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Teoría Matriz inversa - Contenido educativo

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Subido el 19 de enero de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a intentar afianzar el concepto de matriz inversa, que como os he dicho en clase, es uno de los conceptos más importantes y que vamos a necesitar muchísimo. 00:00:00
Porque siempre cae en el examen el calcular en algún momento dado una matriz inversa. 00:00:10
Para ello os expliqué primero los conceptos de menor complementario y de adjunto. 00:00:15
Entonces, bueno, os he puesto aquí las definiciones de tal y como vienen en el libro, ¿vale? 00:00:19
Y es sobre las que vamos a basarnos un poco. 00:00:23
¿Qué era un menor complementario de una matriz? 00:00:26
O sea, del elemento A y J 00:00:28
Pues es el determinante de la matriz que obtenemos 00:00:30
Al suprimir la fila y la columna 00:00:33
En la que está el elemento S A y J 00:00:35
Os recuerdo que el primer número que aparece 00:00:38
La I es las filas y la J es la columna 00:00:41
Y ese menor correspondiente se representa por M mayúscula y J 00:00:44
Entonces vamos a suponer, por ejemplo, que tenemos la matriz A 00:00:49
Voy a poner una 3x3, ¿vale? Para que sea un poquito más complicado 00:00:53
Menos 1, 0, 2 00:00:57
Menos 2, 1, 3 00:00:59
0, no sé 00:01:03
4 menos 1, ¿vale? 00:01:05
Y queremos calcular, por ejemplo 00:01:08
El menor 3, 1 00:01:10
¿Quién va a ser el menor 3, 1? 00:01:13
Bueno, pues el menor 3, 1 es el determinante 00:01:16
Que obtenemos cuando quitamos la fila 3 00:01:19
Y la columna 1, ¿vale? ¿Y qué me queda? Pues es el determinante, 0, 1, 2, 3, calculamos por Sarrus, 0 por 3 es 0, menos, 1 por 2 es 2, pues este menor sería menos 2. 00:01:22
¿Quién sería, por ejemplo, el menor 2, 3? 00:01:39
Pues a ver, sería ahora, voy a cambiar a otro color, por ejemplo el amarillo 00:01:46
Sería fila, elimino fila 2, columna 3 00:01:52
¿Y qué me queda? 00:01:59
Pues quitamos solamente lo que está en amarillo y me queda menos 1, 0 00:02:03
0, 4 00:02:08
¿Y este cuánto sería? 00:02:09
Por Sarrus, menos 1 por 4 00:02:12
Menos 4, menos 0 00:02:13
Bueno, además aquí podemos aplicar 00:02:15
Las propiedades de los determinantes 00:02:18
Porque es una matriz 00:02:19
O sea, es un determinante de orden 2 00:02:21
Y por lo tanto lo podemos entender 00:02:24
Como que es triangular también, o escalar 00:02:26
Y por lo tanto, escalar no, diagonal 00:02:28
Por lo tanto es el producto de la diagonal 00:02:30
Que sería menos 4 00:02:32
Entonces, bueno, pues con esto ya habríamos calculado 00:02:33
Unos ejemplos de lo que eran los menores 00:02:36
¿A qué llamábamos adjunto de un elemento a y j de la matriz? 00:02:38
Pues es, digamos que es trabajar con el menor correspondiente 00:02:42
Pero que le ponemos delante un signo más o menos 00:02:45
¿Ese signo de dónde va a salir? 00:02:49
Pues de la suma de la fila y la columna 00:02:51
Dependiendo de si va a ser par o impar 00:02:54
Tenemos aquí la fórmula 00:02:56
Que era menos 1 elevado a y más j 00:02:58
Porque lo que hacemos es sumar 00:03:01
Entonces, ya que hemos calculado esos dos menores 00:03:03
Vamos a calcular los adjuntos correspondientes. ¿Quién sería el adjunto 3,1? Pues no sería otra cosa que poner menos 1 elevado a 3 más 1 por el menor correspondiente 3,1. 00:03:06
Como el exponente es 4, el signo me queda más, luego esto sería más el valor del menor 3,1 que lo hemos calculado aquí arriba, que sería menos 2 más menos 2, pues sería directamente menos 2. 00:03:21
¿Quién sería el adjunto 2, 3? Pues menos 1 elevado a 2 más 3 por el menor 2, 3. 00:03:33
En este caso 3 y 2 son 5, menos 1 elevado a un número impar a 5 da menos y el valor del menor 2, 3 era menos 4, luego es menos menos 4, es decir 4. 00:03:44
Y esto sería simplemente los conceptos de menores y de adjuntos. 00:03:58
¿Nosotros qué es lo que íbamos a necesitar? 00:04:02
Necesitábamos la matriz adjunta 00:04:04
¿La matriz adjunta cuál es? 00:04:06
Pues es la matriz que se obtiene al sustituir 00:04:08
Cada elemento de la matriz por el adjunto correspondiente 00:04:10
¿Vale? 00:04:13
Es decir, ahora sí que la voy a hacer mejor de orden 2 00:04:15
Vamos a coger una matriz de orden 2 00:04:18
Aunque bueno, lo podríamos hacer directamente 00:04:19
Pero bueno, si yo supongo que tenemos la matriz 00:04:23
Menos 1, pero para que el vídeo no sea demasiado largo 00:04:26
¿Vale? 00:04:29
Menos 1, 4, 2, 3 00:04:29
y quiero calcular la matriz adjunta, la adjunta de A. 00:04:30
El truquito que yo os dije es que lo primero, como la matriz adjunta simplemente es como si fueran todos los menores con un signo, 00:04:38
yo lo que suelo hacer primero, para que no se me olvide poner el signo, es ponerlo inicialmente. 00:04:47
Yo sé que el primer elemento, que es el 1,1, siempre va a ser positivo. 00:04:52
y a partir de él voy a poner los siguientes alternando si el primero es positivo o el siguiente es negativo 00:04:55
ya que el primero suma 2 y el siguiente suma 3 y a partir de él, el de abajo también sería menos 00:05:01
y por lo tanto aquí el que me queda es más, ya sé que algunos me decís pues para qué 00:05:08
pero eso es una, para que lo vamos a hacer tal, yo simplemente porque me resulta más sencillo 00:05:14
porque ahora lo único que hago es calcular menores y no tengo que estar pensando en los signos 00:05:18
Los he puesto un poco juntos y no me he dejado mucho espacio para poner los números 00:05:23
¿Vale? Si fuera de orden 3, aquí pondríamos un más, aquí pondríamos un menos 00:05:29
Aquí pondríamos un más, un menos y un más 00:05:34
¿Vale? Y así con todo 00:05:37
Pero en este caso la tenemos de orden 2 00:05:38
¿Y ahora qué es lo único que tendríamos que hacer? 00:05:42
Pues los adjuntos correspondientes 00:05:44
Os recuerdo lo sencillo que era hacerlo en una matriz 2x2 00:05:45
El primer elemento, pues tendríamos que poner, es el menor 1,1 y es tachar primera fila, primera columna. 00:05:52
¿Qué número me queda simplemente? El 3. 00:06:01
En el segundo, ¿qué hacemos? Tachamos, a ver que no me sale el cursor, primera fila, segunda columna, que me queda el 2. 00:06:05
Ahora vamos al elemento 2, 1 00:06:15
Pues tacho segunda fila, primera columna 00:06:20
Y el que me queda es el 4 00:06:25
Y el último, el elemento 2, 2 00:06:26
Tacho segunda fila, segunda columna 00:06:31
Y me queda el elemento menos 1 00:06:33
¿Vale? 00:06:36
Y así solo he tenido que calcular menores 00:06:38
Los signos ya los había puesto antes 00:06:40
Si que es cierto que ahora la vuelvo a escribir para poner bien los signos 00:06:42
Puedo poner más 3 o simplemente 3 00:06:45
menos 2, menos 4 00:06:47
y aquí me queda más menos 1 00:06:50
así que menos 1 00:06:52
y esta sería la matriz adjunta 00:06:53
que bueno 00:06:56
aquí estoy poniendo poco a poco tal y como viene 00:06:58
en el libro ¿vale? pero luego ya veremos 00:07:00
porque lo necesitábamos, aunque ya os lo expliqué en clase 00:07:01
a ver 00:07:04
¿cuál es la definición de la matriz 00:07:05
inversa? os recuerdo 00:07:08
que os dije en clase ¿quién era el inverso 00:07:10
de 3? no es menos 3 00:07:12
es un tercio ¿verdad? 00:07:14
porque es a elevado a menos 1, entonces la matriz inversa es aquella matriz al que al multiplicarla por ella misma 00:07:15
lo que obtenemos es la identidad y aunque os dije que, aunque os dije no, sabemos que el producto de matrices no es conmutativo 00:07:23
pero en el caso de la matriz inversa me da igual multiplicar a por a menos 1 que a menos 1 por a, en ambos casos me tiene que dar la identidad 00:07:31
Esta sería la definición de la matriz inversa, o sea, lo que tiene que verificar. 00:07:41
¿Yo cómo os definí la matriz inversa? 00:07:46
Que es lo que pone aquí el cálculo práctico de la matriz inversa, 00:07:47
que fue por lo que yo, o sea, por lo que hemos calculado todo lo demás. 00:07:51
Pues porque tenemos aquí la fórmula, pero porque en el fondo, 00:07:54
la matriz inversa no es otra cosa que uno partido por el determinante de A 00:07:58
por la traspuesta de la matriz adjunta. 00:08:04
Esta es la fórmula, por eso necesitábamos conocer la matriz adjunta que es lo que hemos calculado antes, el determinante ya lo sabemos y lo que es una matriz traspuesta también, entonces lo que viene debajo en el libro que también os lo comenté, que lo empecé diciendo, bueno voy poniendo todo que lo otro son como casos prácticos, propiedades también que se tienen. 00:08:11
¿Cuándo va a existir la matriz inversa? Pues a ver, por lógica, lo que vimos en clase. 00:08:32
Si me están pidiendo calcular el determinante, pues para calcular un determinante sabemos que la matriz tiene que ser cuadrada, 00:08:38
porque si no, no existe el determinante, pues es lo primero que tenemos aquí, ¿verdad? 00:08:47
Es decir, la matriz tiene que ser cuadrada para que se pueda hallar el determinante, es lo primero que tenemos que tener claro. 00:08:52
Y luego, ¿qué ocurre? Que aquí el determinante está dividiéndose. 00:08:58
Luego, para que se pueda dividir, el determinante tiene que ser distinto de 0, ¿vale? 00:09:04
Que es lo que tenemos ahí. 00:09:10
Se ha quedado un poquito feo, pero bueno, yo creo que más o menos, no sé si lo puedo borrar, vamos a probar. 00:09:11
Sí, ¿vale? 00:09:17
Entonces, para calcular una matriz, lo primero que siempre vamos a hacer es calcular su determinante. 00:09:21
¿Qué es distinto de 0? Existe. 00:09:25
Y entonces ya nos ponemos a calcular lo demás. 00:09:27
No me pongo a calcular la adjunta porque si luego resulta que el determinante es cero, hemos trabajado tontamente. 00:09:30
¿Vale? Y antes de hacer un ejemplo de cómo calcular la matriz inversa, a ver, os pongo aquí algunas de las propiedades que también es importante. 00:09:36
Lo primero, a ver, vamos a ver con este. Matriz regular. Me desaparece el cursor aquí, pero no sé por qué no está. 00:09:45
Matriz regular, una matriz irregular o invertible si tiene inversa 00:09:57
¿Vale? Estos son conceptos que tenemos que saber 00:10:01
Se va a llamar matriz regular, aquí está 00:10:03
Matriz regular o invertible si tiene inversa 00:10:06
Estos son los conceptos que necesitáis conocer 00:10:10
Matriz singular, la que no tiene inversa 00:10:12
Y la matriz ortogonal es aquella en la que su inversa coincide con su traspuesta 00:10:17
¿Esto para qué es necesario? 00:10:23
Pues a ver, simplemente porque en algún momento os vais a encontrar ejercicios que os digan, comprueba si la matriz A es regular. 00:10:25
Si no sabéis que una matriz regular es la que tiene inversa, pues no podréis hacer el ejercicio. 00:10:32
Y sobre todo para aquellos que vayáis a la APAU, a la EBAU, hay veces que lo suelen poner así. 00:10:38
Y luego, dos propiedades muy importantes que tenemos aquí. 00:10:43
Esta primera, la propiedad de la matriz inversa. 00:10:46
La inversa de un producto es el producto de las inversas. 00:10:50
Muy sencillo, pero ojo, no es tan sencillo como yo estaba diciéndolo 00:10:53
A ver, lo que acabo de decir es la inversa de un producto, he dicho que es el producto de las inversas 00:10:59
Pero al revés, si aquí es A por B, aquí es B menos 1 por A menos 1 00:11:08
Ojo con esto, ¿vale? Que el producto no es conmutativo 00:11:13
Y luego, por la definición también del concepto de matriz inversa y de las propiedades de los determinantes, el determinante de la matriz inversa es el inverso del determinante de A. 00:11:17
Entonces estas son las propiedades que tenemos que sabernos, por lo menos las tenemos que conocer. 00:11:32
voy a dejar este vídeo para que no se alargue 00:11:38
simplemente lo voy a parar ya 00:11:41
como si fuera simplemente 00:11:42
la teoría de cómo calcular la inversa 00:11:44
y ahora hago un único vídeo 00:11:46
calculando la inversa 00:11:48
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
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Francisca Beatriz P.
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Fecha:
19 de enero de 2025 - 19:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
11′ 51″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
37.70 MBytes

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