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V0301 Trigonometría: problemas 01a, 01b y 01c. - Contenido educativo

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Subido el 14 de noviembre de 2018 por Pablo De A.

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V0301 Trigonometría: problemas 01a, 01b y 01c de la hoja de ejercicios E0301.

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Buenas tardes. Voy a hacer unos cuantos problemas de trigonometría. 00:00:03
Son problemas que son bastante laboriosos, pero no son problemas especialmente difíciles. 00:00:11
Básicamente lo que tenemos que tener en cuenta son las distintas expresiones que tiene un ángulo 00:00:20
cuando está en los distintos cuadrantes. Entonces, lo primero que voy a hacer es explicar 00:00:31
cuál sería la expresión de un ángulo alfa que estuviera en el primer cuadrante, un ángulo 00:00:38
alfa que estuviera en el segundo cuadrante, un ángulo alfa que estuviera en el tercero 00:00:45
y uno que estuviera en el cuarto. Me vais a disculpar, los dibujos no son muy buenos, 00:00:50
pero bueno, a ver 00:00:55
he dicho mal, del primer cuadrante 00:00:58
no voy a hablar, porque del primer cuadrante 00:01:00
digamos que ya sabemos 00:01:02
ya sabemos cómo funciona 00:01:03
básicamente vamos a trabajar en el segundo cuadrante 00:01:05
en el tercero y en el cuarto 00:01:08
entonces, fijaos 00:01:10
si yo tengo un ángulo 00:01:12
en el primer cuadrante 00:01:14
que se llama alfa 00:01:15
quiero buscar 00:01:17
qué ángulos en el segundo cuadrante 00:01:18
se puedan parecer a él 00:01:21
Entonces yo defino aquí mi ángulo, el ángulo lo voy a pintar, a ver, el seno lo pinto de rojo, que sería este, el coseno lo pinto de azul, que sería este de aquí. 00:01:22
Este segmento sería el seno de este ángulo, que sería beta, y yo sé que su seno es positivo, que es este segmento, y que este seno corresponde al coseno. 00:01:41
Entonces, si os fijáis, aquí tengo un ángulo beta, voy a pintar en azul, y este ángulo beta tiene el mismo seno y tiene el mismo coseno en valor absoluto. 00:02:04
Si yo este ángulo beta lo traslado al primer cuadrante, es decir, si esto tiene la misma altura, fijaos, aquí tengo mi seno, aquí tengo mi coseno, y los valores absolutos son iguales. 00:02:18
Entonces, ¿cuál es el ángulo equivalente a este ángulo alfa en el primer cuadrante? Pues sería este ángulo beta que tengo en el primer cuadrante. 00:02:35
Entonces, el seno de beta es el seno de alfa. 00:02:46
Recordad que alfa está en el segundo cuadrante, es este ángulo de aquí. 00:02:53
¿Coseno de beta? ¿Cuál es el coseno de beta? 00:02:58
Pues sería el menoseno de alfa, porque es negativo. 00:03:00
Bien, menoseno de alfa. 00:03:04
Y ahora, la gran pregunta es, ¿y cuál es la expresión de beta? 00:03:06
Pues fijaos, este ángulo beta es igual que este, alfa más beta suma 180 grados, por tanto, ¿cuánto vale beta? Es decir, el equivalente en el primer cuadrante, pues vale 180, repito, lo que estoy buscando es un equivalente que estuviera en el primer cuadrante que me dé exactamente los mismos valores. 00:03:12
Por ejemplo, si alfa vale 135, ¿cuánto vale beta? Pues 180 menos 135, 45. Pero luego lo que tendré que hacer es actualizar los senos y los cosenos con sus signos correspondientes. 00:03:41
Aquí he cometido un error, seno de beta es seno de alfa 00:04:02
Y coseno de beta es menos coseno de alfa 00:04:06
Aquí es coseno, igual al coseno 00:04:10
En realidad mi adjetivo es coseno de alfa 00:04:12
Luego ya tendré que cambiar el signo 00:04:14
Fijaos que el ángulo en el primer cuadrante siempre tiene 00:04:17
Seno positivo y, ¿dónde está el azul? 00:04:20
Y el coseno es positivo también 00:04:26
seno 00:04:34
de coseno. 00:04:37
Es positivo. 00:04:40
Por tanto, tendré luego que actualizar 00:04:41
los valores. 00:04:42
Bueno, continúo pues. 00:04:45
Tercer cuadrante. 00:04:47
¿Cuál es mi ángulo beta? 00:04:52
Mi ángulo beta puede ser este que tengo aquí. 00:04:53
Este sería mi ángulo beta. 00:04:57
Y aquí, por ejemplo, 00:05:01
tengo mi ángulo alfa. 00:05:02
Chicos, ¿sí me saca a pasar? 00:05:08
Aquí tendré un ángulo alfa. 00:05:09
Este no es mi ángulo beta, es mi ángulo alfa, perdonad. 00:05:18
Y aquí tengo un ángulo beta. 00:05:21
Entonces, este ángulo beta es el que tiene este seno y tiene este coseno aquí también. 00:05:25
Lo voy a pintar en negro porque les acabo de decir que acabo de perder el rotulador. 00:05:34
Entonces, si yo prolongo la primer cuadrante, este ángulo es igual que este. 00:05:39
Entonces, mi ángulo beta es este que estoy buscando. 00:05:47
Entonces, ¿cuánto vale beta? 00:05:52
Pues beta vale este ángulo que es el valor de alfa, menos 180. 00:05:54
Bien, el seno de beta ya sabemos que es un valor esencialmente positivo, 00:06:03
porque está el primer cuadrante y el coseno también es exactamente igual. 00:06:07
Entonces, ¿cuánto vale el coseno de alfa? 00:06:10
El coseno de alfa es negativo, porque este es el método que está aquí. 00:06:13
Entonces es el menos seno, coseno, perdón, de beta. 00:06:18
¿Y cuánto vale el seno de alfa? 00:06:24
Pues es el menos seno de beta. 00:06:26
Aquí pone coseno. 00:06:29
Por tanto, ángulo en el tercer cuadrante. 00:06:33
Ángulo entre 180 y 270 grados, 70 grados. 00:06:36
Le resto 180, ya me he trasladado, y luego le pongo el signo que corresponde. 00:06:40
Cuarto, este es mi ángulo alfa, y este ángulo beta yo lo dibujo porque quiero. 00:06:48
Este es mi seno. 00:07:01
Si yo hago un triángulo, aquí que tenga exactamente el mismo seno que este, este ángulo me va a valer también beta. 00:07:02
Entonces, ¿este ángulo beta cuánto vale? 00:07:17
Pues beta vale 360 menos alfa. 00:07:19
Entonces, ¿cuánto vale el coseno de alfa? 00:07:25
Pues el coseno de alfa es este segmento de aquí, es esencialmente positivo, pues es igual a un coseno de beta. 00:07:27
¿Y el seno de alfa cuánto vale? Pues el seno de alfa aquí es negativo, menos seno de beta. 00:07:36
Entonces, lo primero que hago siempre, cada vez que tengo un problema de estos, los que me dicen, pues conocido este valor, intenta calcular el otro, 00:07:45
pues ¿qué es lo primero que hago? Paso a un valor que me sea cómodo, es decir, me voy al primer cuadrante. 00:07:54
Y una vez que esté en el primer cuadrante las cosas van a resultar muchísimo más sencillas. 00:08:00
Van a resultar sencillas siempre que me acuerde y no tenga ningún problema de acordarme que aquí el seno es positivo, 00:08:04
aquí el coseno es negativo, aquí el seno y el coseno son negativos y aquí el seno es negativo y el coseno es positivo. 00:08:13
Bueno, pues una vez que ya he comentado todo esto, me voy al ejercicio número 1. 00:08:22
Y voy a hacer el 1-1. 00:08:31
Me dice, calcula seno de 123 si seno de 57 es igual a h. 00:08:33
Entonces, fijaos. 00:08:47
Primero, lo que tengo que hacer es saber dónde estoy. 00:08:49
123 pertenece al segundo parámetro. 00:08:53
Estoy en este caso de aquí. 00:08:58
Entonces, si busco el equivalente, lo que tendré que hacer será 180 menos alfa. 00:09:00
180 menos 123 es igual a B a 57. 00:09:08
Entonces, resulta que el ángulo equivalente de alfa, que hemos dicho que era beta, es 57. 00:09:15
Y resulta que me están dando este dato. Por tanto, el seno positivo, positivo, seno de 123 es igual a seno de 57 y, por tanto, seno de 123 es igual a h. 00:09:24
tangente de 260 00:09:45
si seno de 80 00:09:50
es igual a h 00:09:58
¿en qué cuadrante estoy? 00:10:01
alfa es igual a 260 00:10:04
y pertenece al tercer cuadrante 00:10:06
porque fijaos en el tercer cuadrante 00:10:10
¿entre qué valor es esto? 00:10:12
alfa es menor que 270 00:10:14
que es este ángulo de aquí, y menor, y es mayor que 180. Aquí, por ejemplo, son 90, y en el cuarto cuadrante, 270, alfa, 360. 00:10:17
Bueno, evidentemente, 260, estoy aquí, entonces estoy en el tercer cuadrado. 00:10:36
Alfa menos 180. 00:10:49
Alfa, que son 260, menos 180, es igual a beta, que son 80. 00:10:52
Entonces, le están dando la frazón trigonométrica de seno. 00:11:03
Y ahora, ¿qué es lo que tengo que hacer? 00:11:07
¿Conocido el seno de un ángulo, puedo calcular su tangente? 00:11:10
Pues evidentemente, claro que sí puedo. 00:11:14
Entonces, tengo varias maneras de hacerlo. 00:11:17
Una de ellas es decir, bueno, pues voy a escribir, ¿cuánto me da la tangente? 00:11:20
Mirad, tangente de alfa es igual a seno de alfa, que lo conozco, entre el coseno de alfa. 00:11:26
¿Cuál es mi punto cógnito aquí? El coseno cuadrado. El coseno, perdón, ya se me dorará el ego. 00:11:37
Pero fijaos si hago una cosa. Elevo todo al cuadrado. Me queda seno cuadrado entre coseno cuadrado de alfa. 00:11:43
Y ahora voy a utilizar el mejor amigo del hombre en lo que se refiere a trigonometría, la identidad fundamental de la trigonometría. 00:11:51
Si por seno cuadrado lo pongo como 1 menos seno cuadrado de alfa, ya he expresado la tangente en función del seno. 00:11:59
Tangente de alfa es igual a la raíz cuadrada, el seno de alfa, ¿cuánto vale? h. 00:12:19
Entre 1 menos h cuadrado raíz. 00:12:28
Solo me queda un detalle. 00:12:32
¿En qué cuadrante estoy? En el tercer cuadrante. 00:12:33
en el tercer cuadrante de la tangente es positivo 00:12:36
le planto más aquí y me quedo tan a gusto 00:12:44
problema 1C 00:12:48
bueno, perdonadme, este no era el 1B, este era el 1C 00:12:51
pues voy a hacer el 1B 00:12:55
el enunciado es que coseno de 220 es mi incógnita 00:12:58
y me dan tangente de 40 grados 00:13:03
como dato. 00:13:08
Bueno, pues lo primero, alfa son 220 grados 00:13:11
y pertenece al tercer cuadrante. 00:13:15
Esto es como os he dicho varias veces en clase. 00:13:18
¿Y por qué trabajo en el tercer cuadrante? 00:13:20
Pues porque es más difícil, porque el coseno y el seno son negativos 00:13:22
y cuando tengo signos negativos, pues la cosa es un poquito más delicada. 00:13:25
Entonces, ¿qué tengo que hacer? 00:13:29
Alfa menos 180. 00:13:31
que son 220 menos 180, que son 40 grados, es igual a beta. 00:13:33
Es decir, tengo la razón trigonométrica de beta, que es el equivalente en el primer cuadrante, 00:13:42
de alfa, que son 220. 00:13:48
Entonces ahora lo que tengo que hacer es expresar el coseno en función de la tangente. 00:13:50
Y esto es muy sencillo. 00:13:55
De hecho, yo os recomiendo que lo, no que lo memoricéis, pero sí que cada vez que lo utilicéis, os acordéis de ello. 00:13:57
Mi dato es tangente y quiero el coseno. 00:14:08
Bueno, pues lo que hago es que divido todo por el coseno. 00:14:10
Seno cuadrado de alfa entre coseno cuadrado de alfa. 00:14:13
Divido todo entre el coseno cuadrado. 00:14:17
Coseno cuadrado de alfa entre coseno cuadrado de alfa. 00:14:20
Bien. 00:14:28
seno entre coseno es tangente cuadrado 00:14:29
coseno cuadrado entre coseno cuadrado es 1 00:14:32
esto es 1 entre coseno cuadrado de alfa 00:14:35
el espejo, coseno cuadrado de alfa 00:14:40
es 1 entre 1 más tangente cuadrado de alfa 00:14:43
esto pasa dividiendo, esto pasa multiplicando 00:14:49
coseno de alfa es igual a la tangente que es h 00:14:51
Así, 1 entre 1 más h al cuadrado, le meto la raíz y ahora me fijo en el signo. 00:14:56
El coseno de 220 está en el tercer cuadrante. 00:15:04
¿Qué signo tiene? Negativo. 00:15:08
Menos. 00:15:10
Ya está, resuelto. 00:15:11
Entonces, fijaos, para este tipo de problemas, lo primero que hago, ¿qué es? 00:15:13
Pensaba que estaba con el rojo y el azul lo tenía por ahí guardado. 00:15:19
Lo primero que hago, ¿qué es? 00:15:22
Buscar el equivalente del ángulo que me dan. En este caso he buscado 123, en este caso he buscado 260 y en este caso he buscado 220. 00:15:26
Calculo el equivalente que sería lo que hemos llamado el ángulo beta. Aquí tengo beta 40, aquí tengo beta 80 y aquí tengo beta 57. 00:15:37
Y como me dan una razón trigonométrica de mi ángulo equivalente, pues lo único que me queda es expresar, en este caso el coseno en función de la tangente, en este caso la tangente en función del seno, y en este caso el seno en función del otro seno, que el seno es igual al seno, evidentemente. 00:15:44
Y nada más, gracias por la atención. 00:16:06
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Pablo de Agapito Vicente
Subido por:
Pablo De A.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
82
Fecha:
14 de noviembre de 2018 - 22:11
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
16′ 13″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
223.73 MBytes

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