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Teorema de Bayes - Contenido educativo
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Se demuestra el teorema de Bayes a partir de la probabilidad condicionada y del teorema de la probabilidad total. Después...lo aplicamos en un ejemplo sencillo.
Bueno, en este vídeo vamos a explicar el teorema de Bayes.
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Como en el caso del teorema de la probabilidad total, tenemos que partir de un espacio muestral
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que está descompuesto como unión disjunta de sucesos.
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Es decir, existe una partición del espacio muestral.
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Al igual que en el teorema anterior, en el teorema de la probabilidad total,
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consideramos un suceso dentro de este que corta en principio a los 3.
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Bien, según el teorema de la probabilidad total sabemos cómo calcular la probabilidad de B.
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La probabilidad de B descompone como probabilidad dentro de cada una de las intersecciones
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de manera que será la probabilidad de estar en la sub 1 por probabilidad de B condicionado a sub 1 más etc.
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El teorema de Bayes lo que plantea es qué probabilidad hay de que, habiendo sucedido el suceso B,
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provenga ese suceso de uno de los casos concretos, por ejemplo, de la sub-1.
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En el ejemplo que veíamos en el vídeo anterior, suponíamos que el espacio muestral
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era los resultados de extraer un animal al azar dentro de una tienda de animales
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que tiene tres tipos de animales, perros, gatos y pájaros.
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Y B era el suceso estar enfermo.
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Entonces, imaginémonos que sacamos un animal y resulta estar enfermo. ¿Qué probabilidad hay de que ese animal, sabiendo que está enfermo, es un, por ejemplo, perro?
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Es decir, que es una probabilidad, estamos calculando la probabilidad de alguno de estos a subir, condicionado a que sabemos que posee la propiedad B.
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Por eso se llama muchas veces probabilidad a posteriori, porque a posteriori sabemos nosotros que el suceso está dentro de B
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y nos planteamos por cuál es la probabilidad de que el origen sea de un elemento de la sub i, de un determinado A.
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Esto, por la probabilidad condicionada, sabemos que es la probabilidad de a sub i intersección B partido por la probabilidad de B.
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Esto es la fórmula de la probabilidad condicionada.
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Y ahora lo que vamos a hacer aquí es, en esta probabilidad, sustituir por la fórmula de la probabilidad condicionada, pero dándole la vuelta.
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Es decir, este suceso va a ser probabilidad de A sub i por probabilidad de B condicionada de A sub i.
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Le estamos dando ahí la vuelta a la probabilidad condicionada.
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Y abajo lo que vamos a hacer es sustituir esa probabilidad por toda la de arriba.
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Es decir, y esta sería la fórmula del teorema de Bayes, la probabilidad de Bayes.
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La probabilidad del suceso a sub i condicionado a b.
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En general, si tenemos un suceso descompuesto como suma de n sucesos elementales disjuntos 2 a 2,
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entonces la probabilidad de uno de esos determinados sucesos condicionado a que estamos en B es muy parecida a esta.
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Vamos a poner el ejemplo que habíamos visto en el vídeo anterior y vamos a resolver una probabilidad a posteriori, una probabilidad utilizando vallas.
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En el ejemplo del vídeo anterior habíamos visto que teníamos dos urnas, una con tres bolas rojas y una bola verde y la otra con una sola bola roja y dos verdes.
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Y lo que vamos a hacer es extraer primero, hacer una primera extracción que meteremos una bola de la urna de la izquierda a la segunda urna y después de esta segunda urna haremos a posteriori una segunda extracción y nos planteamos a ver qué color es el que tiene esta segunda bola.
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Entonces, ¿cuándo hay que aplicar el teorema de Bayes?
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Pues bueno, el teorema de Bayes hay que aplicarlo siempre cuando conozcamos el resultado final del experimento
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y nos estén preguntando por la probabilidad de que haya ocurrido algo antes.
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Es decir, imaginémonos que nos están pidiendo la probabilidad del siguiente suceso.
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Bueno, pues en este suceso, fijaos, conocemos que la segunda bola fue roja
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y nos preguntan por la probabilidad de que la primera bola también lo fuese.
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entonces, importante, pues en estos casos hay que utilizar la fórmula de la probabilidad total
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y para ello es aconsejable volver a construir, a dibujar el diagrama del árbol de esta situación
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y aplicar la fórmula, vamos con ello
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bueno, recordad que este árbol lo habíamos construido en el anterior vídeo
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bien, entonces, vamos a ver ahora cómo se aplica esta fórmula
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fijaos que en el denominador lo que tenemos es la probabilidad total
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Es decir, la probabilidad de B. Y B es el suceso que condiciona, es decir, sabiendo que la segunda bola también fue roja.
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Es decir, que tenemos que recuperar la probabilidad de que la segunda bola fuese roja, que calculamos en el vídeo anterior.
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Recuerdo cómo se hacía. Lo que tenemos que fijarnos es qué ramas llegan hasta esos dos sucesos, multiplicar esos caminos y sumarlos.
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3 por 2 es 6, más 2 por 1 es 8, total 8 partido por 20 o bien 2 partido por 5, 2 quintos
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Esta es la probabilidad del denominador y ahora tenemos que calcular la probabilidad de A sub I intersección B
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¿Qué es eso? Bueno, pues en nuestro caso tenemos que calcular la probabilidad de
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Estamos calculando la probabilidad de que la primera bola fuese roja, sabiendo que la segunda también fue roja, que va a ser que la primera sea roja y la segunda también sea roja, partido por la probabilidad de que la segunda también sea roja.
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Y ahí ya casi lo tenemos, porque este numerador es, pues, primera roja, segunda roja, es este trocito de aquí, es decir, 3 quintos por 2 cuartos partido por 2 quintos, que es la probabilidad de ser roja.
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y simplificando esto habremos terminado
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tres cuartos y esta es la probabilidad pedida
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evidentemente esta probabilidad es alta
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¿por qué? porque nos están diciendo que la segunda bola fue roja
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y sabiendo eso es más fácil que la primera extracción fuese roja
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porque eso facilitaría más que la segunda lo fuese
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y también evidentemente porque hay más bolas rojas en la primera urna
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bueno, espero que os haya resultado sencillo el problema
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casi todos los vídeos de probabilidad de teorema de Bayes son muy parecidos
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nos vemos en la próxima, un saludo
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
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- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Manuel Domínguez Romero
- Subido por:
- Manuel D.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 414
- Fecha:
- 2 de abril de 2019 - 22:26
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Duración:
- 07′ 43″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 171.36 MBytes
