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Lógica: tablas de verdad STTL_DUA - Contenido educativo

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Subido el 8 de septiembre de 2023 por M Montserrat S.

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Explicación de las tablas de verdad, con subtítulos adaptados.

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Hola, buenos días. En este vídeo os voy a hacer una explicación sobre algunos elementos de la lógica para ayudaros a entenderlo. 00:00:01
En este primero hablaremos de las tablas de verdad. Posteriormente grabaremos otros dos vídeos para explicar los problemas de lógica proposicional. 00:00:11
En primer lugar los de la resolución directa y luego después haremos un tercer vídeo para explicar los problemas con supuestos. 00:00:20
Bien, para realizar una tabla de verdad, como cualquier otra tabla, lo que tenemos que hacer es formar una tabla con determinadas filas y columnas. 00:00:29
Lo primero entonces será intentar determinar el cálculo de estas filas con la fórmula 2 elevado a n, 00:00:41
donde n es el número de proposiciones que tenemos en nuestra fórmula simbolizadas. 00:00:48
Así, de este modo, si en un ejemplo tuviésemos dos proposiciones, pues su número de filas sería 2 elevado a 2 y por tanto 4 filas en total, 00:00:57
mientras que si en lugar de dos proposiciones tenemos tres, 2 elevado a 3 nos daría una tabla de 8 filas 00:01:12
o también solemos hacer ejercicios con cuatro proposiciones que darían una tabla de 16 filas. 00:01:22
En cuanto al número de columnas, siempre necesitaremos una columna para cada proposición 00:01:33
y para cada uno de los conectores que aparecen en la fórmula. 00:01:40
De manera que, por ejemplo, en el ejemplo P y no Q tendríamos dos proposiciones y dos conectores, por tanto, necesitaríamos necesariamente cuatro columnas en total para resolver el ejemplo de fórmula que os hemos puesto. 00:01:47
Dos para las proposiciones, otra columna para resolver la negación de Q y otra última columna para resolver la conjunción de P y no Q. 00:02:08
Siempre en la última de estas columnas va a aparecer necesariamente la fórmula completa y por tanto será esta la que tengamos que resolver. 00:02:21
Bien, ahora vamos a ver cómo opera cada uno de estos conectores lógicos y por tanto cómo tenemos que realizar la conexión de dos proposiciones según el conector que las relaciona. 00:02:32
En el caso de la conjunción, que serían las proposiciones con el término y, va a ser verdadera sólo cuando todo lo que se nos dice sea verdad y, por tanto, cuando ambas proposiciones tengan la verdad como valor. 00:02:48
En este caso, la conjunción es verdadera. En todos los demás casos donde al menos hay una proposición falsa, la conjunción será necesariamente falsa también. 00:03:06
En cuanto a la disyunción que representamos con la O y que nos da elegir entre dos opciones funciona un poco de forma inversa de manera que la disyunción sólo será falsa cuando ninguna de las opciones que se nos han dado en esa relación entre proposiciones sea verdadera. 00:03:17
Es decir, cuando ambas proposiciones son falsas, la disyunción da como resultado la falsedad. 00:03:39
En todos los demás casos en los que al menos hay una opción verdadera, la disyunción es verdadera también. 00:03:48
En cuanto a la relación de implicación o condicional, estas relaciones lo que nos establecen a través de la expresión sí-entonces 00:03:56
es que dada una condición se debe también dar su consecuencia. 00:04:05
En este caso la única manera de falsar esta relación condicional sería por tanto que la condición se cumpla 00:04:11
y por tanto sea de valor de verdad verdadera y sin embargo esa consecuencia que debería ir asociada 00:04:21
A esta condición, a la presencia de esta condición no se da y por tanto su valor es de falsedad. En estos casos, en esta estructura V implica F, la relación condicional es necesariamente falsa, mientras que en todas las demás combinaciones de valores la relación condicional será necesariamente verdadera. 00:04:33
Bien, para explicar el siguiente nexo, el nexo monádico de la negación 00:04:59
lo que vamos a establecer, a tener en cuenta 00:05:10
es que siempre que el no acompaña a una proposición 00:05:14
lo que hace es cambiar el valor de verdad de esta proposición a su contrario 00:05:20
Así que no P es lo contrario de P y por tanto cuando P es verdadera no P será necesariamente falsa, mientras que cuando P es falsa no P será necesariamente verdadera. 00:05:26
En cuanto a la implicación, la coimplicación o esa relación de condicionalidad que establecemos con la expresión sí y sólo sí, lo que nos quiere decir es que ambas proposiciones deben darse a la vez. 00:05:41
Por tanto, la coimplicación mantendrá su valor de verdad siempre que ambas proposiciones sean verdaderas o que ambas proposiciones sean falsas, de manera que si tienen el mismo valor de verdad, la coimplicación será siempre verdadera. 00:06:01
por el contrario si estos valores de verdad no son los mismos 00:06:25
sino que una proposición es verdadera y la otra es falsa 00:06:31
o al revés la coimplicación será necesariamente falsa 00:06:35
ya que no se cumple esto que establece esa relación 00:06:39
de que ambas proposiciones tengan que aparecer a la vez 00:06:43
bueno una vez que hemos visto cómo operan los distintos conectores lógicos 00:06:48
vamos a ver la aplicación de estos en algunos ejemplos. 00:06:54
El primero que os propongo, la vida con coronavirus es íntima, familiar y aburrida, 00:06:59
es una relación de conjunción, de coordinación entonces, entre tres proposiciones. 00:07:06
La vida con coronavirus es íntima, sería P. 00:07:15
La vida con coronavirus es familiar, sería Q. 00:07:18
la vida con coronavirus es aburrida, sería R. 00:07:22
Tenemos entonces tres proposiciones, un nexo explícito al final, que es esta conjunción OI, 00:07:26
y lo que tenemos que hacer es determinar qué va entonces como nexo de relación de P y Q. 00:07:34
Es necesariamente una relación de conjunción también, ya que al no aparecer ningún sí condicional, 00:07:40
esa coma no podría esconder el término entonces. 00:07:48
No hay aquí relación de condicionalidad, lo que hay es una relación de conjunción entre más de una proposición. 00:07:53
En este tipo de estructuras semánticas la I se va ocultando para no ser reiterativa y sólo aparece al final. 00:08:01
Bueno, lo primero que haremos será asignar los valores de verdad de P, Q y R. 00:08:11
Como esta es una tabla de tres proposiciones, tendremos ocho filas. 00:08:15
Empezamos siempre asignando los valores de verdad a la mitad de las filas totales de la tabla. 00:08:21
Así que en la columna P tendríamos que empezar asignando la mitad de ocho, 00:08:28
es decir, asignando los valores de verdad cuatro a cuatro. 00:08:35
De manera que en primer lugar encontraríamos cuatro valores de verdad y luego cuatro valores de falsedad. 00:08:40
La columna Q la desarrollamos a la mitad de la anterior, por tanto la mitad de cuatro es dos, así que en Q vamos a asignar los valores dos a dos, dos V seguidas de dos F y así en el conjunto de la columna. 00:08:49
Para la última de las proposiciones, la R, lo que hacemos es dividir dos a la mitad y por tanto sus valores de verdad quedarían alternantes, es decir, se establecen uno a uno alternando entonces los valores de verdadero y falso. 00:09:06
De manera que queda siempre esta última columna de asignación de valores a las proposiciones con esta forma de VF, VF, VF, así hasta completar todas las filas de esa columna. 00:09:24
Bien, la fórmula entonces con la que representamos este tipo de estructuras sería P, I, Q y R. 00:09:38
Aquí no es necesario poner paréntesis y lo que vamos a hacer para resolver este tipo de tablas es ir resolviendo los elementos, resolviendo primero la primera conjunción entre P y Q para después añadirle la segunda conjunción que nos permite asociar a P y Q la proposición R. 00:09:47
Para realizar la conjunción de P y Q tomaremos como referencia ambas columnas, la P y la Q y como estamos operando con un nexo de conjunción lo que haremos será buscar en cuáles de esas filas, de esas columnas P y Q se da que ambas son verdaderas. 00:10:08
En estos casos, que son en este ejemplo la primera y la segunda fila, la conjunción de P y Q es verdad, mientras que en el resto de las filas de esa columna, al no darse esa condición de que ambos valores son verdaderos, el resultado tendría que ser siempre falso. 00:10:29
falso. Una vez que tenemos resuelto la conjunción entre P y Q lo que hacemos es a esta conjunción 00:10:49
que hemos resuelto y por tanto operando sobre esta columna que acabamos de determinar añadirle 00:10:59
la columna R también mediante una relación de conjunción. Para hacer esto entonces tenemos 00:11:06
en cuenta los valores de la columna P y Q que acabamos de resolver y los valores de 00:11:14
la columna R y de nuevo buscamos en qué filas de estas dos columnas se da el requisito de la 00:11:18
conjunción que es que ambas sean verdaderas para mantener su valor de verdad. Esto lo observamos 00:11:26
en la primera de las filas y por tanto el valor de esta primera fila sería verdadero mientras que 00:11:33
el resto de las filas ya no cumplen esta condición de que ambas sean verdad alternándose en ellas valores de verdad y falsedad y por tanto su valor de verdad total sería necesariamente falso al no cumplirse esta condición de que ambas sean verdaderas. 00:11:42
Un segundo ejemplo con el que vamos a trabajar sería, por ejemplo, no es cierto que estudiar bachillerato sea fácil y divertido. Habréis entendido perfectamente que ese no es cierto que está negando ambas proposiciones, ya que estudiar bachillerato no es fácil y estudiar bachillerato tampoco es divertido. 00:12:00
Esa expresión no es cierto que la utilizamos entonces para poder negar más de una cosa y por tanto esa negación está afectando al conjunto de las proposiciones y no solo a una. 00:12:26
Cuando queremos que un símbolo afecte a más de una proposición, necesitaremos obligatoriamente utilizar un paréntesis. 00:12:39
Por tanto, la expresión de este tipo de oraciones, la simbolización se realizaría poniendo esa negación, abriendo un paréntesis e incluyendo dentro del paréntesis todo lo que está negado. 00:12:49
En este caso, que estudiar sea fácil, estudiar bachillerato sea fácil y que estudiar bachillerato sea divertido. 00:13:07
Bien, igual que en matemáticas, cuando resolvamos este tipo de estructuras, tendremos que prestar atención primero al interior del paréntesis. 00:13:17
Asignamos inicialmente los valores, al haber dos proposiciones es una tabla de cuatro filas, la mitad de cuatro es dos, 00:13:28
de manera que P empezará con dos valores de verdad y dos valores de falsedad, yendo entonces dos a dos. 00:13:36
La columna Q iría a la mitad de dos que es uno y por tanto quedarían como siempre alternantes esos valores VF, VF, 00:13:44
en la última de las proposiciones a las que asignamos valor. 00:13:54
Una vez tenemos los valores de P y Q establecidos, 00:13:59
vamos a resolver el interior del paréntesis 00:14:03
y por tanto vamos a conjuntar P con Q. 00:14:06
Tomaremos como referencia las columnas donde tenemos estos valores asignados 00:14:10
y buscaremos en qué fila se produce que ambas sean verdaderas. 00:14:15
En esta primera fila, donde se da esta condición, la conjunción será verdadera, mientras que en el resto de las filas, donde no se da esta condición, la conjunción será falsa. 00:14:21
Una vez que tenemos calculado la conjunción P y Q, los valores de verdad de P y Q, ya estamos preparados para negar esa conjunción. 00:14:35
Y por tanto en la última de las columnas copiaremos la fórmula completa y procederemos a negar P y Q. 00:14:45
¿Cómo haremos esto? Tomando como referencia la columna P y Q, donde ya hemos resuelto esta conjunción, y aplicando la negación a sus valores. 00:14:54
Como recordamos, la negación cambia el valor de verdad a su contrario y por tanto cuando P y Q es verdadera, no P y Q será falsa. 00:15:04
Mientras que cuando P y Q es falsa, no P y Q será verdadera. 00:15:14
Bien, en el siguiente ejemplo vamos a ver un poco cómo funciona la implicación, cómo funciona, cómo se opera con la relación condicional. 00:15:21
Os pongo como ejemplo una proposición en la que tenemos una condición y dos consecuencias. 00:15:32
Si no eres una persona responsable, sería la condición, entonces, aquel entonces está omitido, pero debería ir tras esa coma, se producirán dos consecuencias distintas, que los demás no contarán contigo y que te excluirán de sus actividades. 00:15:38
En este ejemplo entonces ahí donde debería ir el entonces pondremos la flecha y lo que vamos a hacer es determinar los demás conectores que sería esa primera negación que está negando a la proposición P y la segunda negación que está negando a la proposición Q. 00:16:01
De manera que la fórmula completa para realizar este ejemplo sería determinar que P es una persona responsable, Q serían los demás contarán contigo y R te excluirán de sus actividades. 00:16:23
Quedando entonces no P implica no Q y R como fórmula completa. 00:16:44
Al tener una condición y dos consecuencias lo que agrupamos bajo el paréntesis son las consecuencias. 00:16:53
También podría darse una relación condicional con más de una condición, es decir, más de una proposición antes de la flecha y en este caso pues también podríamos agrupar esas condiciones con un paréntesis. 00:17:00
Bueno, para realizar esta tabla lo primero que tendremos que hacer es asignar los valores de verdad a las proposiciones P, Q y R. 00:17:16
Como son tres proposiciones tendremos una tabla de ocho filas, así que empezaremos cuatro a cuatro, la mitad de ocho, asignando cuatro valores de verdad y cuatro valores de falsedad a la columna P. 00:17:25
La mitad de 4 es 2, por tanto, los valores de verdad de Q los asignaremos de 2 en 2, mientras que la mitad de 2 es 1 y, por tanto, la columna R, que es la última, nos quedará siempre alternando esos valores de verdad 1 a 1 y, por tanto, con esa forma VF, VF, VF, VF. 00:17:39
Bien, para resolver esta implicación tendremos primero que calcular lo que hay a un lado de la flecha, calcular después lo que hay al otro lado de la flecha y por último implicar. 00:18:03
Empezamos antes de la flecha con la condición que tiene la estructura no P, de manera que tomaremos los valores de P como referencia y le aplicaremos la negación cambiándolos a su contrario. 00:18:16
De manera que no P tendrá ahora cuatro Fs y cuatro Vs, justo lo contrario de la columna P. 00:18:29
Una vez tenemos esto resuelto, pasamos a intentar calcular lo que hay al otro lado de la implicación de la flecha, lo que tenemos dentro de ese paréntesis. 00:18:38
Para poder realizar la conjunción de no Q y R necesito saber sus valores. 00:18:49
Los valores de R ya los tengo asignados, sin embargo, tengo que calcular los valores de no Q. 00:18:55
Para esto, en la siguiente columna pondremos no Q y para resolverlo tomaremos como referencia la columna Q 00:19:02
y al aplicar la negación cambiaremos de nuevo sus valores de verdad por los contrarios. 00:19:12
De manera que siendo Q una columna V, V, F, F, pues no Q sería al revés, F, F, V, V y así hasta completar los valores de esa columna. 00:19:18
Ahora que ya conocemos los valores de no Q y ya sabíamos los valores de R, estamos preparados para conjuntarlos. 00:19:30
Tomaremos entonces como referencia estas dos columnas no q y r y de nuevo iremos buscando en sus filas en cual desde estas filas se da la coincidencia de que ambos valores son verdaderos que es como opera ese nexo de conjunción. 00:19:39
En todos estos casos en los que ambas valores son verdad, la conjunción es verdad y por tanto en esas celdas pondremos verdad como valor, mientras que en los demás casos, en las demás filas, no se da esta condición de la conjunción de que ambas sean verdaderas, sino que se da una combinación de valores y por tanto su resultado será necesariamente falso. 00:19:57
Por último, en la última columna siempre se pone la fórmula completa y resolvemos el nexo más importante, el conector más importante de la fórmula que en este caso es la implicación. 00:20:25
Ahora que ya tenemos resuelto lo que hay antes de la flecha y lo que hay después, estamos preparados para poder implicar entre ello. 00:20:41
Tomaremos como referencia esa columna NOPE que ya hemos calculado y el cálculo de NOQIR que hemos establecido en la última columna de resolución. 00:20:53
Y para resolver entre estas dos columnas de forma condicional tendremos en cuenta que la única manera posible de falsar una relación condicional será que se dé la condición, por tanto no pese a verdadera nuestro ejemplo y en cambio no la consecuencia y por tanto no q y r sea falsa. 00:21:05
En estas filas en las que se da esa combinación de valores v implica f, nuestra implicación será necesariamente falsa, mientras que en las demás, donde no se da esa relación de valores v implica f, el resultado de la implicación será siempre verdadero. 00:21:28
Así resolveríamos este tipo de estructuras o cualquier relación de condicionalidad e implicación. 00:21:47
Para acabar, un último ejemplo de cuatro proposiciones en las que también estamos obligados a utilizar los paréntesis para ordenar esa fórmula. 00:21:56
En este ejemplo tenemos como proposición inicial aprobar el curso que sería P, me iré de vacaciones sería Q, estudiaré ahora sería R, tendré que repetir curso sería S. 00:22:09
En cuanto a los conectores que la relacionan, pues tenemos una relación de conjunción entre las dos primeras, una relación de disyunción, una negación que afecta solo a R ya que no es un no es cierto que, siempre que es un no afecta a una única proposición y va pegado a ella y una última conjunción que relaciona también la R y la S. 00:22:22
Como podéis ver por el propio significado de la frase, hay dos opciones que van, es una disyunción de dos opciones compuestas. En la primera opción tendríamos dos proposiciones asociadas de forma conjuntiva, P y Q, aprobo el curso y me puedo ir de vacaciones. 00:22:46
En la segunda de las opciones tenemos de nuevo dos proposiciones conjuntadas, no estudiar ahora y tener que repetir curso. Esa negación afecta solo a R y por tanto va dentro del paréntesis y no fuera como nos sucede con las oraciones que utilizan el no es cierto que. 00:23:05
Bien, como tenemos cuatro proposiciones, tendremos 16 filas, así que lo primero que hacemos es asignar valores a estas proposiciones. 00:23:28
Como tenemos 16 filas, como decíamos, empezamos 8 a 8 con 8 valores de verdad y 8 valores de falsedad. 00:23:42
Así asignamos los valores de la columna P, mientras que en la columna siguiente, que sería la Q, estableceríamos los valores de verdad a la mitad de 8 00:23:54
y por tanto Q quedaría en sus valores asignados de forma de 4 en 4, alternándose 4 valores de verdad, 4 de falsedad, 4 valores de verdad, 4 de falsedad. 00:24:12
Para adjudicar valores a la columna R lo haríamos a partir de la mitad de 4 que es 2 y por tanto en esta columna vamos a ir asignando los valores de 2 en 2. 00:24:29
planteando entonces sus valores como 2V, 2F, 2V, 2F y así hasta completar la columna. 00:24:42
Por último, la columna S quedaría a la mitad de 2 que es 1 y sus valores de verdad serían alternantes, 00:24:50
quedando como siempre esta columna con la forma VF, VF, VF. 00:24:59
Bien, para realizar esta fórmula lo que tendremos que hacer es resolver primero el interior de cada paréntesis. La relación disyuntiva separa por tanto el aprobar el curso e irse de vacaciones por un lado y no estudiar y tener que repetir curso lo resolveremos por otro. 00:25:04
Para resolver esta conjunción de P y Q como tenemos los valores asignados de estas dos proposiciones elementales pues lo que haremos será aplicar entre esas dos columnas la condición de la conjunción que es el nexo con el que estamos operando de que ambas tienen que ser verdad para que esa conjunción sea verdadera. 00:25:27
Esto se produce en las primeras cuatro filas donde su solución sería verdad, mientras que en todas las demás hay una combinación de verdad y falsedad, no dándose entonces esta condición de que ambas proposiciones sean verdaderas y por tanto su solución sería en todas ellas de falsedad. 00:25:48
Así que completamos la columna añadiendo esos valores de falsedad. 00:26:10
falsedad. Bien, para resolver el otro paréntesis, el que tenemos al otro lado de la relación 00:26:14
disyuntiva, tendríamos que conjuntar no R y S. Los valores de S, como veis, ya están 00:26:22
asignados en el principio, pero tendríamos que calcular los valores de no R antes de 00:26:30
poder realizar esa conjunción con S. Para resolver la columna no R tomaremos como referencia la 00:26:38
columna R que ya había sido asignada y le aplicaremos la negación transformando su valor 00:26:46
de verdad en su contrario. Si R era una columna VVFF la columna no R la iremos asignando con la 00:26:54
estructura entonces contraria FFVV, es decir, donde R es verdad no R es falsa y donde R es falsa no R 00:27:04
es verdad. Una vez que ya tenemos calculados estos valores ya podemos conjuntar no R con S. Tomaremos 00:27:12
ahora como referencia la columna no R que acabamos de calcular y la columna S que ya teníamos asignada 00:27:21
Y como estamos conjuntando buscaremos las filas en las que no R y S son ambas verdaderas, comparten entonces este valor de verdad. 00:27:29
En esas filas la conjunción será verdadera, mientras que en todas las demás filas donde no se da esta condición de que tanto no R como S sean verdad, el resultado de la conjunción será necesariamente falso. 00:27:42
Así que en las filas en las que hemos encontrado esa coincidencia de valores verdaderos ponemos verdad como resultado y en el resto de las filas donde no se da esta condición pondremos falsedad como resultado completando así todas las celdas de esta columna. 00:28:02
Una vez que tenemos resuelta esta última columna, estamos ya preparados para operar con la disyunción. 00:28:27
Hemos resuelto, por tanto, el primer paréntesis, hemos resuelto también el segundo paréntesis y ahora ya podemos disyuntar entre estos valores. 00:28:35
Tomamos como referencia para resolver esta última columna, la columna donde resolvimos el interior de estos paréntesis, 00:28:45
La columna donde hemos resuelto el valor de P y Q y la columna donde acabamos de resolver los valores de verdad de NO, R y S. 00:28:53
Y tendremos en cuenta que ahora estamos disyuntando y por tanto aplicaremos ese criterio de la disyunción por el cual una disyunción solo es falsa cuando ninguna opción se cumple, cuando ambas opciones son falsas. 00:29:04
Buscando ahora entonces en estas columnas con las que estamos operando todas las filas donde se da esta coincidencia de que ambos valores de verdad son falsos y en todas ellas podremos determinar que el valor de verdad de la disyunción es en esos casos necesariamente falsa. 00:29:19
Mientras que en todas las celdas donde no se da este requisito de que ambos valores de verdad sean falsos y por tanto hay al menos un valor de verdad verdadero, la disyunción tendrá como resultado la verdad. 00:29:41
Con esto quedaría explicado este último ejemplo y finalizamos el vídeo sin recomendaros la práctica de ejercicios para asimilar esta información y remitiros a mi correo electrónico aula virtual de Monse ante cualquier duda que pudierais tener o que os haya suscitado esta explicación. 00:30:01
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
M. Montserrat Sánchez Sierra
Subido por:
M Montserrat S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
8 de septiembre de 2023 - 13:40
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES SAN AGUSTIN DE GUADALIX
Duración:
30′ 28″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
144.13 MBytes

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