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3. Bases de V2 (primera parte) - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Bueno, vamos a considerar ahora el siguiente ejercicio. 00:00:02
Tenemos tres vectores, el vector u de componentes menos 3, 0, 00:00:07
el vector v de componentes 1, menos 2, 00:00:13
y el vector w de componentes menos 7, 2. 00:00:21
La pregunta que os hago es 00:00:26
¿Estos tres vectores son linealmente dependientes o independientes? 00:00:30
Fijaros que en el vídeo anterior hemos visto una forma muy sencilla 00:00:36
de ver si dos vectores eran linealmente dependientes o independientes 00:00:39
Simplemente bastaba con ver si existía proporcionalidad entre sus componentes o no 00:00:44
Por ejemplo, si yo cojo el vector u y el vector v 00:00:50
y hago la proporción entre sus componentes, diríamos menos tres es a uno, como cero es a menos dos. 00:00:56
Vemos que esta proporción no se cumple, con lo cual estos dos vectores serían linealmente independientes. 00:01:07
Y gráficamente veríamos que tienen distinta dirección. 00:01:16
Si ahora por ejemplo cogemos el vector v y el vector w y hacemos lo mismo 00:01:19
Vemos la proporcionalidad entre las componentes, diríamos 1 es a menos 7 como menos 2 es a 2 00:01:29
Entonces vemos aquí también, duplicando en cruz, no da lo mismo 00:01:38
No hay proporcionalidad entre las componentes 00:01:42
Eso significa que los vectores son linealmente independientes también, es decir, tienen distinta dirección el v y el w. 00:01:45
Y por último nos faltaría considerar la última pareja, que sería el vector u con el w. 00:01:55
Si consideramos el vector u y el vector w, y hacemos la proporción, 00:02:02
menos 3 es a menos 7 como 0 es a 2 00:02:11
veríamos que tampoco se cumple la proporción 00:02:16
esos dos vectores también serían linealmente independientes entre sí 00:02:18
¿Significa eso que el conjunto formado por los tres es linealmente independiente? 00:02:23
Pues vamos a ver que siempre que tengamos tres vectores en V2 00:02:30
siempre vamos a tener que los vectores son linealmente dependientes 00:02:35
y eso vamos a verlo con la definición que hemos visto de vectores linealmente dependientes 00:02:42
es decir, yo tengo que hacer una combinación lineal de los tres en este caso 00:02:49
estoy llamando con las letras griegas alfa, beta y gamma a los escalares 00:02:54
Formamos esa combinación lineal 00:03:06
Y lo que tenemos que ver ahora es si alfa, beta y gamma son necesariamente nulos 00:03:11
Con lo cual serían linealmente independientes 00:03:18
O no necesariamente nulos, con lo cual serían linealmente dependientes 00:03:21
Vamos a resolverlo resolviendo el sistema de ecuaciones 00:03:25
Donde las incógnitas van a ser los escalares 00:03:35
Igual al vector nulo 00:03:39
Es decir, alfa por el vector de componentes menos 3, 0 00:03:51
más beta, otro escalar, por el vector v de componentes 1, menos 2 00:03:58
más gamma, el escalar gamma, por w que es el vector de componentes menos 7, 2 00:04:04
Formada esta combinación lineal e igualada al vector nulo 00:04:11
Vamos a ver cómo resulta el sistema 00:04:15
vamos a escribirlo ya directamente, la primera ecuación fijaros que sería menos 3 alfa más beta menos 7 gamma igual a 0 00:04:20
y la segunda ecuación sería, esto se me haría 0, menos 2 beta más 2 gamma. 00:04:34
Bueno, en este sistema de esta segunda ecuación si dividimos todo por 2 por ejemplo 00:04:56
me quedaría que menos beta más gamma es igual a 0 00:05:02
es decir, que gamma y beta toman el mismo valor 00:05:05
Bien, y sustituyendo en esta otra ecuación 00:05:09
como gamma es lo mismo que beta 00:05:13
pues pondríamos menos 7 beta igual a 0 00:05:21
es decir, menos 3 alfa menos 6 beta es igual a 0 00:05:25
menos 3 alfa es igual a 6 beta 00:05:32
alfa sería igual a menos 2 beta 00:05:40
Fijaros que en este caso vemos que efectivamente si gamma vale 0 00:05:43
si gamma vale 0, pues entonces beta también valdría 0 00:05:53
y alfa también valdría 0 00:05:58
Pero ¿es la única posibilidad para que esta combinación lineal 00:06:01
de los vectores igualado a vector nulo se cumpla? 00:06:07
Pues no, porque si cogemos por ejemplo que gamma vale 1, pues beta valdría 1 también y alfa valdría menos 2. 00:06:11
O sea que no hay una única solución para este sistema, hay infinitas soluciones. 00:06:24
Con lo cual los vectores u, v y w son linealmente dependientes. 00:06:32
A pesar que tomados de dos en dos habíamos visto que eran vectores linealmente independientes. 00:06:44
La conclusión de este ejemplo que acabamos de ver es la siguiente. 00:06:58
En V2, si tenemos dos vectores U y V que sean linealmente independientes 00:07:01
y añadimos un tercer vector W, el conjunto formado por los tres va a ser linealmente dependiente 00:07:08
Y eso nos lleva a otra conclusión interesante y es que cualquier vector W 00:07:16
vamos a poder escribirlo como combinación lineal de U y de V 00:07:22
Fijaros, la demostración es sencilla 00:07:26
Si los tres vectores son LD, significa que al formar una combinación lineal de los tres 00:07:29
e igualarlo al vector nulo, vamos a ver que no necesariamente los tres escalares tienen que ser nulos 00:07:37
Supongamos que por ejemplo gamma es distinto de cero 00:07:45
Podemos dividir toda esta ecuación por gamma, despejar w 00:07:49
y efectivamente el resultado es el que habíamos dicho. 00:08:06
Es decir, vamos a poder escribir W como un número, un escalar, 00:08:18
K1 por el vector U, más otro escalar, que vamos a llamar K2, por el vector V. 00:08:30
En el ejemplo que veíamos antes, con los tres vectores u de componentes menos 3, 0, 00:08:42
v de componentes 1, menos 2, y w de componentes menos 7, 2, 00:09:00
vimos que, por ejemplo, u y v eran linealmente independientes 00:09:13
y que si consideramos u, v y w, el conjunto de los tres ya formaban un conjunto linealmente dependiente. 00:09:19
¿Eso qué significa? 00:09:38
Por lo que hemos dicho antes, significa que w lo voy a poder expresar como combinación lineal de u y de u. 00:09:40
Efectivamente, vamos a coger las componentes de cada uno 00:09:52
W es menos 7, 2 00:10:03
Esto tiene que ser igual a alfa por el vector u 00:10:06
menos 3, 0 00:10:14
más otro escalar 00:10:16
por el vector v de componentes 1, menos 2 00:10:19
Si hacemos las operaciones 00:10:23
menos 7 tiene que ser igual a menos 3 alfa 00:10:25
más beta 00:10:30
Y 2 tiene que ser igual a alfa por 0, que me da 0, menos 2 beta 00:10:32
Si resolvemos este sistema, de aquí sacamos que beta vale menos 1 00:10:42
Y de la primera ecuación, sustituyendo este valor de beta obtenido 00:10:49
Resulta que alfa tiene que ser igual a 2 00:10:57
Es decir, que W lo podremos expresar como 2U menos V. 00:11:07
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 16:02
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
11′ 37″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
38.51 MBytes

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