las coordenadas sea un número determinado, pues pones ese número y ya está. 00:01:08
Ojo con una cosa, esta ecuación no está en forma continua exactamente, acordaros que para la forma continua tendría que ser x menos un número y aquí tendría que ser y menos un número y aquí z menos un número. 00:01:15
Ojo con eso, ¿eh? Acordaros que la forma, la, la, es decir, tiene que haber una x menos, aquí no hay una x menos, hay un 2x menos 1, una de dos, o pasáis esta, pasáis esta a la forma, a la forma, a las, lo diré, a las cartesianas, 00:01:32
a la forma cartesiana 00:02:00
y luego ya sacáis el vector 00:02:02
y el otro o 00:02:05
manipuláis esto para que 00:02:06
os quede así 00:02:09
¿de acuerdo? 00:02:09
yo os aconsejo de esta 00:02:22
pasar a las cartesianas 00:02:23
y una vez que tengáis las cartesianas 00:02:27
sacáis todo, sacáis todas las demás 00:02:29
¿vale? 00:02:31
esa es la cartesiana 00:02:33
y ahí ya todas las demás. 00:02:36
¿Cómo, cómo, cómo? 00:02:49
Pero tú ahí, tú ahí, es lo que yo os decía. 00:02:50
A ver, si en otros ejercicios que hemos hecho, 00:02:53
ese que tú estás mirando ahí, 00:02:57
nos daban la ecuación directamente en forma continua, 00:02:59
pero aquí no. 00:03:03
Este es un poquito más enrevesado, 00:03:04
Porque como veréis, para que esto sea la forma continua y entonces este es el vector y este es el punto, tiene que estar así, x menos un número, y menos un número y z menos un número y aquí no está así. 00:03:07
entonces por eso os decía yo que tenéis dos posibilidades 00:03:21
o manejar esto 00:03:25
para convertirlo en esto 00:03:26
que es una posibilidad 00:03:28
o pasar estas 00:03:29
a implícita 00:03:32
esta con esta y esta con esta 00:03:34
y ya empezáis a trabajar con la implícita 00:03:36
y sacáis todo lo demás 00:03:39
si a ti te lo dan así 00:03:40
tú puedes sacar las implícitas directamente 00:03:47
primera con segunda y primera con tercera 00:03:48
y las sacas, y entonces ya te olvidas de todo esto 00:03:50
y empiezas a trabajar con las ciertas 00:03:53
tenéis que ver eso, que aunque 00:03:55
aparentemente esa es una 00:03:57
ecuación continua, no es 00:03:59
exactamente continua, porque como veis 00:04:01
no está, para que se haga la continua 00:04:03
tiene que estar x menos un número 00:04:05
y menos un número y z 00:04:07
ayer hicimos muchos ejercicios 00:04:08
algunos ejercicios de estos, si esto 00:04:14
lo pasas a las implícitas 00:04:17
te olvidas de esto y ya es un ejercicio 00:04:18
como los que hacíamos ayer que te daban 00:04:21
directamente las dos, ayer hicimos ejercicios 00:04:22
en que te daban las paramétricas 00:04:25
otras que te daban la implícita 00:04:27
te dan la implícita, acordaros como sacábamos el vector 00:04:28
de dirección, como sacábamos un punto 00:04:31
y tirábamos para abajo 00:04:32
fijaros, esto es lo que yo os digo 00:04:34
si me dan la ecuación de esta red 00:05:07
yo la puedo pasar a las implícitas 00:05:11
haciendo esta con esta y esta con esta 00:05:13
eso siempre lo puedo hacer 00:05:15
y ahora ya, si queréis, ahora os digo la otra manera 00:05:16
de hacerlo, pero si queréis 00:05:19
ya os olvidéis de esto y empezáis a 00:05:21
trabajar con las ecuaciones de esta 00:05:23
recta, acordaros que para 00:05:25
sacar un punto de esta recta le doy un valor 00:05:27
a la x y de ahí saco 00:05:29
la y y con la y 00:05:31
saco la z, eso un punto 00:05:33
y para sacar el vector acordaros que 00:05:35
había que sacar 00:05:38
esto lo hicimos ayer, hicimos varios ejercicios en que nos daban las rectas implícitas 00:05:40
y nos tenía sacar todas las demás, entonces para sacar aquí un punto y un vector 00:05:47
pues es IJK y luego tenemos que poner el 4, 1, 0 y aquí 0, menos 1, menos 6 00:05:54
que es las x, las y, las z, las x, las y, las z, de la segunda, ¿de acuerdo? 00:06:05
Pues ahora sacáis un punto y el vector y ya podéis sacar todas las... 00:06:10
Para sacar el vector director de una recta que te la dan con las ecuaciones implícitas o cartesianas, 00:06:14
pues tenemos dos maneras de hacerlo. 00:06:23
Una es sacamos dos puntos, cogemos un punto y hacemos el vector y lo sacamos. 00:06:25
O si quieres sacar directamente el vector lo puedes hacer con este determinante IJK 00:06:31
y aquí las X, las Y y las Z, X, Y y Z. 00:06:37
Aquí las X, las Y y las Z, X0, Y-1 y Z-6. 00:06:41
Pero de todo, si la cambias tiene que ser de todo. 00:06:46
Y poner en vez de que te quede negativo, que te quede Y más 6Z menos 3. 00:06:50
Lo hago, lo hago, lo hago. 00:06:57
Venga, lo voy a hacer. A ver, me dan esto y entonces yo así cuando lo veo a primera vista digo, ah, pues es la ecuación continua de la recta, pero, ¿qué te ha parado? Porque me doy cuenta, os tenéis que dar cuenta de que parece la ecuación continua, la ecuación continua no es así, la ecuación continua tiene que ser x menos un número y menos un número z menos un número, cosa que no tengo ahí arriba. 00:07:01
Luego yo aquí tengo dos posibilidades, la primera posibilidad porque me piden todas las expresiones de la recta, la vectorial, la paramétrica, la continua y la simplícita. 00:07:26
Yo tengo dos maneras, una es esta, de aquí saco las implícitas, saco la ecuación implícita de la recta y entonces ya tengo la implícita. 00:07:43
Y entonces de aquí, ahora ya me olvido de esto, que es lo que os digo, bueno, pues para mí el problema se limita a sacar todas las ecuaciones cuando me dan la implícita. 00:07:51
Cuando me dan esta, que ya lo hicimos ayer varias veces. 00:08:02
Tengo que encontrar, como siempre, siempre, siempre, no puedo perder de vista que si estoy trabajando con rectas, necesito un punto y su vector director. 00:08:04
Tengo que encontrar la manera de sacarlo de alguna forma, entonces si me dan esto yo tengo dos maneras de hacerlo, yo puedo sacar dos puntos y saco un punto del vector director y ya lo tengo o como hacíamos ayer saco un punto y el vector director con este determinante. 00:08:13
Si saco un punto de aquí, por ejemplo, x, le doy un valor a la x, x1 y entonces voy aquí y entonces de aquí sale que esto es 17 menos 4 que son 13 quintos. 00:08:30
Y con trece quintos me voy aquí y entonces tengo menos trece quintos, que son dos quintos, que son menos dos quintos, menos dos quintos entre menos seis agos, menos un quince agos. 00:08:52
El z creo que es un quince agos. 00:09:11
Si alguien me lo mete en la calculadora, así de cabeza. 00:09:15
Vamos a ver, este son 17, 4 menos 4 son 13, 13 quintos, eso está bien, y entonces ahora mete 13 quintos, claro, si le doy 3 a la X sale 5 y sale 1, sí, lleva razón vuestro compañero. 00:09:18
ese ya es cuando estáis acostumbrados 00:09:34
es lo que yo os decía el otro día 00:09:37
si tenéis más costumbre 00:09:39
en vez de coger un número al azar 00:09:41
intentar coger números que al operar 00:09:43
no salen 00:09:45
entonces él dice que si yo a la x 00:09:46
le doy un 3 00:09:49
si yo a la x 00:09:50
le doy un 3 00:09:52
que es lo que pasa que aquí es 12 00:09:55
17 menos 12 son 5 00:09:57
la y es 1 00:09:59
y si aquí la y es 1 00:09:59
entonces tengo 00:10:02
menos 1 que son 2, 2, 2, menos 2, bueno, me sale un tercio, ¿no?, me sale un tercio, ¿vale?, bueno, tengo un punto, ¿de acuerdo?, ya está, 00:10:03
Tengo el punto 3, 1, 1 tercio y ahora de aquí saco el vector, el vector es menos 6i menos 4k, esto es 0, esto es 0 y esto es más 24j. 00:10:20
O sea que yo, este vector es el vector menos 6, 24, menos 4 00:10:43
Este es mi punto y este es mi vector 00:10:51
Y ahora ya saco todas las demás 00:10:55
¿De acuerdo? 00:10:58
Saco la vectorial 00:11:01
¿Dónde está? ¿Cuál? 00:11:06
No, este es menos 6 y... 00:11:09
Ah, que es un 5, es verdad, llevas razón, llevas razón, que esto es un 5, un 5, vale, pues si esto es un 5 en vez de 6 son 30, 00:11:11
Esto son menos 30 y 00:11:24
Luego esto es menos 30 00:11:30
Esto es menos 30 00:11:35
30 menos 4, esto es 0, esto es 0 00:11:41
Y esto es más 24, vale 00:11:46
Vale, bueno, pues entonces 00:11:47
Si ahora monto la vectorial 00:11:50
La vectorial será x y z 00:11:52
igual al punto que es el 3, 1, 1 tercio 00:11:55
más t por menos 30 00:12:02
24 y menos 4 00:12:07
esa es la vectorial 00:12:12
las paramétricas 00:12:15
x es igual a 3 menos 30t 00:12:17
y es igual a 1 más 24t 00:12:20
y z es igual a 1 tercio menos 4t 00:12:24
y la continua haciéndolo con esto sería 00:12:31
x menos 3 partido por menos 30 00:12:35
igual a y menos 1 partido por 24 00:12:39
igual a z menos 1 tercio partido por menos 4 00:12:45
¿de acuerdo? 00:12:51
Esa es una manera. Otra manera sería, si yo cojo esto, si yo cojo lo que me dan, que era 2x menos 1 partido por 5 igual a 3 menos 5 partido por 2 igual a 3z partido por 2. 00:12:54
Bueno, si yo lo que quiero que me quede aquí es un x menos algo, pues ya sabéis que cuando yo tengo una fracción, 00:13:20
si multiplico y divido por el mismo número arriba y abajo, la fracción no cambia, 00:13:28
o sea que si divido lo de arriba por 2 y lo de abajo por 2, arriba me queda x menos 1 medio y abajo me queda 5 medios. 00:13:32
¿De acuerdo? 00:13:41
Aquí si multiplico y divido lo de arriba por menos 1 00:13:41
Arriba me queda I menos 3 00:13:48
Y abajo me queda menos 2 00:13:50
Y si aquí multiplico arriba y abajo 00:13:52
Divido arriba y abajo por 3 00:13:56
Esto me queda Z un tercio 00:13:58
Ahora sí, eso es la ecuación 00:14:01
En este dividí o multipliqué por menos 1 00:14:04
Para dejar la I positiva 00:14:09
y esto para dejar una y menos 00:14:11
o sea yo lo que hago es 00:14:13
la x le sobra un 2, pues divido lo de arriba y abajo 00:14:14
por 2, esta 00:14:16
tiene que ponerse en positivo, pues multiplico 00:14:18
lo de arriba y lo de abajo por 2 00:14:20
por menos 1 00:14:22
y esta le sobra un 3, divido por 3 00:14:24
o sea yo lo que hago es dejar 00:14:26
las x, las y y las z solas 00:14:28
y ahora ya si tenéis la continua 00:14:30
aquí ya si que podéis decir 00:14:33
que el vector es el vector 00:14:35
5 medios menos 2 00:14:36
un tercio 00:14:39
y que un punto, que es el punto un medio, tres, cero. 00:14:40
¿Lo veis? Cualquiera de las dos me sirve. 00:14:49
Si se os ocurre manipular eso, pues lo dejáis así, 00:14:52
entonces ya automáticamente tienes la continua. 00:14:56
Si consigues dejar la X sola, la Y sola y la Z sola, 00:14:58
y si no, pues de aquí pasas a la implícita y ya sacas todas las demás. 00:15:02
¿De acuerdo? 00:15:08
Bueno, en el otro ejercicio os decía que sacaseis un punto cuya primera coordenada, 00:15:10
es decir, os dicen que dada esta sacáis una en que x sea menos 4. 00:15:22
Bueno, pues ya sabéis, si x es menos 4 venís aquí, bueno, venís aquí mismo, sí. 00:15:26
cojo esta con esto y entonces tengo 00:15:32
menos 8 menos 1 partido por 5 00:15:35
tiene que ser igual a 3 menos i partido por 2 00:15:38
de donde menos 9 menos 18 00:15:42
tiene que ser igual a 15 menos 5i 00:15:47
de donde i es igual a 33 quintos 00:15:51
y con ese valor me vengo aquí 00:15:58
Bueno, con este mismo valor me vengo aquí, esta con esta, y tengo menos 8 menos 1 partido por 5 tiene que ser igual a 3Z partido por 1. 00:16:04
Luego, menos 9 tiene que ser igual a 15Z, Z igual a menos 9, 15, 12. 00:16:18
Luego el punto que me piden es el menos cuatro treinta y tres quintos menos nueve quinceavos 00:16:26
Ese es el punto que me piden 00:16:37
Es decir, si me obligan a que una de las componentes del punto sea un valor determinado 00:16:40
Pues solo tengo que ir a la ecuación de la recta, obligarle a ese número y ya está 00:16:46
¿De acuerdo? 00:16:50
Vale 00:16:52
Venga, siguiente, dice 00:16:52
Hay unas ecuaciones de los ejes OX, OY y OZ. 00:16:55
Os recuerdo, este es el X, este es el Y, este es el Z. 00:17:01
Y este es el origen de... 00:17:06
¿Qué necesitáis? ¿Cómo lo harías? 00:17:07
Venga, alguien que sepa cómo se come. Pensadlo. 00:17:09
Porque si lo pienso yo por vosotros, no... 00:17:13
Tenéis que sacar la ecuación de esta recta. 00:17:16
De esta recta. 00:17:19
Tú que necesites... O sea, siempre lo mismo. 00:17:20
A vosotros os piden la ecuación de una recta. 00:17:22
¿Qué necesitáis para hallar la ecuación de una recta? 00:17:26
¿Un punto y el vector director o dos puntos? 00:17:28
¿Tú puedes sacar el vector director de esta? 00:17:33
¿Puedes sacar dos puntos de esta? 00:17:35
Pues es la única manera que tienes. 00:17:37
Coges dos puntos de esta recta y hallas su ecuación. 00:17:40
Lo mismo para esta y lo mismo para esta. 00:17:44
¿Me habéis entendido? 00:17:47
Un punto cualquiera de esta. 00:17:49
¿Qué coordenada? Imaginaros que esto es 1, ¿qué coordenada tiene este punto? 1, 0, otro, por ejemplo, ¿y este? Ya tenéis dos puntos de la recta, ya podéis sacar la ecuación de ese eje. 00:17:51
un punto de esta 00:18:15
este que coordenadas tiene 00:18:18
0, 0, 1 00:18:20
y este 00:18:23
no sé si este es el 3 también 00:18:24
0, 0, 3 00:18:26
ya tenéis dos puntos de esta recta 00:18:30
y esta 00:18:32
esta que coordenadas tiene 00:18:34
0, 1, 0 00:18:36
y esta 00:18:38
0, 1, 0 00:18:39
bueno ya podéis sacar esta 00:18:41
tenéis dos puntos 00:18:45
Podéis sacar esta, tenéis dos puntos 00:18:45
Podéis sacar esta, tenéis dos puntos 00:18:47
Las ecuaciones de cada una de ellas 00:18:48
Me dais cualquiera de ellas 00:18:51
La continua, por ejemplo 00:18:53
La continua de todas 00:18:54
Siempre tenéis que tener en cuenta 00:18:56
Que si os piden una recta 00:18:58
Necesitáis sacar de alguna manera 00:19:00
O dos puntos o un punto y un velo 00:19:02
¿No la continua? 00:19:04
Sí, os piden todas, pero es que es muy largo 00:19:07
Sacar la continua de cada una de ellas 00:19:08
La continua del eje X, la del eje Y 00:19:10
si coges dos puntos de dos 00:19:13
distintas ahí, hallarías 00:19:17
o sea, tú fíjate, si tú coges 00:19:19
una recta, si coges este 00:19:21
y coges este, lo que estás hallando 00:19:23
es esta, si coges dos puntos de la recta 00:19:25
¿qué estás buscando? me da igual 00:19:27
en este da igual, coges dos puntos 00:19:29
lo estacionador 00:19:31
y con la continua me vale, luego ya 00:19:31
o sea, las cartesanas no las sabemos 00:19:34
no es necesario, a ver, en teoría 00:19:36
os piden todas 00:19:38
en teoría os piden todas 00:19:40
pero yo creo 00:19:42
que lo suyo es que me deis una nada más 00:19:45
porque si no, así no está 00:19:47
si queréis, para practicar 00:19:48
sacáis a partir de la continua, sacas todas 00:19:51
la continua tú la pones como sale 00:19:53
y ya está 00:19:59
la continua tú pones lo que te sale 00:20:00
te olvidas que sean ceros y de que sean 00:20:03
tú pones la continua, es decir 00:20:04
por ejemplo, el eje OX 00:20:06
cojo un punto 00:20:08
El punto va a ser el 1, 0, 0 y el vector es este menos este, va a ser el 2, 0, 0, ¿vale? 00:20:10
¿Sí o no? ¿Veis? 00:20:21
Vale, bueno, pues entonces si hago la continua será x menos 1 partido por 2 igual a y partido por 0 igual a z partido por 5, ¿de acuerdo? 00:20:25
Si hago el eje OI, el punto es por ejemplo el 0, 1, 0 y el vector es este que es el 0, 2, 0. 00:20:37
Por lo tanto la continua será X partido por 0 igual a Y menos 1 partido por 2 igual a Z partido por 0. 00:20:54
Y el eje OZ, el punto será el 0, 0, 1 y el vector el 0, 0, 2. 00:21:04
Por lo tanto, será X partido por 0 igual a Y partido por 0 igual a Z menos 1 partido por 2. 00:21:19
¿De acuerdo? 00:21:30
no, no 00:21:30
si tú no pones nada aquí debajo 00:21:33
hay un ojo con eso 00:21:35
que cuando tú tienes una ecuación 00:21:36
continua, la ecuación continua 00:21:39
de una recta y una de las partes 00:21:41
no tiene denominador, ahí abajo hay un 0 00:21:43
no un 0 00:21:45
en realidad las ecuaciones 00:21:46
de los ejes coordenados 00:21:49
si los pones en forma implícita 00:21:51
son 00:21:53
i igual a 0 00:21:54
z igual a 0 00:21:57
X igual a 0, Z igual a 0 00:21:58
Y X igual a 0, Y igual a 0 00:22:04
Estas son las ecuaciones de los ejes coordenados 00:22:10
Bueno, pero quedaros que 00:22:14
Para los ejes coordenados, igual que para cualquier otra cosa 00:22:16
Si tenéis dos puntos, podéis sacar la ecuación de la recta 00:22:20
¿Por qué nos dan los dos puntos aquí? 00:22:25
porque si son puntos de los ejes coordenados 00:22:28
podéis sacarlos vosotros de forma 00:22:30
rápida como las vamos a sacar 00:22:31
¿de acuerdo? 00:22:34
venga, el siguiente 00:22:35
dice, os dan un punto de una recta 00:22:36
y os dicen que saquéis 00:22:40
la ecuación de una recta 00:22:42
que pasa por ese punto y es paralela 00:22:43
a este eje, al eje y 00:22:46
si dos rectas son paralelas 00:22:48
¿qué les pasa? 00:22:49
que tienen, todavía es más fácil 00:22:51
hay que ir un poquito antes 00:22:53
de eso 00:22:55
si dos rectas son paralelas 00:22:56
hemos dicho, siempre estamos en lo mismo 00:22:58
yo me piden la ecuación de una recta 00:23:00
necesito un punto y su vector director 00:23:02
me dan el punto, fenomenal, me falta el vector director 00:23:04
pero me dicen 00:23:07
que es paralela a otra, si dos rectas son paralelas 00:23:08
¿cómo son sus vectores directores? 00:23:11
tienen el mismo vector director 00:23:13
luego en el guiazo se está diciendo 00:23:15
que montéis la ecuación de una recta 00:23:17
que pasa por ese punto 00:23:19
y cuyo vector director es 00:23:20
el vector director del eje 00:23:22
este 00:23:25
que podéis calcularle, porque ya... 00:23:26
¿Es en el razonamiento? No. 00:23:28
Sí. 00:23:30
No, es que es muy sencillo. 00:23:32
Lo que pasa es que, a ver, lo que tenéis 00:23:34
que tener claro siempre es 00:23:36
si a ti te piden 00:23:38
la ecuación de una recta 00:23:39
al margen de lo que te cuenten, de lo que te digan 00:23:42
y no sé qué, tú necesitas un punto 00:23:44
y su vector y su vector y vector 00:23:46
que es el que te va a dar la dirección, ¿vale? 00:23:48
Entonces, dices, ahora, dices 00:23:50
vale, ¿qué me dan? Me dan un punto 00:23:52
vale, este punto me lo dan 00:23:54
el a que es el 2, 1, menos 1 00:23:55
me falta el vector director 00:23:59
para poder hallar el vector director 00:24:04
algo me tienen que dar 00:24:06
entonces a veces me dan otro punto 00:24:07
otras veces me dicen que 00:24:09
y a veces me dicen simplemente que es paralela a esta 00:24:11
si es paralela el vector director de la recta que busco 00:24:15
que será esta 00:24:19
es el mismo 00:24:20
es el vector director de esta 00:24:22
porque son paralelas 00:24:24
Si dos tretas son paralelas tienen la misma dirección y por lo tanto tienen el mismo vector director. 00:24:25
Entonces me dicen que este es el eje OI y entonces necesito el vector director del eje OI. 00:24:31
¿Cómo he calculado el vector director del eje OI? 00:24:38
Lo he calculado aquí, ¿no? 00:24:42
Es para el... 00:24:45
Esto es un problema completamente común, de hecho creo que salió uno exactamente igual en uno de los exámenes. 00:24:46
Te dan un punto de una recta y te dicen que es paralela a otra. 00:24:55
Entonces, si es paralela a otra, lo que te están diciendo es que el vector director lo tienes que coger de la otra recta. 00:24:59
Porque son paralelas. 00:25:05
¿Vale? 00:25:07
Entonces, sacáis el vector director del eje OI, que ya lo tenéis, y el punto. 00:25:07
¿Sí o no? 00:25:14
Pues venga. 00:25:14
Haced todas las, desde la vectorial hasta las cartesianas. 00:25:15
¿Ya? ¿Lo hago? A ver, os dan este punto y os dicen que tenéis que hallar la ecuación de una recta 00:25:25
que pase por ese punto y sea paralela del GOI, cuando os están diciendo eso es una manera de deciros 00:25:37
que tenéis que coger el punto y el vector director de la recta a la que es paralela. 00:25:42
Antes hemos visto que el vector director del eje OI, de este eje, yo lo sacaba con los dos puntos, cogía dos puntos y lo sacaba y me daba que era el 0, 2, 0. 00:25:47
Luego realmente lo que me están diciendo es que monte las ecuaciones de una recta que pasa por este punto y tiene este vector director. 00:26:02
Un problema bastante sencillo, entonces bueno, ya sabéis que vectorial x, y, z igual a 2, 1 menos 1 más t por 0, 2, 0, paramétricas 2 más 0, t, 00:26:15
y igual a 1 más 2t y z igual a menos 1 más 0t. 00:26:38
La continua x menos 2 partido por 0 igual a y menos 1 partido por 2 igual a z más 1 partido por 0. 00:26:49
Y la implícita, si hago esta con esta, sería 2x menos 4 igual a 0, y si hago esta con esta, no, esta con esta no la puedo hacer porque se me va todo, tengo que hacer esta con esta, sería 2z más 2 igual a 0, esas serían las dos. 00:27:01
Fijaros que si yo hago esta con esta, esto es cero y esto es cero 00:27:27
Me quedo sin ecuaciones 00:27:31
Ya os dije que me daba lo mismo coger unas con otras 00:27:32
Entonces en este caso me veo obligada a coger esta con esta y esta con esta 00:27:36
¿De acuerdo? 00:27:42
Bueno, pues lo mismo, en el siguiente apartado dice lo mismo 00:27:44
Pero en vez de deciros que sea paralela al eje OI 00:27:46
Os dice que sea paralela a la recta R 00:27:50
cuya ecuación implícita es x más 2z igual a 0 y y menos 3z igual a 0. 00:27:54
Ahora es una recta que pasa por este mismo punto, pero que en vez de ser paralela a esta, es paralela a esta. 00:28:07
Es decir, el problema se reduce a que encontréis el vector director de esta y ya montéisla. 00:28:14
¿vale? ya sabéis 00:28:20
ya hemos hecho muchas veces 00:28:22
cómo sacar el vector director 00:28:24
cuando la recta me la dan en forma implícita 00:28:25
lo hemos hecho hoy 00:28:28
aquí 00:28:30
aquí 00:28:32
¿de acuerdo? 00:28:34
¿vale? lo hemos hecho 00:28:38
cómo se saca el vector director 00:28:39
cuando la recta en vez de dármela 00:28:41
continua o dármela vectorial 00:28:44
me dan la implícita, pues entonces tengo que montar 00:28:45
esto, o como siempre 00:28:48
Siempre hay una manera que es sacar dos puntos y sacar el vector directo, esa es la otra posibilidad y si no, pues esta de contar su, ¿vale? Venga, intentadlo. 00:28:50
Hola, ¿hay una biblioteca? 00:29:01
¿Lo hago? ¿Lo hago chicos, chicas? ¿Alguien lo ha hecho? ¿Sí? A ver. 00:29:04
Hemos dicho que antes me decían que haya sido la ecuación de una recta que pasa por este punto y es paralela al eje y lo hemos hecho 00:29:16
Y ahora me dice que haga también otra que pasa por ese punto y es paralela a esta 00:29:29
Es decir, el problema es sobre todo y fundamentalmente sacar el vector director de esta recta 00:29:34
Que es el que me sirve para luego montarla que me están pidiendo 00:29:41
Entonces el vector director de esta recta sale con IJK 1, 0, 2 y 0, 1, menos 3, ya sabéis poco aquí, X, Y, Z, X, Y, Z, X, 1, Y, 0, Z, 2, X, 0 y 1, Z, menos 3. 00:29:44
pues si ahora hago esto, esto es 0i más k más 0j más 0k menos 2i y más 3j, es decir, is tengo menos 2i, j tengo más 3j y k más k, 00:30:05
Luego, el vector es el menos 2, 3, 1. 00:30:29
El problema es simplemente la recta que pasa por este punto y tiene este vector y vector, 00:30:35
es decir, x y z igual a 2, 1, menos 1, más t, por menos 2, 3, 1. 00:30:43
x igual a 2 menos 2t 00:30:57
y igual a 1 más 3t 00:31:03
y z igual a menos 1 más 3 00:31:07
en la continua x menos 2 partido por menos 2 00:31:12
igual a y menos 1 partido por 3 00:31:18
igual a z más 1 partido por 1 00:31:23
Y luego ya las implícitas que los hago multiplicando esta con esta y esta con esta. 00:31:26
Entonces esta sería 3x menos 6 igual a menos 2y más 2, de donde 3x más 2y menos 8 igual a 0. 00:31:33
y esta con esta sería x menos 2 igual a menos 2z menos 2, de donde x más 2z igual a 0, esto me da, ¿os da eso? 00:31:47
¿Sí? ¿De acuerdo? Es decir, siempre igual, rectas en el espacio, yo necesito un punto y su vector director, me pueden dar dos puntos para que saque el vector director y ya tengo para montarlo, me pueden dar directamente el punto y el vector director. 00:32:05
Y luego me pueden dar el vector director encubierto y me pueden decir que es paralelo a otra recta dada. 00:32:23
Yo ya sé cómo si tengo punto y vector director saco ecuaciones y también sé cómo si tengo ecuaciones saco punto y vector director, 00:32:35
que es lo que tengo que saber. A partir de ahí puedo resolver prácticamente todos los problemas. 00:32:44
¿De acuerdo? Bueno, avanzamos. Planos en el espacio. Es lo mismo, ¿eh? O sea, este tema se llamaba rectas y planos en el espacio. 00:32:48
Es decir, hemos estudiado las rectas en el espacio y ahora vamos a ver cómo se estudian los planos. 00:33:09
Un plano, si una recta quedaba definido por un punto y un vector y vector, 00:33:13
un plano viene definido por un punto y dos vectores directores. 00:33:21
En vez de uno, necesito dos. 00:33:26
Entonces, tiene que ser un punto P, que voy a llamarle A, X0, Y0, Z0, y dos vectores. 00:33:29
Un vector v, que es v1, v2, v3 y un vector u, que va a ser u1, u2, u3, ¿de acuerdo? 00:33:38
Los planos en el espacio exactamente igual que las rectas tienen varias maneras de expresarse, 00:33:54
O sea, igual que la recta tengo la vectorial, las paramétricas, la continua y la cartesiana, en el caso del plano tengo también el vectorial, la expresión vectorial, que es exactamente igual que la recta x y z, pero con dos vectores. 00:34:03
es igual a x sub 0, y sub 0, z sub 0, más lambda por v1, v2, v3, más t por u1, u2, u3, ¿vale? 00:34:22
O sea, es exactamente igual, pero con dos vectores en vez de con uno. 00:34:40
De aquí salen las paramétricas, que es lo mismo, x igual, las divido en las tres partes, 00:34:43
más lambda por v1 más t por u1 y igual a i sub 0 más lambda por v2 más t por u2 y z es igual a z sub 0 más lambda por v3 más t por u3. 00:34:56
¿Cómo se sabe? ¿Landa y T? No. En este caso son dos distintos. 00:35:17
En el caso de la recta, que solo es un vector, en la recta necesito un punto y un vector. 00:35:25
Entonces en las paramétricas, en la de esta, solamente tengo un vector. 00:35:29
Pero aquí no, estos dos valores son distintos. 00:35:33
El valor de lambda y el valor de T es distinto. 00:35:36
El plano no tiene ecuación continua, no existe la ecuación continua, 00:35:37
Y tiene la ecuación implícita que sale de hacer el determinante y esto me va a dar un número por x más un número por y más un número por z más un número igual a c. 00:35:44
Y es, se trabaja exactamente igual que la recta, lo que pasa es que necesito dos vectores y vectores. 00:36:22
¿Vale? Bueno, una cosa especial que tienen las ecuaciones del plano es que si el plano me lo dan en sus ecuaciones implícitas, 00:36:27
En su ecuación implícita, bueno esto está muy pequeño, si me la dan en implícita resulta que el vector ABC es un vector perpendicular al plano. 00:36:40
si yo tengo la ecuación, ahora hago un par de ejercicios y veis 00:37:00
curiosamente si yo tengo la ecuación implícita del plano 00:37:06
yo si cojo estos tres números y el vector formado por estos tres componentes 00:37:09
es un vector que es perpendicular al plano 00:37:15
y por eso de aquí sale la posibilidad de que si en vez de darme 00:37:17
un punto y dos vectores directores me dan un punto y un vector perpendicular al plano 00:37:26
yo puedo sacar la ecuación implícita de la recta poniendo 00:37:42
A por X menos X sub cero más B por Y menos Y sub cero más C por Z menos Z sub cero igual a cero. 00:37:51
Es decir, yo hemos dicho, lo voy relacionando con la recta. 00:38:15
Una recta para poder hacer su ecuación tengo que tener un punto y su vector directo. 00:38:22
O dos puntos, porque si tengo dos puntos siempre tengo el vector director. 00:38:26
Para el plano, lo que tengo que tener es un punto y dos vectores directores. 00:38:30
Es decir, que también podría tener tres puntos, porque si me dan tres puntos, 00:38:35
si a mí en vez de adlotarme eso, me dan esto, 00:38:39
yo puedo sacar este vector director y este vector director y coger cualquier punto y ya está. 00:38:45
Yo teniendo puntos del plano, yo puedo sacar vectores directores y puedo sacar todo lo que quiera. 00:38:52
¿Vale? Esto y esto es lo mismo, igual que en la recta, si me dan dos puntos es lo mismo que si me dan un punto y el vector director. 00:38:58
En un plano si me dan tres puntos, en realidad yo cojo cualquiera de los puntos y hago dos vectores directores con esos tres puntos y ya está, y tengo el plano. 00:39:04
Para montar las ecuaciones del plano es exactamente igual, como veis, es exactamente igual que la recta, pero en vez de tener un solo vector director tengo dos, pero es exactamente igual. 00:39:14
No hay continuo, no hay ecuación continua. Y para montar la implícita que salía de la continua, aquí no sale de la continua, sale de montar este determinante. 00:39:24
Esto es igual que en la continua, acordaros, x menos x sub cero y menos eso, y aquí en la continua lo que hacía era dividir directamente, ¿os acordáis, no? Pues ahora no, ahora tengo que hacer el determinante con los dos vectores directos. 00:39:40
Y de aquí, esto cuando lo opero, me sale una cosa que es como esta, un número por X más un número por Y más un número por Z más un número igual a 0, ¿vale? 00:39:53
Cosa especial que tienen los planos, y es que si yo tengo la ecuación implícita de un plano, como es esta, resulta que si yo cojo estos tres números, 00:40:04
el vector que está formado por esas tres componentes es un vector que es perpendicular a este plano, es un vector que es perpendicular al plano. 00:40:14
de acuerdo 00:40:23
y además eso me permite 00:40:24
eso me permite que haya otra manera 00:40:27
de que me den para que yo pueda montar un plano 00:40:31
que es sacar 00:40:34
un punto, tengo el punto y si me dan 00:40:36
un vector perpendicular al plano ABC 00:40:39
pues con esta fórmula que ya veis que es muy sencilla 00:40:42
primera componente del vector por X 00:40:45
menos primera componente del punto 00:40:48
puedo sacar la ecuación 00:40:50
del plano 00:40:53
hay dos maneras de dar 00:40:53
me pueden dar un punto 00:40:56
y dos vectores directores 00:40:58
me pueden dar tres puntos 00:41:00
o me pueden dar un punto y un vector 00:41:01
perpendicular al plano 00:41:03
sacas la implícita 00:41:05
y luego ya una vez que tienes la implícita 00:41:08
para sacar puntos y vectores directores 00:41:11
vas sacando puntos 00:41:13
das valor a la x y a la y 00:41:15
y sacas la z 00:41:18
y vas sacando puntos, entonces una vez que tienes 00:41:19
dos puntos sacas rectores y rectores 00:41:21
todos los que quieras, ¿de acuerdo? 00:41:23
¿vale? 00:41:26
bueno, voy a decir unos cuantos, a ver 00:41:27
a ver 00:41:28
esta es la continuación 00:41:38
de los ejercicios que os di el otro día 00:41:41
en la otra hoja, Ivana, está el 9 00:41:43
que son todos rectas, en este 00:41:44
el 10 también es una recta 00:41:46
lo podéis hacer en casa 00:41:48
y vamos a ver el 11, por ejemplo, ¿no? 00:41:49
El 11 me da la ecuación de un plano, 00:41:54
que es, ¿veis? Me da la implícita, 00:42:00
2X menos Y más 3Z menos 6 igual a 0 00:42:02
y me dicen que exprese ese plano en las otras, 00:42:11
en la vectorial, las paramétricas, etc. 00:42:16
Entonces, yo como siempre, siempre voy al origen, ¿qué necesito para levantar la ecuación de un plano? Necesito un punto y dos vectores directores. ¿Cómo puedo sacar eso? Pues saco tres puntos de ese plano y ya está, y lo tengo, ¿no? Si saco tres puntos de ahí, tengo un punto y dos vectores directores. 00:42:18
¿Cómo saco dos puntos? Pues, tres puntos, pues por ejemplo, el 1, 1 y ya calculo la zeta, el 0, 1 y el 1, menos 1, ¿vale? 00:42:35
Entonces, para el 1, 1, esto sería 2 menos 1 más 3z menos 6 igual a 0. 00:42:47
Luego, esto es menos 7, 5, menos 5, 5 tercios, ¿no? 00:42:58
Sí, 5 tercios. 00:43:08
Si esto es 0, esto es menos 1 más 3z menos 6 igual a 0. 00:43:10
Luego tengo menos 7 tercios. Y si esto es 1 y menos 1, esto es 2 más 1 más 3z menos 6 igual a 0. 00:43:17
Luego tengo, esto es menos 3 que es 1. Tengo esos tres puntos. 00:43:37
He sacado tres puntos, pero yo me invento el valor de la X y la Y y con la X-ecuación saco todos los puntos de ese plano. 00:43:43
Bueno, pues ya tengo tres puntos, entonces ahora voy a sacar, ¿qué punto cojo? 00:43:53
Cojo este punto, el 1, menos 1, 1. 00:43:57
Vectores y vectores, voy a restar este menos este y este menos este. 00:44:01
Vector 1, el primer vector, 1 menos 2 y 1 menos 7 tercios son menos 4 tercios. 00:44:05
Un vector U, que va a ser este, menos S, que es 0, menos 2 y 1 menos 5 tercios son 3, son 2 tercios, son menos 2 tercios. 00:44:15
¿De acuerdo? ¿Lo veis? ¿Veis lo que estoy haciendo, no? 00:44:30
estoy sacando vectores directores 00:44:33
he sacado, lo primero que he hecho ha sido inventarme 00:44:36
tres valores para la x y la y 00:44:38
y he sacado sus z correspondientes 00:44:40
para tener tres puntos 00:44:42
una vez que tengo tres puntos del plano 00:44:44
saco, cojo un punto, este 00:44:45
y monto dos vectores directores 00:44:50
este con este y este con este 00:44:52
¿vale? 00:44:54
y ahora ya, pues ya lo tengo todo 00:44:56
tengo un punto y dos vectores directores 00:44:58
ya lo único que tengo que hacer es 00:45:00
x y z 00:45:01
igual a 1 menos 1, 1 más lambda por 1 menos 2, menos 4 tercios, más t por 0, menos 2, menos 2 tercios. 00:45:03
Y ahora las paramétricas, x igual a 1 más lambda y igual a menos 1 menos 2 lambda en menos 2t y z igual a 1 menos 4 tercios de lambda y menos 2 tercios de t. 00:45:22
y ya está porque no hay continua 00:45:47
y la implícita ya la tengo 00:45:49
¿de acuerdo? 00:45:51
¿lo veis? es lo que he hecho 00:45:53
siempre no puedo dejar 00:45:54
cuando estoy trabajando con 00:45:57
analítica del plano o de la 00:45:59
recta, lo que necesito 00:46:01
para montar las ecuaciones 00:46:03
que siempre es lo mismo 00:46:05
estos problemas siempre se ciñen a lo mismo 00:46:06
se trata de sacar con los datos que tengo 00:46:09
puntos y vectores directores 00:46:12
si es una recta un punto 00:46:13
y un vector director y si es un plano un punto 00:46:15
y dos vectores directores 00:46:17
tengo una manera de sacar vectores directores 00:46:19
que es muy sencilla, que es mediante dos puntos 00:46:21
que los resto y saco un vector director 00:46:23
con lo cual si en una recta tengo 00:46:25
dos puntos ya tengo su vector director 00:46:27
y en un plano si tengo tres puntos 00:46:29
ya tengo dos vectores directores 00:46:31
¿de acuerdo? ¿vale? 00:46:33
bueno, a ver 00:46:37
venga, vosotros el 12 00:46:37
os pide 00:46:39
la ecuación del plano 00:46:42
en todas las formas posibles 00:46:43
Todas las formas posibles ya sabéis que son estas. 00:46:45
Todas las formas posibles son la vectorial, la paramétrica y la implícita. 00:46:49
Y en este caso os dan el punto y dos vectores directores, es decir, este es el caso más sencillo de todos. 00:46:54
El año pasado, hay dos años que han caído. 00:47:01
Este tema es bastante probable. 00:47:11
El A, el B y el C. Primero hacemos el A, pero vamos, los tres los podéis hacer. 00:47:15
Nos dan un punto y dos vectores directores. En el otro, dos puntos y un vector. 00:47:20
Sacáis el otro vector con los dos puntos. Y en el otro los tres puntos, que es lo que yo acabo de hacer. 00:47:24
O sea, que son las tres maneras que os van a definir un plano. 00:47:29
Yo lo que no sé es cómo se multiplican por los números con la X, con la resta. 00:47:40
Pues exactamente igual. 00:47:44
A ver, tienes el punto A que es el punto 3, 2, menos 1. 00:47:45
Tienes el vector U que es el vector menos 1, 1, 0. 00:48:02
Y el vector V que es el vector 2, 0, menos 1. 00:48:07
Entonces, si tú montas el x menos 3 y menos 2z más 1, menos 1, 1, 0, 2, 0, menos 1, ¿no? 00:48:13
Este es el determinante. 00:48:26
Entonces, ahora multiplico esto por esto, menos 1 por 1, menos 1, menos 1 por esto, es menos x más 3, ¿no? 00:48:29
Es que tenéis muy poco manejo de las... 00:48:38
Sí, es que yo no sé cómo se multiplica. 00:48:42
Pues, a ver, es 1 por menos 1 y por x menos 3. 00:48:44
Sácatelo fuera, ahí. 00:48:50
1 por menos 1 es menos 1, menos 1 por x menos 3 es menos x más 3. 00:48:52
Es que es pura multiplicación de polinomios, ¿entiendes? 00:48:57
Es que tenéis muy poco manejo algebraico, muy poco. 00:49:02
Os falla muchísimo eso, no sé por qué. 00:49:05
Porque es una cosa sencillísima. 00:49:08
Entonces, eso, este por este por este, este como tiene un 0 te olvidas, este como tiene un 0 te olvidas 00:49:09
Ahora, por este lado, sería menos 2 por 1 por z más 1 00:49:15
Y entonces esto es menos 2z menos 2, menos, ¿qué? 00:49:22
El menos porque estoy en la otra dirección, ¿vale? 00:49:28
Menos 2z menos 2 00:49:32
Esto es 0 y esto es 00:49:34
Menos 1 por menos 1 00:49:37
No, ya está, ¿no? 00:49:42
Ah, no, está, este, por y menos 2 00:49:46
Y esto negativo 00:49:48
Luego es menos 1 por y menos 2 00:49:50
Que es menos y más 2 00:49:54
Menos y más 2 00:49:56
Y ahora esto lo colocas 00:50:00
menos x menos y 00:50:01
menos 2z 00:50:04
y aquí tengo 00:50:06
más 3 00:50:07
igual a 0 00:50:08
esta es la ecuación del plano 00:50:10
o sea 00:50:13
multiplicar es exactamente igual 00:50:15
lo que pasa es que multiplicas por esto 00:50:17
entonces 00:50:19
me liaba porque no sabía si se multiplicaba 00:50:20
solo por el número 00:50:23
no, no, por todo, por todo 00:50:24
tú pones esto entre paréntesis y lo multiplicas por todo 00:50:26
Sácatelo fuera, si no quieres hacerlo de cabeza 00:50:29
Te lo sacas fuera 00:50:31
Y de verdad que no tiene ningún problema 00:50:33
Bueno, esta es la implícita 00:50:35
Ya veis como se hace 00:50:39
La vectorial y las paramétricas en este caso 00:50:40
Pues no tienen ningún problema 00:50:43
X, Y, Z 00:50:45
Igual al punto que es el 3, 2, menos 1 00:50:46
Más lambda por 1 00:50:53
más T por V 00:50:55
y las paramétricas que salen de dividir esto 00:51:01
menos lambda más 2T 00:51:06
y igual a 2 más lambda 00:51:09
ya está, y Z igual a menos 1 00:51:15
menos T 00:51:19
esas no tienen ningún problema 00:51:22
una vez que te lo dan directamente 00:51:28
es montarlas 00:51:30
y la implícita en el caso del plano 00:51:31
es montar el determinante 00:51:33
a ver, en el segundo lo que os dan 00:51:36
es dos puntos y un vector 00:51:37
como necesitáis dos vectores y un punto 00:51:39
pues con esos dos puntos 00:51:42
montáis un vector, ya tenéis dos vectores 00:51:44
y el punto, y lo sacáis 00:51:46
¿vale? 00:51:48
¿lo tenéis? 00:51:49
¿lo tenéis? 00:51:54
Venga, lo hago, lo hago porque se nos va el tiempo. 00:51:55
A ver, el siguiente nos dice que 00:51:59
ahí es la ecuación de un plano que pasa por estos dos puntos, 00:52:04
el punto 1, 2, 0, 00:52:09
el b, que es el menos 1, 1, 2, 00:52:15
y tiene un vector director que es el 1, menos 2, menos 1. 00:52:21
Bueno, como necesito un punto y dos vectores directores, pues con estos dos puntos hago un vector director, 00:52:30
que es el vector, bueno, voy a llamar a b, el vector a b, que sería menos 2, menos 1 y 2. 00:52:36
Luego, ¿y qué punto cojo? Pues cualquiera de ellos 00:52:47
Entonces con ese punto y esos dos vectores directores me monto mis ecuaciones 00:52:51
x y z igual a 1, 2, 0 00:52:55
más lambda por 1, menos 2, menos 1 00:53:03
más t por menos 2, menos 1, 2 00:53:09
Para métricas, x igual a 1 más lambda menos 2t 00:53:14
y igual a 2 menos 2 lambda y menos t 00:53:21
y z es igual a menos lambda más 2t 00:53:28
Y luego ya si quiero sacar la implícita, x menos 1 y menos 2z 00:53:35
y aquí 1, menos 2, menos 1 y menos 2, menos 1, 2. 00:53:43
Esto es menos 2x más 4 menos z y por aquí tengo 2y menos 4. 00:53:51
Por el otro lado tengo menos 4z y por el otro lado tengo 1 menos 1 menos x más 1 y por el otro lado tengo menos 2y más 4. 00:54:08
Bueno, pues entonces tengo x, tengo menos 3x, y tengo, y no tengo, se me van las 6, 00:54:23
y z tengo menos 5z, y este se me va con esto, más 5. 00:54:32
Bueno, si no me he equivocado, la ecuación del plano sería. 00:54:45
Veis que como me dan, si yo tengo un plano, me dan un vector director y dos puntos, 00:54:49
pues solo tengo que hallar el vector director ese y ya está, y tengo el otro. 00:54:57
¿De acuerdo? 00:55:01
¿Vale? 00:55:02
Da igual, es decir, es una constante por un vector más otra constante por otro vector. 00:55:02
Da igual que haya más lambda, que t, que gamma, que beta, que como sea. 00:55:08
¿Aquí? 00:55:14
Esto es menos 4, sí, ya lo he hecho mal. 00:55:15
ya me he colado, pero vamos, 00:55:19
¿entendéis? 00:55:21
Como voy tan deprisa y encima aquí no tengo 00:55:23
ni perspectiva, me equivoco más que una escopeta 00:55:25
de feria, pero lo veis, ¿no? 00:55:27
Veis lo que he hecho, o sea, 00:55:29
yo calculo el determinante 00:55:31
y saco la ecuación, ¿de acuerdo? 00:55:33
¿Vale? Y ya 00:55:36
el último de estos 00:55:37
es que en vez de darme un punto 00:55:39
y los vectores directores, me da 00:55:41
tres puntos, entonces si me da tres puntos 00:55:43
el punto A 00:55:45
que es el 0 00:55:47
menos 2, 1 00:55:49
el B 00:55:51
que es el menos 2 00:55:53
0 menos 1 00:55:56
y el C 00:55:58
que es el 1 00:55:59
menos 2, 0 00:56:01
bueno, pues yo cojo un punto 00:56:03
este, por ejemplo 00:56:05
y hago dos vectores directores 00:56:06
el AB, por ejemplo 00:56:08
y el BC 00:56:10
el AB es 00:56:11
menos 2 00:56:14
menos 2 00:56:17
Y el BC es 1, esto es 3, menos 2 y 1. 00:56:19
Bueno, pues con este punto y estos dos vectores, pues ya me vale cualquiera. 00:56:28
O sea, yo puedo hacer el AB, el AC, el BC, cualquiera. 00:56:33
Yo tengo tres puntos en un plano. 00:56:38
A mí me da lo mismo hacer este y este, que este y este, los que tú quieras. 00:56:43
En cuanto a que sean dos, dos de esos tres puntos. 00:56:48
¿De acuerdo? 00:56:51
Una vez que tenéis esto, pues ya sabéis cómo montáis las cuartas del plano, ¿no? 00:56:52
¿Sí para todos? 00:56:58
Bueno, la semana que viene vamos a terminar de hacer ejercicios, 00:57:00
traeré también los dos ejercicios de examen que han salido en los últimos años con este tema 00:57:05
y cerramos la analítica del plano, porque empezamos las vacaciones. 00:57:10
La semana que viene es la semana antes de vacaciones. 00:57:14
y luego ya solo nos queda un tema 00:57:17
que es probabilidad que lo empezamos 00:57:19
cuando está lo que entendemos 00:57:21
como un mes o un si algo 00:57:23
y mientras tanto ya sabéis que 00:57:24
los viernes sigo avanzando 00:57:27
con las funciones 00:57:29
¿de acuerdo? ¿vale? 00:57:31
¿me vas a dar algo más 00:57:34
aparte de funciones o cuando acabemos 00:57:35
con eso? 00:57:37
me voy a tirar todo el rato con funciones 00:57:38
si, si, no, ahí los viernes 00:57:40
no son funciones 00:57:43
Entonces, este viernes acabamos la mitad de las funciones, que es todo lo que se hace sin derivar, y cuando vamos de vacaciones, lo que se hace sin derivar, y ya está. Es sencillito. 00:57:44
Materias:
Matemáticas
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M.jose S.
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17 de marzo de 2026 - 20:06
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Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
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